数学分析傅立叶级数

第十五章 傅里叶级数总练习题1、求三角多项式T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A 的傅里叶级数展开式.解：T n (x)以2π为周期，且在(-∞,+∞)上光滑，∴能展开为傅里叶级数.又a 0=⎰ππ-02A π1dx+∑⎰⎰=n 1k ππ-k ππ-k dx )sinkx B +dx coskx A (π1=A 0; 当m ≥0时，a m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1cosmxdx=⎩⎨⎧>≤n m 0，n m ，A m ;b m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1sinmxdx=⎩⎨⎧>≤nm ，0n m ，B m .∴在(-∞,+∞)上，有T n (x)=2a 0+∑∞=1m m m sinm x )b +cosmx (a =2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，即T n (x)的傅里叶级数展开式是其本身.2、设f 为[-π,π]上的可积函数，a 0, a k , b k (k=1,2,…,n)为f 的傅里叶系数. 试证明：当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，积分⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx取得最小值，且最小值为⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 其中 T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，A 0, A k , B k 为其傅里叶系数.证：⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A )x (f dx=-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n 1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=ππ-21k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx =-2π⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k k k k k 00b B a A a 2A +π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20B A 2A +2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a -π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞+=∞+=1n k 1n k 2k 2k b a =π⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑∑==n1k 2k k n 1k 2k k 200)b -(B )a -(A )a -(A 21+π∑∞+=+1n k 2k 2k )b (a .∴当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 取得最小值.方法一：根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，即 ⎰ππ-2(x )f dx=2πa 20+π∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，∴这个最小值为 π∑∞+=+1n k 2k2k)b (a =π∑∞=+n k 2k2k)b (a -π∑=n1k 2k2k)b +(a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法二：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰ππ-n (x )T )x (f dx+⎰ππ-2n (x )T dx.∵2⎰ππ-n (x )T )x (f dx=π00A a +2π∑=+n 1k k k k k )B b A a (=π2a +2π∑=n1k 2k 2k )b +(a ，由贝塞尔不等式有⎰ππ-2n(x )T dx ≥2πA 20+∑=n 1k 2n 2n )B +(A π=2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a ， ∴⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx ≥⎰ππ-2)x (f dx-π2a -2π∑=n1k 2k2k )b +(a +2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a=⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]，即 ⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 有最小值⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法三：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a )x (f dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx=⎰ππ-2)x (f dx-2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n1k 2k 2k 20b a 2a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ].3、设f 是以2π为周期，且具有二阶连续可微的函数. b n =nx sin )x (f π1ππ-⎰dx ，b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx. 证明：若级数∑''nb 绝对收敛，则∑=n1k k |b |≤)|b |2(21n1k k∑=''+. 证：利用∑=n1k 2k 1≤∑∞=1k 2k1=6π2<2，及分部积分法可得：b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx=-cosnx )x (f πn ππ-⎰'dx=-sinnx )x (f πn ππ-2⎰dx=-n 2b n ；∴)|b |2(21n 1k k ∑=''+≥)|b |k 1(21n1k k n 1k 2∑∑==''+=])|b |(k k 1[212k 2n 1k 2+∑=≥|b |k k 1221k n 1k ⋅⋅∑==∑=n 1k k |b |.注：可记a ’n =cosnx )x (f π1ππ-⎰'dx; 则a ’n =-nb n ，b ”n =na ’n ，∴b ”n =-n 2b n .4、设周期为2π的可积函数f(x)与g(x)分别满足以下关系式： (1)f(-x)=g(x)；(2)f(-x)=-g(x). 试问：f 的傅里叶系数a n , b n 和g 的傅里叶系数αn , βn 有什么关系？ 解：令x=-t ，则 a n =cosnx )x (f π1ππ-⎰dx=-cos(-nt))t (f π1ππ-⎰-d(-t)=cosnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=0,1,2,…； b n =sinnx )x (f π1ππ-⎰dx=-sin(-nt))x (f π1ππ-⎰-d(-t)= -sinnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=1,2,….(1)当f(-x)=g(x)时，a n =cosnt )t (g π1ππ-⎰dt=αn , n=0,1,2,…； b n = -sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=-βn , n=1,2,….(2)当f(-x)=-g(x)时，a n =cosnt )t (g -π1ππ-⎰dt=-αn , n=0,1,2,…； b n =sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=βn , n=1,2,….5、设定义在[a,b]上的连续函数列{g n }满足：⎰bam n )x (g )x (g dx=⎩⎨⎧=≠m n 1mn 0，，；对于在[a,b]上的可积函数f ，定义αn =⎰ba n )x (g )x (f dx, n=1,2,….证明：∑∞=1n 2nα收敛，且有不等式∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.证：作级数∑∞=1n n n )x (g α，令S m (x)=∑=m1n n n )x (g α，则⎰-ba2m )]x (S )x ([f dx=⎰b a2)x (f dx-2⎰b am )x (S )x (f dx+⎰ba2m )x (S dx ；又2⎰ba m )x (S )x (f dx=2⎰∑=ba m 1n n n )x (g α)x (f dx=2∑⎰=m1n ba n n )x (g )x (f αdx=2∑=m1n 2n α；由{g n }的定义有：⎰b a 2m)x (S dx=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ba2m 1n n n )x (g αdx=∑=m1n 2n α；∴0≤⎰-b a 2m )]x (S )x ([f dx=⎰ba 2)x (f dx-∑=m 1n 2nα, 即∑=m1n 2n α≤⎰ba2)x (f dx. 又m 为任意自然数，且⎰ba 2)x (f dx 为有限值，∴∑∞=1n 2nα因部分和数列有界而收敛，且有∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.。

