福建省福州市福清西山学校高中部2021届高三12月月考数学试题

福清西山学校高中部2020-2021学年9月月考高三数学试卷一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1. 已知集合2A {x |x 5x 40,x Z}=-+<∈，{}B m,2=，若A B ⊆，则m =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式2540x x -+<，根据x Z ∈，确定集合A ，根据A B ⊆，就可以求出m ． 【详解】2540x x -+<14x ⇒<<而x Z ∈，所以2,3x =，因此集合A = {}2,3A B ⊆，所以3m =，因此本题选C.【点睛】本题考查了集合的表示方法之间的转化、集合之间关系． 2. 设复数()1z bi b R =+∈，且234z i =-+，则z 的虚部为（ ） A. 2i B. 2i -C. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的充要条件求出复数z ，从而得到z 的共轭复数，即可得解； 【详解】解：因为()1z bi b R =+∈ 所以221234z b bi i =-+=-+， ∴2b =，∴12z i =+，∴12z i =-， 故z 的虚部为2-， 故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题. 3. 已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（ ） A. a ab c <<B. ac b c <<C. ab a c <<D. c ac b <<【分析】先判断,,a b c 的大致范围,再根据不等式的性质逐个判断即可. 【详解】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<.对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误. 对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误. 故选；C【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小判定以及不等式的性质.需要根据题意确定各数的范围,再逐个推导.属于基础题.4. 如图，D 是ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）A. 12BC BA -+ B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BC BA +【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理，及向量的加减法，即可用基底表示出CD . 【详解】因为D 是ABC 的边AB 的中点，所以12CD CB BD BC BA =+=-+. 故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，及加法和数乘，属于基础题. 5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若41012222a a a ++=，则14S =（ ） A. 56B. 66C. 77D. 78【分析】化简得到11411a a +=，代入公式计算得到答案.【详解】()()()()410124104127811422222a a a a a a a a a a a ++=+++=+=+=，故11411a a +=，()1141414772a a S +==.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列求和，确定11411a a +=是解题的关键. 6. 已知cos sin 0αα+=，则2cos 2sin cos ααα+=（ ） A. 2 B.12C. 12-D. 12±【答案】C 【解析】 【分析】先求得tan α，然后利用“1”的代换的方法求得所求表达式的值. 【详解】由cos sin 0αα+=，得sin cos ,tan 1ααα=-=-，2cos 2sin cos ααα+=2222cos 2sin cos 12tan 121sin cos tan 1112ααααααα++-===-+++. 故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数基本关系式，属于基础题.7. 函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（ ） A. 2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B. 2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C. 3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D. 37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈） 【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数cos(2)5y x π=+，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案.【详解】由函数3cos 2cos2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+， 令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8. 已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是（ ）A. (),e -∞B. (),e +∞C. (),2-∞D. 2,【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()xxf x g x e =，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】原不等式等价于()2x xf x e >，令()()xxf x g x e=， 则()()()()0xf x xf x xf xg x e'+-'=>恒成立，()g x ∴在R 上是增函数， 又()22f e =，()22g ∴=，∴原不等式为()()2g x g >，解得2x >，故选D . 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A 不正确；2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B 不正确； 2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D 正确. 故选：D【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.10. 由函数()sin f x x =的图象得到函数()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）A. 先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移个12π单位长度B. 先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度C. 先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）D. 先将()sin f x x =的图象向左平移12π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简得()cos 2cos 2sin 2336g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，得出结论【详解】()cos 2cos 2sin 2336g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方式一：先将()sin f x x =的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度．方式二：先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）．故选：AC【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，属于中档题11. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，关于函数()()()||g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ）A. ()g x 为偶函数B. ()g x 在()1,2上单调递增C. ()g x 在[2016，2020]上恰有三个零点D. ()g x 的最大值为2【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，直接判断()g x ，可得A 正确；根据题意，得到函数()f x 是奇函数，且周期为4，得出0x ≥时，[](]2(),4,24()0,24,44f x x k k g x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，k ∈N ，从而可判断B 错，C 都错；结合其对称性与解析式，可得D 正确.【详解】函数()g x 的定义域为R ， 且()()()()()()()()g x f x fx f x f x f x f x g x -=-+-=-+=+=，所以()g x 为偶函数，故A 正确．因为()()11f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，又()f x 是奇函数，所以()f x 是周期为4的函数，其部分图象如下图所示．所以当0x ≥时，[](]2(),4,24()0,24,44f x x k k g x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，k ∈N ， 当(1,2)x ∈时，()()2g x f x =，()g x 单调递减，故B 错误．()g x 在[]2016,2020上零点的个数等价于()g x 在[]0,4上零点的个数，而()g x 在[]0,4上有无数个零点．故C 错误．当0x ≥时，易知()g x 的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当0x <时，()g x 的最大值也为2，所以()g x 在整个定义域上的最大值为2， 故D 正确． 故选：AD.【点睛】本题主要考查函数基本性质的综合，以及函数零点问题，熟记函数基本性质，以及函数零点的判断方法即可，属于常考题型.12. 已知函数||()sin x f x e x =，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是周期为2π的奇函数B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数 C. ()f x 在(10,10)ππ-内有21个极值点D. ()f x ax 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立的充要条件是1a【答案】BD【解析】 【分析】根据周期函数的定义判定选项A 错误；根据导航的符号判断选项B 正确；根据导函数零点判定选项C 错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D 正确. 【详解】()f x 的定义域为R ，()sin()()x f x e x f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，但是22(2)sin(2)sin ()x x f x ex ex f x ππππ+++=+=≠，()f x ∴不是周期为2π的函数，故选项A 错误；当(,0)4x π∈-时，()sin x f x e x -=，(cos ()sin )0x x f x e x -'-=>，()f x 单调递增，当3(0,)4x π∈时，()sin x f x e x =， (sin ))0c (os x x f x e x +'=>，()f x 单调递增，且()f x 在3(,)44ππ-连续，故()f x 在3(,)44ππ-单调递增，故选项B 正确；当[0,10)x π∈时，()sin xf x e x =，(sin c )s ()o xf x e x x +'=，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=-+=，当(10,0)x π∈-时，()sin xf x e x -=，(co (s )sin )x x f x e x -=-'，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=+=----------,因此，()f x 在(10,10)ππ-内有20个极值点，故选项C 错误；当0x =时，()00f x ax =≥=，则a R ∈，当(0,]4x π∈时，sin ()x e xf x ax a x≥⇔≤，设sin ()x e x g x x =，2(sin cos sin )()x e x x x x x g x x +-'∴=，令()sin cos sin h x x x x x x =+-，(0,]4x π∈()sin (cos sin )0h x x x x x '∴=+->，()h x 单调递增，()(0)0h x h ∴>=，()0g x '∴>，()g x 在(0,]4π单调递增，又由洛必达法则知：当0x →时，0sin (sin cos )()11x x x e x e x x g x x =+=→=1a ∴≤，故答案D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.