巧解二元一次方程组 ppt课件

【例1】解方程组
x=y+3
【解析】将②代入① ，得3（y+3）+2y=14
3y+9+2y=14
5y=5
y=1
将y=1代入②，得x=4 所以原方程组的解是
x=4
y=1
2x+3y=16 【例2】解方程组
①
x+4y=13
【解析】由②，得 将③代入①，得 x=13-4y
②
③
2（13 - 4y）+3y=16 26 –8y +3y =16 -5y=-10 y=2
李明和妈妈买了18元的苹果和梨共5 kg，1 kg苹果售 价4元，1 kg梨售价3元，李明和妈妈买苹果和梨各多少 千克？ 【解析】（1）苹果的重量+梨的重量=5 （2）苹果的总价+梨的总价=18 设买苹果x kg，买梨y kg. x+y=5 列方程组为 4x+3y=18
李明和妈妈到底买了多少苹果，多少梨？要想知道这
1、不要做刺猬，能不与人结仇就不与人结仇，谁也不跟谁一辈子，有些事情没必要记在心上。 2、相遇总是猝不及防，而离别多是蓄谋已久，总有一些人会慢慢淡出你的生活，你要学会接受而不是怀念。 3、其实每个人都很清楚自己想要什么，但并不是谁都有勇气表达出来。渐渐才知道，心口如一，是一种何等的强大! 4、有些路看起来很近，可是走下去却很远的，缺少耐心的人永远走不到头。人生，一半是现实，一半是梦想。 5、没什么好抱怨的，今天的每一步，都是在为之前的每一次选择买单。每做一件事，都要想一想，日后打脸的时候疼不疼。 6、过去的事情就让它过去，一定要放下。学会狠心，学会独立，学会微笑，学会丢弃不值得的感情。 7、成功不是让周围的人都羡慕你，称赞你，而是让周围的人都需要你，离不开你。 8、生活本来很不易，不必事事渴求别人的理解和认同，静静的过自己的生活。心若不动，风又奈何。你若不伤，岁月无恙。 9、与其等着别人来爱你，不如自己努力爱自己，对自己好点，因为一辈子不长，对身边的人好点，因为下辈子不一定能够遇见。 10、你迷茫的原因往往只有一个，那就是在本该拼命去努力的年纪，想得太多，做得太少。 11、有一些人的出现，就是来给我们开眼的。所以，你一定要禁得起假话，受得住敷衍，忍得住欺骗，忘得了承诺，放得下一切。 12、不要像个落难者，告诉别人你的不幸。逢人只说三分话，不可全抛一片心。 13、人生的路，靠的是自己一步步去走，真正能保护你的，是你自己的选择。而真正能伤害你的，也是一样，自己的选择。 14、不要那么敏感，也不要那么心软，太敏感和太心软的人，肯定过得不快乐，别人随便的一句话，你都要胡思乱想一整天。 15、不要轻易去依赖一个人，它会成为你的习惯，当分别来临，你失去的不是某个人，而是你精神的支柱;无论何时何地，都要学会独立行走 ，它会让你走得更坦然些。 16、在不违背原则的情况下，对别人要宽容，能帮就帮，千万不要把人逼绝了，给人留条后路，懂得从内心欣赏别人，虽然这很多时候很难 。 17、做不了决定的时候，让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾! 18、不要太高估自己在集体中的力量，因为当你选择离开时，就会发现即使没有你，太阳照常升起。 19、时间不仅让你看透别人，也让你认清自己。很多时候，就是在跌跌拌拌中，我们学会了生活。 20、命运要你成长的时候，总会安排一些让你不顺心的人或事刺激你。 21、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 22、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。 23、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。 24、奋斗的路上，时间总是过得很快，目前的困难和麻烦是很多，但是只要不忘初心，脚踏实地一步一步的朝着目标前进，最后的结局交给 时间来定夺。 25、你心里最崇拜谁，不必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己。 26、运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡 慕那些总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。 27、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的 生命才真正开始。 28、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 29、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要 在路上，就没有到不了的地方。 30、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。 31、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 32、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎 接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。

矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵的性质，将二元一次方程组转化为线性方程组进行求解。
详细描述
矩阵法的基本思路是将二元一次方程组转化为线性方程组，然后利用矩阵的运算性质和 逆矩阵的性质求解。具体步骤包括：将二元一次方程组写成矩阵形式，然后对矩阵进行 变换，将其化为行最简形式，得到线性方程组；然后利用逆矩阵的性质求解线性方程组
示例
x + y = 1, 2x - y = 3
二元一次方程组的解法概述
01
02
03
消元法
通过加减或代入法消去一 个未知数，将二元一次方 程组转化为一元一次方程 求解。
替换法
通过一个方程中的未知数 表示另一个未知数，然后 将其代入另一个方程求解 。
矩阵法
利用矩阵表示方程组，通 过矩阵运算求解。
二元一次方程组的应用场景
化学问题
在化学中，有些问题涉及到两种化学物质之间的反应，如反 应速率和反应物浓度等，这时也可以用二元一次方程组来表 示和解决。
04
二元一次方程组的扩展知识
二元一次方程组的几何意义
平面直角坐标系
二元一次方程组可以表示平面上的点集，通过坐标系将代数问题与几何问题相互 转换。
直线交点
二元一次方程组的解对应于直线交点，即两个方程的公共解。
二元一次方程组的解的个数与性质
解的个数
二元一次方程组可能有无数解、唯一 解或无解，取决于方程组中方程的系 数和常数项。
解的性质
解的个数与方程组系数矩阵的秩和增 广矩阵的秩有关，通过比较两者可以 判断解的情况。
二元一次方程组的解的判定定理
定理内容
如果二元一次方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有唯一解；如果秩不相等，则该 方程组无解或有无数解。

步骤
方法
例子
转化法
转化法是将二元一次方程组转化为已经学过的一元一次方程，通过求解一元一次方程得到二元一次方程组的解的方法。
概念
将二元一次方程组转化为已经学过的一元一次方程。
步骤
加减消元法、代入消元法等。
方法
x+2y=5①，2x+3y=7②，①×2-②得：y=-1，把y=-1代入①得：x=3。
例子
什么是二元一次方程组
二元一次方程组的重要性
二元一次方程组是代数学中基本的方程组之一，是初中数学的重要内容之一。它不仅是解决实际问题的工具，也是进一步学习代数、几何等学科的基础。因此，掌握二元一次方程组的解法对于初中生来说是非常重要的。
二元一次方程组的分类
二元一次方程组可以分为三类：一般式、标准式和二元一次方程式的图形表示。其中，一般式是基本的表达形式，标准式是为了方便计算而引入的一些变形，而二元一次方程式的图形表示则可以直观地展示方程组的解。
对二元一次方程组解法的总结
定义和解释
总结了二元一次方程组的基本定义和解释，强调了其重要性和在数学中的核心地位。
解题步骤
详细阐述了解决二元一次方程组的步骤，包括消元法、代入法等，并解释了其背后的逻辑和原理。
例题解析
通过具体例题的解析，展示了如何运用二元一次方程组解决实际问题，并强调了解题的注意事项和易错点。
在科学领域的应用
习题与解答
04
总结词
理解方程组，选择合适的解法
详细描述
首先需要理解二元一次方程组的概念和组成，明确未知数的个数和方程的个数。然后，根据方程组的特点，选择合适的解法，如代入消元法或加减消元法。
习题一：解题思路&问题建模
总结词

