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数学分析傅里叶级数及系数

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傅里叶级数收敛定理及其推论

傅里叶级数收敛定理及其推论
傅里叶级数由正弦和余弦函数构成，通过将原始函数展开成一系列正弦 和余弦函数的线性组合，可以表示任意周期函数。
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成 分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行 频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数， 且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。

数学分析傅里叶级数及系数

数学分析傅里叶级数及系数
数学分析傅里叶级数及 系数
性 质 1 a,b,c R n, , R,则 有 1） 交 换 律 ： a b b a；
2） 结 合 律 ： a b c a b c ；
3） 分 配 率 ：
a b a b ,
a a a, a a.
定 义 2在 R n 中 定 义 了 向 量 的 加 法 和 数 乘 运 算 ， 称 R n 为 n 维 向 量 空 间 .
a
b
2
a
b,a
b
a
,
a
2
a,
b
b,
b
2
a 2 a
b
b
2
a
b
2
，
因此结论得证。
定义5(向量内积运算)： 任意 a, b Rn不为零向量,
a (a1, a2 , , an ), b (b1, b2 , , bn )，
定义两个向量的夹角为
a b
cos(a, b)
ab
a1b1 a2b2 anbn a12 a22 an2 b12 b22
定 理 1 对 任 意 集 合 E R n ,E o 为 开 集 .
定理2(开集运算性质) 1)Rn , 为开集合;
2)设E
,
I为开集合族,则
I
E为开集;
n
3)设Ei ,i 1,2,
,
n为开集,则 i1
Ei为开集.
证明:X
I
E ,则E1
I
E , X E1 ,
因此存在r>0,使得
B
X;r
1)Ea,bc,d; 2)Ex, y xy0;
3)Ex,y xy0;4)Ex,y x,y均整;
5)Ex,
y

数学分析之傅里叶级数

数学分析之傅里叶级数

的叠加
n
n
y y k A ksin (kx k).
k 1
k 1
(2 )
由于简谐振动 y k 的周期为T kT2π,k1,2, ,n,
所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠
加就得到函数项级数
A 0 A n sin (nxn ).
n 1
(3 )
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
π
( 6 ) (7)
而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零, 即
π ππ π1 co 2d sx 2n x2 dx π ππsin2nxdxπ,
(8)
若两个函数 与 在 [ a , b ] 上可积, 且
ab(x)(x)dx0
则称 与 在 [ a , b ] 上是正交的, 或在 [ a , b ]上具有正
有函数具有共同的周期 2 π . 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
π
c o s n x d x s i n n x d x 0 ,
π
π
πππcsionsm mxxscionsnnxxddxx00((m mnn)),,
π π
cosmxsinnxdx0.
(9)式逐项积分得
π
f ( x)dx π a 2 0 π π d x n 1 (a n π π c o s n x d x b n π π s in n x d x ) .
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
ππf(x)dxa 202πa0π,
即
a0
1 π
交性. 由此三角函数系(4)在 [π, π] 上具有正交性.

