数列导学案
§2.1 数列的概念及简单表示（一）
【学习要求】
1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．
2．探索并掌握数列的几种简单表示法．
3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
【学法指导】
1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念．
2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．
3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式．
【知识要点】
1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项．
2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ．
3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列．
4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式．
【问题探究】
探究点一 数列的概念
问题 先看下面的几组例子：
（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…；
（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，15
； （3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…；
（4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；
（5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，….
请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．
探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？
探究点二 数列的几种表示方法
问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？
探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．
（1）数列：1,3,5,7,9，…
①用公式法表示：a n ＝ ；
②用列表法表示：
（2）数列：1，12，13，14，15
，… ①用公式法表示：a n ＝ .
②用列表法表示：
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：
探究点三 数列的通项公式
问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？
探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？
数列
通项公式 －1,1，－1,1，…
a n ＝ 1,2,3,4，…
a n ＝ 1,3,5,7，…
a n ＝ 2,4,6,8，…
a n ＝ 1,2,4,8，…
a n ＝ 1,4,9,16，…
a n ＝ 1，12，13，14，… a n ＝
【典型例题】
例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．
（1）a n ＝cos n π2
； （2）b n ＝11×2＋12×3＋13×4＋ (1)
n ＋1. 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．
跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．
（1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2
)1(1n -+
例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
（1）1，－3,5，－7,9，…；
（2）12，2，92，8，252
，…； （3）9,99,999,9 999，…；
（4）0,1,0,1，….
小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： （1）212，414，618，8116，…； （2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…；
（3）－12，16，－112，120
，….
例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1n n ＋12n －1
2n ＋1
. （1）写出它的第10项；
（2）判断233
是不是该数列中的项． 小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．
跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n
n ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 【当堂检测】
1．下列叙述正确的是 ( )
A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }
C ．数列0,1,0,1，…是常数列
D ．数列{n n ＋1
}是递增数列 2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，….
3．已知下列数列：
（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，12，23，…，n －1n
，…； （3）1，12，14，…，12n －1，…； （4）1，－23，35，…，－1n －
1·n 2n －1
，…； （5）1,0，－1，…，sin n π2，…； （6）6,6,6,6,6,6. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)
【拓展提高】
4．写出下列数列的一个通项公式：
（1）a ，b ，a ，b ，…；
（2）－1，85，－157，249
，…. 【课堂小结】
1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n
只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．
3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．
§2.1 数列的概念及简单表示（二）
【学习要求】
1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．
2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．
【学法指导】
1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．
2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．
【知识要点】
1．如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的公式．
2．数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列．
3．一般地，一个数列{a n}，如果从起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果数列{a n}的各项都，那么这个数列叫做常数列．
4．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝1，则a n＝，从单调性来看，数列是单调数列．
【问题探究】
公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n＋1＝a n＋a n－1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式．
探究点一数列的函数特性
问题数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识．
探究1数列的单调性
下面给出了一些数列的图象：
a n ＝2n －1
a n ＝1n
a n ＝(－1)n
观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．
因此，要证明数列{a n }是单调递增数列，只需证明a n ＋1－a n 0；要证明数列{a n }是单调递减数列，只需证明a n ＋1－a n 0.
探究2 数列的周期性
已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 012项是多少？
探究点二 由简单的递推公式求通项公式
问题 递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它
数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；
1.1.1正弦定理 教学目标： 1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题. 2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力. 3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣. 4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点与难点 教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用. 教学难点：正弦定理的猜想提出过程. 教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器. 教学过程： （一）结合实例，激发动机 师生活动： 每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？那大家知道科技楼有多高吗？给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？ 学生思考片刻，教师引导. 生1：在楼的旁边取一个观测点C ，再用一个标杆，利用三角形相似. 师：方法可行吗？ 生2：B 点位置在楼内不确定，故BC 长度无法测量，一次测量不行. 师：你有什么想法？ 生2：可以再取一个观测点D . 师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D 点取在什么位置？ 生2：向前或向后 师：好，模型如图（2）：我们设60∠=?ACB ，45∠=?ADB ,CD =10m,那么我们能计算出AB 吗？ 生3：由tan45tan3010AB AB ο ο -=求出AB . 师：很好，我们可否换个角度，在Rt ABD ?中，能求出AD ,也就求出了AB .在?ACD 中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD ，就需要我们来研究三角形中的边角关系.
必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.
【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 一、1、基础知识 设?ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是?ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =2R 。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。 ②== B R a A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。 （3）三角形中常见结论： ①A+B+C= 。②a B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定 （2）在ABC ?中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 （3）已知ABC ?的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ?是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ?： （1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。 例2、在ABC ?中，C B C B A cos cos sin sin sin ++= ，试判断ABC ?的形状。
三、练习 1、在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 2、在ABC ?中，5:3:1::=c b a ，求 C B A sin sin sin 2-的值。 四、课后练习 1、在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ?中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ） A 、 35 B 、53 C 、73 D 、7 5 3、在ABC ?中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ） A 、24 B 、34 C 、64 D 、3 32 4、在ABC ?中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系
2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)
§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 一、课前准备 试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==． 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . s i n s i n a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．
高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最
小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]
必修五数列导学案 §2.1 数列的概念及简单表示（一） 【学习要求】 1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 【学法指导】 1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法． 3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】 1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ． 3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列． 4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式． 【问题探究】 探究点一 数列的概念 问题 先看下面的几组例子： （1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； （2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，1 5 ； （3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…； （5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义． 探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法 问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． （1）数列：1,3,5,7,9，… ①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示： （2）数列：1，12，13，14，1 5，… ①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示： ③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式 问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？ 探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要 数列 通项公式 －1,1，－1,1，… a n ＝ 1,2,3,4，… a n ＝ 1,3,5,7，… a n ＝ 2,4,6,8，… a n ＝ 1,2,4,8，… a n ＝ 1,4,9,16，… a n ＝ 1，12，13，1 4 ，… a n ＝ 【典型例题】 例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． （1）a n ＝cos n π2 ； （2）b n ＝11×2＋12×3＋1 3×4＋…＋ 1 n n ＋1 . 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考 虑运算化简后再求值． 跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项． （1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2 ) 1(1n -+ 例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…； （2）12，2，92，8，25 2 ，…； （3）9,99,999,9 999，…； （4）0,1,0,1，…. 小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： （1）212，414，618，81 16，…； （2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； （3）－12，16，－112，1 20，….
