高中数学 必修五数列导学案 加课后作业及答案

§2.3 等差数列的前n项和班级： .组名： . 姓名： .时间：年月日【本卷要求】：1.动脑思考2.听懂是骗人的，看懂是骗人的，做出来才是自己的3.该背的背，该理解的理解，该练习的练习，该总结的总结，勿懈怠！4.多做多思，孰能生巧，熟到条件反射，这样一是能见到更多的出题方式，二是能提高做题速度5.循环复习6.每做完一道题都要总结该题涉及的知识点和方法7.做完本卷，总结该章节的知识结构，以及常见题型及做法8.独立限时满分作答9.步骤规范，书写整洁10.明确在学习什么东西，对其中的概念、定律等要追根溯源，弄清来龙去脉才能理解透彻、应用灵活11.先会后熟：一种题型弄懂了，再多做几道同类型的，总结出这种题型的做法，直到条件反射【一分钟德育】是谁这些年来，在茫茫的人海中，是谁最关心你最疼爱你？在你最需要帮助的时候，是谁向你伸出援助之手？在你出门在外的时候，是谁总是牵挂着你惦念着你？是谁总是盼着你回家等着你吃饭？在你生病的时候，是谁最紧张最着急？在你最高兴的时候，是谁比你更高兴？在你最痛苦的时候，是谁比你更痛苦？在你最失落无助的时候，是谁来安慰你鼓励你？在你最孤独寂寞的时候，是谁来陪伴你？是谁对你的生命影响最大？【导读导思】自主学习、课前诊断先通读教材，画出本节课中的基本概念及物理规律，回答导学案预习中涉及的问题，独立完成，限时25分钟。

一、等差数列前n项和公式是什么？你能推导出来吗？它们什么时候用比较合适？二、等差数列前n项和有什么性质？题目中出现什么特征时使用？三、如何找到前n 项和最大值或最小值，以及是前几项？如何应用等差数列前n 项和二次式的轴对称性的性质？四、在等差数列的基础上，加绝对值，再求前n 项和，如何处理？五、涉及等差数列奇数项和偶数项和，一般如何处理？六、如何证明构造的新数列为等差数列？七、1-1,1,2n n n S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩什么时候使用？以及如何使用？【知识小结】1.()()()1121212()22a n n n n n n n n n S na d a a nS d S n n S S na na S λ+-⎧=+⎪⎪+⎪=⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=+⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩11中首项和公差涉及末项时使用常数项为0的n 的二次式，二次项系数等于公差的一半，求首项a =S 轴对称性求最值自创性质选择、填空时用涉及与的转换时使用n 可扩展为任意正整数，即使无意义时，也不影响结果2.常用技巧1. 用首项和公差表示题中出现的量2. 特殊值法3. 罗列法【巩固练习】选择题、填空题每题6分，解答题、计算题每题12分题型一、等差数列前n 项和公式的基本应用 1.已知等差数列{}n a 中， （1）131,,1522n a d S ==-=-，求n 及n a ； （2）11,512,1022n n a a S ==-=-，求d ； （3）524S =，求24a a +2.等差数列{a n }中，a 1+a 7=42， a 10-a 3=21， 则前10项的S 10等于（ ） A 、 720 B 、257 C 、255 D 、不确定3.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n ，而a 1，a 3，a 5，a 7，……组成一新数列{C n }，其通项公式为 （ ） A 、 C n =4n-3 B 、 C n =8n-1 C 、C n =4n-5 D 、C n =8n-9 题型二、等差数列的前n 项和性质的应用4.等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定其前n 项和的公式吗？5.等差数列的前10项之和是100，前100项之和是10，求前110项之和。