三、填空题（每题5分，满分20分.）13. 已知向量(1,1)a =-，向量(0,1)b =，则2a b -=__________. 【答案】10【解析】 【分析】先求得2a b -，再求得2a b -.【详解】依题意()()()21,10,21,3a b -=--=-，所以()2221310a b -=+-=.10【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，属于基础题.14. 已知0x >，0y >，且40x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 取值范围是__________.【答案】(,9]-∞ 【解析】 【分析】利用基本不等式求得x y +的最小值，由此求得a 的取值范围. 【详解】由40x y xy +-=得4x y xy +=，41x y xy +=，411x y+=， 依题意0,0x y >>，()4145y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+=， 当且仅当4,2,6,3y xx y x y x y====时等号成立. 由于不等式a x y ≤+恒成立， 所以9a ≤. 故答案为：(,9]-∞【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.15. 设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围为___________．【答案】 【解析】【分析】由题意可得0290A <<，且903180A <<，解得A 的范围，可得cos A的范围，由正弦定理求得2cos 2b bA a ==，根据cos A 的范围确定出b 的范围即可. 【详解】由sin2sin b aA A =，得4cos b A =，由0290A << ⇒ 0< 45A <，0180390A <-< ⇒ 3060A <<，故3045A << ⇒cos 2A < <所以cos 2A <<，所以4cos b A =∈ (． 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目.16. 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则2222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.已知点D 是ABC 边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，8tan 7BCD ∠=，则ABC 的面积为________．. 【解析】【分析】利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.【详解】tan tan tan tan()1tan tan ACD BCD ACB ACD BCD ACD BCD ∠+∠∠=∠+∠==-∠∠所以1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以4S =. 【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在①1a b +=+sin 2c A =，③33b c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，且sinB A =，6C π=？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】【分析】由条件可得b =，若选①，则可求出边,a b ，再用余弦定理可求解；若选②，由正弦定理可得2asinC =，结合条件可得出a 边，由条件sinB A =进一步得出b ，再用余弦定理可求解；若选③，即=c ．由sin B A =，b =，由余弦定理可得2253a a =-，故不成立.【详解】解：选①：∵sin B A =∴b =．∴1a b +=1a =，b =∵2222cos c a b ab C =+-，6C π=∴1c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ． 选②：由正弦定理sin sin a c A C=,则 sin c sinA a C ⋅=⋅ ∵2c sinA ⋅=，∴2asinC =． ∵6C π=∴4a =．∵sin B A =，∴b =，∴b ⋅=由2222cos 16482416c a b ab C =+-=+-⨯⨯=， 解得：4c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ．选③：∵3b c =，∴=c ．∵sin B A =∴b =．∵2222cos a b c ab C +-=，∴222392cos6a a a π+-=⋅．得2253a a =-，不成立．故不存在满足条件的ABC ．【点睛】角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．属于中档题. 18. （1）已知51sin π123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()cos αβ-的值.【答案】（1）13；（2）0. 【解析】【分析】 （1）利用诱导公式求得cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）结合三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式以及两角差的余弦公式求得()cos αβ-的值.【详解】（1）551cos()cos[()]sin()12212123ππππααα-=-+=+=. （2）角α的终边过点()43P ,-，∴34sin ,cos 55αα====-. 又β为第三象限角，且4tan 3β=， 22sin 4cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得43sin ,cos 55ββ=-=-. 4343cos()cos cos sin sin ()()()()05555αβαβαβ∴-=+=-⨯-+-⨯=. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式. 19. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.【答案】(1) 3C π=.(2) . 【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=， 由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==， 又∵(0,)C π∈，∴3C π=. （2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===，即,a A b B ==∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即， 则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 综上+a b的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20. 已知函数2()ln f x x x ax =--.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)2y x =-；(Ⅱ)1a ≥-.【解析】【分析】 ()1将1a =代入，求导后运用其几何意义求出切线方程()2分离参量得lnx a x x ≥-，令()lnx h x x x=-，求导后算出最值 【详解】()11a =时，函数()2ln f x x x x =--，可得()1'21f x x x=--，所以()'12f =-，1x =时，()12f =-．曲线()y f x =则1x =处的切线方程；()221y x +=--即：2y x =-；()2由条件可得2ln 0(0)x x ax x --≤>，则当0x >时，ln x a x x≥-恒成立， 令()ln (0)x h x x x x =->，则()221ln 'x x h x x --=， 令()21ln (0)k x x x x =-->， 则当0x >时，()1'20k x x x=--<，所以()k x 在()0,+∞上为减函数． 又()'10k =， 所以在()0,1上，()'0h x >；在()1,+∞上，()'0h x <．所以()h x 在()0,1上为增函数；在()1,+∞上为减函数．所以()()11max h x h ==-，所以1a ≥-．【点睛】本题运用导数几何意义求出在某点处的切线方程，在解答恒成立问题上运用了分离参量的方法，构造新函数，然后运用导数求出最值，继而得到结果．21. 已知函数()()xf x e x a a R =--∈． (1)当0a =时，求证：()f x x >；(2)讨论函数()f x 在R 上的零点个数，并求出相对应的a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1a <时，函数()f x 在R 上没有零点；当1a =时，函数()f x 在R 上有一个零点；当1a >时，函数()f x 在R 上有两个零点.【解析】【分析】（1）构造函数()()g x f x x =-，利用导数研究函数的单调性和最小值，证明最小值大于0.（2）先利用导数得到()f x 的最小值，然后分类讨论，根据零点存在定理，得到每种情况下()f x 的零点情况.【详解】（1）当0a =时，()xf x e x =-， 令()()e e 2x xg x f x x x x x =-=--=-，则()e 2xg x '=-. 令()0g x '=，得ln2x =.当ln2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当ln2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.所以ln2x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，即()()ln2min ln22ln22ln 02e g x g e ==-=> 故当0a =时，()f x x >成立.（2） ()1xf x e '=-，由()0f x '=，得0x =. 所以当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即()()min 01f x f a ==-.当10a ->，即1a <时，()f x 在R 上没有零点.当10a -=，即1a =时，()f x 在R 上只有一个零点.当10a -<，即1a >时，因为()()e e 0a a f a a a ---=---=>，所以()f x 在()0，-∞内只有一个零点； 由（1）得2x e x >，令x a =，得2a e a >，所以()20a af a e a a e a =--=->，于是()f x 在()0,+∞内有一个零点； 因此，当1a >时，()f x 在R 上有两个零点.综上，1a <时，函数()f x 在R 上没有零点；当1a =时，函数()f x 在R 上有一个零点；当1a >时，函数()f x 在R 上有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，利用零点存在定理判断函数零点个数，属于难题.22. 已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果. 详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x-+=--+-'=. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =.当x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x ⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在,22a a ⎛+ ⎪⎝⎭单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于 ()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<. 设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <. 所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.。

