数学分析傅立叶级数

1 (2n
1)2
cos(2n
1) x
( x )
利用傅氏展开式求级数的和
f
(
x)
2
4
n1
1 (2n
1)2
cos( 2n
1) x ,
当x 0时, f (0) 0,
2 8
1
1 32
1 52
设
1
1 22
1 32
1 42
,
1
1
1 32
1 52
(
2 8
),
2
1 22
1 42
1 62
,
3
1
bn
2
0
f
( x)sin
nxdx
2
0x sin
nxdx
2
[
x
cos n
nx
sin nx n2
]0
2 cos n 2 (1)n1, (n 1,2, )
n
n
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2 (1)n1 sin nx. n1 n
( x ; x , 3, )
a0 2
an
n1
cos nx
(0 x )
例 4 将函数 f ( x) x 1 (0 x )分别展开成
正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数. 对f ( x)进行奇延拓,
bn
2
0
f
( x)sin nxdx
2
0( x
1)sin nxdx
2 (1 cos n cos n) n
(2)当周期为2的偶函数 f ( x)展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
2
an 0 f ( x)cos nxdx (n 0,1,2, )
bn 0
(n 1,2, )
证明 (1) 设f ( x)是奇函数,
an
1
f
( x)cos nxdx 奇函数
0
(n 0,1,2,3, )
bn
1
f
1 22
1 32
1 42
,
2
4
1
2
4
,
1
2
2 , 6
2
1 3
2 , 24
3
2 1
2 . 12
二、正弦级数与余弦级数
1. 奇函数和偶函数的傅里叶级数
定理
(1)当周期为2的奇函数 f ( x)展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
an 0
bn
2
0
f ( x)sin nxdx
(n 0,1,2, ) (n 1,2, )
2
2
n
2
当n 1,3,5, 当n 2,4,6,
n
x 1 2 [( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x ]
2
3
(0 x )
y 2[( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x sin 4x 1 ( 2)sin 5x]
( x)sin nxdx
2
0
f
( x)sin nxdx
偶函数
(n 1,2,3, )
同理可证(2)
定义
如果
f
(
x
)
为奇函数,傅氏级数
bn
sin
nx
n1
称为正弦级数.
如果 f ( x)为偶函数,
傅氏级数a0 2
an cos nx n1
称为余弦级数.
例 3 设 f ( x) 是周期为 2 的周期函数,它在 [,)上的表达式为 f ( x) x,将 f ( x)展开成
4
1)2
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
bn
1
f ( x)sin nxdx
1
0 (
x)sin
nxdx
1
0
x
sin
nxdx
(n 1,2,3, )
所以
F
(
x)
2
4
n1
1 (2n
1)2
cos(2n
1) x
特别的,
( x )
f
(
x)
2
Fra Baidu bibliotek
4
n1
f ( x 0)
2
f ( x 0)
a0 2
(an cos nx bn sin nx)
n1
an , bn 为f的傅立叶级数系数
一、以 2为周期的函数的Fourier级数展开
例 1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u
u(t
)
1,
1,
t 0 0 t
1
o
t
将它展成Fourier级数？
1
和函数图像为
u
1
o
t
1
注意: 对于非周期函数,如果函数 f ( x) 只在 区间 [, ] 上有定义,并且满足收敛定 理条件,也可展开成傅氏级数.
作法:
周期延拓(T 2) F ( x) f ( x) (, )
端点处收敛于1[ f ( 0) f ( 0)] 2
例2
将函数
f
(
x
)
x,
和 函 数 图 3 2 像
y
0
2 3 x
2. 函数展开成正弦级数或余弦级数
设f ( x)定义在[0,]上, 延拓成以2为周期的 函数 F ( x).
令
F
(
x)
f (x) g( x)
0 x , 且F ( x 2 ) F ( x),
x0
常用如下两种情况
奇延拓 偶延拓.
奇延拓: g( x) f ( x)
解 u(t)相应的Fourier级数为：
4
u(t) ~
sin(2n 1)t
n1 (2n 1)
在u(t)的不连续点t k (k 0,1,2, )处，
级数收敛于 1 1 0, 在连续点处,收敛到u(t), 2
所以函数的傅氏展开式为：
u(t)
4 sin(2n 1)t
n1 (2n 1)
( t ;t 0,,2, )
x,
x0 0 x
展开为
傅立叶级数.
解 所给函数满足定理条件.
延拓f ( x)为(,)上的以2为周期的函数，
记为F ( x),
y
2 0 2 x
于是
a0
1
F ( x)dx
1
f ( x)dx
1
0
(
x)dx
1
0
xdx
,
an
1
f ( x)cos nxdx
2 n2
[(
1)
n
1]
(2k
§12.3 函数的Fourier级数展开
Fourier级数的收敛定理
定义（分段光滑函数）
若函数f的导函数在[a,b]连续，则称f在[a,b]光滑；
若f在[a,b]上至多有有限个第一类间断，且其导函数除有限 个点外都存在且连续，且在有限个点上导函数的在左右极 限存在，称f在[a,b]按段光滑.
定理3 若f是以为周期函数，在[a,b]上分段光滑，则 在[a,b]上，f的傅立叶级数收敛于的左右极限的平均 值
则F
(
x)
f( 0
x)
0 x x0
y
f ( x) x 0
0 x
f ( x)的傅氏正弦级数
f ( x) bn sin nx (0 x ) n1
偶延拓: g( x) f ( x)
y
则F ( x)
f f
(x) ( x)
0 x x0
f ( x)的傅氏余弦级数
0 x
f
(x)
傅氏级数.
解 所给函数满足定理条件,
在点x (2k 1) (k 0,1,2, )处不连续,
级数收敛于 f ( 0) f ( 0) 0,
2
在连续点x( x (2k 1) )处收敛于f ( x),
x (2k 1) 时 f ( x)是以2为周期的奇函数 ,
an 0, (n 0,1,2, )