数学分析2部分习题解析傅里叶级数部分第3节部分习题1、设f 以2π为周期且具有二阶连续的导数，证明f 的傅里叶级数在(),-∞+∞上一致收敛于f 。

证明由条件知，f 一定是以2π为周期的连续函数且在一个周期区间[],ππ-上按段光滑，所以由收敛定理得，在(),-∞+∞上有()011cos sin ()2n n n a a nx b nx f x ∞=++=∑，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。

由三角级数一致收敛的判别法，下证()0112n n n a a b ∞=++∑收敛即可。

事实上，记0a '，n a '，nb '为导函数()f x '的傅里叶系数，由()f x 与()f x '的傅里叶系数的关系得0a '=，n n a nb '=，n n b na '=-。

所以，()()22211112n n n n n n a b b a a b n n n ⎛⎫''''+=+≤++ ⎪⎝⎭。

又由傅里叶系数满足的贝塞尔不等式得，()()()221nn n a b ∞=''+∑收敛，再注意到211n n∞=∑收敛，所以()0112n n n a a b ∞=++∑收敛，故结论成立。

2、设f 为[],ππ-上的可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于f ，则成立帕塞瓦尔等式：()22220111()d 2n n n f x x a a b πππ∞-==++∑⎰，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。

证明由f 在[],ππ-上可积得，f 在[],ππ-上有界，从而由题设可得()2011()()cos ()sin ()2n n n a f x a f x nx b f x nx f x ∞=++=∑，在[],ππ-上一致成立。

数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明.doc傅里叶级数收敛定理是数学分析中的重要定理之一，它可以用于研究周期函数的展开。

下面给出傅里叶级数收敛定理的证明。

设f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，即∫[0,2π]|f(x)|dx < ∞。

我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)。

设f(x)的傅里叶级数为：f(x) = a0 + ∑[n=1,∞] (an cos(nx) + bn sin(nx))其中a0, an, bn分别为f(x)的傅里叶系数。

我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)，即要证明对于任意的x，有f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))为了证明这个结论，我们需要用到以下两个引理：引理1：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn其中bn为f(x)的傅里叶系数。

引理2：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an其中a0, an为f(x)的傅里叶系数。

现在我们来证明傅里叶级数收敛定理。

首先，我们使用引理1和引理2，将f(x)的傅里叶级数展开，并对其进行部分和的计算：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn = ∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx根据正弦函数的正交性质，我们知道∫[0,2π] sin(Nx)sin(Mx)dx = 0，其中N≠M。

因此，上式中的交叉项∫[0,2π] ansin(Nx)sin(Mx)dx = 0。

所以，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] a0sin(Nx)dx + ∑[n=1,N] ∫[0,2π] ansin(Nx)dx同理，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an现在，我们来证明f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))。

傅里叶级数的定义与公式傅里叶级数是分析函数周期性的重要工具，它在信号处理、图像处理、物理学等领域广泛应用。

在数学上，傅里叶级数可以将一个周期函数表示为一系列的正弦和余弦函数的线性组合。

通过傅里叶级数，我们可以将任意周期函数进行频域分解，从而更好地理解信号的频谱特性。

傅里叶级数的定义如下：假设函数f(x)是一个以T为周期的连续函数，在周期T上可展开成如下的正弦余弦级数：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中，n为正整数, ω0=2π/T是基本频率，an和bn为函数f(x)的傅里叶系数。

而a0是傅里叶级数中的直流分量，表示函数的平均值。

要计算函数f(x)的傅里叶系数，我们可以利用傅里叶级数的公式：an = (2/T) * ∫[0,T] (f(x)*cos(nω0x)dx)，n≥1bn = (2/T) * ∫[0,T] (f(x)*sin(nω0x)dx)，n≥1其中，∫[0,T]表示对周期T内的函数进行积分。

傅里叶级数的计算过程可以通过数值积分方法等多种途径实现。

计算出傅里叶系数之后，我们可以通过将级数的每一项相加，逐渐逼近原始函数f(x)。

这样可以实现对任意周期函数进行分析和重建。

傅里叶级数的应用非常广泛。

在信号处理领域，傅里叶级数可用于时域和频域的转换，从而实现滤波、频谱分析和频谱合成等任务。

在图像处理领域，傅里叶级数可以用来进行图像的压缩和频域滤波等操作。

在物理学领域，傅里叶级数可以用来解决波动方程、热传导方程等偏微分方程的初值问题。

在学习和应用傅里叶级数时，我们需要注意一些问题。

首先，要判断函数是否满足周期性条件，周期必须是确定的。

其次，要注意函数的奇偶性，奇函数的傅里叶级数只包括正弦项，偶函数的傅里叶级数只包括余弦项。

此外，对于非周期函数，我们可以通过周期延拓的方式来逼近其傅里叶级数。

总之，傅里叶级数是一种重要的分析工具，可以将周期函数展开成具有不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。