北京大学量子力学考研试题题库

容易看出粒子的波函数
ψ ( x, t ) = α xe
2
2μ E 2 μα = 2 − = =2
(6)
式(6)两边平方，得
2μ E ⎞ 1 ⎛ 2 μα 2 = ⎜ 2 − V0 ⎟ 2 2α ⎝ = = ⎠
(7)
显然 E 有解的条件是 2 2 = V0 2 μα 2 > V0 , 或 α > 2 2μ = 这正是存在束缚态的条件.由式(7)得
⎛ 2 μα ⎞ − V0 ⎟ E = 2 ⎜ 2 8μα ⎝ = ⎠ =
Δx ⋅ Δp ≥
4
解先对态ψ(x) 进行归一化.由波函数的归一化条件
∫
有 得 于是
∞
−∞
ψ ( x) dx = 1
dx = A 4λ
2 3
2
∫
∞
0
A x e
2
2 −2 λ x
=1
A = 2λ 3 / 2
⎧2λ 3/ 2 xe − λ x , x ≥ 0 ψ ( x) = ⎨ x<0 ⎩0,
(I)粒子坐标的概率分布函数为
⎡ =2 ∂ ⎤ ∂ ⋅ 2 + V ( x ) ⎥ψ ( x, t ) i = ψ ( x, t ) = ⎢ − ∂t ⎣ 2 M ∂x ⎦
则得
= −γ x = − ( β 2 x − 2 β ) + V ( x) x 2M
2
由此可解出 x > 0 时的势
=2 V ( x) = −γ + 2M ⎛ 2 2β ⎞ ⎜β − ⎟ x ⎝ ⎠
则有
= 1 d ⋅ 2 ψ E ( x), V ( x) = E + 2m ψ E ( x) dx
2 2
(1) 如果给定一个定态波函数ψ E ( x) ，则由式(1) 可给出 V ( x) − E ，欲分别求出 E和 V ( x)，还需

高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。

它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。

）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。

四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。

a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。

（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。

a A 6.设 V (r ) = − + 2 , (a, A > 0) ,求粒子能 r r
量本征值。
解：取守恒量完全集为 ( H , L , Lz ) ，其共 同本征函数为 χ (r ) Ylm (θ , ϕ ) ψ (r , θ , ϕ ) = R(r )Ylm (θ , ϕ ) = r χ (r ) 满足的径向方程
ψ ( x) =
1 2π
∫ ϕ ( P ')e
i − ( p '+ p ) x
dp ' = e
i − xp
ψ 0 ( x)
⎛α ⎞ 其中 ψ 0 ( x) = ⎜ π ⎟ ⎝ ⎠
2
1/ 4
e
−α 2 x 2 2
⎛ mω ⎞ α =⎜ ⎟ ，故有 ， ⎝ ⎠
2 p2 − 2 mω
1/ 2
P = ∫ψ ( x)ψ ( x)dx = e
任何位置，单位体积内测到一个粒子的概 率为1. 若沿用上面的方法来求归一化系 数，则会出现
∫
∞
−∞
Ae
2 − ikx ikx
e dx = ∫ A dx = ∞ ⋅ A
2 −∞
∞
2
要使积分为1，必须A=0，因此波函数不能 归一，只能归一为δ函数。
1 ∫−∞ 2π exp {−ik ′x} exp {ikx} dx = δ (k − k ′)
⎛a⎞ 2 2 设归一化的本征态为 ⎜ ⎟ ， a + b = 1则 b⎠ ⎝ 由本征方程
⎛ B −iA ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛a⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ ⎝ iA − B ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝b⎠
可以解出本征态为
Ψ± ⎡ ⎤ 1 =⎢ ⎥ 2 2 2 2 ⎢ ⎣ A + (B ∓ A + B ) ⎥ ⎦

二、录取和调剂：
1、考生能否录取，以考生的总成绩名次为准。复试成绩不及格的考生不能录取。各学
院（系、所、中心）拟录取名单经批准后公布。 2、我校未录取考生，达到国家分数线并符合调剂规定的，按教育部要求进行调剂。
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三、2015 北京大学 602 量子力学考研参考书 数学分析（一、二、三册）方企勤等北京大学出版社 配套习题集
有人引用量子力学中的随机性支持自由意志说，但是第一，这种微观尺度上的随机性和 通常意义下的宏观的自由意志之间仍然有着难以逾越的距离；第二，这种随机性是否不可约 简(irreducible)还难以证明，因为人们在微观尺度上的观察能力仍然有限。自然界是否真
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有随机性还是一个悬而未决的问题。对这个鸿沟起决定作用的就是普朗克常数。统计学中的 许多随机事件的例子，严格说来实为决定性的。
在量子力学中，一个物理体系的状态由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然代表体 系的一种可能状态。对应于代表该量的算符对其波函数的作用；波函数的模平方代表作为其 变量的物理量出现的几率密度。 二、北京大学 602 量子力学考研复试分数线
90
90
管理学 (12)
50 50
90
90
艺术学 (13)
50 50
90
总分 360 370 345 360
345
345 320 320 350 350
备注
北大-新加坡国 立大学汉语言 文字学双硕士 班为 340。
（2）、联考： 考试科目
专业学位 应用统计 025200 金融硕士 025100 税务硕士 025300
90
50 50
90