CHAPTER 04
二元一次方程组的解法总结与提高
二元一次方程组解法的比较与选择
消元法
通过加减消元或代入消元，将二 元一次方程组转化为单个的一元
一次方程，求解方便。
换元法
通过引入新的变量，将复杂的二元 一次方程组简化，便于求解。
矩阵法
利用矩阵的运算性质，将二元一次 方程组转化为线性方程组，求解效 率高。
二元一次方程组的解法 课件
CONTENTS 目录
• 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的实际应用 • 二元一次方程组的解法总结与提高
CHAPTER 01
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
定义
二元一次方程组是指包含两个未知数的一次方程组，通常表示为 ax + by = c 和 dx + ey = f，其中 a, b, c, d, e, f 是已知数，x 和 y 是未知数。
研究多元一次方程组的解法，探索其与二元一次 方程组的联系和区别。
高次方程组
研究高次方程组的解法，探索其与一次方程组的 异同点。
实际应用
结合实际问题，研究二元一次方程组的实际应用 ，提高解决实际问题的能力。
THANKS
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二元一次方程组解法的技巧与注意事项
观察法
通过观察方程组的特点，选择合 适的解法，避免复杂的计算过程
。
验证答案
解出方程组后，需要对答案进行 验证，确保其符合原方程组的条
件。
理解方程组的意义
在求解过程中，需要理解方程组 的实际意义，避免出现不符合实
际情况的解。
二元一次方程组解法的进一步研究与探索
多元一次方程组

答案解析
答案解析1
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
答案解析2
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
几何问题
例如，在计算几何图形的面积、 周长或体积时，需要使用二元一 次方程组来表示相关变量之间的
关系。
代数问题
例如，在解决代数方程组时，需要 使用二元一次方程组来表示未知数 之间的关系。
概率统计问题
例如，在计算概率分布或统计数据 时，需要使用二元一次方程组来表 示相关变量之间的关系。
科学中的二元一次方程组问题
化学反应
在化学反应中，常常需要用到 二元一次方程组来表示反应物 和生成物的关系。
几何问题
在解决涉及两个未知数的几何 问题时，如两点之间的距离、 角度等，常常需要用到二元一
次方程组。
02
二元一次方程组的解法
代入消元法
通过代入一个方程中的未知数，将其表示为另一个变量的函数，从而简化方程组的方法。
代入消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。首先，选择一个方程中的未知数，用另一个未知数表示出来，然后将其代 入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。接着解这个一元一次方程，得到一个变量的值，再将其代回 原方程中求得另一个变量的值。
01
02
03
购物问题
例如，在购买商品时，需 要计算不同商品的价格和 折扣，以确定最佳购买方 案。
交通问题

6.2 二元一次方程组的解法
第二课时 加减消元法
- .
温故知新
二元一次方程组的解题思路是什么？什么是代入消元法？代入消元法的解题步骤是怎样的？
观察下列二元一次方程组的，找特点
5x+3y=16 ①
2x-3y=-2 ②
解：
①+ ②得，
7x=14
3X-4Y=10 ①5X+6Y=42 ②
分析：必须设法使同一未知数的系数的绝对值相等。
解方程组
大家想一想：直接相加减不能消去一个未知数怎么办呢？
解方程组
这道题的特点：不能直接用加减消元法，所以我们必须先对方程组进行变形。使其中同一个未知数的系数的绝对值相等，须找出这个未知数的系数的绝对值的最小公倍数。
二元一次方程组
一元一次方程
代入消元
加减消元
数学思想：
化难变易，化繁变简。
在解二元一次方程组时，要根据题目的特征，选择适当的解法。
2、已知方程组
的解是
求m的值
讨论：
计算题
解：
原式可化为
①
②
变形得
3x+2y=20 ③
-3x-9y=36 ④
-3x-9y=36 ④
③+
④
得
y=-8
把y=-8代入③得
解二元一次方程组
x+y=10 ①
x-2y=4 ②
解：
把①变形得，
2x+2y=20
③
③+②得，
3x=24
x=8
把x=8代入① 得，
y=2
所以，原方程组的解为，
x=8
y=2
5、检验
加减消元法解题步骤：