最新人教版数学精品教学资料[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．知识点一数列的概念1．数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项．2．数列的表示方式数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}．3．数列中的项的性质：(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性．思考1数列的项和它的项数是否相同？答案数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.思考2数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？答案数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．知识点二数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：①有穷数列——项数有限的数列．②无穷数列——项数无限的数列．(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：①递增数列——从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； ②递减数列——从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； ③常数列——各项相等的数列；④摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 思考 判断正误(1)数列1,2,3,4，…，2n 是无穷数列( ) (2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列( ) 答案 (1)× (2)×解析 (1)中的数列是有穷数列，共有2n 个数．(2) 中“由自然数构成的数列”是否递增，取决于这些自然数排列的顺序，未必全是递增的，如2,1,3,4,5……并不是递增数列． 知识点三 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．思考1 数列的通项公式有什么作用？答案 (1)可以求得这个数列的任一项，即可以根据通项公式写出数列；(2)可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列，还可以知道这个数列是递增(减)数列、摆动数列，还是常数列；(3)可以判断一个数是不是数列中的项．思考2 数列{a n }的通项公式a n ＝－58＋16n －n 2，则( ) A ．{a n }是递增数列 B ．{a n }是递减数列 C ．{a n }先增后减，有最大值 D ．{a n }先减后增，有最小值 答案 C解析 易于看出a n 是关于n 的二次函数，对称轴为n ＝8，故{a n }先增后减，有最大值．题型一 数列的概念与分类例1 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3) C ．(1,3) D ．(2,3)答案 (1)C (2)D解析 (1)中，A 是递减数列，B 是摆动数列，D 是有穷数列，故选C. (2)中，结合函数的单调性，要证{a n }递增，则应有 ⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 7＝(3－a )×7－3<a 8＝a8－6，解得2<a <3，选D.反思与感悟 (1)有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．(2)数列的单调性：若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列． 跟踪训练1 已知下列数列： (1)2 000,2 004,2 008,2 012； (2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…；(5)1,0，－1，…，sin n π2，…； (6)3,3,3,3,3,3.其中有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是______，摆动数列是________．(将正确答案的序号填在横线上) 答案 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6)(4)(5)题型二 观察法写数列的一个通项公式例2 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)23，415，635，863，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)－1,2，－3,4，…； (4)2,22,222,2 222，….解 (1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积． 故a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n 2，∴a n ＝n 22.(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故a n ＝(－1)n ·n . (4)由9,99,999,9 999，…的通项公式可知，所求通项公式为a n ＝29(10n －1)．反思与感悟 (1)用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式． ③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k 处理符号． ④对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决． (2)熟记一些基本数列的通项公式，如： ①数列－1,1，－1,1…的通项公式是a n ＝(－1)n . ②数列1,2,3,4，…的通项公式是a n ＝n . ③数列1,3,5,7，…的通项公式是a n ＝2n －1. ④数列2,4,6,8，…的通项公式是a n ＝2n . ⑤数列1,2,4,8，…的通项公式是a n ＝2n －1.⑥数列1,4,9,16，…的通项公式是a n ＝n 2.跟踪训练2 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． (1)1,3,7,15,31，…； (2)4,44,444,4 444，…；(3)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(4)2，－45，12，－411，27，－417，…；(5)1,2,1,2,1,2，…. 解 答案不唯一．(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2,4,8,16,32，…，新数列的通项为2n ，故原数列的通项公式为a n ＝2n －1.(2)各项乘94，变为9,99,999，…，各项加上1后，数列变为10,100,1 000，…，新数列的通项为10n ，故原数列的通项公式为a n ＝49(10n －1)．(3)所给数列有这样几个特点： ①符号正、负相间 ②整数部分构成奇数列；③分母为从2开始的自然数的平方； ④分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可． 由所给的几项可得数列的通项公式为：a n ＝(－1)n⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)＋n (n ＋1)2，所以a n ＝(－1)n2n 3＋3n 2＋n －1(n ＋1)2.(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为42，－45，48，－411，…，再把各分母分别加上1，数列又变为43，－46，49，－412，…，所以a n ＝4×(－1)n ＋13n －1.(5)可写成分段函数形式：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，n ∈N *，2，n 为偶数，n ∈N *. 题型三 通项公式的应用例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，则(1)计算a 3＋a 4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 解 (1)∵a n ＝1n (n ＋2)，∴a 3＝13×5＝115，a 4＝14×6＝124，∴a 3＋a 4＝115＋124＝13120.(2)若1120为数列{a n }中的项，则1n (n ＋2)＝1120， ∴n (n ＋2)＝120， ∴n 2＋2n －120＝0， ∴n ＝10或n ＝－12(舍)， 即1120是数列{a n }的第10项． 反思与感悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n 项，然后列出关于n 的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋110. (1)20是不是{a n }中的一项？ (2)当n 取何值时，a n ＝0.解 (1)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝20， 即n 2－n －90＝0，∴(n ＋9)(n －10)＝0， ∴n ＝10或－9(舍)．∴20是数列{a n }中的一项，且为数列{a n }中的第10项． (2)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝0， 即n 2－n －110＝0，∴(n －11)(n ＋10)＝0， ∴n ＝11或n ＝－10(舍)， ∴当n ＝11时，a n ＝0.1．下列数列的关系是( )(1)1,4,9,16,25 (2)25,16,9,4,1 (3)9,4,1,16,25 A ．都是同一个数列 B ．都不相同C ．(1)、(2)是同一数列D ．(2)、(3)是同一数列 答案 B解析 三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同． 2．下列数列中，是有穷数列的是( )(1)1,1,1,1，…；(2)6,5,4,3，…；(3)110，18，16，14，12；(4)2，－2,2，－2.A ．(2)，(3)B ．(2)，(3)，(4)C ．(1)，(2)，(3)，(4)D ．(3)，(4)答案 D解析 (1)、(2)是无穷数列，(3)、(4)是有穷数列． 3．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝1>0，∴{a n }为递增数列．4．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n·n 2＋n2n ＋1B ．a n ＝(－1)n·n 2＋32n －1C ．a n ＝(－1)n·(n ＋1)2－12n －1D ．a n ＝(－1)n ·n (n ＋2)2n ＋1答案 D解析 数列的奇数项为负，偶数项为正，分母是3、5、7、9，可表示为2n ＋1，分子可调整为1×3,2×4,3×5,4×6，…故通项a n ＝(－1)nn (n ＋2)2n ＋1.5．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( ) A ．第28项 B ．第24项 C ．第23项 D ．第22项答案 C解析 数列的通项公式为a n ＝2n －1.令2n －1＝35，∴n ＝23.6．已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，…，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数答案 B解析 将n ＝1,2,3,4代入各选择项，验证得a n ＝2sinn π2不能作为通项公式．1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些“数”的排列次序也有关． 2．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．并非每一个数列均有通项公式，如2的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一． 4．通项公式的应用．一、选择题1．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列答案 A解析 a n ＋1－a n ＝2n ＋1－2n ＝2n >0，∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列． 2．数列{a n }：－3，3，－33，9，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n＋13n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)答案 B解析 把前四项统一形式为－3，9，－27，81，可知它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·3n . 3．已知数列－1，14，－19，…，(－1)n 1n 2，…，则它的第5项的值为( )A.15 B ．－15C.125 D ．－125答案 D解析 易知，数列的通项公式为(－1)n ·1n 2，当n ＝5时，该项为(－1)5·152＝－125.4．已知数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3等于( )A ．20B ．28C ．0D ．12答案 A解析 a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10， ∴a 2a 3＝2×10＝20.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列答案 A解析 a n ＋1－a n ＝n n ＋2－n －1n ＋1＝2(n ＋1)(n ＋2)>0，∴{a n }是递增数列．6．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 答案 B解析 令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝25－2n ，下列各数中，不是{a n }的项的是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵a 12＝1，a 13＝－1，a 11＝3，故选C. 8．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223 答案 C解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021. 二、填空题9．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则10－3是此数列的第________项．答案 9 解析 令1n ＋n ＋1＝10－3，即n ＋1－n ＝10－3，∴n ＝9.10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.答案 n解析 ∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .11．已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析 若a n ＝n 2＋λn ，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )＝2n ＋1＋λ. ∵{a n }递增，∴2n ＋1＋λ>0对任意n ∈N *成立，即λ>－2n －1对任意n ∈N *成立，又－2n －1的最大值为－3，∴λ>－3.三、解答题12．写出下列数列的一个通项公式．(1)－11＋1，14＋1，－19＋1，116＋1，…； (2)2,3,5,9,17,33，…；(3)12，25，310，417，526，…； (4)1，43，2，165，…； (5)－13，18，－115，124，…； (6)2,6,12,20,30，….解 (1)奇数项为负，偶数项为正，各项分子都是1，分母是n 2＋1，所以a n ＝(－1)n ·1n 2＋1. (2)a 1＝2＝20＋1，a 2＝3＝2＋1，a 3＝5＝22＋1，a 4＝9＝23＋1，a 5＝17＝24＋1，a 6＝33＝25＋1，…，所以a n ＝2n －1＋1.(3)a 1＝12＝112＋1，a 2＝25＝222＋1，a 3＝310＝332＋1，a 4＝417＝442＋1，…， 所以a n ＝n n 2＋1. (4)a 1＝1＝22，a 2＝43，a 3＝2＝84，a 4＝165，…， 所以a n ＝2n n ＋1. (5)a 1＝－13＝－11×3，a 2＝18＝12×4， a 3＝－115＝－13×5，a 4＝124＝14×6，…， 所以a n ＝(－1)n ·1n (n ＋2). (6)a 1＝2＝1×2，a 2＝6＝2×3，a 3＝12＝3×4，a 4＝20＝4×5，a 5＝30＝5×6，…所以a n ＝n (n ＋1)．13．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)88是不是数列{a n }中的项？解 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *，∴88不是数列{a n }中的项．。