福建省福清西山学校高中部2021届高三9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合2A {x |x 5x 40,x Z}=-+<∈，{}B m,2=，若A B ⊆，则m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．52．设复数()1z bi b R =+∈，且234z i =-+，则z 的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-3．已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（ ） A ．a ab c <<B ．ac b c <<C ．ab a c <<D ．c ac b <<4．如图，D 是ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）A ．12BC BA -+ B ．12BC BA --C ．12BC BA -D ．12BC BA +5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若41012222a a a ++=，则14S =（ ） A ．56B ．66C ．77D ．786．已知cos sin 0αα+=，则2cos 2sin cos ααα+=（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．12±7．函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（ ） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈） 8．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2x xf x e >的解集是（ ）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．2,9．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D ．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降二、多选题10．由函数()sin f x x =的图象得到函数()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）A ．先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移个12π单位长度B ．先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 C ．先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） D ．先将()sin f x x =的图象向左平移12π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，关于函数()()()||g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为偶函数B ．()g x 在()1,2上单调递增C ．()g x 在[2016，2020]上恰有三个零点D ．()g x 的最大值为212．已知函数||()sin x f x e x =，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期为2π的奇函数B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数 C ．()f x 在(10,10)ππ-内有21个极值点 D ．()f x ax 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立的充要条件是1a三、填空题13．已知向量(1,1)a =-，向量(0,1)b =，则2a b -=__________.14．已知0x >，0y >，且40x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是__________.15．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围为___________．16．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则2222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.已知点D 是ABC 边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，8tan 7BCD ∠=，则ABC 的面积为________．四、解答题17．在①1a b +=sin 2c A =，③33b c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，且sinB A =，6C π=？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 18．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()cos αβ-的值.19．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 20．已知函数2()ln f x x x ax =--.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 21．已知函数()()xf x e x a a R =--∈．(1)当0a =时，求证：()f x x >；(2)讨论函数()f x 在R 上的零点个数，并求出相对应的a 的取值范围． 22．已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．参考答案1．C 【分析】先解不等式2540x x -+<，根据x Z ∈，确定集合A ，根据A B ⊆，就可以求出m ． 【详解】2540x x -+<14x ⇒<<而x Z ∈，所以2,3x =，因此集合A = {}2,3A B ⊆，所以3m =，因此本题选C.【点睛】本题考查了集合的表示方法之间的转化、集合之间关系． 2．D 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的充要条件求出复数z ，从而得到z 的共轭复数，即可得解； 【详解】解：因为()1z bi b R =+∈ 所以221234z b bi i =-+=-+， ∴2b =，∴12z i =+，∴12z i =-， 故z 的虚部为2-， 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题. 3．C 【分析】先判断,,a b c 的大致范围,再根据不等式的性质逐个判断即可. 【详解】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.100.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<.对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误.对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误. 故选；C 【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小判定以及不等式的性质.需要根据题意确定各数的范围,再逐个推导.属于基础题. 4．A 【分析】由平面向量的基本定理，及向量的加减法，即可用基底表示出CD . 【详解】因为D 是ABC 的边AB 的中点，所以12CD CB BD BC BA =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，及加法和数乘，属于基础题. 5．C 【分析】化简得到11411a a +=，代入公式计算得到答案. 【详解】()()()()410124104127811422222a a a a a a a a a a a ++=+++=+=+=，故11411a a +=，()1141414772a a S +==.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列求和，确定11411a a +=是解题的关键. 6．C 【分析】先求得tan α，然后利用“1”的代换的方法求得所求表达式的值. 【详解】由cos sin 0αα+=，得sin cos ,tan 1ααα=-=-，2cos 2sin cos ααα+=2222cos 2sin cos 12tan 121sin cos tan 1112ααααααα++-===-+++. 故选：C 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 7．C 【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数cos(2)5y x π=+，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由函数3cos 2cos 2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+， 令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8．D 【分析】先构造函数()()xxf x g x e=，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】 原不等式等价于()2x xf x e >，令()()xxf x g x e=， 则()()()()0xf x xf x xf xg x e '+-'=>恒成立，()g x ∴在R 上是增函数，又()22f e =，()22g ∴=，∴原不等式为()()2g x g >，解得2x >，故选D .本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题. 9．D 【分析】根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案. 【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A 不正确；2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B 不正确； 2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题. 10．AC 【分析】先利用诱导公式化简得()cos 2cos 2sin 2336g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，得出结论 【详解】()cos 2cos 2sin 2336g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方式一：先将()sin f x x =的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度．方式二：先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）． 故选：AC 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，属于中档题【分析】根据函数奇偶性的定义，直接判断()g x ，可得A 正确；根据题意，得到函数()f x 是奇函数，且周期为4，得出0x ≥时，[](]2(),4,24()0,24,44f x x k k g x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，k ∈N ，从而可判断B 错，C 都错；结合其对称性与解析式，可得D 正确. 【详解】函数()g x 的定义域为R ， 且()()()()()()()()g x f x fx f x f x f x f x g x -=-+-=-+=+=，所以()g x 为偶函数，故A 正确．因为()()11f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，又()f x 是奇函数，所以()f x 是周期为4的函数，其部分图象如下图所示．所以当0x ≥时，[](]2(),4,24()0,24,44f x x k k g x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，k ∈N ，当(1,2)x ∈时，()()2g x f x =，()g x 单调递减，故B 错误．