浅谈定义在数学教学中的重要性
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浅谈定义在数学教学中的重要性
作者：陈尚凤
来源：《教育界·上旬》2014年第11期
【摘要】定义在数学教学中往往被忽视;定义是符号，其所代替的是事物的全部;在进行定义的教学时由浅入深，层层深入;定义体现了数学学习的严谨性;对定义的全面理解有助于解题的深入。
【关键词】题海 ; ;定义 ; ;准确全面的理解 ; ;思维严谨性 ; ; 解题完整
数学学习留给大多数人的印象是反复解题目、做试卷，很少见到有要求背定义，即使是背，也最多是背背公式。
其实，对数学名词定义的准确、全面的理解在数学学习中有着至关重要的作用，是培养学生思考问题严谨性的一个平台，是学生解题完整的依据。
一、定义在数学教学中往往被忽视
在数学新课的教学中，一节课通常是这样安排的：新课引入、学生活动、新课讲解、例题教学、学生练习、归纳小结、学生作业，最后是课后反思。
定义一般是在学生活动后，师生共同归纳总结，给出定义。
多数情况下定义还可写成一个数学式，定义中的一些特定条件，也是要经过反复揣摩，最后把定义完善。
在学生解决问题的过程中，表示定义的那个数学式显得较为突出，而其他需要满足的条件常会被忽视，有时这对解题结果不会产生影响，学生不去重视它也就很自然了。
例如，解析几何中圆锥曲线的定义，椭圆定义中除了“到两定点距离之和为定值”，这些都是定义的一部分，但很多学生忽视了它们，导致解题困难和错误。
二、定义是符号，其所代替的是事物的全部
一个完整的定义应该包括被定义对象的全部，只有全面理解了定义的内容，才能挖掘出定义中的内涵，达到解题完整的效果。
例如，函数的定义域是函数定义中的一部分，用解析法表示函数时，不仅要写出函数的解析式，还应该写出x 的取值范围，否则就是默认为这个式子有意义的所有x的值。
在解决实际问题时x一般都有其实际意义，这就要求列函数关系式时要考虑到这一点。
往往在应用题中列函数关系式看似简单，但函数的定义域在此处有时可能是个难点。
三、定义的教学
数学概念往往抽象而且琐碎，如果不是在理解的基础上是很难记住的。
要想完整地背下来真不容易。
因此我在定义的教学时，先用浅显易懂的语言给学生一个认识，然后由浅入深，层层深入到概念的核心。
师生共同归纳定义时，教师要把学生没有想到的细节或是一些特殊情况提出来供学生思考，完善定义，加深学生印象，让学生认识到下定义时要完整、严谨。
具体地说，就是先指出主语，再强调定语。
在一些简单的课堂练习中，不一定能把定义中的细节都体
现出来，因此要让学生下课后背定义，这将有助于学生在进一步的学习中更好地理解定义，从而解决更为复杂的问题。
例如，函数定义的学习一直是一个难点，学生在初中就没有把函数的概念搞清楚，进入高一，夹生饭很难炒，再加上函数的定义是长长的一段话，既不优美也不朗朗上口。
在回顾了一次函数、反比例函数、二次函数后，第一步不妨直接提出“函数即关系，是两个变量之间的一种对应关系”这一结论留给学生，学生会感觉简单而且容易接受。
第二步可以通过“平方”“开平方”“立方”等一些简单的学生熟悉的变量间的对应关系，让学生感受变量间的关系有多种，此时强调函数中的两个变量的关系是其中一种，引出函数定义中的定语“每一个x，都有唯一确定的y与其对应”的这种关系。
第三步顺理成章地可以得出函数的三个组成部分：f，x，y，即对应关系和两个变量，并且有：y=f（x）;由个体到整体，得到函数的三要素f，A，B，且有 f：A→B。
通过以上三个步骤，函数的定义及三要素已经很好地呈现在学生面前了。
课后再布置学生回家背诵函数的定义，有助于学生对函数定义的清晰记忆和书写的准确规范。
四、定义体现了数学学习的严谨性
定义是一个全局性的东西，要对所有的同类事物都成立。
因此学生对定义的熟悉和理解有助于他们思维的严谨性和解题的完整性。
例如函数单调性的学习，单调函数的定义中的第一句话：“设x1、x2是定义域I上的某个区间D上的任意两个数”，一般会被学生忽略不计。
学生对单调函数的理解也不难，借助函数图像可以很好地做出判断，所以在学生的脑海中，印象深刻的多数是“x1<x2时，有f（x1）<f（x2）（ f（x1）>f（x2））”。
但是，用定义法证明或判断函数的单调性时，定义中的“在区间D上”与“任意的”就能反映学生对这一定义的真正理解程度了。
有些学生会举若干特殊值的大小关系来得出结论，这显然是不对的。
五、对定义的全面理解有助于解题的深入
对学生来说，清晰透彻地掌握好定义是不容易的。
一般要经过初识定义、应用定义、反思定义、再用定义、掌握定义这样一个层层递进的过程。
在这个过程中，从“初识定义”到“应用定义”之后，如果能把定义背一背，加强对定义的熟悉程度，对后面的“反思定义”会起到一个整理思路的作用。
掌握了完整的定义后，无论题目怎样变，都能从中提炼出其所指向的知识点，对一些综合题或是提高题就能从容应对。
例如，复合函数求定义域的问题：已知函数f[lg （x+1）]的定义域是[0，9]，求函数f（）的定义域。
这题从条件到所求都是围绕着定义域，要求学生要清楚定义域的概念，要清楚定义域是相对于“对应关系”的一个概念，至此这个问题就迎刃而解了。
求解此类新定义的存在性问题的前提是读懂新定义的含义，得出函数f（x）是定义域为S、值域为T的增函数，然后根据选项中的集合构造函数即可。
总之，对定义深入、精确的理解是帮助学生在数学学习中脱离“题海战术”的有效的一种方法;是让学生在数学学习过程中学会全面观察问题、分析问题的一个案例;是培养学生思维的严谨性的一个平台。
