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作者：张雄、李宁娟、贾雪娟血管的三维重建摘要随着现代医学的发展，科学对人类病例的研究不再局限在表面现象，在实际研究中利用断面可了解生物组织、器官等的的横截面形态和结构•从而可大大提高人类对某些疾病的预防和治疗•针对这一问题，本文由血管的I张连续的平行切片图象计算血管的中轴线与半径，并绘制血管在三个坐标平面上的投影来探讨血管的三维重建•由于血管的表面是由球心沿着某一曲线（即中轴线）的球滚动而成，由此我们得出结论：每个切片一定包含滚动球的大圆，并且他一定为切片的最大内切圆，而最大圆对应的半径即为血管的半径，所以求血管半径就转化为求每一个切片内部的点到切片外部轮廓线的所有最短距离中的最大值即为血管半径•本文从「张切片图中随机抽取I张切片图，运用MATLAB软件，得到其最大内切圆的圆心及半径，求取平均值，再用圆心拟合求出中轴线.最后根据中轴线求出它在「、「’、八、平面的投影图•关键字MATLAB软件中轴线半径平均法一、问题重述断面可用于了解生物组织，器官等的形态.例如，将样本染色后切成厚约的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构•如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察•根据拍照并采样得到的平行切片数字图像，运用计算机可重建组织、器官等准确的三位形态•假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线的球滚动包络而成•现有某管道的相继张平行切片图像，记录了管道与切片的交•图像文件名依次为’：格式均为；，宽，高均为「I ■个象素•为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图像象素的尺寸均为•试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在"、「、厂平面的投影图•二、模型假设1. 假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；2. 假设球半径固定；3. 假设切片间距以及图像象素的尺寸均为；4•假设血管无严重扭曲；5•假设切片拍摄不存在误差，数据误差仅与切片数字图像的分辨率有关三、符号说明■内点的X轴坐标'内点的y轴坐标''切片轮廓线上的点的X轴坐标切片轮廓线上的点的y轴坐标坐标为-的内点到轮廓线的距离第张切片图的最大内切圆半径四、模型分析对于这个血管的三维重建模型，由于血管的表面是由球心沿着某一曲线（即中轴线）的球滚动而成，我们对此得出结论：若切片与中轴线有交点，且管道的法向横断面是圆，则该切片必含有半径与球体相同的最大圆，即为切片的最大内切圆，而最大圆对应的半径即为血管的半径，圆心则在交点处•所以求血管半径就转化为求每一个切片内部的点到切片外部轮廓线的最大半径•利用计算机，运用MATLAB软件，搜索出张切片图的最大内切圆的半径，并找到每张切片中轴线与切片交点的坐标，记为中轴线坐标，即圆心坐标.利用这些坐标，求出血管的中轴线.在根据中轴线求出它在■ 、「’、「'•平面的投影图•五、模型的建立与求解（1 ）半径和圆心的求取（见附录1）a:运用MATLAB软件将每张切片的「文件转化为’ 矩阵，代表黑色，代表白色•同时将切片的轮廓线也存为| 矩阵•b:在「张图片中随机抽取了I张切片的图片（…、・「•••_ ），做出它们的轮廓线，找出每个内点距离轮廓线的最小距离，即为以这个内点为圆心的最小内切圆的半径；在以内点为圆心的最小内切圆中找出距离最大的那个内切圆，即为这幅图的最大内切圆，该内点的坐标即为圆心的坐标，该距离即为最大内切圆的半径（见表一）.表一最大内切圆最大内切圆的圆心坐标切片号的半径X轴Y轴Z轴0 29.0689 96 257 09 29.5367 96 259 919 29.9672 96 268 1929 29.6142 98 290 2939 29.9362 115 338 3949 29.6873 146 377 4959 29.8526 202 411 5969 30.0134 268 423 6979 29.7302 361 396 7989 29.6974 396 369 8999 30.0000 446 257 99c:用算数平均法求取半径•10□尸=——|]即’-■:(2)求解拟合曲线的方程及平面投影图通过表的数据，运用MATLAB软件先进行-次线性拟合得…面的投影图，再进行次线性拟合得 '及「面的投影图和中轴线的空间分布图及拟合方程•图依次如下：(附录2和3)中轴线在■■面的拟合方程:厂 '；V I：「.厂+ E :,、疋―I 心—：疋"疋中轴线在•面的拟合方程:J ■- . . : | ■.