()g x 在[]2016,2020上零点的个数等价于()g x 在[]0,4上零点的个数，而()g x 在[]0,4上有无数个零点．故C 错误．当0x ≥时，易知()g x 的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当0x <时，()g x 的最大值也为2，所以()g x 在整个定义域上的最大值为2，故D 正确． 故选：AD. 【点睛】本题主要考查函数基本性质的综合，以及函数零点问题，熟记函数基本性质，以及函数零点的判断方法即可，属于常考题型. 12．BD 【分析】根据周期函数的定义判定选项A 错误；根据导航的符号判断选项B 正确；根据导函数零点判定选项C 错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D 正确. 【详解】()f x 的定义域为R ，()sin()()x f x e x f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，但是22(2)sin(2)sin ()x x f x ex ex f x ππππ+++=+=≠，()f x ∴不是周期为2π的函数，故选项A 错误；当(,0)4x π∈-时，()sin x f x e x -=，(cos ()sin )0x x f x e x -'-=>，()f x 单调递增，当3(0,)4x π∈时，()sin x f x e x =， (sin ))0c (os x x f x e x +'=>，()f x 单调递增，且()f x 在3(,)44ππ-连续，故()f x 在3(,)44ππ-单调递增，故选项B 正确；当[0,10)x π∈时，()sin x f x e x =，(sin c )s ()o xf x e x x +'=，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=-+=，当(10,0)x π∈-时，()sin xf x e x -=，(co (s )sin )x x f x e x -=-'，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=+=----------,因此，()f x 在(10,10)ππ-内有20个极值点，故选项C 错误；当0x =时，()00f x ax =≥=，则a R ∈，当(0,]4x π∈时，sin ()x e xf x ax a x≥⇔≤，设sin ()x e x g x x =，2(sin cos sin )()x e x x x x x g x x+-'∴=， 令()sin cos sin h x x x x x x =+-，(0,]4x π∈()sin (cos sin )0h x x x x x '∴=+->，()h x 单调递增，()(0)0h x h ∴>=，()0g x '∴>，()g x 在(0,]4π单调递增，又由洛必达法则知：当0x →时，0sin (sin cos )()11x x x e x e x x g x x =+=→=1a ∴≤，故答案D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.13 【分析】先求得2a b -，再求得2a b -. 【详解】依题意()()()21,10,21,3a b -=--=-，所以(221a b -=+=.【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，属于基础题. 14．(,9]-∞【分析】利用基本不等式求得x y +的最小值，由此求得a 的取值范围. 【详解】由40x y xy +-=得4x y xy +=，41x y xy +=，411x y+=， 依题意0,0x y >>，()4145y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+=， 当且仅当4,2,6,3y xx y x y x y====时等号成立. 由于不等式a x y ≤+恒成立， 所以9a ≤. 故答案为：(,9]-∞ 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.15． 【分析】由题意可得0290A <<，且903180A <<，解得A 的范围，可得cos A 的范围，由正弦定理求得2cos 2b bA a ==，根据cos A 的范围确定出b 的范围即可. 【详解】 由sin2sin b aA A=，得4cos b A =，由0290A << ⇒ 0< 45A <，0180390A <-< ⇒ 3060A <<，故3045A << ⇒cos 2A < <所以cos 2A <<，所以4cos b A =∈ (． 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目.16．4. 【分析】利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【详解】tan tantan tan()1tan tan ACD BCDACB ACD BCD ACD BCD∠+∠∠=∠+∠==-∠∠1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以4S =. 【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易. 17．答案见解析. 【分析】由条件可得b =，若选①，则可求出边,a b ，再用余弦定理可求解；若选②，由正弦定理可得2asinC =，结合条件可得出a 边，由条件sinB A =进一步得出b ，再用余弦定理可求解；若选③，即=c ．由sin B A =，b =，由余弦定理可得2253a a =-，故不成立. 【详解】解：选①：∵sin B A =∴b =．∴1a b +=1a =，b =∵2222cos c a b ab C =+-，6C π=∴1c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ． 选②：由正弦定理sin sin a cA C=,则 sin c sinA a C ⋅=⋅ ∵2c sinA ⋅=，∴2asinC =． ∵6C π=∴4a =．∵sin B A =，∴b =，∴b ⋅=由2222cos 16482416c a b ab C =+-=+-⨯⨯=， 解得：4c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ．选③：∵b =，∴=c ．∵sin B A =∴b =．∵2222cos a b c ab C +-=，∴222392cos 6a a a π+-=⋅．得2253a a =-，不成立． 故不存在满足条件的ABC ． 【点睛】角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．属于中档题. 18．（1）13；（2）0. 【分析】（1）利用诱导公式求得cos 12πα⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）结合三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式以及两角差的余弦公式求得()cos αβ-的值.【详解】 （1）551cos()cos[()]sin()12212123ππππααα-=-+=+=. （2）角α的终边过点()43P ,-，∴34sin ,cos 55αα====-. 又β为第三象限角，且4tan 3β=， 22sin 4cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪∴⎨⎪+=⎩， 解得43sin ,cos 55ββ=-=-. 4343cos()cos cos sin sin ()()()()05555αβαβαβ∴-=+=-⨯-+-⨯=.【点睛】本小题主要考查诱导公式、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式.19．(1) 3C π=.(2) .【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===，即,a A b B ==∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20．(Ⅰ)2y x =-；(Ⅱ)1a ≥-. 【分析】()1将1a =代入，求导后运用其几何意义求出切线方程()2分离参量得lnx a x x≥-，令()lnx h x x x=-，求导后算出最值【详解】()11a =时，函数()2ln f x x x x =--，可得()1'21f x x x=--，所以()'12f =-，1x =时，()12f =-．曲线()y f x =则1x =处的切线方程；()221y x +=-- 即：2y x =-；()2由条件可得2ln 0(0)x x ax x --≤>，则当0x >时，ln xa x x≥-恒成立， 令()ln (0)x h x x x x =->，则()221ln 'x x h x x--=， 令()21ln (0)k x x x x =-->，则当0x >时，()1'20k x x x=--<，所以()k x 在()0,+∞上为减函数． 又()'10k =，所以在()0,1上，()'0h x >；在()1,+∞上，()'0h x <． 所以()h x 在()0,1上为增函数；在()1,+∞上为减函数． 所以()()11max h x h ==-，所以1a ≥-． 【点睛】本题运用导数几何意义求出在某点处的切线方程，在解答恒成立问题上运用了分离参量的方法，构造新函数，然后运用导数求出最值，继而得到结果．21．（1）证明见解析；（2）1a <时，函数()f x 在R 上没有零点；当1a =时，函数()f x 在R 上有一个零点；当1a >时，函数()f x 在R 上有两个零点.【分析】（1）构造函数()()g x f x x =-，利用导数研究函数的单调性和最小值，证明最小值大于0.（2）先利用导数得到()f x 的最小值，然后分类讨论，根据零点存在定理，得到每种情况下()f x 的零点情况. 【详解】（1）当0a =时，()xf x e x =-，令()()e e 2xxg x f x x x x x =-=--=-，则()e 2xg x '=-.令()0g x '=，得ln2x =.当ln2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当ln2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.所以ln2x =是()g x 的极小值点，也是最小值点， 即()()ln2min ln22ln22ln02eg x g e==-=> 故当0a =时，()f x x >成立.（2） ()1xf x e '=-，由()0f x '=，得0x =.所以当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点， 即()()min 01f x f a ==-.当10a ->，即1a <时，()f x 在R 上没有零点. 当10a -=，即1a =时，()f x 在R 上只有一个零点. 当10a -<，即1a >时，因为()()ee 0aa f a a a ---=---=>，所以()f x 在()0，-∞内只有一个零点； 由（1）得2x e x >，令x a =，得2a e a >，所以()20aaf a e a a e a =--=->，于是()f x 在()0,+∞内有一个零点；因此，当1a >时，()f x 在R 上有两个零点. 综上，1a <时，函数()f x 在R 上没有零点； 当1a =时，函数()f x 在R 上有一个零点； 当1a >时，函数()f x 在R 上有两个零点. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，利用零点存在定理判断函数零点个数，属于难题.22．（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x-+=--+-'=. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当22a a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x在0,,,22a a ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在,22a a ⎛+ ⎪⎝⎭单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<. 设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.。