第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。

3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项时为常数列)。

③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

第二章数列课程整合1数列乞降共两课时** 学习目标 **1．掌握数列乞降的方法；2．能依照和式的特点采纳相应的方法乞降．** 要点精讲 **1．公式法：等差、等比数列乞降公式；nk2 12 22 32 n 2 1n( n 1)(2n 1) ，公式：k 1 6n2 k3 13 23 n 31n( n 1) 等。

k 122．错位相减法：若a n 是等差数列，b n是等比数列，则求数列a n b n的前 n 项和 S n，常用错位相减法。

3．裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项。

4．分组乞降法：把一个数列分成几个可以直接乞降的数列。

5．并项乞降法：特点是数列的前后两项和或差可以组成一个我们熟悉的数列形式6．倒序相加法：近似于等差数列前 n 项和公式的推导方法．** 模范解析 **例 1．乞降：S 1 (1 q) (1 q q2 ) (1 q q2 q n ) ．n例 2．（ 1）已知数列a n 满足 a n1，求 S n。

n n 1( n 1 n)（ 2）已知数列 a 的通项公式 a1 ，求 S 。

n2n n 2n n（ 3）已知数列 a 的通项公式 a4n2 ，求 S 。

n n (2n 1)(2n 1) n（ 4）乞降：S n 11 1 1。

1 2 1 2 3 1 2 3 n例 3 ．（ 1）乞降：1 2 2 33 4(1)n nS n（ 2）乞降： S 1 3 57 9( 1)n (2n1)n（ 3）已知函数对所有 x R ， f (x)f (1 x) 1 。

新 课 标第一 网乞降： Sf (0) f ( 1 ) f ( 2 )f (n2 )f (n 1) f (1) 。

n n nn例 4．在等差数列 { a n } 中 ,首项 a 11，数列 { b n } 满足 b n(1) a n ，且 b 1b 2 b 3 1 。

264（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2）求证： a 1b 1 a 2b 2a nb n 2 。

§2.1 数列学习目标：了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前n 项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项.学习重难点：数列概念；数列的表示方法；递推公式.知识要点1、数列的定义：按照一定 排列的一列数叫数列.数列中的 都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首 项），第2项, …,第n 项, …数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，其中n a 是数列的 ，叫做数列的 ，我们通常把一般形式的数列简记作 。

2、数列的表示:（1）列举法:将每一项一一列举出来表示数列的方法.（2）图像法:由(n,a n )点构成的一些孤立的点;（3）解析法:用通项公式a n =f(n)（*∈N n ）表示.通项公式：如果数列{n a }中的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的 .数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.思考与讨论:①数列与数集有什么区别？与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。

可重复性：数列中的数可以重复。

有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。

②是否所有的数列都有通项公式？③{n a }与n a 有什么区别？（4）递推公式法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。

3、数列与函数从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 （或它的 ）的函数)(n f a n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的 是相应的函数的解析式，它的图像是 。