x 1
所以原方程组的解是
y
1
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
解:由①+②得:
5x=10
x＝2
把x＝2代入①，得： y＝3
x 2
所以原方程组的解是
y
3
直接加减消元法
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
由①+②得: 5x=10
2x-5y=7
①
2x+3y=-1 ②
4、写出方程组的解
随堂练习： 你解对了吗？
1、用代入消元法解下列方程组
⑴
y=2x x=4 x+y=12 y=8
x=y—2-5
⑵
x=5 y=15
4x+3y=65
x+y=11
3x-2y=9
⑶
x=9 ⑷
x=3
y=2 x-y=7
y=0
x+2y=3
能 力 检 验 解二元一次方程组
（1）
2a b 18, a 3b 2.
（2） 2x y 5, 3x 4y 2.
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/21
1
1
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y
的二元一次方程，求m 、n 的值.
解： 根据已知条件可
列方程组：
2m + n = ①
13m – 2n = ②
由①得：1 n = 1 – ③
by ay
3 3
的解是
x 2
y
1
，则 a b 的值是
．
7.已知关于x，y方程组
2x 3x
3y 5y

学习目标
掌握二元一次方程 组的概念及解题方 法
了解解二元一次方 程组的多种方法， 提高解题能力和思 维水平
能运用二元一次方 程组解决实际问题
02
定义和定理
二元一次方程组的定义
线性方程
二元一次方程组中的每个方程都是线性方程，即 等式左边的未知数和常数项的次数均为1。
两个方程
二元一次方程组中包含两个方程，未知数的个数 为2。
复杂二元一次方程组
高阶方程组
例如，方程组 `x^2 + y^2 = 1` 和 `x^2 - y^2 = 1` 可以合并为 `(x^2 - 1)(x^2 + y^2) = 0`，解得 `x=\pm 1`，再代入第 二个方程得到 `y=0` 或 `y=2`。
VS
非线性方程组
例如，方程组 `x^2 + y^2 = 4` 和 `x - y = 2` 可以转化为 `(x-2)^2 + y^2 = 4`， 解得 `x=y=2`。
加减消元法
通过两个方程的加减运算，消去其中一个未知数，从而求解出另 一个未知数的值。
参数消元法
将方程组中的两个方程用一个参数表示，通过对参数的运算实现 消元，从而求解出未知数的值。
解法的选择建议
当方程组中系数较简单时，推荐使用代入消元法 。
当两个方程之间存在明显的倍数关系或加减关系 时，推荐使用加减消元法。
加减法
概念
加减法是通过对方程组中的两个方程进行变形，将两个方程 相加或相减得到一个一元一次方程，进而求解出未知数的方 法。
步骤
将方程组中的一个方程乘以一个系数，另一个方程乘以另一 个系数，然后将两个方程相加或相减得到一个一元一次方程 ，进而求解出未知数的值。

详细描述
代入法的基本步骤是先将一个方程中的变量用另一个方程中 的变量表示出来，然后将其代入另一个方程中，消去一个变 量，得到一个简单的一元一次方程，最后求解这个一元一次 方程即可。
消元法
总结词
通过对方程进行加、减、乘、除等运 算，消去一个变量，得到一个简单的 一元一次方程。
详细描述
消元法的基本步骤是先将两个方程进 行加、减、乘、除等运算，消去一个 变量，得到一个简单的一元一次方程 ，然后求解这个一元一次方程即可。
二元一次方程组的实际应用
应用场景
二元一次方程组在日常生活和生 产中有着广泛的应用，如路程问 题、价格问题、工作效率问题等 。
示例
一个工人加工零件，x小时加工了 y个零件，已知x+y=10, 2x-y=5 ，求该工人加工零件的效率。
02
二元一次方程组的解法
代入法
总结词
通过将一个方程中的变量用另一个方程中的变量表示出来， 从而消去一个变量，得到一个简单的一元一次方程。
详细描述
在距离问题中，我们常常需要计算两地之间的距离、速度和时间等参数。例如，一辆汽车从A地开往B 地，已知速度和时间，需要求出两地之间的距离。通过设立二元一次方程组，我们可以方便地解决这 类问题。
分配问题
总结词
分配问题是二元一次方程组在经济领域的应用，主要涉及到资源的合理分配和最大化利 用。
详细描述
示例
x+y=10, 2x-y=5
二元一次方程组的解法
解法
通过消元法或代入法，将二元一 次方程组转化为一个或两个一元 一次方程，然后求解得到未知数
的值。
消元法
通过加减或代入的方式消去一个未 知数，将二元一次方程组转化为一 元一次方程。