+- I2.769x1(1 - .t+ 2 563中轴线在’：面的拟合方程:z= -0.7 X ]0 4- 1490^10 IL A'- 7.9^4<L0 ' .v2.7S4x W \v 5.245^10 JC+ 5.261 x 10 \t-L8O2F130--»-六、模型评价及改进模型评价由于解决三维血管重组这问题问题十分繁杂，文中没有数据，故而在处理数据时应用了MATLAB等数学处理软件对图片进行处理得出大量数据并采用算数平均法进行了科学精确地处理，保证了数据整合以及结果计算的精准度；本文选取的数据较少，使得结果存在一定的误差，同时采用动态地逼近最大内切圆半径的求解过程，其计算量庞大•模型改进本文针对三维血管重组问题分别找出血管的中心轴、半径以及在.、「、「、的投影和'的空间图形建立模型，对于这类模型可推广到其他更广范围•可运用于研究人体的其他器官的形态结构，为人类的医学作出大量的贡献•七、参考文献【1 】赵静、但琦，数学建模与数学实验(第二版)，北京：高等教育出版社【2】朱道远，数学案例精选，北京：科学出版社，2003.【3】薛定宇陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB^解，北京清华大学出版社八、附录1、找出半径及圆心坐标p=ones(512,512;p2=ones(512,512;s=sprintf('d:\\99.bmp';%'*'是我们所选的第* 张图p(:,:=imread(s;p2(:,:=edge(p(:,:;imshow(p2(:,:;ff=555*ones(512,512;% ”55这5“个数必须大于实际半径for i=1:512for j=1:512if p (i,j==0for m=1:512for n=1:512if p2(m,n==1t1=sqrt((i-m*(i-m+(j-n*(j-n;if ff(i,j> t1ff(i,j=t1;endendendendendendendfor i=1:512for j=1:512if ff(i,j==555 % 这个数与上面的一致ff(i,j=0;% 这个数应该小于等于0end endendr=max(max(ff(:,:;for j=1:512for i=1:512if r-ff(i,j<0.1%'0.1'是确定它的误差c1=i;c2=j;endendendrcl %'c1'是空间中x轴的坐标c2 %'c2'是空间中y轴的坐标2、中轴线在—、’”、「‘平面的投影图z=[0,9,19,29,39,49,59,69,79,89,99];c仁[96,96,96,96,115,146,202,268,361,396,446];c2=[257,259,268,290,338,377,411,423,396,369,257]; A=polyfit(z,c1,4B=polyfit(z,c2,6;C=polyfit(c1,c2,6;x=polyval(A,z;y=polyval(B,z;figure(1plot(x,ytitle('血管的中轴线在xoy面的投影'xlabel('x'ylabel('y'grid onprin t(1,'-djpeg','e:\xoy.jpeg';figure(2plot(x,ztitle('血管的中轴线在xoz面的投影'xlabel('x'ylabel('z'grid onprin t(2,'-djpeg','e:\zox.jpeg';figure©plot(y,z3、拟合方程A=polyfit(z,c1,4% (中轴线在■■面的拟合方程) B=polyfit(z,c2,6% (中轴线在面的拟合方程)C=polyfit(c1,c2,6%( 中轴线在-面的拟合方程。
血管的三维重建断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约1 m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。
Z=z 切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（ 255，-256，z），（ 255，-255，z），…（255，255，z）。
试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。
第2页是100张平行切片图象中的6张。
关于BMP图象格式可参考：1. 《Visual C++数字图象处理》第12页2.3.1节。
何斌等编著，人民邮电出版社，2001年4月。
2. /home/mxr/gfx/2d/BMP.txtBMP图象格式的数据在群共享里面，不单独打印出来。
Z=1 Z=0Z=99 Z=98Z=49 Z=50。
血管的三维重建摘要断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约1 m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