福建省福州三中届高三12月月考数学〔文〕试题本试卷共150分，考试时间120分钟。

本卷须知：1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答卷的密封线外。

2．请考生认真审题，将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置，并认真检查以防止漏答、错答。

3．考试结束，监考人需将答卷收回并装订密封。

4．考试中不得使用计算器。

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．全集={x12},{1<x<3},A A x B x B〔 〕A ．{|02x x <<}B ．{|13x x -<<}C ．{|02x x <<}D ．{|12x x -<<}2．i 为虚数单位，那么复数2iz i+=的虚部等于 〔 〕A ．－2B ． －1C ．1D ． 2 3．合题“20,0"x x x ∀<-≥都有的否定是〔 〕A ．20,0x x x ∀≤-<都有 B ．20,0x x x ∀>->都有C ．20,0x x x ∃<-<使得 D ．20,0x x x ∃≤->使得4．函数()f x 的图是连续不断的，x ，()f x 的对应值如下表：以下区间内，函数()f x 一定有零点的是〔 〕A ．〔－2，－1〕B ．〔－1，1〕C ．〔1，2〕D ．〔2，3〕5．m 、n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，那么以下命题中真命题的是〔 〕A ．假设m ∥,m α∥,βα则∥βB ．假设m∥n ，m∥α 那么n ∥αC ．假设 m∥α，,n αβ=那么m ∥ nD ．假设m⊥α，,m β⊂ ，那么α⊥β6． 设向量a=〔1，1〕，,k R b a ∈下列向量与不可能平行的是〔 〕A ．(2,1)b k k =+B ．2(,1)b k =C ．(,)b k k =D ．2(,1)b k =- 7．在以下函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是〔 〕A ．sin(2)y x π=-B ．cos(2)y x π=-C ．sin(2)y x π=+D ．cos(2)y x π=+8．三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象 '(2)'(1)f f -如图所示,则= 〔 〕A ． －2B ．－1C ． 1D ． 29．函数()()()()f x x a x b a b =++>其中的图象如以以下图，那么函数()xg x a b =+的大致图象是〔 〕10．一个几何体的三视图如以以下图，那么该几何体的侧视图的面积为〔 〕A ．23B 33C 3D 311．假设椭圆22222131(0),2x y b a b a b a++=>>的离心率为则的最小值为 〔 〕 A 3B ．3C ．3D ．612．设m 为实数，集合250,(,)|3,,,,x y A x y x x y R y mx ⎧-+≥⎧⎫⎪⎪⎪=≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎭⎩集合22{,)|1},,1264x y B x y A B =+≤⊆那么m 的最小值是〔 〕A ．－43B ．－34C ．－23D ．－32二、填空题；本大题4小题，每题4分，共16分，把答案填在相应横线上。

福建省福清西山学校高中部2021届高三数学上学期期中试题第I 卷（共60分)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。

