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2角的平分线的性质PPT优选课件

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角的平分线课件(共16张PPT)

角的平分线课件(共16张PPT)

6.3.2.2 角的平分线
思考 如何能得到角平分线呢？ 量角器度量、折叠.
在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.
6.3.2.2 角的平分线
例1 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180'÷7 ≈ 51°26'.
精确到分，要先取到 小数点后 1 位，然后 再四舍五入.
6.3.2.2 角的平分线
2.如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，若∠COD = 31°28'，求∠AOD 的度数.
解：∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB是平角. C
∴∠AOC = ∠AOB = × 180°=90°.
∴∠AOD = 12∠AOB - ∠COD.
D
=90°- 31°28' =89°60' - 31°28'
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
新知学习
思考
如图，如果∠1 =∠2，那么射线 OB 把∠AOC分成两个相等的角.你可
以写出∠AOC 和∠1 、∠2的关系式吗？
C B
∠AOC = 2∠1 = 2∠2， ∠1 = ∠2 = 1 ∠AOC
2
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线.
注意：度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
6.3.2.2 角的平分线
随堂练习
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果 要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份?

《角的平分线的性质》PPT优质课件

《角的平分线的性质》PPT优质课件

E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾 旧 知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，

初中数学《角平分线》课件-完美版【北师大版】2

初中数学《角平分线》课件-完美版【北师大版】2
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， 连接 OA． ∵点 O 是∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
初中数学《角平分线》完美ppt北师大 版2-精 品课件 ppt(实 用版)
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
初中数学《角平分线》完美ppt北师大 版2-精 品课件 ppt(实 用版)
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角平分线的性质和判定(共张)课件

角平分线的性质和判定(共张)课件

作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等， 那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论

《角平分线》PPT课件2

《角平分线》PPT课件2

∠PDO= ∠PEO3)验证猜想:
OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等
活动 5
角平分线上 的点到角两 边的距离相
等。
A E
4.实践与应用
P
O
FB
判断正误，并说明理由：
图1
A
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，
A
E
F
B
D
C
十.小结与评价
这节课我们学到了什么？ 共同归纳本节课所学主要知识：
(1)用尺规作角的平分线. (2)角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. (3)角平分线的判定定理：
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
生活中有很多数学问题：小明家 居住在一栋居民楼的一楼，刚好位 于一条自来水管和天然气管道所成 角的平分线上的P点，要从P点建两 条管道，分别与自来水管道和天然 气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么 关系，画来看看.
五.角平分线的判定定理
判定定理 ：在角的内部，到角的两边距离相等的点， 在这个角的平分线上.
用符号语言表示为： A
∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB， PD=PE， D
∴ 点P在∠AOB的平分线上 . O
C
1
P
2
EB
六.试一试
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是
∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
活 探动究角5平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）

角平分线的判定定理ppt课件

角平分线的判定定理ppt课件

经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
4、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的
平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
G
P
H
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的 交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已 知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A
D OE
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
的判定 到角的两边的距离相等的点
的平分线上。
在角
D
已知：如图，PD^OA ，PE^OB，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明： 作射线OP
∵ PD^OA PE^OB
E
\ PD P OE 9O 0
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边）
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)

《角平分线的判定》课件

应用举例
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假 设点不在角平分线上，通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分， 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平 分线，E、F分别是AB、AC上的点， 且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。

《角平分线》PPT教学课件


知识讲解
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就
是角平分线，你能说明它的道理吗?
两个三角形三边对应相等，两个三角形全
A C
等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就
是角平分线 想一想：能够运用这种方法作出任意角的 角平分线吗？
B
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
× ∴ BD = CD ，
A
D C
( 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
理由： 没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.
知识讲解
★ 练一练
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
× ∴ BD = CD ,
(角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分 线的性质定理是否也有逆定理呢？
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在 角的平分线上.
知识讲解
角平分线性质定理的逆定理 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
A
D C
P
O
E
B
用途： 证明点在角平分线上，即可以判定角平分线.
知识讲解
典例讲解 例题 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A N PM
B
C
知识讲解
证明：
A
D
N
P
F M
B
C
E
知识讲解