数学分析傅立叶级数习题讲解

数学分析傅立叶级数习题讲解

第十五章 傅里叶级数一．填空题1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππx x x x f 0,2,0,0,0,2)(，则)(x f 的傅里叶系数=n a .2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数()=++∑∞=1sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设,0(),0,0x x f x x ππ≤≤⎧=⎨-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在π=x 处收敛于 .4. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<=<<--=ππx x x x x x f 0,,0,0,0,)(22，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .5. 设⎩⎨⎧<≤<≤-50,3,05,0)(x x x f ，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .6. )(x f 是以π2为周期的连续函数，且在],[ππ-上按段光滑，则()=++∑∞=1sin cos 2n n n nx b nx a a . 二．选择题1.下列说法正确的是（ ）.A 若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=ππnxdx x f b n sin )(， ,3,2,1=n.B 若)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=ll n dx lxn x f a πcos)(， ,3,2,1=n .C 若)(x f 是以π2为周期的偶函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可展开成余弦级数∑∞=1cos n n nx a ..D 若)(x f 是以π2为周期的奇函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可展开成正弦级数∑∞=1sin n n nx b .2.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππx x x x f 0,4,0,0,0,4)(，则下列说法错误的是（ ）.A )(x f 在),(ππ-上可以展开成傅里叶级数..B )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4π. .C )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于0. .D )(x f 的傅里叶系数0=n a .3.设函数)(x f 满足)()(x f x f -=+π，则该函数的傅里叶级数具有性质（ ）.A 0=n a .B 0=n b .C 022==n n b a .D 01212==--n n b a4.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<<--=ππx x x f 0,4,0,4)(，则下列说法正确的是（ ）.A )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于4..B )(x f 的傅里叶展式在π-=x 处收敛于-4. .C )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4. .D )(x f 的傅里叶展式在π±=x 处均收敛于0.5.将⎩⎨⎧<<-≤<-=42,3,20,1)(x x x x x f 在)4,0(上展开成余弦级数，则下面关说法错误的是（ ）.A )(x f 的傅里叶展式在2=x 处收敛于-1..B )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于1. .C )(x f 的傅里叶展式在4=x 处收敛于1. .D )(x f 的傅里叶展式在3=x 处收敛于1.6. 若将函数x x f =)(在)2,0(内展成正弦级数，则下列说法正确的是（ ）.A 40=a.B )(x f 的正弦级数展式在2=x 处收敛于2. .C 当)2,0(∈x 时，展成的正弦级数收敛于)(x f 本身. .D )(x f 在)2,0(内不能展成余弦级数 三．判断题1. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],[ππ-上的正交函数系. ( )2.若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数收敛于)(x f 本身. （ ）3.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成傅里叶级数. （ ）4.函数)(x f 是在],[ππ-上的周期函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成正弦级数. （ ）5.函数)(x f 的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值. ( )6.设函数,0(),0,0x x f x x ππ≤≤⎧=⎨-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在x π=-处收敛于0.( )7. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],0[π上的正交函数系. ( ) 8.x x f =)(在)2,0(上不能展成余弦级数. ( )9.2cos )(xx f =在],0[π上不能展成正弦级数. ( )10.若级数()∑∞=++10||||2||n n n b a a 收敛，则级数()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个数轴上一致收敛. ( ) 四．计算题1.（1）将2)(xx f -=π在]2,0[π上展开成傅里叶级数；（2）利用展开式证明： +-+-=71513114π2.将x x f =)(在)1,1(-上展开成傅里叶级数.3.（1）将x x f =)(在]1,0[上展开成余弦级数； （2）根据展开式求()211.21n n ∞=-∑4.将x e x f =)(在],0[π上展开成正弦级数.5.求⎩⎨⎧<≤<<-=T x x T C x f 0,0,0,)(（C 是常数）在),[T T -上的傅里叶展开式.五．证明题1.设)(x f 在],[ππ-上可积或绝对可积，若对],[ππ-∈∀x ，成立)()(x f x f =+π，证明：01212==--n n b a .2.设周期为π2的可积函数)(x f 在],[ππ-的傅里叶系数为n n b a ,，函数)(x g 的傅里叶系数为n n b a ~,~，且)()(x f x g -=，证明：n n n n b b a a ==~,~.3.根据2)1()(-=x x f 在)1,0(的余弦级数展开式证明631211222π=+++ .4.已知帕萨瓦尔等式为∑⎰∞=-++=122202)(2)]([1n n n b a a dx x f πππ，（n n b a ,为)(x f 的傅里叶系数），利用),(,cos )1(431222πππ-∈-+=∑∞=x nx n x n n 证明9031211444π=+++ . 5.已知),(,cos )1(431222πππ-∈-+=∑∞=x nx nx n n，利用逐项积分法证明3x 在),(ππ-的傅里叶级数为x n n n n sin )6()1(21322∑∞=--π第十六章——第十七章一、判断题1、设平面点集{}(,),D x y x y Z =∈，则(0,0)为其内点。

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-傅里叶级数(圣才出品)

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-傅里叶级数(圣才出品)