设集合A =｛x ｜x 2–4≤0},B ={x |3x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1｝,则a =( )A ．–2B ．–3C ．2D ．32.设a ∈R ，则“2aa>”是“1a >”的（ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件()=-+ii212.3 A 。

1 B. −1 C 。

i -4.我国古代数学家刘徽用“割圆术” 将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界1000 多年 ．“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算,并依次倍增，使误差逐渐减小。

当圆的内接正多边形的边数为12时，由“割圆术”可得圆周率的近似值为（ ）A. 12sin15°B. 12cos15° C 。

12sin 30° D. 6sin 30°5。

若a >b ，则( ）A ．ln （a −b )〉0B ．3a 〈3bC ．a 3−b 3〉0D ．│a │>│b │6.函数241xy x =+的图象大致为（ ）A BC D7.设函数π()cos()6f x x ω=+在［−π，π]的图像大致如右图，则f （π37）=（ ) A ．23 B ．21 C ．23-D ．21-{}1,9.851-=-=a a a n 中，在等差数列，记),2,1(321⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=n a a a a T n n ，则数列{}n TA ．有最大项，有最小项B ．无最大项，无最小项C ．无最大项,有最小项D ．有最大项，无最小项二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．象如图9．如果函数()y f x =的导函数()y f x '=的图所示，则以下关于函数()y f x =的判断正确的是( )A ．在区间（2，4）内单调递减B ．在区间（-3，-2)内单调递减C ．3x =-是极小值点D ．4x =是极大值点10。

2021年高三第二次月考（12月）数学试题 Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．已知集合，，若，则的值为______________。

2．对于命题，使得，则为：__________________________。

3．已知幂函数的图象过点，则=______________。

4．若函数是奇函数，则____________。

5．已知，则与的夹角为____________。

6．设为等比数列的前项和，若，则______________。

7．圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为______。

8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题的序号是__________。

(1)若m∥,n∥,则m∥n；(2)若则；(3)若，且，则；(4)若，，则。

9．若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是___________。

10．已知，且，则___________。

11．若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是__________。

12．设函数，曲线在点处的切线方程为。

则曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为_____。

13．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则＝。

14．数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a2＋a4a1＋a5，a4＋a7a6＋a3。

则使得成立的所有正整数m的值为_______________。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知。

（1）求在上的最小值；（2）已知分别为△ABC内角A、B、C的对边，，且，求边的长。

16．如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，，。

(1)求证：；(2)求证：平面平面。

17．已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为。

(1)若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；(2)求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。

姓名，年级：时间：福清西山学校高中部 2019—2020学年9月份月考高一数学试题（考试时间:120分钟 总分：150分）第Ⅰ部分（选择题，共60分)一．单选题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．方程2x x =的所有实数根组成的集合为（ )A ．(0，1）B ．｛（0，1）｝C ．{0,1}D ．｛2x x = ｝ 2。

若12a <<，13b -<<，则-a b 的值可能是（ )． A4B ．2C ．-2D ．-43.a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是（ ）A ．ab ＝0B ．ab 〉0C ．a 2＋b 2＝0 D ．a 2＋b 2〉0 4 不等式（x ＋3）2＜1的解集是（ )A ．{x ｜x ＞－2｝B ．｛x |x ＜－4｝C ．{x ｜－4＜x ＜－2}D ．｛x ｜－4≤x ≤－2}5．下列命题为真命题的是( ）A ．x ∀∈R ，有20x ≥B ．0x ∃∈R ,使200x < C ．x ∀∈R ，有20x > D ．x ∀∈R ，有20x <6 一元二次不等式的解集为{}25x x <<，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ）A ．1125x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1152x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}52x x -<<-D ．1125x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭7．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ )A ．如果0a b >>>B ．如果0a b >>,那么22a b >C ．对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥, 当且仅当a b =时等号成立D ．对任意正实数a 和b ，有a b +≥，当且仅当a b =时等号成立8。

福建省福清西山学校高中部2020-2021学年高二数学9月月考试题一、选择题（1-8单选，9—12多选）1．命题“(2,0)x∀∈-,220+<”的否定是( ）x xA．B．C．D．2．在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩。

经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是（)A．平均数B．方差C．中位数D．众数3．某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A=｛两次都击中飞机｝，B=｛两次都没击中飞机｝，C=｛恰有一弹击中飞机}，D=｛至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ）A．A D⊆B．B D=∅C．A C D=⋃=D．A C B D5．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图。

根据标准,产品长度在区间［20，25)上的为一等品，在区间［15，20）和区间[25，30)上的为二等品，在区间［10，15）和［30，35]上的为三等品。

用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为() A．0.09 B．0。

20C．0。

25 D．0。

456．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术,某公司研发5G项目时遇到一项技术难题,由甲、乙两个部门分别独立攻关,已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8,乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为( ）A ．0。