针对在已知100张三维血管切片图像的情况下，如何实现血管三维重建的问题，利用数学模型找到了每张切片图像中与血管中轴线交点的坐标，以及相应内切圆半径。
拟合出了血管中轴线的参数方程，绘制出了中轴线在各坐标面上的投影，实现了血管的三维重建。
同时，求出重建后的血管切片与原切片的相似度，对模型的准确性进行了检验。
针对切片的最大内切圆的问题，本文分别建立了平行线模型和枚举法模型。
在平行线模型中，利用插值的方法拟合出图像的曲线方程，进而求出每两点的平行线，当两切线平行且垂直于两切点的连线时则得到其最大内切圆；对于枚举法的模型，通过求出图像内所有点到轮廓线的最短距离中的最大值，得出最大内切圆。
经过比较两个模型的优缺点从而淘汰误差较大的平行线模型。
根据模型中所得的圆心以及半径的平均值（R=29.19）利用计算机完成对三维血管的重建。
最后，本文模拟对重建的血管进行切片，比较新切片与原切片相同的像素点，从而计算出重建血管切片与原切片的平均相似度。
表明模型较为成功，取得预想效果。
关键字：枚举法，中轴线，最大内切圆，四邻域法，三维重建，相似度一、问题重述1.1 问题背景断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约1 m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
1.2 目标任务假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
血管的三维重建1摘要序列图像的三维重建在各学科中都起到至关重要的作用，本次讨论的是血管的三维重建。
首先，假设该管道是由球心沿着某一曲面的球滚动包络而成，故本次的主要目的是求岀中轴线坐标及半径。
现有100平行切片图像，本次建立的模型可分为四步；第一步，采集图形边界点数据。
由于每图片都是512*512的矩阵，故此数据很大，采用imread（）函数将其读入矩阵A中。
第二步，最大切圆寻找及半径的确定。
提出两种方案•分别是切线法和最大覆盖法；从上述两种方法分析及考虑到我们所使用的工具和材料•可以得出方法二更加直观•计算机实现更容易•计算复杂度更低.所以我们采用后者。
根据以上算法，我们抽取了所有的切片图进行半径的提取.然后再求其平均值. 求其均值得到球的半径为29. 6345。
第三步，轨迹的搜索。
在第二步中求出了血管的半径，轨迹的搜索就可以建立在半径确定的基础上.当然我们也可以求出每一个切面图形的最大切圆•然后得到每个圆心的坐标，即中轴线坐标，但这样做计算机的运算量会很大.同时由于最大切圆搜索法的稳定性不髙.从而会造成搜索的不精确.所以采用定半径搜索。
本文提岀了三种方法.分别为网格法、蒙特卡罗法和非线性规划法；本次采用非线性规划来实现。
第四步，绘制中轴线空间曲线图和在XOY. YOZ. XOZ三个平面的投影图。
由定理1:切片上血管截面图的头部顶点在XOY平面上的投影点一定会落在中轴线在X0Y平面上的投影曲线上（在论文中以证明），并得出推论：切片上血管截面中中位线与中轴线在XOY面上的投影重合。
最后可由中轴线和血管半径在作图软件中达到血管的三维重建，本次的模型还存在一定的不足，其假设为管道中轴线与每个切面有且只有一个交点，事实上还存在有多个交点的情况，但为了简化模型在此做了一定的假设，故会存在一定的误差。
关键词：三维重建切圆半径轨迹（中轴线）注：求边界时采用了老师的思想和程序。
2问题重述假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球滚动包络而成。
第19卷 建模专辑2002年02月工 程 数 学 学 报J OU RNAL OF EN GIN EERIN G MA THEMA TICSVol.19Supp.Feb.2002文章编号:100523085(2002)0520035206血管的三维重建徐 晋(电子工程与信息科学系), 刘雪峰(数学系), 柏容刚(电子工程与信息科学系)指导老师:窦 斗(数学系)(中国科学技术大学,合肥230026)编者按:本文分析了每张切片与管道曲面的交线是一族圆的包络线,且这族圆中半径最大者即为最大内切圆这一几何特性,建立了相应的算法,将中轴线拟合成Bézier曲线,并用两种算法对模型进行了检验,方法有一定特色。
摘 要:对血管的三维重建问题,我们假定血管为等径管道,通过分析其几何特性,给出了确定其管道中轴线和半径的数学模型———搜索每个切片截面,求最大内切圆,该内切圆圆心即为切片截面与管道中轴线的交点,该内切圆半径即为管道半径,再通过拟合各个交点求出轴心线。
本模型中,我们确立了两种有效的误差分析方法;并由此发现由于中轴线与切片交角过小会使结果产生较大偏差。
为解决此问题,我们从其它方向重新对血管进行切割,再进行处理求解,得到更加精确的结果。
