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矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵的性质，将二元一次方程组转化为线性方程组进行求解。
详细描述
矩阵法的基本思路是将二元一次方程组转化为线性方程组，然后利用矩阵的运算性质和 逆矩阵的性质求解。具体步骤包括：将二元一次方程组写成矩阵形式，然后对矩阵进行 变换，将其化为行最简形式，得到线性方程组；然后利用逆矩阵的性质求解线性方程组
示例
x + y = 1, 2x - y = 3
二元一次方程组的解法概述
01
02
03
消元法
通过加减或代入法消去一 个未知数，将二元一次方 程组转化为一元一次方程 求解。
替换法
通过一个方程中的未知数 表示另一个未知数，然后 将其代入另一个方程求解 。
矩阵法
利用矩阵表示方程组，通 过矩阵运算求解。
二元一次方程组的应用场景
化学问题
在化学中，有些问题涉及到两种化学物质之间的反应，如反 应速率和反应物浓度等，这时也可以用二元一次方程组来表 示和解决。
04
二元一次方程组的扩展知识
二元一次方程组的几何意义
平面直角坐标系
二元一次方程组可以表示平面上的点集，通过坐标系将代数问题与几何问题相互 转换。
直线交点
二元一次方程组的解对应于直线交点，即两个方程的公共解。
二元一次方程组的解的个数与性质
解的个数
二元一次方程组可能有无数解、唯一 解或无解，取决于方程组中方程的系 数和常数项。
解的性质
解的个数与方程组系数矩阵的秩和增 广矩阵的秩有关，通过比较两者可以 判断解的情况。
二元一次方程组的解的判定定理
定理内容
如果二元一次方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有唯一解；如果秩不相等，则该 方程组无解或有无数解。
二元一次方程组及其解法课件

二元一次方程组及其解法课件

6.9（1）二元一次方程 组及其解法
创设情境
1.中国古代的《孙子算经》中记载了一个有趣的鸡兔同笼的问题
：
今有鸡兔同笼，
上有三十五头，
下有九十四足，
问鸡兔各几何？
解：设笼中有鸡 只，兔
只.
解：设笼中有鸡 只，兔 只.
创设情境
方程组：由几个方程组成的一组方程叫做方程组.
二元一次方程组：如果 方程组中含有两个未知数，且 含未知数 的项的次数都是一次 ，那么这样的方程组叫做二元一次方程组.
（1）① ②解：把②代入①，得 Nhomakorabea解得
所以原方程组的解是
探究解二元一次方程组的方法
（2）
① ②
解：由②，得
③
把③代入①，得
解得
把 代入③，得
所以原方程组的解是
探究解二元一次方程组的方法
（3） 解：由②，得
①
② ③
把③代入①，得
解得
把
代入③，得
所以原方程组的解是
探究解二元一次方程组的方法
（4）
①
②
解：由①，得
① ②
③
变形 代入 求解 回代 结论
探究解二元一次方程组的方法
例1.解方程组：
解：由②，得
把③代入①，得 解得
把
代入③，得
① ②
③
变形①还是②？
变形成含 的式子表示 还是 变形成含 的式子表示 ？
所以原方程组的解是
探究解二元一次方程组的方法
练2.解下列方程组： （1）
（3）
（2） （4）
探究解二元一次方程组的方法
把③代入②，得
解得
把
代入③，得
③
所以原方程组的解是
二元一次方程组ppt课件