福建省福州市福清市西山学校2024-2025学年高一数学3月月考试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一.单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．下列说法错误的是（ ）A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与随意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等2．已知向量()11,3,3,2a b =-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2a b +=（ ）A ．()7,2-B ．()7,2C ．115,2⎛⎫-⎪⎝⎭D ．115,2⎛⎫--⎪⎝⎭3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 4．已知向量,a b 的夹角为34π，||2,||1a b ==，则|3|a b -=（ ） A ．4 B ．5C ．42D ．525．ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则C 等于（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．已知向量,a b 不共线，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则肯定共线的三点是（ ） A ．,,A B DB ．,,A B CC ．,,B C DD ．,,A C D7．在ABC 中，若lgsin lgcos lgsin lg2A B C --=，则该三角形的形态是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8． “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.依据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公探讨过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发觉勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，ABC 满意“勾3股4弦5”，且3AB =，E 为AD 上一点，BE AC ⊥.若AC BE BA μλ+=，则μλ+的值为（ ）A ．925-B ．725C ．1625D ．1二.多选题:本题共4小题，每题5分，共20分. 再给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分. 9．下列说法，其中错误的说法为（ ）．A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 10．设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．()a b b -⊥D ．a 与b 的夹角为π411对于ABC ∆，有如下推断，其中正确的推断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形12．已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()//a b c -，下列说法正确的是（ ）A ． a 与b 的夹角为锐角B ．向量a 在b 方向上的投影为55C ．24m n +=D ．mn 的最大值为4三.填空题:本题共4小题，每题5分，共20分.13．已知()2,3AB =，()1,AC m =-，若AB BC ⊥，则实数m的值为___________.14．在平行四边形ABCD 中，5AD AB BD ⋅==，0AC BD ⋅=，则该四边形ABCD 的面积是______．15. 若，，，则与的夹角为__________．16．已知平面对量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b =，则b 在a 方向上的投影是________，()a b R λλ-∈的最小值是________．四．解答题:本题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）在（1）3cos 5A =，5cos 5C =；（2）sin sin sin c C A b B =+，60B =︒；（3）2c =，1cos 4A =-.这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4a =，_____，求ABC 的周长L 和面积S .18.（12分）在平面直角坐标系中，已知，．（1）若，求实数k 的值；（2）若，求实数t 的值．19．（12分）已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =． （1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标．20.（12分）平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=.（1）求32a b c +-；（2）求满意a mb nc =+的实数m 和n ；（3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .21．（12分）已知m ，x∈R ，向量a ＝(x ，－m)，b ＝((m ＋1)x ，x)． （1）当m>0时，若|a |<|b |，求x 的取值范围；（2）若a ·b >1－m 对随意实数x 恒成立，求m 的取值范围．22. （12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满意1233OC OA OB =+. （1）求AC CB值；（2）已知2(1,cos ),(1cos ,cos ),0,,()223A x B x x x f x OAOC m AB π⎡⎤⎛⎫+∈=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭若()f x 的最小值为()g m ，求()g m 的最大值.福清西山学校中学部2024-2025学年其次学期3月份高一月考数学试卷考试时间 120分钟 满分150分一.单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．下列说法错误的是（ ）A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与随意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等【答案】D【解析】A.向量OA 与向量AO 的方向相反，长度相等，故A 正确；B.规定零向量与随意非零向量平行，故B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不行能相等，故D 不正确.2．已知向量()11,3,3,2a b =-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2a b +=（ ）A ．()7,2-B ．()7,2C ．115,2⎛⎫-⎪⎝⎭D ．115,2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为1(1,3),3,2a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()()21,36,1(7,2)a b +=-+=-．3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A【解析】依据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A. 4．已知向量,a b 的夹角为34π，||2,||1a b ==，则|3|a b -=（ ） A ．4 B ．5C ．42D ．52【答案】B【解析】因为32||||cos21(142a b a b π⋅=⋅⋅=⨯-=-，所以2|3|(3)a b a b -=-2296a a b b =-⋅+18615=++=.5．ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则C 等于（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】因为向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--，//p q ， 所以()()()0a c c a b b a +---=，整理得：222b a c ab +-=所以2221cos 222+-===b a c ab C ab ab ，解得3C π=.6．已知向量,a b 不共线，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则肯定共线的三点是（ ） A ．,,A B DB ．,,A B CC ．,,B C DD ．,,A C D【答案】A【解析】∵24BD BC CD a b =+=+，2BA AB a b =-=--，∴2BD BA =-，∴,,A B D 三点共线. 7．在ABC 中，若lgsin lgcos lgsin lg2A B C --=，则该三角形的形态是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】lgsin lg cos lgsin lg 2A B C --=，sin 2cos sin AB C∴=⋅,由正弦定理可得sin sin a c A C =，sin ,cos sin 2A a aB C c c∴=∴=， 222cos 22a c b a B ac c+-∴==，整理得22,c b c b ==，ABC ∆∴的形态是等腰三角形，故选A. 8． “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.依据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公探讨过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发觉勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，ABC 满意“勾3股4弦5”，且3AB =，E 为AD 上一点，BE AC ⊥.若BE BA BC λμ=+，则λμ+的值为（ ）A ．925-B ．725C ．1625D ．1【答案】B【解析】由题意建立如图所示直角坐标系因为3AB =，4BC =，则()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()0,3BA =，()4,3AC =-，设(),3BE a =，因为BE AC ⊥，所以490AC BE a ⋅=-=，解得94a =.由BA BE AC λμ=+，得()()90,3,34,34λμ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以940,4333,λμλμ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得，16,259,25λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以725λμ+=，故选：B.二.多选题:本题共4小题，每题5分，共20分. 再给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9．（2024·山东潍坊一中高一期中）有下列说法，其中错误的说法为（ ）．