理 13．14（逐项求导）知
g（x），所以级数
的和函数 S（x）
有连续的导函数 g（x）．
§2 以 2l 为周期的函数的展开式
1．求下列周期函数的傅里叶级数展开式： （周期π）； （周期 1）；
解：（1）将 f（x）进行周期延拓，又因 f（x）在（0，2π）内按段光滑，故由收敛定 理，f（x）可展开为傅里叶级数，
所以在区间（0，2π）内，有
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（2）在[－π，π]上 所以
所以在区间（－π，π）内 在 x＝π或 x＝－π时，上式右端收敛于 所以在闭区间[－π，π]上
（3）
8 / 28
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台所以，在（0，2π源自内所以，在（－π，π）内 故
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故 所以，在（－π，π）内
故 从而在区间（－π，π）内
及其周期延拓的图像如图 15-3 所示，
显见 因为
图 15-3 在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
所以在（－π，π）内， （ii）函数 f（x）及其周期延拓的图像如图 15-4 所示，
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所以
时
当 x＝0 时，上式的右端收敛到 0．
（1）当
时，由于
，因此
（2）因为 所以
（3）
时，因
，故
所以
4．设函数 f（x）满足条件：f（x＋π）＝－f（x），问此函数在（－π，π）上的傅里叶 级数具有什么特性．

数学分析2部分习题解析(傅里叶级数部分)

数学分析2部分习题解析(傅里叶级数部分)

数学分析2部分习题解析傅里叶级数部分第3节部分习题1、设f 以2π为周期且具有二阶连续的导数，证明f 的傅里叶级数在(),-∞+∞上一致收敛于f 。

证明由条件知，f 一定是以2π为周期的连续函数且在一个周期区间[],ππ-上按段光滑，所以由收敛定理得，在(),-∞+∞上有()011cos sin ()2n n n a a nx b nx f x ∞=++=∑，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。

由三角级数一致收敛的判别法，下证()0112n n n a a b ∞=++∑收敛即可。

事实上，记0a '，n a '，nb '为导函数()f x '的傅里叶系数，由()f x 与()f x '的傅里叶系数的关系得0a '=，n n a nb '=，n n b na '=-。

所以，()()22211112n n n n n n a b b a a b n n n ⎛⎫''''+=+≤++ ⎪⎝⎭。

又由傅里叶系数满足的贝塞尔不等式得，()()()221nn n a b ∞=''+∑收敛，再注意到211n n∞=∑收敛，所以()0112n n n a a b ∞=++∑收敛，故结论成立。

2、设f 为[],ππ-上的可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于f ，则成立帕塞瓦尔等式：()22220111()d 2n n n f x x a a b πππ∞-==++∑⎰，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。

证明由f 在[],ππ-上可积得，f 在[],ππ-上有界，从而由题设可得()2011()()cos ()sin ()2n n n a f x a f x nx b f x nx f x ∞=++=∑，在[],ππ-上一致成立。

《数学分析》第十五章 傅立叶级数


1 22

1 32

1 42

,
2


4

1
2
4
,

1
2

2 , 6
2

1 3

2 , 2432 1
2 . 12
例 3 设f ( x)是以2为周期的连续函数，且
f ( x) a0
2 试证明：1



n1

f

(an cos nx 2( x)dx
第十五章 傅立叶级数
15.1 傅立叶级数 15.2 正弦级数与余弦级数 15.3 以 为周期的函数的展开式 15.4 收敛定理的证明
15.1 傅立叶级数
一、问题的提出 二、三角级数 三角函数系的正交性
三、函数展开成傅里叶级数
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)

1,

1,
当 t 0 当0 t
sin nx)
问题:
f
(x)
条件?
a0 2


(an
n1
cos nx

bn
sin nx)
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x)是以2为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
f
( x)sin nxdx]
n1


f 2( x)dx

数学分析课件 傅里叶级数


03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。

《傅里叶级数》课件


傅里叶系数： a_n和b_n，可 以通过积分计算 得到
傅里叶级数的收 敛性：对于满足 一定条件的函数， 傅里叶级数收敛 于该函数
傅里叶级数的计算步骤
傅里叶级数的计算实例
实例：计算正弦函数的傅里 叶级数
计算步骤：确定周期、确定 频率、确定振幅、确定相位
傅里叶级数的定义：将周期函 数分解为无穷多个正弦和余弦 函数的和
傅里叶级数未来的研究方向与挑战
傅里叶级数的快速算法研究 傅里叶级数的应用领域拓展 傅里叶级数的理论研究与证明 傅里叶级数的计算复杂性与优化
感谢您的观看
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实例：计算余弦函数的傅里 叶级数
实例：计算三角函数的傅里 叶级数
实例：计算复杂函数的傅里 叶级数
傅里叶级数的应 用实例
信号处理中的应用
滤波器设计：傅里叶级数可以用于设计各种滤波器，如低通滤波器、高通滤波器等。 信号分析：傅里叶级数可以用于分析信号的频率成分，如分析信号的频谱、功率谱 等。
信号处理：傅里叶级数可以用于处理信号，如信号的压缩、增强、去噪等。
傅里叶级数的周期性
傅里叶级数是一种周期函数 周期性是傅里叶级数的基本性质之一 周期性是指函数在一定区间内重复出现 周期性是傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域里叶级数的展开式
傅里叶级数的定 义：将周期函数 分解为无穷多个 正弦函数和余弦 函数的线性组合
傅里叶级数的展 开式：f(x) = a_0 + Σ[a_n * cos(nωx) + b_n * sin(nωx)]
数值分析中的应用
傅里叶级数在信号处理中的应用 傅里叶级数在图像处理中的应用 傅里叶级数在音频处理中的应用 傅里叶级数在金融数据分析中的应用
其他应用领域