二元一次方程组ppt课件


5. B 提示：A.当
时，x-2y=0-2×
=1，是方程的解；B.当
时，x-2y=1-2×1=-1，不是方程的解；C.当
时，x-2y=1-2×0=1，是
方程的解；D.当
时，x-2y=-1-2×（-1）=1，是方程的解.
6. C 提示：A、B 方程组里含有 x，y，z 三个未知数，不符合二元一次方程组
方程组）
共计 44 元
共计 26 元
解析：从题图中可获得信息：2 件 T 恤衫和 2 瓶 矿泉水一共是 44 元
；1 件 T 恤衫和 3 瓶矿泉水一共 是 26 元.列出二元一次方程组即可.
答案：解：设每件 T 恤衫 x 元，每瓶矿泉水 y 元.
由题意，得 题型解法：解答有关二元一次方程组的图表信息题的关键是认真分析和提 取图表中的数据信息，挖掘图表中所隐含的等量关系，从而建立方程组求解.
D. 1
是方程 2x-ay=3b 的一个解，那么 a-
解析：将
代入方程2x-ay=3b，得 2+a= 3b，所以 a-3b=-2.故
选 C. 答案：C 题型解法：解决本题的关键是将方程的解代入，从而求出待定式子的值.
-9-
6.1 二元一次方程组
例 4 （巴中中考）已知关于 x，y 的二元一次方程组
为解的二元一次方程有无穷多个，只要从这些方
程中选中两个方程联立，即可得所要求的二元一次方程组.注意：在找两个
方程联立时，不能找系数成比例的两个方程.
-13-
6.1 二元一次方程组
[方法总结]
■检验二元一次方程组的解的方法———代入检验法 将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足所有方程
k 的值为 （ ）
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距离问题
浓度问题
通过给定的两点坐标，利用二元一次 方程组求解两点之间的距离。
通过给定的溶液浓度和体积，利用二 元一次方程组求解溶液的配制比例和 浓度。
速度问题
通过给定的时间和速度，利用二元一 次方程组求解物体的运动轨迹和速度 。
THANKS
[ 感谢观看 ]
(完整版)二元一次方程 组优秀课件
汇报人：可编辑
2023-12-25
CONTENTS
目录
• 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的实际应用 • 二元一次方程组的变式与拓展
CHAPTER 01
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
定义
二元一次方程组是由两个或两个以上的方程组成，其中含有两个未知数，且每 个方程中未知数的次数都是一次。
代数问题
例如，在求解两个未知数的和、差、 积、商等问题时，需要使用二元一次 方程组来表示和求解。
物理中的二元一次方程组问题
运动问题
例如，在计算两个物体之间的相对速度和距离时，需要使用二元一次方程组来表示和求 解。
力的问题
例如，在计算两个物体之间的相互作用力和扭矩时，需要使用二元一次方程组来表示和 求解。
示例
x + y = 1, 2x - y = 3。
二元一次方程组的表示方法
代数表示法
使用代数符号表示二元一次方程 组，如x + y = 1, 2x - y = 3。
图形表示法
通过图形表示二元一次方程组的 解，如平面直角坐标系中的直线 。
二元一次方程组的解的概念
01
02
03
解的概念
满足二元一次方程组的未 知数的值称为解。
二元一次方程组-图课件

二元一次方程组-图课件


解二元一次方程组时，可以通过消元 法、代入法等方法得到不同的解。
二元一次方程组的拓展
多元一次方程组
除了二元外，还可以扩展 到更多未知数的多元一次 方程组。
分式方程组
将一次方程组的未知数次 数降低，可以得到分式方 程组。
高次方程组
将一次方程组的未知数次 数提高，可以得到高次方 程组。
二元一次方程组与其他数学知识的结合
二元一次方程组可以表示为平面上的两条直线， 这两条直线的交点就是解。解的几何意义是两条 直线的交点坐标，即两条直线的公共点。
02
二元一次方程组的图解法
直线交点法
总结词
通过作图找到两条直线的交点，该交点即为方程组的解 。
详细描述
首先，将二元一次方程组中的两个方程分别表示为两条 直线的方程。然后，在坐标系上画出这两条直线。最后 ，找到这两条直线的交点，该交点的坐标即为方程组的 解。
02 代数问题
在代数中，二元一次方程组是基本的问题类型之 一，需要掌握其解法。
03 概率统计问题
在概率统计中，经常需要计算两个事件同时发生 的概率或两个变量的相关性。
科学中的二元一次方程组问题
01
02
03
物理问题
在物理学中，经常需要解 决与速度、力和加速度相 关的二元一次方程组问题 。
化学问题
在化学中，二元一次方程 组可以用来描述化学反应 中两种物质的反应速率和 反应条件。
进阶习题2
解方程组$begin{cases}x + 2y = 6 2x + y = 4end{cases}$
进阶习题3
解方程组$begin{cases}5x - y = 11 x + 2y = 7end{cases}$
(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT

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答案解析
答案解析1
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
答案解析2
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
几何问题
例如，在计算几何图形的面积、 周长或体积时，需要使用二元一 次方程组来表示相关变量之间的
关系。
代数问题
例如，在解决代数方程组时，需要 使用二元一次方程组来表示未知数 之间的关系。
概率统计问题
例如，在计算概率分布或统计数据 时，需要使用二元一次方程组来表 示相关变量之间的关系。
科学中的二元一次方程组问题
化学反应
在化学反应中，常常需要用到 二元一次方程组来表示反应物 和生成物的关系。
几何问题
在解决涉及两个未知数的几何 问题时，如两点之间的距离、 角度等，常常需要用到二元一
次方程组。
02
二元一次方程组的解法
代入消元法
通过代入一个方程中的未知数，将其表示为另一个变量的函数，从而简化方程组的方法。
代入消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。首先，选择一个方程中的未知数，用另一个未知数表示出来，然后将其代 入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。接着解这个一元一次方程，得到一个变量的值，再将其代回 原方程中求得另一个变量的值。
01
02
03
购物问题
例如，在购买商品时，需 要计算不同商品的价格和 折扣，以确定最佳购买方 案。
交通问题
1消元——解二元一次方程组课件(第1课时)

1消元——解二元一次方程组课件(第1课时)


探究新知
问题4 对于二元一次方程组 你能写出求出x的过程吗？
x+y=10， ① 2x+y=16． ②
x+y=10， 2x+y=16．
加深认识
练习 用代入法解下列二元一次方程组：
（1）
3s t s 2t
5， ① 15；②
解：由①得
t 5 3s ③
代入②得
s 2(5 3s) 15
解得
15.2 消元—解二元一次方程组 （第1课时）
回顾与思考
1：什么是二元一次方程？ 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的
方程叫做二元一次方程。
2：什么是二元一次方程组？ 有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且有 两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。
3：什么是二元一次方程的解？
所以这个
方程组的
解是：
x 6，
y
1． 2
归纳小结
回顾本节课的学习过程，并回答以下问题： （1）代入法解二元一次方程组大致有哪些步骤？ （2）解二元一次方程组的核心思想是什么？ （3）在探究解法的过程中用到了什么思想方法，
你还有哪些收获？
布置作业
教科书 第7页练习 第2题
s 1
代入③，得
t 8
所以这个 方程组的 解是：
s 1， t ８．
加深认识
练习 用代入法解下列二元一次方程组：
3x 4y 16， ① （2）5x 6y 33． ②
解：由①得 x 1 (16 4y) ③ 3 代入②得
5 (16 4y) 6y 33 3
解得 y1 2
代入③，得
x6
问题1 你能根据问题中的等量关系列出二元一 次方程组吗？
二元一次方程组解法ppt课件

二元一次方程组解法ppt课件


x 1
所以原方程组的解是
y
1
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
解:由①+②得:
5x=10
x＝2
把x＝2代入①，得： y＝3
x 2
所以原方程组的解是
y
3
直接加减消元法
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
由①+②得: 5x=10
2x-5y=7
①
2x+3y=-1 ②
4、写出方程组的解
随堂练习： 你解对了吗？
1、用代入消元法解下列方程组
⑴
y=2x x=4 x+y=12 y=8
x=y—2-5
⑵
x=5 y=15
4x+3y=65
x+y=11
3x-2y=9
⑶
x=9 ⑷
x=3
y=2 x-y=7
y=0
x+2y=3
能 力 检 验 解二元一次方程组
（1）
2a b 18, a 3b 2.
（2） 2x y 5, 3x 4y 2.
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/21
1
1
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y
的二元一次方程，求m 、n 的值.
解： 根据已知条件可
列方程组：
2m + n = ①
13m – 2n = ②
由①得：1 n = 1 – ③
by ay
3 3
的解是
x 2
y
1
，则 a b 的值是
．
7.已知关于x，y方程组
2x 3x
3y 5y
(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT

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详细描述
代入法的基本步骤是先将一个方程中的变量用另一个方程中 的变量表示出来，然后将其代入另一个方程中，消去一个变 量，得到一个简单的一元一次方程，最后求解这个一元一次 方程即可。
消元法
总结词
通过对方程进行加、减、乘、除等运 算，消去一个变量，得到一个简单的 一元一次方程。
详细描述
消元法的基本步骤是先将两个方程进 行加、减、乘、除等运算，消去一个 变量，得到一个简单的一元一次方程 ，然后求解这个一元一次方程即可。
二元一次方程组的实际应用
应用场景
二元一次方程组在日常生活和生 产中有着广泛的应用，如路程问 题、价格问题、工作效率问题等 。
示例
一个工人加工零件，x小时加工了 y个零件，已知x+y=10, 2x-y=5 ，求该工人加工零件的效率。
02
二元一次方程组的解法
代入法
总结词
通过将一个方程中的变量用另一个方程中的变量表示出来， 从而消去一个变量，得到一个简单的一元一次方程。
详细描述
在距离问题中，我们常常需要计算两地之间的距离、速度和时间等参数。例如，一辆汽车从A地开往B 地，已知速度和时间，需要求出两地之间的距离。通过设立二元一次方程组，我们可以方便地解决这 类问题。
分配问题
总结词
分配问题是二元一次方程组在经济领域的应用，主要涉及到资源的合理分配和最大化利 用。
详细描述
示例
x+y=10, 2x-y=5
二元一次方程组的解法
解法
通过消元法或代入法，将二元一 次方程组转化为一个或两个一元 一次方程，然后求解得到未知数
的值。
消元法
通过加减或代入的方式消去一个未 知数，将二元一次方程组转化为一 元一次方程。
解二元一次方程组-完整版课件

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解：由①，得3（x-2）=7+4（y-1）. ③
把③代入②，得3[7+4（y-1）]-10（y-1）=-25.
解得y=-22. 所以y-1=-23. 将y-1=-23代入③，
得 x 26 1 .
3
∴原方程组的解为
x
26
1 3
,
y 22.
注意点：用代入法解二元一次方程组往往考虑用 整体思想进行换元，使得方程组简单化后再求解.
例
用代入法解方程组
2x-y=5，①
3x+5y=27.②
错答：由①，得y=2x-5. ③ 把③代入①，得2x-（2x-5）=5，得5=5. 所以原方程
无解.
正答：由①，得y=2x-5. ③ 把③代入②，得3x+5（2x-5）=27，解得x=4. 把x=4
x 4,
代入③，得y=3.
所以原方程组的解是
中一个方程变形，并力求变形后的方程比较简单，
这样代入另一个方程后就比较容易化简.
利用整体思想解二元一次方程组
例2
求方程组
3（x-2）-4（y-1）=7，①
9（x-2）-10（y-1）=-25②
的解.
分析：发现方程中x，y都是以x-2，y-1的形式出 现的，若将x-2，y-1看成整体，看成新的未知数， 解关于x-2，y-1的方程组就比较简便.注意点：用“代入法”解方程组时，选择由哪一个
方程变形代入到另一个方程中要注意技巧. 若方程
组中某个未知数在一个方程中的系数是1或-1时，
应用移项法则，变形为此未知数等于另一个未知数
的代数式，往往会给解题带来方便；若方程组的两
个方程中都没有系数是1或-1的未知数，就应将其
第2章 二元一次方程组 2.3 解二元一次方程组（第1课时）
7.2 二元一次方程组的解法课件(共20张PPT)

7.2 二元一次方程组的解法课件(共20张PPT)


3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
等式性质
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 3x 5y 3x 4y = 5 23
①左边
②左边 = ①右边 ②右边
解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
分析: ①左边
②左边 = ①右边 ②右边
拓展
如何利用加减法解方程组35xx
6 4
y y
42 10
通过本节课的学习，你有哪 些收获？
通过本节课的学习，你还有 疑惑吗？
P32 练习：解下列方程组
谢谢！
两个方程
4x+6y=14
只要两边 分别相减就可以消去未知数 x
练一练
（二）用加减法解二元一次方程组。
⑴ 5x+y=7 3x-y=1
⑵ 4x-3y=5 4x+6y=14
答案：xy
1 2
答案：xy
2 1
练一练
3、已知
x 2
y
1
的解，则 a b
是二元一次方程aa组xx Fra bibliotekby by
7 1
的值为（ -1 ）
3x 5y 3x 4y = 5 23
3x 5y 3x 4y 18
注意符号
9y 18 y 2
将y=-2代入①,得 3x 5 2 5
x5
用括号将两个式子相减，注意减去前面是负 号的项，去括号要变号。
解方程组:
3x 3x
5 4
y y
5 23
① ②
解:由①-②得:
9y 18 y 2
问题：利用加减消元法直接解二元一
次方程组的前提条件是什么？