第二章 数列§2.1数列的概念与简单表示法【学习目标】1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；2. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.【学习过程】1、课前准备（预习教材P 28 ~ P 30 ，找出疑惑之处） 复习1：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？2、新课导学探究任务：数列的概念⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式. 反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.6.通项公式法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的一个通项公式是 .7.图象法：数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y 轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．8. 递推公式法：递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试：上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 .9. 列表法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示？反思：所有数列都能有四种表示方法吗？【学习评价】1．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为（ ） A. 非负整数集 B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n2．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第（ ）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3．数列,10,6,3,1……的一个通项公式是（ ）.A.12+-n n B.2)1(+n n C.2)1(-n n D.321-+n 4．以下通项公式中，不是数列3,5,9，……的通项公式的是（ ） A 21n n a =+ B 23n a n n =-+C 21n a n =+D 1.5(2)(3)5(1)(3) 4.5(1)(2)n a n n n n n n =-----+-- 5．已知数列{}n a 满足12a =,111nn na a a ++=-(*n ∈N ),则3a 的值为（ ） A. 12-B. 12C. 13-D. 136．在数列{}n a 中，12n n n a a a ++=+，122,5a a ==，则6a 的值是 （ ） A.3- B.11- C.5- D.19 7.正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列}{n a 有以下结论，①155=a ；②620a =；③数列}{n a 的递堆公式),(11*+∈++=N n n a a n n 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)1(2-=n n a S ，则=2a AA ．4B ．2C ．1D ．2-9．{}n a 满足1111,1,2n n a a a -==-则9a 的值为 （ ） A.12B.1- C .2 D.2- 10．试探究下列一组数列的基本规律:0,2,6,14,30,…,根据规律写出第6个符合规律的数,这个数是( )A.60B.62C.64D.94【总结与提升】※ 学习小结1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；2. 会用通项公式写出数列的任意一项.3. 数列的递推公式. ※ 知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数. n 刀最多能将比萨饼切成几块？ 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块，两刀最多能切成4块，而三刀最多能切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将饼切成多少块？n 刀呢？解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交点，所以第n 刀最多与前n －1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第n 刀的切痕最多被前n －1刀分成n 段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n 刀切下去最多能使饼增加n 块. 记刀数为1时，饼的块数最多为1a ，……，刀数为n 时，饼的块数最多为n a ，所以n a =1n a n -+.由此可求得n a =1+2)1(+n n .、§2.2等差数列【学习目标】1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.【学习过程】1、课前准备（预习教材P36 ~ P39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？2、新课导学※学习探究探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，…② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示.2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为A=探究任务二：等差数列的通项公式问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+43a a -= ，即：431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a . .【学习评价】1.已知等差数列:5,3,1,1,---.则下列不是该数列的项的是 ( )A.11B.29n -C.45n -D.522．{an}是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是( )A ．24B ．27C ．30D ．33 3．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）A ．34B ．35C ．36D ．374．等差数列{an}中，已知a 1=－6，a n =0，公差d ∈N*，则n （n ≥3）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 5．设{a n }为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为（ ）①{a n 2} ②{pa n } ③{pa n +q } ④{na n }（p 、q 为非零常数）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．已知c b 、、a 成等差数列，则二次函数c bx ax ++=2y 2的图像与x 轴交点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1或27．由1a =1，131nn n a a a +=+给出的数列{}n a 的第34项为（ ）A 、10334 B 、100 C 、1001 D 、1041 8．已知数列的通项公式是()()3122n n n a n n ⎧+⎪=⎨-⎪⎩是奇数是偶数，则23a a ⋅等于（ ）A.70B.28C.20D.89．已知数列{}n a ，25n a n =-+，它的前n 项的和最大时，n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．1310．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列【总结与提高】※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).3. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.4. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++3.判别一个数列是否等差数列的三种方法，即： （1）1n n a a d +-=；（2）(0)n a pn q p =+≠； （3）2n S an bn =+.§2.3 等差数列的前n 项和【学习目标】1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.【学习过程】1、课前准备（预习教材P 42 ~ P 44，找出疑惑之处）复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？2、新课导学 ※ 学习探究探究：等差数列的前n 项和公式问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =?新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S =小结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： .等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.3.数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a . 等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.【学习评价】1．已知等差数列{a n }中，a １＝１，d=1，则该数列前9项和S 9等于（ ） A.55 B.45 C.35 D.252．已知等差数列{an}的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ）A ．180B ．－180C ．90D ．－903．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）A ．9B ．10C ．19D ．294. 等差数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列{nS n}的前11项和为 （ ）A.-45B.-50C.-55D.-66 5．将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，……. 则第2008层正方体的个数是（ ）.A ．4011B ．4009C ．2017036D ．2009010 6．已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于( )A.18B.27C.36D.457．某乡建设线路，有48根电线杆，最近一根竖直离电线杆堆放处1000m ，以后每隔50m 竖一根，如果一辆车一次能运6根，全部运完返回，这辆车共走了（ ）.A ．18400mB ．18450mC ．36800mD ．36900m 8．等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32+=．则此数列的公差=d ．9. 数列｛a n ｝，｛b n ｝满足a n b n =1, a n ＝n 2＋3n ＋2，则｛b n ｝的前10次之和为 10.已知整数对排列如: ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,32,2,3,1,1,4,()2,3,()()3,2,4,1,()()1,5,2,4,，则第60个整数对是_______________.【总结与提升】※ 学习小结1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个. ※ 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为2k d .3.等差数列奇数项与偶数项的性质如下： （1）若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；（2）若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；S n 偶奇＝.…… ……§2.4等比数列【学习目标】1.理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3.体会等比数列与指数函数的关系.4.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；5. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.【学习过程】1、课前准备（预习教材P 48 ~ P 51，找出疑惑之处） 复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式n a = ， 等差数列的性质有：2、新课导学 ※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…思考以上四个数列有什么共同特征？新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n aa -= （q ≠0）2. 等比数列的通项公式：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：【学习评价】1． 设{}n a 是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则18a a +与45a a +的大小关系为（ ） A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+ C ． 1845a a a a +=+ D ．与公比的值有关 2．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=（ ） A ． 10 B ． 15 C ． 5 D ．6 3．设{}n a 是正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a =，那么36930a a a a =（ ）A ． 102 B ． 202 C ． 162 D ．1524．三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（ ） A ．2，4，8 B ．8，4，2 C ．2，4，8，或8，4，2 D ．142856,,333- 5．等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，由1{}na 的前n 项的和是（ ） A ．15 B ． 1n q S C ．1n S q- D ．n q S7．一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ ） A ．三边边长之比为3:4:5，B ．三边边长之比为，CD．较大锐角的正弦为12， 8．等比数列1a 2a 3a 的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令123t a a a =，则t 的取值范围是（ ）A ． 3[,0)m -B ． 3[,)m -+∞C ． 3(0,]mD ．3(,]m -∞ 9.若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（ ） ①2{}n a ，2{}n a 是等比数列 ②{lg }n a 成等差数列 ③1{}na ，{}n a 成等比数列 ④{}n ca ，{}n a k ±(0)k ≠成等比数列。

高中数学必修5课后习题答案(共10篇)高中数学必修5课后习题答案（一）: 人教版高一数学必修5课后习题答案课本必修5,P91练习2,P93习题A组3和B组3,全部都是线性规划问题, 生产甲乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，2023元。

甲乙产品都需要A、B两种设备上加工，每台A、B设备上加工1件甲设备工时分别为1h，2h，加工乙设备工时2h,1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h，如何安排生产可使收入最大？2.电视台应某企业之约播放两套电视剧，其中，连续剧甲每次播放时间为80分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40分钟，广告时间1分钟，收视观众20万。