A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 【答案】AD【解析】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不肯定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥，同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，明显有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误.故选：AD 10．设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．()a b b -⊥D ．a 与b 的夹角为π4【答案】CD【解析】因为()2,0a =，()1,1b =，所以2,2a b ==，所以a b ≠，故A 错误；因为()2,0a =，()1,1b =，所以()()=1,1a b --，所以()a b -与b 不平行，故B 错误；又()110a b b -⋅=-=，故C 正确；又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅，所以a 与b 的夹角为π4，故D 正确.故选：CD. 11对于ABC ∆，有如下推断，其中正确的推断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形 【答案】BD【解析】在ABC ∆中，对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形；当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a bA B=，即sin sin A B >成立．故B 正确；对于C ，由余弦定理可得：b ＝C 错误；对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab +-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确；综上，故选：BD ．12．已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()//a b c -，下列说法正确的是（ ）A ． a 与b 的夹角为锐角B ．向量a 在bC ．24m n +=D ．mn 的最大值为4【答案】AD 【解析】由题意知，10a b ⋅=>，所以a 与b 的夹角为锐角，故选项A 正确；向量a 在b 方向上的投影为122a bb ⋅==，故选项B 错误； ()1,2a b -=，因为()//a b c -，,m n 均为正数，所以c 为非零向量，且24,24n m m n -=-+=，故选项C 正确；由基本不等式知，42m n =+≥，2mn ≤，当且仅当22m n ==时取等号，故mn 的最大值为4，故选项D 正确.故选：AD三.填空题:本题共4小题，每题5分，共20分.13．已知()2,3AB =，()1,AC m =-，若AB BC ⊥，则实数m 的值为___________.【答案】5【解析】由题()3,3BC AC AB m =-=--，因为AB BC ⊥，所以()=6330AB BC m ⋅-+-=，得：5m =14．在平行四边形ABCD 中，5AD AB BD ⋅==，0AC BD ⋅=，则该四边形ABCD 的面积是______．【解析】0AC BD ⋅=，AC BD ⊥ 所以平行四边形ABCD 是菱形，=AD AB ∴ 5AD AB ⋅=，cos 5AD AB A ∴=,即2cos 5AB A ∴=① 又5BD =，由余弦定理得222=+2cos 25BD AB AD AB AD A -= 即2222cos 25AB AB A -=② 联解①②得2352AB =，2cos 7A = 02A π∴<< ，35sin 7A ∴= 2115522sin sin =22ABD S S AB AD A AB A ∆==⨯⨯= . 15．若，，，则与的夹角为__________． 【答案】 【解析】设 与的夹角为θ，则θ∈[0，π]，∵，，， ∴449+4•3•cos θ+4•4=37，求得cos θ，∴θ，故答案为：．16.已知平面对量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b =，则b 在a 方向上的投影是________，()a b R λλ-∈的最小值是________．【答案】52-；3 【解析】因为平面对量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，5b =，向量b 在a 方向上的投影为5cos ,5cos1202b a b <>=⨯=-，2222()2cos120a b a b a b λλλ-=+-221425+10=25()35λλλ=+++，所以当1=5λ-时，min 3a b λ-= 四．解答题:本题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）在（1）3cos 5A =，cos 5C =； （2）sin sin sin c C A b B =+，60B =︒；（3）2c =，1cos 4A =-.这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4a =，______，求ABC 的周长L 和面积S .【解析】选①：因为3cos 5A =，cos 5C =，且0πA <<，0πB <<， 所以4sin 5A =，sin 5C =. 在ABC 中，πA B C ++=，即()πB A C =-+，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C AC =+=+435555255=⨯+⨯==，由正弦定理得4sin 54sin 5a Bb A === 因为sin sin B C =，所以c b ==所以ABC的周长44L a b c =++=+=+ABC的面积11sin 48225S ab C ==⨯⨯=.选②：因为sin sin sin c C A b B =+，所以由正弦定理得，22c a b =+.因为4a =，所以224b c =-. 又因为60B =︒，由余弦定理得22116242b c c =+-⨯⨯⨯， 所以224164c c c -+=-，解得5c =，所以21b =，所以ABC 的周长4215921L a b c =++=++=+，ABC 的面积1sin 532S ac B ==.选③：因为2c =，1cos 4A =-，所以由余弦定理得，21164224b b =++⨯⨯⨯，即2120b b +--，解得3b =或4b =-(舍去).所以ABC 的周长4329L a b c =++=++=. 因为()0,πA ∈，所以215sin 1cos 4A A =-=，所以ABC 的面积1153153221sin 244S bc A =⨯⨯⨯==.18．在平面直角坐标系中，已知，．（1）若，求实数k 的值；（2）若，求实数t 的值．【解析】（1），∵，∴3k +1=0，解得；（2）， ∵， ∴，解得．19．（12分）已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =．（1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标．【解析】（1）()1,4AB OB OA =-=-；()3,2BC OC OB x =-=-∵A 、B 、C 共线，∴//AB BC∴()2430x +-=，∴52x =．（2）∵M 在直线OC 上，∴设()6,3OM OC λλλ==∴()26,53MA OA OM λλ=-=--，()36,13MB OB OM λλ=-=--∵MA MB ⊥，∴()()()()263653130λλλλ--+--=即：24548110λλ-+=，解得：13λ=或1115λ=.∴()2,1OM =或2211,55OM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴点M 的坐标为()2,1或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．20．（12分）平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=.（1）求32a b c +-；（2）求满意a mb nc =+的实数m 和n ；（3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .【解析】（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-.21．（12分）已知m ，x∈R ，向量a ＝(x ，－m)，b ＝((m ＋1)x ，x)．(1) 当m>0时，若|a |<|b |，求x 的取值范围；(2) 若a ·b >1－m 对随意实数x 恒成立，求m 的取值范围．【解析】 (1) 由题意，得|a |2＝x 2＋m 2，|b |2＝(m ＋1)2x 2＋x 2.因为|a |<|b |，所以x 2＋m 2<(m ＋1)2x 2＋x 2.因为m>0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m m ＋12<x 2， 所以x<－m m ＋1或x>m m ＋1， 故x 的取值范围是(－∞，－m m ＋1)∪(m m ＋1，＋∞)． (2) 因为a ·b ＝(m ＋1)x 2－mx.由题意可得(m ＋1)x 2－mx>1－m ，对随意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1>0对随意x 恒成立． 当m ＋1＝0，即m ＝－1时，明显不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，m 2－4（m ＋1）（m －1）<0，解得m>233， 故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞. 22. （12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满意1233OC OA OB =+. （1）求AC CB 值；（2）已知2(1,cos ),(1cos ,cos ),0,,()223A x B x x x f x OAOC m AB π⎡⎤⎛⎫+∈=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭若()f x 的最小值为()g m ，求()g m 的最大值.【解析】（1）由题意知,,A B C 三点满意1233OC OA OB =+， 可得2()3OC OA OB OA -=-，所以22()33AC AB AC CB ==+，即1233AC CB = 即2AC CB =，则2AC CB =，所以||2||AC CB =.（2）由题意，函数2222()2||1cos cos 2cos 333f x OA OC m AB x x m x ⎛⎫⎛⎫=•-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(cos )1x m m =-+- 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos [0,1]x ∈， 当0m <时，()f x 取得最小值()1g m =，当01m ≤≤时，当cos x m =时，()f x 取得最小值2()1g m m =-， 当1m 时，当cos 1x =时，()f x 取得最小值()22g m m =-，综上所述，210()101221m g m mm m m <⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，可得函数()g m 的最大值为1， 即()g m 的最大值。