关键词:血管;等径管道;旋转切面分类号:AMS(2000)65D17 中图分类号:O242.1 文献标识码:A1 问题重述(略)条件假设1).血管的表面是由半径固定、圆心连续变化的一族球滚动形成的包络面。
2).医学上,血管不存在严重扭曲。
3).管道中轴线与每张切片有且只有一个交点。
2 问题分析与模型建立根据假设,血管可视为表面是由球心沿着某一曲线(称为中轴线)的球滚动包络而成的管道。
根据所查文献(参考文献[6]),可知这种管道有如下几何特性:定理 等径管道每个切片的轮廓线是一族半径、圆心连续变化的圆的包络线,而这族圆中半径最大的圆的圆心即为管道的中轴线与切片的交点,半径即为管道半径。
血管的三维重建摘要：为了解决这个问题，我们提出运用“腐蚀的思想”来解决此类问题。
利用现有图片资料重建管道的三维形态，文中首先将图像数字化并提取了相关信息，应用数学形态学中图像腐蚀处理的思想，提出利用逐层去除边缘的算法求解每张图片中图像最大内切圆的圆心(即中轴点)，对这些中轴线上已知的中轴点进行拟合，由于一个z 只对应于一个x 和一个y ,故可分别对其投影分别在YZ 、ZX 平面上进行多项式拟合，求出)(1z f y =和)(2z f x y ==。
则中轴线的空间方程即为上两式的联立便得到了血管管道的中轴线函数。
65432654320.00000004z 0.000005197z 0.003311891z 0.975533373z 159.330720271z 13669.624649946z 481054.5600508880.0000000680.0000429080.014897952 3.084786414 380.80940612025944.6644y x z z z zz =++++++=+++++94471752470.406673658z ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩分别将中轴点坐标在z Y 、z X 、y X 平面投影拟合得到了在对应平面的投影图，其中最大的内切圆半径的平均值为球的半径r=29.18837。
算法中采用了改进的边缘检测算子，该算子能够适合于各种形状图像边缘检测。
这一算法在实际求解过程中提高了运算效率和计算精度，具有较强的推广性。
关 键 词：最大内切圆；腐蚀处理；管道重建；边缘检测1．问题重述1.1背景为了认识和研究人体或生物体的有关部分的内部结构和变化，人们利用的是分解和合成的办法，分解的过程是用一簇等间距平行平面将人体和生物体有关部分切成一片片薄片，即分解成切片的序列。
切片就是用一组等间距的平行平面将生物体中需要研究的部位切成簿薄的一片，每一片就是生物体某一横断面的图象。
按顺序排列起来就形成切片图象序列，或称序列图象。
血管的三维重建摘要本文以血管的三维重建为研究对象，对100张平行切片图像进行分析，利用这些宽、高均为512象素的切片，计算管道的半径和确定中轴线方程，并在此基础上画出重建后的血管三维图像，主要内容如下：对于问题一，计算管道的半径，由于血管表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成，可以得出结论：切片中包含的最大圆的半径即血管半径，所以问题转化为求每一切片上的最大内切圆的半径。
为了便于计算，运用Matlab imread 函数，将BMP 格式文件转化为0-1矩阵，然后运用edge bwmorph 、函数确定轮廓和骨架的位置，并求解骨架上每一点到边缘的最短距离。
这些最短距离中的最大值即为最大内切圆半径也就是血管半径。
最后对所有的半径取平均值，得出结果：100()1=29.41666100k k RR ==∑对于问题二，根据问题一中求出的100个圆心坐标及半径求解中轴线方程，运用Matlab 软件对圆心所形成的曲线进行n 阶多项式拟合。
为使中轴线较为光滑，在Matlab 拟合工具箱多次试验后，取最高阶次=7n 。
由于z 轴值是逐层单调递增的,为简化方程的计算,取t 为参变量，分别对其投影在YZ 、ZX 平面上进行多项式拟合，最后得到中轴线在平面投影上拟合的曲线方程如下：()()()-107-76-55432-107-86-55-3432-3.2310 1.16910-1.628100.00108-0.035260.5706-3.105+5.243=3.06110-9.62310+1.3610-0.640610+0.01912-0.298+1.89-1.63.3=y t t t t t t t t f x t t t t t t t t z t t ⎧=⨯+⨯⨯+⎪+⎪⎪=⨯⨯⨯⨯⎨⎪⎪⎪⎩最后根据方程画出中轴线图形，YZ YX ZX 、、平面的投影在拟合工具箱中可以直接得到。
对于问题三，根据问题一、二求出的中轴线的参数方程和100张切片的最大内切圆的半径，运用Matlab 软件画出血管的三维立体图。