已知和电视台协议，要求电视台每周至少播放6分钟广告，二电视台每周只能为该企业提供不多于320分钟的节目时间。

如果你是电视台制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得更高的收视率？P91练习 2 答案：解设每月生产甲商品x件,生产乙商品y件,每月收入z元,目标函数z=3X+2y,需要满足的条件是：x+2y≤400 2X+y≤500 x≥0 y≥0作图略作直线z=3x+2y,当直线经过A点时,z 取最大值解方程组{x+2y=400 2x+y=500 可取点A 《200,100》所以z的最大值为800高中数学必修5课后习题答案（二）: 高一人教版数学必修5课后习题答案知道下列各项·写出同项公式1,√2/2,1/2,√2/4 1/4关于数列问题1,√2/2=1*√2/2,1/2=1*（√2/2）^2,√2/4=1*(√2/2)^31/4=1*(√2/2)^4……所以是以首项为1,公比为√2/2的等比数列An=(√2/2)^（n-1）高中数学必修5课后习题答案（三）: 高中数学必修5课后习题1.1A组第一第二题答案要有步骤解三角形A=70° B=30° c=20cm b=26cm c=15cm C=23° a=15cm，b=10cm，A=60° b=40cm，c=20cm，C=25°1.180°--70° --30° =80°所以角C=80°然后用正弦定理2.还是正弦定理3.还是正弦定理4.还是正弦定理很简单的正弦定理a比上sinA=b比上sinB=c比上sinCa是边长,A是角高中数学必修5课后习题答案（四）: 数学必修五课后习题答案数学必修五第五页（也可能是第四页）课后习题答案,要有解题过程,大神们呐,帮帮我吧参考书里没有解题过程!2在三角形ABC中，已知下列条件，解三角形(1)a=20cm,b=11cm,B=30°(2)c=54cm,b=39cm,C=115°画图题2个题做法基本一样比如第1小题,先根据已知角度画出已知角B,然后以角点B为圆心,以20为半径画圆弧,和B的某一线相交一点C,再以该点为圆心,以11cm为半径画圆弧,和B角的另一角边相交,这样得到A点,到此,三角形就画好了.高中数学必修5课后习题答案（五）: 数学必修5练习x^2-(2m+1)x+m^2+m分析x -(2m+1)x+m +m高中数学必修5课后习题答案（六）: 高一数学必修5解三角形正弦定理课后练习B组第一题(1) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (2) sinA :sinB :sinC = a :b :c;高中数学必修5课后习题答案（七）: 高二数学必修5答案,人民教育出版社的,习题2—3A的练习题,P51页,急用,我的同学瞧不起我,我非要做个全对不可,可我数学一点都不好,我不想就这样被同学踩在脚底下,希望谁有答案,帮忙写一下,拜托了,我先拿30分,不够的话,再说.看看这个,参考参考.高中数学必修5课后习题答案（八）: 高中数学必修5第三章不等式复习参考题答案【高中数学必修5课后习题答案】有本书叫《中学教材全解》,是陕西出版社的金星教育那上面有详细的解答准确度很高同时发几个网址,看有没有你需要的高中数学必修5复习题及答案（A组）人教版高中数学必修模块（1-5）全部精品课件集高中数学必修5课后习题答案（九）: 高一数学作业本必修5的题目..11.(1)已知x＞0,y>0．且(1/x)+(9/y)=1.求x+y的最大值．（2）已知x【高中数学必修5课后习题答案】11.(1) (1/x+1/y)*(x+y)=1+9+9x/y+y/x=10+9x/y+y/x9x/y+y/x>=2√9x/y*y/x1/x+9/y>=16(2)y=4x-5+1/(4x-5)+3>=2√(4x-5)*1/(4x-5）+3>=5(3)跟第一题是一样的,就是除以xy,答案是18高中数学必修5课后习题答案（十）: 人教版数学必修5习题2.2B组1答案求高中数学必修5的40页B组第一题的答案.（1）从表看出,基本是一个等差数列,d=2023,a2023=a2023+8d=0.26x10^5,在加上原有的9x10^5,答案为：9.26x10^5.(2)2023年底,小于8x10^5hm略。

高考数列专题考情分析——全国卷中数列与三角函数基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题，从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题，难度中等。

题型1 等差、等比数列的基本运算方法归纳: 五个基本量，熟悉公式，方程思想，多用性质可以简化运算。

1．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．22．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型二 等差、等比数列的判定与证明方法归纳——紧抓定义证明，难度不大。

5．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.题型3 数列的通项与求和问题方法归纳——数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本量问题；求和问题关键在于分析通项的结构体征，选做适合的求和方法，常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等。

明目标、知重点 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简洁的数列，会依据其前n 项写出它的通项公式．1．数列的概念依据确定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a n 称为第n 项． 3．数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 4．数列的通项假如数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[情境导学]“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，假如把木棒每天的长度记录下来，就会得到无穷多个数，这无穷多个数就组成了本节要争辩的一个数列． 探究点一 数列的概念思考1 阅读课本29页的几个例子，得出下列几组数： (1)20,22,24,26,28，….(2)1 740,1 823,1 906,1 989,2 072，…. (3)1,2,4,8,16，…. (4)12，14，18，116，132，…. (5)1,1,2,3,5,8，…. (6)15,5,16,16,28,32.以上这6组数有什么共同特点？ 答 都是按确定的次序排列的．小结 数列的定义：依据确定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．思考2 依据思考1这6个具体的数列，你能抽象出数列的一般形式如何表达吗？ 答 数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，….简记为{a n }，其中a n 是数列的第n 项．思考3 数列可以简记为{a n }，那么a n 仅仅是数列的第n 项吗？答 a n 有时是数列的第n 项，具有确定性，有时代表任意项，即具有任意性．探究点二 数列的通项公式思考1 观看数列1，12，13，14，15，…，数列的每一项与这一项的序号是否有确定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？答 该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，用通项公式a n ＝1n可表示这个数列．小结 (1)一般地，假如数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)并不是全部的数列都有通项公式，有些数列的通项公式不唯一．(3)通项公式的作用：①求数列中的任意一项；②检验某数是不是该数列中的项．思考2 数列{a n }的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？答 能确定数列是递增数列还是递减数列，是否具有周期性，有没有最大或最小项等． 例1 已知数列的第n 项a n 为2n －1，写出这个数列的首项、第2项和第3项． 解 首项为a 1＝2×1－1＝1；第2项为a 2＝2×2－1＝3； 第3项为a 3＝2×3－1＝5.反思与感悟 在本例中，第n 项a n 可用一个公式2n －1来表示，即该数列的通项公式．假如已知数列的通项公式，就可以求出数列中的任意一项．跟踪训练1 已知数列{a n }的通项公式，写出这个数列的前5项．(1)a n ＝nn ＋1；(2)a n ＝(－1)n 2n .解 我们用列表法分别给出这两个数列的前5项.n 1 2 3 4 5 a n ＝nn ＋112 23 34 45 56 a n ＝(－1)n 2n－1214－18116－132例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)11×2，－12×3，13×4，－14×5； (2)0,2,0,2.解 (1)这个数列的前4项的分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋1n (n ＋1).(2)这个数列的奇数项是0，偶数项是2，所以它的一个通项公式是a n ＝1＋(－1)n.反思与感悟 要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观看分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数．跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0；(3)22－12，32－13，42－14，52－15.解 (1)这个数列的前4项的确定值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1n.(2)这个数列的前4项构成一个摇摆数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1.(3)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1.例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)(2n －1)(2n ＋1).(1)写出它的第10项；(2)推断233是不是该数列中的项．解 (1)a 10＝(－1)10×1119×21＝11399.(2)令n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝233，化简得：8n 2－33n －35＝0，解得n ＝5(n ＝－78，舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.∴233不是该数列中的项．反思与感悟 推断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.1．下列叙述正确的是________． ①数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列； ②数列0,1,2,3，…可以表示为{n }； ③数列0,1,0,1，…是常数列；④数列{nn ＋1}是递增数列．答案 ④解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值渐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故答案为④.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________． 答案 a n ＝n ＋1解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.3．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按确定次序排列的．其中说法正确的是________． 答案 ③④解析 假如数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1,1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ＋1，也可以是a n ＝cos(n －1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．4．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的确定值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N *.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观看：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *.(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.(4)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2 (n ∈N *)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)．[呈重点、现规律]1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三共性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非全部的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．3．假如一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．一、基础过关1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为________．答案 1,0,1,0解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的第________项． 答案 7解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是________． ①a n ＝n 2－n ＋1；②a n ＝n (n －1)2；③a n ＝n (n ＋1)2；④a n ＝n 2＋1. 答案 ③解析 令n ＝1,2,3,4，代入①、②、③、④检验即可．排解①②④，从而确定答案为③.4．数列23，45，67，89，…的第10项是________．答案 2021解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021.5．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有________个．答案 3解析 数列12，23，34，45，…的通项公式为a n ＝n n ＋1，0.94＝94100＝4750，0.96＝96100＝2425，0．98＝98100＝4950，0.99＝99100，2425，4950，99100都在数列{n n ＋1}中，故有3个． 6．观看下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3解析 由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3. 7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程) (1)3,5,9,17,33，…； (2)23，415，635，863，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，….解 (1)a n ＝2n ＋1. (2)a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性毁灭，因此，我们可以用sin n π2表示，故a n ＝sinn π2n .8．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？假如是，是第几项？ 解 (1)∵a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ， ∴a 8＝80，a 20＝440.(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)． ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项． 二、力气提升9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n ＝________.答案 13(1－110n )解析 ∵0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项是1－(0.1)n ＝1－110n ，∴数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n ＝13(1－110n )．10．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n ＝________.答案 2n ＋1解析 ∵3＝21＋1,5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，….∴a n ＝2n ＋1. 11．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的确定值的排列规律为后面的数的确定值总比前面数的确定值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子均比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n ·2n －32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1， ∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.12．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 014；(2)若b n 由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式． 解 (1)a n 是项数n 的一次函数，故可设a n ＝kn ＋b ， 又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 014＝2×2 014＋1＝4 029. (2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成的， ∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)． 三、探究与拓展13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有很多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． (1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧n >76，n <83.∴76<n <83. ∵n ∈N *，∴n ＝2，故区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