1．二元一次方程及二元一次方程组 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队 胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比 赛中得到16分，那么这个队胜负分别是多少？
问题1 依据问题如何列一元一次方程？
解：设胜x场，则负（10－x）场. 2x+（10－x）=16.
1．二元一次方程及二元一次方程组
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负， 每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队 为了争取较好名次，想在全部10场比赛中 得16分，那么这个队胜负场数应分别是多 少?
含有两个未知数，每个未知数的项的次数 都是1，并且一共有两个方程，像这样的 方程组叫做二元一次方程组．
判断下列方程组哪些是二元一次方程组？
A.
x 2 y 5 3x 1 0 1B.x 3y 0 C.x 4 y 5
x y 0 3x 1 5 D.3y z 0E.2 y 3 0
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫
做二元一次方程的解。
X Y
2．二元一次方程、二元一次方程组的解
你能告诉 追还问可1以取如哪果些不值考？虑这方些程值表是示有的限实的际吗意？义，大检家验如它何们
相 1：未知数的个数都是2 同 2：含有未知数的项最高次数是1次 点 3：含有未知数的项是整式（即分母不含
有未知数）
➢含有两个未知数,并且所含未知数的项
的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
请判断下列各方程中，哪些是二元 一次方程，哪些不是？并说明理由。
(1)2x+5y=10 (2) 2x+y+z=1
y y
8，的解： 10

3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
等式性质
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 3x 5y 3x 4y = 5 23
①左边
②左边 = ①右边 ②右边
解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
分析: ①左边
②左边 = ①右边 ②右边
拓展
如何利用加减法解方程组35xx
6 4
y y
42 10
通过本节课的学习，你有哪 些收获？
通过本节课的学习，你还有 疑惑吗？
P32 练习：解下列方程组
谢谢！
两个方程
4x+6y=14
只要两边 分别相减就可以消去未知数 x
练一练
（二）用加减法解二元一次方程组。
⑴ 5x+y=7 3x-y=1
⑵ 4x-3y=5 4x+6y=14
答案：xy
1 2
答案：xy
2 1
练一练
3、已知
x 2
y
1
的解，则 a b
是二元一次方程aa组xx Fra bibliotekby by
7 1
的值为（ -1 ）
3x 5y 3x 4y = 5 23
3x 5y 3x 4y 18
注意符号
9y 18 y 2
将y=-2代入①,得 3x 5 2 5
x5
用括号将两个式子相减，注意减去前面是负 号的项，去括号要变号。
解方程组:
3x 3x
5 4
y y
5 23
① ②
解:由①-②得:
9y 18 y 2
问题：利用加减消元法直接解二元一
次方程组的前提条件是什么？

特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 加减
消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解 第16页/共写19页出原方程组的解
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤：变形
同一个未知数的系 数相同或互为相反数
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么一？元
主要步骤：
变形
用一个未知数的代数式
表示另一个未知数
代入
消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
第1页/共19页
怎样解下面的二元一次方程组呢？
2x 5y 13 ① 3x 5y 7 ②
当同一个未知数的系数相同时，用减法； 当同一个未知数的系数互为相反数时，用 加法。
第10页/共19页
一.填空题：
2x+7y=17
1.已知方程组
两个方程
4x-7y=6
只要两边 分别相加 就可以消去未知数 y
23x-9y=18
2.已知方程组
两个方程
23x+6y=－12
只要两边 分别相减就可以消去未知数 x
第13页/共19页
四. 用加减法解方程组
3x+2y=9① （1）
3x-5y=2②
（2）
2s+5t=
1 2
①
3s-5t=
1 3
②
x=
7 3
y= 1
s=
1 6