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛1. 傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，对于描述周期性函数的性质和变化规律具有非常广泛的应用。

而傅里叶系数则是描述傅里叶级数的系数，关于傅里叶级数的收敛性和傅里叶系数的收敛性也是一个非常重要且有趣的数学问题。

2. 让我们来了解一下什么是傅里叶级数和傅里叶系数。

傅里叶级数是指一种表示周期函数为正弦和余弦函数之和的级数，而傅里叶系数则是指在傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。

这里需要特别注意的是，傅里叶级数和傅里叶系数是通过对原始函数进行周期延拓和展开得到的，因此傅里叶级数和傅里叶系数的性质与原始函数的性质密切相关。

3. 接下来，让我们来研究傅里叶级数的收敛性。

傅里叶级数的收敛性是指在什么条件下，傅里叶级数对原始函数进行逼近的效果好，即部分和能逼近原函数。

而傅里叶系数绝对收敛则是指傅里叶级数的系数在绝对值意义下收敛。

根据数学理论，对于绝对收敛的级数，其部分和序列是收敛的，且收敛于该级数的和。

4. 当傅里叶系数绝对收敛时，可以推导出傅里叶级数在每一点收敛于原函数的平均值。

这个结论对于信号处理、图像处理、物理学等领域有着重要的应用。

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛的结论对于理解和应用傅里叶分析具有重要意义。

5. 个人观点和理解：傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛这一结论的证明涉及到一些复杂的分析和变换技巧，需要对傅里叶级数的性质进行详细的研究和推导。

然而，一旦理解了这个结论，就能够更深刻地理解傅里叶分析的精髓，并将其应用到实际问题中去。

6. 总结回顾：在本文中，我们对傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛这一重要结论进行了深入的讨论。

通过对傅里叶级数和傅里叶系数的定义和性质进行梳理和分析，我们得出了傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛的重要结论。

这一结论对于理解傅里叶分析的本质和应用具有重要的意义。

以上就是我根据您提供的主题“傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛”撰写的文章，希望对您有所帮助。