2.1 数列1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 数列的概念与分类阅读教材P 31，完成下列问题．1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．( )(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )(3)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的第5项为15.( )(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√教材整理2 数列的通项公式阅读教材P32～P33的有关内容，完成下列问题．1．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．【解析】1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是a n＝2n－1，n∈N*.【答案】a n＝2n－1，n∈N*2．若数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，则a5＝________.【解析】∵a n＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.【答案】13[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]写出下列数列的一个通项公式．(1)12，2，92，8，252，…；(2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】 【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N *)． (4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1n (n ＋1)(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律1．一般数列通项公式的求法2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k 处理符号问题．3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]1．写出下列数列的一个通项公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….【导学号：91730020】【解】 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？【精彩点拨】 (1)令n ＝1,2,3求解即可；(2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．【自主解答】 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项．令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．[再练一题]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1，则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2， 解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究共研型]探究1 (小)项？【提示】 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.探究2 如何定义数列{a n }的单调性？【提示】 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．【精彩点拨】 利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围．【自主解答】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k 2， ∴当－k 2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k 2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2， 即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)．∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n，则a n 为最小项．[再练一题]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3(n ∈N *)，求它的最大项.【导学号：91730021】【解】 由题意知，－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058. 由于函数f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋1058在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.[构建·体系]1．已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)【解析】 (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列．【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．【解析】 这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.【答案】 a n ＝n ＋13．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按一定次序排列的．其中说法正确的是________．【解析】 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n＋1，也可以是a n＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．【答案】③④4．用火柴棒按图2-1-1的方法搭三角形：图2-1-1按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式是________.【导学号：91730022】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n＝2n＋1.【答案】a n＝2n＋15．已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n2＋3n(n∈N*)，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【解】(1)a1＝412＋3×1＝1，a2＝422＋3×2＝25，a3＝432＋3×3＝29.(2)令4n2＋3n＝110，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.又n∈N*，故n＝－8舍去，所以110是数列{a n}的第5项．令4n2＋3n＝1627，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝32或n＝－92.又n∈N*，所以1627不是数列{a n}的项．我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有________．【解析】由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．【答案】①②③④2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．【解析】观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.【答案】153．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．①a n＝n2－n＋1；②a n＝n(n－1)2；③a n＝n(n＋1)2；④a n＝n2＋1.【解析】 令n ＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.【答案】 ③4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________． 【解析】 由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.【答案】 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.【导学号：91730023】【解析】 数列的通项为a n ＝3n －1.∵25＝20＝3×7－1，∴25是数列的第7项．【答案】 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)图2-1-2【解析】 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2，故第n 个图形中的点数为n 2.【答案】 n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. 【解析】 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.【答案】 3－22n15 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.【解析】 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99， 显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．【答案】 ①二、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎨⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 【解】 (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1. 所以0<a n <1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升]1．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为______.【导学号：91730024】【解析】 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94， 同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.【答案】 6116图2-1-32．如图2-1-3，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．【解析】 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，∵a2 016＝a2 015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．【答案】A3．已知数列{a n}满足a m·n＝a m·a n(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________. 【解析】由a m·n＝a m·a n，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.【答案】274．设函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性．【解】(1)由f(x)＝log2x－log x2，可得f(2a n)＝a n－1a n＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1. 因为0<x<1，所以0<2a n<1，所以a n<0.故a n＝n－n2＋1.(2)法一：(作商比较)a n＋1 a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋1 n－n2＋1＝n＋n2＋1(n＋1)＋(n＋1)2＋1<1.因为a n<0，所以a n＋1>a n.故数列{a n}是递增数列．法二：(作差比较)a n＋1－a n＝n＋1－(n＋1)2＋1－n＋n2＋1＝n2＋1＋1－n2＋2n＋2＝2(n2＋1－n)n2＋1＋1＋n2＋2n＋2>0.所以数列{a n}是递增数列．。