人教版《角的平分线的性质》课件演示PPT初中数学2

角的平分线的性质的综合 运用
复习 两个定理
1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
A
2．角的内部到角的两边的距离
D C
相等的点在角的平分线上．
P
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上． O
EB
回顾 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于
12
先用定理2证等角
B E D FC
再用平行关系换角的位置 最后用定理1再证距离相等
证明：∵点D到PE和PF的距离相等，
∴PD是∠EPF的平分线（定理2）．
∴∠1 = ∠2．
A 34 P 12
B E D FC
注意鉴别易混定理．
∵PE∥AB，∴∠1 = ∠3． 同理，∠2 = ∠4． ∴∠3 = ∠4． ∴△ABC中，AD平分∠BAC． ∴点D到AB和AC的距离相等．
例 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另
一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
A
分析：标图
D
C 已知可推？
P F “角分双垂推相等”得PD = PE
O
E B △ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF
求证何来？ 可能来自全等
△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF
在外角的平分线上．
O4
例 如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P
在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF 的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．
BE
A 34 P 12
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直OA，OB，垂足为C，D.
O
求证：AC=BD.
C
D
A
E
B
2021/02/16
16
做一做
3.角平分线的性质运用
例2. 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7， DE＝3. 求BD的长。
A E
CD
B
2021/02/16
17
随堂检测
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别
是
.
C D
2021/02/16
A
B
19
随堂检测
4.如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，BD=DF；求证：CF=EB
A
2021/02/16
F
E
CD B
20
归纳小结
尺规 作图
角平分线
性质 定理
属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
A
（）
B
只有垂直，没有角平分线, 不能用角平分线性质定理
D
C
2021/02/16
13
练一练
3.角平分线的性质运用
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ DB = DC ，（ 在 的角 两的 边平 的分 距线 离上 相的 等点。到这个角）
B
不必再证全等
A D
2021/02/16
C
14
议一议
证明一个几何命题的一般步骤：
1、明确命题中的已知和求证。 2、根据题意画出图形，并用数学符号表示出已知和求证。 3、经过分析，找出由已知推出要证结论的途径，写出证明过程。
2021/02/16
15
做一做
3.角平分线的性质运用
例1. 在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD =CD
，(
在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
)
（）
B
只有角平分线，没有垂直,不
能用角平分线性质定理
A
D
C
2021/02/16
12
练一练
3.角平分线的性质运用
判断
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这个 ) 角的两边的距离相等。
是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= 度，BE= 。
B
A E
C D
FC
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，
那么线段BE是△ABC的
，AE+DE=
。
2021/02/16
18
随堂检测
3.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离
角的平分线的性质
2021/02/16
1
学习目标 1 掌握角平分线的做法和角平分线的性质. 2 掌握角平分线在实际生活中的应用。 3 提高学生综合运用全等知识解决问题的能力。
课前自主学习
自主学习任务1：掌握下列知识要点。
你能用尺规作图作角的平分线？ 角平分线的性质是怎样的？ 你会用角平分线的性质解决问题吗?
PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE
A D
C
P
O
EB
2021/02/16
9
Hale Waihona Puke 议一议2.角平分线的性质
文字语言： 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个， 必须写完全，不能
少了任何一个。
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
1
(角的平分线上的点到角的两边
A.SAS B.AAS
C.SSS
D. ASA
2021/02/16
5
议一议
1.角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
A
D
B
EC
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
2021/02/16
6
议一议
1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧， 交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
A Ｍ
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．
大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两
弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
O
2
A
D P
E
B
的距离相等)
图形语言
2021/02/16
10
议一议
2.角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； O
A C
P
（3）垂直距离。 定理的作用：证明线段相等。
E B
2021/02/16
11
练一练
判断
3.角平分线的性质运用
2021/02/16
7
议一议 1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）
为什么OC是角平分线呢？（议一议，写一写）
已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ Ｃ
2021/02/16
Ｂ
Ｎ
Ｏ
8
议一议
2.角平分线的性质
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
自主学习反馈
自主学习任务2：完成自主学习检测的题目。 1.角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个角的平分线.
A
C
1
2
B
O
2021/02/16
4
自主学习反馈
自主学习任务2：完成自主学习检测的题目。
P
2.下图中能表示点P到直线l
的距离的
.
l A B CD
3.用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )
辅助线 添加
过角平分线上一点向两 边作垂线段
2021/02/16
21