二元一次方程-PPT课件


设他投中了x个两分球、y个三分球，那么 2x+3y=35-10,
即
2x+3y=25.
5
请你设计一张表格，列出这名球 员投中的两分球和三分球的各种 可能情况．
根据你所列的表格，回答下列问题： （１）这名球员最多投中了多少个三分球？ （２）这名球员最多投中了多少个球？ （３）如果这名球员投中了１０个球，那么 他投中了几个两分球？几个三分球？
14
变式：把下列方程写成用含y的代数式表 示x的形式： （1）2x+y=20; (2)2x+3y=25
15
小结与回顾
16
当堂反馈
1、二元一次方程2x-y=3中，当x=2时，
y=
;
二元一次方程
x=
;
1 x y 中 1，当y=-2时，
2
x 2
2、已知 则a=
y.
1
是方程2x+ay=5的解，
10
二元一次方程的解
适合二元一次方程的一对未知数 的值，叫做这个二元一次方程的 一个解．
如x=8,y=3就是方程
x 8
2x+3y=25的一个解，记作
y
3
一个二元一次方程有多少个解？
若在上述两个具体情境中呢？
11
例1、下列方程中,哪些是二元一次
方程?不是的说明理由.
(1) x 2 y 1 3
该队赢了x场，输了y场，那么
2x+y=20
哇！太简单了， 赢５场，输十
场．
3
动动脑筋？你能列出 输赢的所有可能情况
吗？
2x+y=20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
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2x 4x
+ -
3y 5y
= =
1-0的2 解代入方程组aaxx
+ -
by by
= =
2 4
解方程组24xx
+ -
3y 5y
= =
10 -2
得
x y
= =
2 2
x =
将
y
=
2 2
代入方程组aaxx
+ -
by by
= =
2 4
得
2a + 2b = 2 2a - 2b = 4
解得
a
b
= =
3 2 -1
再见
解：根据题意：得
2a+b+2=1
3a-b+1=1
得：
a= -
1 5
b= - 3
5
提升
(2)已知3a3xb2x-y和-7a8-yb7是同类项，求x·y的值。
解：根据题意：得
3x=8-y
2x-y=7
转化为
3x+y=8 2x-y=7
x=3 ∴
y=-1
即xy=-3
提升
(3)已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数 求：m+n的值
∴a=

3 2
，
b=
1 2
2
a+2b=8
(5).已知a、b满足方程组
则a+b= 5
2a+b=7
6.已知二元一次方程ax+by=10的
两则个a=解__为___ _x y_, b= 0_,1_ _x y__ I_m1 .5N,aoge
7. 在等式 yx2bx c 中，当x=-2时，y=5:当x=-1时， y=6.求当x=2时，y的值是多少？
解：根据题意：得 3m+2n-16=0
3m-n-1=0 m=2
解得： n=5
即：m+n=7
大显身手
4.关于x、y的二元一次方程组
ax + by = 2 ax - by = 4
2x + 3y = 10 的解与 4x - 5y = -2
的解相同，求a、b的值
解：根据题意，只要将方程组 ，就可求出a，b的值
诗礼中学----------------
引入
解二元一次方程组的基本思想
是什么？
二元一次方程
消元 一元一次方程 转化
消元的方法有哪些？ 代入消元法：加减消元法
1.用适当的方法解下列方程
3 x – y = 10 x = 3y - 2
6x+5y=25 3x+4y=20
x
2.
解方程组
2 x
3
y 3 y 4
13 2 3 2
No
练一练
Image
解二元一 x3 次 1y方程组 5(xy)2(54y)3x
3.解方 2 x( x 程 2 2)2 (组 y (y 1 )1 )5
做一做
解方 3 6((a a 程 b b)) 组 (2 a (a b)b) 514
提升
方程组的应用
（1） 3x2a+b+2 +5y3a-b+1=8 是关于x、y的二元一次方程 求a、b