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第二章 数列一、选择题1．设S n 是等差数列{a n ｝的前n 项和，若 63S S ＝错误!，则126S S ＝（ ）． A ．错误! B ．错误! C ．错误! D ．错误!2．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，｛b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( ）． A ．a 3＋a 9＜b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．在等差数列｛a n }中,若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18,则该数列的前 2 008项的和为（ ）．A ．18 072B ．3 012C ．9 036D ．12 0484．△ABC 中,a ，b ,c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列, ∠B ＝30°，△ABC 的面积为23，那么b ＝（ )．A ．231+ B ．1＋3 C ．232+ D ．2＋35．过圆x 2＋y 2＝10x 内一点（5，3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为数列的末项a k ，若公差d ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131 ，,则k 的取值不可能是（ )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．已知等差数列{a n ｝中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是（ ）． A ．15B ．30C ．31D ．647．在等差数列{a n ｝中，3(a 2＋a 6）＋2（a 5＋a 10＋a 15）＝24，则此数列前13项之和为（ )． A ．26B ．13C ．52D ．1568．等差数列｛a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝－24,a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )． A ．160B ．180C ．200D ．2209．在等比数列｛a n ｝中,a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )．A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－110．已知｛a n ｝是等比数列，a 2＝2，a 5＝41,则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ）．A ．16（1－4－n） B ．16（1－2－n) C ．332(1－4－n)D ．332（1－2－n)二、填空题11．设等比数列｛a n }的公比为q ,前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，则q 的值为 。

高中数学必修5数列解答题及答案高中数学必修5——数列解答题复习及答案1.等差等比数列等差数列等比数列a*n，1 ,,()qnN() n,2aad,,定义 nn,1ana,a，(n,1)d， aanmdnm,，,,(),()通项 n1nm ，aGb,,成等比数列，那么叫做与如果GaaAb,,A如果成等差数列，那么叫做与的等差中ba的等比中项( bab，中项项(。

A,a2等比中项的设法:，， aqa等差中项的设法: q前n(1)nn,nS,(a，a)Snad， ,， n1nn122项和m，n,p，q，则若*aaaamnpqNmnpq，,，,，,，(,,,,)若mnpq性 2*若则有2,,(,,,)mpqaaapqnmN,，,,,mpq质 2mpq,，，则、、为等差数列、、为等比数列 SSS,SS,SSS,SS,n2nn32nnn2nn32nnann1aqAq,,adnadAnB,，,,，()函数nn1q2 看数dd22aasnanAnBn,，,,，()nn11n1列 (1)sqAAqq,,,,,n2211,,qqa*，1n(n,N)(1)定义法:证明为一个常数 a*n(1)定义法:证明a,a(n,N)为一个常数; n，n12*(2)中项:证明aa,,,,anNn(,2) *,n，nn11n,2)(2)等差中项:证明2a,a，a(n,N， nn,n，11判定n(3)通项公式:acqcq,(,均是不为0常方法 *nn,N(3)通项公式:为常数)() aknbkb,，(,n数)*2nN,(,ABs,，AnBn(4)为常数)() nn(,Aq,A(4)sAq,为常数，nA0,q0,1,,)Sn(1),,,1a,n,12(与的关系: ，已知求，应分时 ;SSaaa,,nnnnn1SSn,,(1),,nn1,时，= 两步，最后考虑是否满足后面的. n,2aaann13.数列通项公式求法。

(请参照试卷“数列通项公式求法专题”)4.数列求和(请参照求和专题试卷)(1)公式法; (2)分组求和法; (3)错位相减法; (4)裂项求和法;(5)倒序相加法。

明目标、知重点 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点争辩数列.2.理解递推公式的含义，能依据递推公式求出数列的前几项．1．数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数，当自变量依据从小到大的挨次依次取值时所对应的一列函数值．2．数列的递推公式假如数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．3．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的函数特性思考1数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？答数列也可以用图象、列表等方法来表示．思考2以数列：2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答(1)通项公式法：a n＝2n.(2)列表法：n123…k…a n246…2k…(3)图象法：思考3与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的生疏．答数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}；②数列中的项是对应序号1,2,3，…的一列函数值；③数列的图象是一些孤立的点，这些点的横坐标按从小到大依次是1,2,3，….例1下图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观看、归纳各项与序号之间的联系，擅长利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到解决问题的目的．跟踪训练1传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上争辩数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角外形，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析 三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 探究点二 数列的递推公式思考1 观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？ 答 首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n ＝2a n －1＋1(n >1)． 思考2 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，如何求出a 2，a 3，a 4? 答 a 2＝3a 1＋2＝5，a 3＝3a 2＋2＝17，a 4＝3a 3＋2＝53.小结 像思考2给出数列的方法叫递推公式法，其中a n ＝3a n －1＋2(n >1)称为递推公式，递推公式也是数列的一种表示方法．例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1).写出这个数列的前五项． 解 由题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项． 解 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33. 探究点三 数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n －1)＋1＝2n －1.n －1)个2思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n ＝1n .例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发觉数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 014项？ 解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…. 发觉：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6， 证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6. ∴a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝－1.反思与感悟 已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解 由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是________． ①a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *； ②a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2； ③a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2； ④a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2. 答案 ②2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n ＝________. 答案 3－n解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________． 答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)a n ＝1n .[呈重点、现规律]1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }的单调性为________． ①递增数列； ②递减数列； ③常数列； ④不能确定． 答案 ①2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项为________．答案 12解析 a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12.3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案 6116解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 5＝________. 答案 17解析 ∵b n ＝1n b a －，∴b 2＝1b a ＝a 2＝3， b 3＝2b a ＝a 3＝5，b 4＝3b a ＝a 5＝9， b 5＝4b a ＝a 9＝17.5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)，4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为________． 答案 4,7,10,156．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________． 答案 －3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1) ⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3.7．依据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中有多少个点．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 二、力气提升9．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是________．答案 110解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.10．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是________． 答案 108 解析 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818， 由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.12．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n .三、探究与拓展13．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n.∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1. 把上述等式相乘，得 a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1， 即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n .。

§2.4 等比数列制作：_____________审核：______________班级：.组名：. 姓名：.时间：年月日【本卷要求】：1.动脑思考2.每个点都要达标，达标的标准是能够“独立做出来”，不达标你的努力就体现不出来3.听懂是骗人的，看懂是骗人的，做出来才是自己的4.该记的记，该理解的理解，该练习的练习，该总结的总结，勿懈怠！5.明确在学习什么东西，对其中的概念、定律等要追根溯源，弄清来龙去脉才能理解透彻、应用灵活6.先会后熟：一种题型先模仿、思考，弄懂了，再多做几道同类型的，总结出这种题型的做法，直到条件反射7.每做完一道题都要总结该题涉及的知识点和方法8.做完本卷，总结该章节的知识结构，以及常见题型及做法9.独立限时满分作答10.多做多思，孰能生巧，熟到条件反射，这样一是能见到更多的出题方式，二是能提高做题速度11.循环复习12.步骤规范，书写整洁【一分钟德育】高中学生学习方法常规在学习过程中，掌握科学的学习方法，是提高学习成绩的重要条件。