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1）正定性：ar, ar 0, ar, ar =0 ar=0
2）对称性： a ,
b
b,
a,
3）线性性： a,
1b
2
c
1
a,
b
2
a,
c
4）分配率： a,
b
c
a,
b
a,
c
定义3： 在n维向量空间Rn定义内积运算， 称为欧几里得（Euclid）空间.
定义 4： ar Rn,ar (a1,a2,L ,an),定义向量的长度（或者范数）
Bo A;r X 0 X A r, X , A Rn .
定义1（集合有界）设集合E Rn,如果存在r 0,使得
E B O;r ，则称集合E有界.
定义2（开集合）设集合E Rn , E,如果存在r 0,使得
B O;r ，则称为集合E的内点.E的所有内点的集合记为
Eo，如果Eo =E，则称E为开集合.
U 2)如果Ei为闭集合，则 Ei为闭集. i=1
定义5(聚点) 设E Rn , A Rn ,如果对任意r 0,
Bo A;r 中总有E中得点，则称A为集合E的聚点.
定义6(导集和闭包) 设E Rn ,集合E所有聚点的集合 称为E的导集,记为E',集合E U E'为集合E的闭包,记为E.
例 设E x, y x2 y2 a ,则 E' E x, y x2 y2 a
E，
因此X为内点，结论得证。
注：结论3）只能有限个开集的交为开集合,例如：
I
B
i 1
O;
1 i
O
定义3（集合的补集）
E Rn ,定义 Ec Rn \ E为集合E的集.
y
例
Ec (x, y) x2 y2 a
集合E x, y x2 y2 a
补集为
Ec x, y x2 y2 a .
, an
bn ),
b (b1 , b2 ,L , bn ),
R,a,b Rn.
性质1
ar,
v b,
cr
R
n
,
,
R,
则有
1）交换律：ar
r b
r b
ar；
2）结合律：ar
r b
cr ar
r b
cr
；
3）分配率：
ar
r b
ar
r
b,
ar ar ar,
ar ar .
定理1 对任意集合E Rn , E o为开集.
定理2(开集运算性质) 1)Rn , 为开集合;
2)设E , I为开集合族,则 U E为开集; I
n
3)设Ei
,
i
1,
2,K
,
n为开集,则 i 1
Ei为开集.
证明 : X
U
I
E ,则E1
U
I
E ,
X
E1 ,
因此存在r>0,使得
B X;r
E1
U
I
1)E a,bc,d ; 2)E x, y xy 0;
3)E x, y xy 0;4)E x, y x, y均整;
5)E
x,
y
y
sin
1 x
,
x
0
定义两个向量的夹角为
cos(a, b)
a b
ab
a1b1 a2b2 L anbn
。
a12 a22 L an2 b12 b22 L bn2
12.2 Rn 中点集合的基本概念
引入几个记号：
B A;r X X A r, X , A Rn ；
B A;r X X A r, X , A Rn ；
anbn
a12 a22 K an2 b12 b22 K bn2 因此由内积运算性质
a
b
2
a
b,a
b
a,
a
2
a,
b
b,
b
2
a 2 a
b
b
2
a
b
2
，
因此结论得证。
定义5(向量内积运算)： 任意 a, b Rn不为零向量,
a (a1 , a2 ,K , an ), b (b1, b2 ,K , bn )，
Ec E
x2 y2 a2
O
x
定理 3 (De Morgan 定理) 设I为指标集合,则
I U
1)
c E
Ec ;
I I
U I
2)
c E
Ec
I I
定义4（闭集）E Rn ,定义 Ec为开集,则称E为闭集.
定理4 (闭集合的运算性质) 设I为指标集合,则
I 1)如果集合族E , I ,为闭集,则 E为闭集; I n
例 E x, y x2 y2 a, x 0 U x, y x2 y2 a, x 0
不是开集合,也不是闭集合.
定理5 E Rn为闭集的充分必要条件为E' E.
定义7 （集合的外点和边界） 设E Rn
Ec o 为集合E的外点，外点的全体称为集合E的外部；
既不是内点也不是外点的集合称为的E边界.
定义2 在Rn中定义了向量的加法和数乘运算， 称Rn为n维向量空间.
定义3
ar,
r b
Rn , ar
(a1, a2 ,L
r , an ), b
(b1, b2 ,L
, bn )，
定义内积运算：ar
r b
a1b1
a2b2
L
anbn
n
aibi .
i 1
通常记为
ar,
r b
性质（ 2 内积的运算性质） a , b, c Rn , 1，2 R，
第12章 多变量函数 极限与连续
12.1 n维 Euclid 空间
引进记号：
Rn {( x1, x2 ,L , xn ) : xi R, i 1, 2,L , n}
定义1 定义Rn中加法和数乘
这arar里brarr((aa(1a1, 1,aab212,,,LLa2
b2 ,L
, an ),
, an )，
ar (a,a) a12 a22 K an2
性质3(范数性质)：ar
,
r b
Rn
,
R,则1）ar来自 0；2）ar ar ；
3）ar
r b
ar
r b（三角不等式）
证明3）
设ar
(a1 ,
a2 ,K
,
an
),
r b
(b1, b2 ,K
,
bn ),则根据柯西不等式
a,
b
a1b1
a2b2
K
E y
(Ec )o
成立:
Eo
Rn Eo U
Ec
o
U E
O
x
定义6 (区域) 集合E中任意两点之间可以有一条完全含于 E的不间断曲线连接,则E是连通的. 进一步连通的开集称为 (开)区域. 区域的闭包称为闭区域. 区域包括开区域、闭区 域以及开区域和一部分边界点组成的区域.
例1 判断下面集合是开集\闭集\区域,并求导集和边界集合