第十五章 傅里叶级数
一．填空题
1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππ
x x x x f 0,2
,0,0,0,2
)(，则)(x f 的傅里叶系数=n a .
2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数
()=++∑∞
=1
sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设,
0(),0,0
x x f x x ππ≤≤⎧=⎨
-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在π=x 处收敛
于 .
4. 设⎪⎩⎪
⎨⎧≤<=<<--=π
πx x x x x x f 0,,0,0,0,)(2
2，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛
于 .
5. 设⎩⎨⎧<≤<≤-50,3,
05,0)(x x x f ，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .
6. )(x f 是以π2为周期的连续函数，且在],[ππ-上按段光滑，则
()=++∑∞
=1
sin cos 2n n n nx b nx a a . 二．选择题
1.下列说法正确的是（ ）
.A 若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=π
π
nxdx x f b n sin )(， ,3,2,1=n
.B 若)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=l
l n dx l
x
n x f a πcos
)(， ,3,2,1=n .C 若)(x f 是以π2为周期的偶函数，
且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上
可展开成余弦级数∑∞
=1
cos n n nx a .
.D 若)(x f 是以π2为周期的奇函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可展开成正弦级数∑∞
=1sin n n nx b .
2.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππ
x x x x f 0,4
,0,0,0,4
)(，
则下列说法错误的是（ ）
.A )(x f 在),(ππ-上可以展开成傅里叶级数.
.B )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于
4
π. .C )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于0. .D )(x f 的傅里叶系数0=n a .
3.设函数)(x f 满足)()(x f x f -=+π，则该函数的傅里叶级数具有性质（ ）
.A 0=n a .B 0=n b .C 022==n n b a .D 01212==--n n b a
4.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<<--=ππx x x f 0,4,0,4)(，
则下列说法正确的是（ ）
.A )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于4.
.B )(x f 的傅里叶展式在π-=x 处收敛于-4. .C )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4. .D )(x f 的傅里叶展式在π±=x 处均收敛于0.
5.将⎩⎨⎧<<-≤<-=42,3,
20,1)(x x x x x f 在)4,0(上展开成余弦级数，则下面关说法错误的是
（ ）
.A )(x f 的傅里叶展式在2=x 处收敛于-1.
.B )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于1. .C )(x f 的傅里叶展式在4=x 处收敛于1. .D )(x f 的傅里叶展式在3=x 处收敛于1.
6. 若将函数x x f =)(在)2,0(内展成正弦级数，则下列说法正确的是（ ）
.A 40=a
.B )(x f 的正弦级数展式在2=x 处收敛于2. .C 当)2,0(∈x 时，展成的正弦级数收敛于)(x f 本身. .D )(x f 在)2,0(内不能展成余弦级数 三．判断题
1. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],[ππ-上的正交函数系. ( )
2.若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数收敛于)(x f 本身. （ ）
3.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成傅里叶级数. （ ）
4.函数)(x f 是在],[ππ-上的周期函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在
],[ππ-上可以展成正弦级数. （ ）
5.函数)(x f 的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值. ( )
6.设函数,
0(),0,0
x x f x x ππ≤≤⎧=⎨
-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在x π=-处收敛于0.
( )
7. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],0[π上的正交函数系. ( ) 8.x x f =)(在)2,0(上不能展成余弦级数. ( )
9.2
cos )(x
x f =在],0[π上不能展成正弦级数. ( )
10.若级数()∑∞=++1
0||||2||n n n b a a 收敛，则级数()∑∞
=++10
sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个