1.2 余弦定理(一) 课时目标 1.熟记余弦定理及其推论； 2.能够初步运用余弦定理解斜三角形． 1．余弦定理 三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝____. 2．余弦定理的推论 cos A ＝________________；cos B ＝______________；cos C ＝________________. 3．在△ABC 中： (1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝________； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝________； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝________. 一、选择题 1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A . 3 B ．3 C . 5 D ．5 2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A .π3 B .π6 C .π4 D .π12 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B . 2 C ．2 D ．4 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A .14 B .34 C .24 D .23 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 6．在△ABC 中，已知面积S ＝14 (a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120° 二、填空题 7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a>0，b>0)，则最大角为________． 10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3 ，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.
高中数学必修五第一章教案 1．1.1 正弦定理 1．1.2 余弦定理 1．角度问题 1．三角形中的几何计算 1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升 1．2应用举例距离和高度问题 1．1.1 正弦定理 高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日
【问题导思】 正弦定理 1．如图在Rt △ABC 中，C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，∠A 、∠B 与∠C 的正弦值有怎样的关系？ 【提示】 ∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ， ∴ a sin A ＝b sin B ＝c . 又∵sin C ＝sin 90°＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？ 【提示】 成立． 3．钝角三角形中呢？ 【提示】 成立． 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： a sin A ＝ b sin B ＝c sin C . 2．三角形中的元素与解三角形 (1)三角形的元素 把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(对应学生用书第3页)知识运用 已知两角及一边解三角形 例1在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝1 2 ，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小． 【思路探究】 (1)由sin B ＝1 2能解出∠B 的大小吗？∠B 唯一吗？ (2)能用正弦定理求出边b 吗？ (3)怎样求其他边与角的大小？ 【自主解答】 ∵sin B ＝1 2， ∴B ＝30°或150°，
学案（1）数列 1. 理解数列及其有关概念 ； 2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项; 3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式 丄 复习引入 1. 函数的定义 2. 在学习函数的基础上，今天我们来学习数列的有关知识，首先我们来看一些例子: 4，5，6，7, 8，9，10. ① 1, 1 1 1 1 … , , . 2 3 4 5 1, 0.1 , 0.01 0.001 , 0.0001 , 1, 1.4 , 1.41 1.414 ,… —1，1,— 1，1，— 1，1,…. ⑤ 2, 2, 2, 2， 2, 观察这些例子，看它们有何共同特点? 1 .数列： ________________________________________________________ 2 .数列的项： ____________________________________________________ 3 .数列的一般表示： __________________________________________________ 4 .数列的通项公式： ______________________________________________ 5.有穷数列： _____________________________________________________ 6 .无穷数列： ____________________________________________________ 例1根据下面数列 Q n ［的通项公式，写出前 5项： 例2写出下面数列的一个通项公式 ，使它的前4项分别是下列各数: (1) 1, 3, 5, 7(1) a n n 2 -1 2n -1 n n a n 二 sin 2 (2) 0,2,02
第一章解三角形 章节总体设计 （一）要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知
学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 知识点一数列及其有关概念 思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理(1)按照________排列的____________称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的________． (2)数列的一般形式可以写成________________，简记为________，其中a1称为数列{a n}的________(或称为________)，a2称为________，…，a n称为________． 知识点二通项公式 思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式． 思考2 数列的通项公式a n ＝f (n )与函数解析式y ＝f (x )有什么异同？ 知识点三 数列的分类 思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列． 类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252 ； (3)9,99,999,9999；(4)2,0,2,0.
新人教版高中数学必修五导学案（全册） 目录 1.1.1正弦定理 (2) 1.1.2余弦定理 (4) 1.1 正弦定理和余弦定理习题课 (6) 1．2 应用举例 (8) 2.1数列的概念与简单表示法 (11) 2.2等差数列 (14) 2.3等差数列的前n项和 (17) 2.4等比数列 (20) 2.4等比数列的性质 (22) 2.5等比数列的前n项和（1） (24) 2.5等比数列的前n项和（2） (26) 3.1不等关系与不等式 (28) 3.2一元二次不等式及其解法 (30) 3.3.1二元一次不等式组与平面区域 (33) 3.3.2简单的线性规划问题(1) (36) 3.3.2简单的线性规划问题(2) (38) 3．4基本不等式： 2b a a b + ≤（学案1） (40) 3．4基本不等式： 2b a a b + ≤（学案2） (42)
1.1.1正弦定理 课前预习学案 一、 预习目标 了解正弦定理的内容及解三角形的概念 二、预习内容 1、推导正弦定理 正弦定理： 变形： 正弦定理可用于两类： （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角； （2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边. 2、了解“解三角形”的概念 三、提出困惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 课标要求： 掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题和实际问题。 一、学习目标：掌握三角形中边长和角度之间的数量关系 在已有知识基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，掌握正弦定理. 通过对本节的学习，能够运用正弦定理等知识，解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 重点：正弦定理的证明和解三角形. 难点：正弦定理的证明. 二、学习过程 例1：在ABC ?中，已知3=b ， 60=B ,1=c ，求C A a 及,