傅里叶级数通俗解析
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傅里叶级数
本文意在阐述傅里叶级数是什么,如何通过数学推导得出,以及傅里叶级数 代表的物理含义。
1. 完备正交函数集
要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果 n 个函数卿(1),化(1)1,b Kl ) 构成一个函数集,若这些函数在区间(th 12)上满足
j £卩心)仞MM = {监°
如果是复数集,那么正交条件是
j tpi(l)(p j ⑴山—
{K ]"
甲;⑴为函数舸(I )的共轭复函数。
有这个定义,我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数 集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。
先证明三角函数集:
设恤(I )COS mM ,5i (L )- cos m (ol ,把忸⑴,畅⑴代入⑴得
ft +H
I COS ticoleos iiiwl dt J L,
当n 工討时
=J :綁卜恥(口 十
十 COS tn - m)wt| di
]ITsL (n+ ni} + (I1-T11>O J =0 (n,m=1,2,3,…;n 壬 ml ) 当n=m 时 再证两个都是正弦的情况 设加(0 = sin 阮(0 ’in mst ,把曲1).帥⑴|代入⑴得 / t"T tc ~2[ fn + Tr>n) =J : * *cos2no>t dt _T 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设加⑴=eos 1131,加(0 u sin msl ,扌旳八⑴,加0)代入⑴得 Sr 『S + T q>i(t](pj(Odt = I COS nct)lsiii uicot 41 L tip =^丿;:"1甫115 + m)fot - sin(n - ni)o>tl dt 1 r co?-(II + niKot cos5 "zl " (n + + (n - III )(D . =0 (n,m 为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况: 两个皆为余弦函数相乘;两个皆 为正弦函数相乘;一个为正弦函数,另一个为余弦函数相乘;三种情况皆满足正 交函数集的定义,所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以 从n, m 的取值为任意整数可以得出,三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集, 而根据欧拉公式,我们容易联想到复指 数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设讹恥⑴™^,则0;⑴-恤伽◎ 0; W 代入⑵得 加;⑴山=叫伽恤 当时,根据欧拉公式 / / S+T tc 当n 盖血时 =丿:"|凶£ (n 十 in)«t -心(11 - tti)曲 I 山 * to ]|sui (n+ ni)cot siii tn - tc =0 (n,m=1,2,3,…;n 士 n 』) 当n=m 时 (n ■+ m)co =丿:“心朋(n - m )血+ j 如用做n - S131 (n - mj&r * we 就n - m>artl h T T -(n - n 讹 'J (11 - «1)帅 1 当n=m 时, (n ;m=1;2;3;…,n = m ) 所以,复指数函数集也是正交函数集。因为 n, m 的取值范围是所有整数, 所以复指数函数集是完备的正交函数集。 明明是讨论傅里叶级数,为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。因为, 在自然界中,没有规则的信号,比如说找一个正弦信号,是完全不可能找到的。 有的是一堆杂乱的信号,无规律的波形。我们要研究它,基本的思想是把它拆分, 分解成一个一个有规律的可研究的波形,这些波形能用数学表达式准确表达出 来。 把一个复杂的信号分解的过程,可以理解成用已知的可以准确表达的函数表 示他,比如一个复杂的信号f (X )o|把它分解,就是 f (x ) -in (piO ) + 112>P2(C +…+】WnW 其中0(t ),徑⑴,…是我们所熟悉的函数,比 如二次函数,一次函数,三角函数,指数函数等等。我们的任务就是求出所分解 出来的函数,以及前方的系数n,然后对其研究。那么怎么求呢。完备正交函数 集给了我们提供了一种方法。完备正交函数集就像是空间直角坐标系, 集合里面 的每一个元素相当于坐标系的一条轴,我们知道空间直角坐标系只有 3条轴,3 条轴,足够表示空间上所有点的位置,不需要再多一条,但是如果只有两条轴, 又不能准确地表达立体空间上所有的点, 所以3条就是完备的。对于一个函数集 的完备性也可以这么理解,表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元 素的函数就可以表达清楚。再说其正交性,所谓正交,就是函数集里两个不同函 数之乘积的积分为0,正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。 既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集, 那么用其中的一种函 数集都可以表达周期信号。 用复指数函数集来表示一个复杂信号fd ): f(l) =ni(pi(l) + I12(p2(t) + …工二小恤(t) 其中,QnW =严t (n=1,2,3,…;n)。 用三角函数集表示一个复杂信号KO : f(t) = no + + a :cos2(ix)t + …+ bjsiiiwol + bzsmtoot + …” =ao + £二 jbiLCg (uft^cit) + biisinCnrt>ot)l =0 (n,m=1,2,3,…,n 盘 m ) =1