以下我分别从预习、上课、作业、复习、考试、课外学习等六个方面，谈一下学习方法的常规问题。

应当说明的是，我这里所谈的是各科学习的一般规律，不涉及具体学科。

一、预习。

预习一般是指在老师讲课以前，自己先独立地阅读新课内容，做到初步理解，做好上课的准备。

所以，预习就是自学。

预习要做到下列四点：1、通览教材，初步理解教材的基本内容和思路。

2、预习时如发现与新课相联系的旧知识掌握得不好，则查阅和补习旧知识，给学习新知识打好牢固的基础。

3、在阅读新教材过程中，要注意发现自己难以掌握和理解的地方，以便在听课时特别注意。

4、做好预习笔记。

预习的结果要认真记在预习笔记上，预习笔记一般应记载教材的主要内容、自己没有弄懂需要在听课着重解决的问题、所查阅的旧知识等。

二、上课。

课堂教学是教学过程中最基本的环节，不言而喻，上课也应是同学们学好功课、掌握知识、发展能力的决定性一环。

2．1数列学习目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

学习重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 学习难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 基本知识1． 叫做数列， 叫做这个数列的项.2． 就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，图象是一些 ，它们位于 .4．根椐数列的项数可以把数列分为 和 .根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 、 、 和 . 5． 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列{}n a 的前n 项和记为n S ，即,321n n a a a a S ++++= 则⎪⎩⎪⎨⎧≥==).2(),1(n n a n1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集+N 或它的有限子集{}n ,,2,1 为定义域的函数的表达式；2．如果知道了数列的通项公式，那么依次用 ,3,2,1去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1所构成的数列,4142.1,414.1,41.1,4.1,1就没有通项公式.4．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列：,1,1,1,1,1,1---它可以写成,)1(n n a -=也可以写成⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n 还可以写成2)1(+-=n n a 等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列. 5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一. 典例精析题型一 根据数列{}n a 的前几项，写出数列的通项公式. 例1 写出下列数列的一个通项公式： （1） ,33,17,9,5,3；（2） ,544,433,322,211； （3） ,777,,7777,777,77,7；（4）.,1337,1126,917,710,1,32 --- 命题意图：寻求规律，写出通项公式.用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项之间的关系、规律.这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数数列、奇偶数列、自然数列的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列……），建立合理的联想，转换而达到问题的解决.一题一练 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出.（1）;,515,414,313,2122222 ----（2）;,201,121,61,21 -- （3）;9999.0,999.0,99.0,9.0 （4）.,4,5,4,5 题型二 数列通项公式的简单应用 例2 已知有穷数列 ,2625,1716,109,54 （1）指出这个数列的一个通项公式；（2）判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？ 命题意图：考察对通项公式的理解及应用方法提升（1）本题中极容易错误地认为122+n n 是数列的通项公式，为避免这样的错误，可验证你所写通项公式是否适合数列的前几项.（2）要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这数解出n ，根据n 是否为正整数便可确写这个数是否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一项，其实质就是看方程是否有正整数解.一题一练 已知数列{}n a 的通项公式n n q a =，且.7224=-a a（1）求实数q 的值；（2）判断81-是否为此数列的某一项.题型三 已知n S 求n a例3 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列{}n a 的通项公式. （1）;12-=n n S （2）.322++=n n S n命题意图 本题为通过n S 求n a ，因为n n a a a S +++= 21，所以n S 与n a 有关系⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 可求得.n a解 (1)由,12-=n n S 当1=n 时，;112111=-==S a 当2≥n 时， )12(1211---=-=--n n n n n S S a.22211--=-=n n n当1=n 时也适合,12111==-a 所以.21-=n n a（2）由,322++=n n S n 当1=n 时，.611==S a当2≥n 时，[].143)1()1(2)32(221-=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n.)2(14)1(6⎩⎨⎧≥-==∴n n n a n由n S 求n a 时，当1a 不符合1--=n n n S S a 表达式时，通项公式要分段表示. 即⎩⎨⎧≥==2)(11n n f n a a n 的形式.一题一练（1）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322-=，求数列通项公式； （2）已知数列⎣⎦n a 的前n 项和35-=n n S ，求数列通项公式题型四 数列的递推公式例4 已知数列{}n a 分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式.（1）);12(,011-+==+n a a a n n （2）.22,111+==+n nn a a a a 命题意图 此数列是用递推公式给出的，已知1a 就可递推出,,2 a 依此类推，可求出它的任一项.再根据前5项归纳猜想n a 的一个通项公式.由递推公式，求出数列前5项，再归纳出通项公式，猜想不一定正确，还需严格证明(今后学到)，也可以直接求出. 巩固练习 一、选择题1.下列说法不正确的是（ ）A. 数列可以用图像来表示B. 数列的通项公式不唯一C. 数列的项不能相等D. 数列可以用一群狐立的点表示2.已知数列{}n a 的通项公式为n a n 225-=，下列各数中，不是{}n a 的项的是（ ）A. 1B. -1C. 2D. 33.设数列,,11,22,5,2 则52是这个数列的（ ）A. 第六项B. 第七项C. 第八项D. 第九项4.无穷数列 1,3,6,10,的通项公式为（ ）A. 12+-=n n a nB. 12-+=n n a nC. 22nn a n +=D. 22nn a n -=5.数列{}n a ，其中,,6,31221n n n a a a a a -===++，那么这个数列的第五项为（ ）A. 6B. -3C. -12D. -6二、填空题6.数列{}n a 中，)2(,211≥+==-n n a a a n n ，则=10a .7.在数列 ,55,34,,13,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值 .8.已知数列{}n a 通项公式*)(1242N n n n a n ∈--=，则:(1)这个数列的第四项是 ；(2)65是这个数列的第 项； (3)这个数列从第 项起各项为正数. 三、解答题9.写出下列数列的一个通项公式 （1）;,811,271,91,31,1 --（2）;,0,3,0,3（3） ,1716,109,54,21-- （4）;,7777.0,777.0,77.0,7.010.在数列{}n a 中，.66,2171==a a 通项公式n a 是项数n 的一次函数. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）88是否是数列{}n a 中的项.11.已知数列{}n a 的前n 项和)(242*∈+-=N n n n S n .（1）求{}n a 的通项公式； （2）当n 为何值时， n S 达到最大?最大值是多少?12.设数列{}n a 的通项公式为)(2+∈+=N n kn n a n ，若数列{}n a 是单调递增数列，求实数k 的取值范围.锁定高考(2007年广东)已知数列{}n a 的前几项和n n S n 92-=，则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .。