三大抽样分布及常用统计量的分布-修正版.pdf

在方差分析中，t分布用于检验 各个组之间的均值是否存在显著
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。

n1 n2
由 (n1
1)S12
2
~
2 (n1
1),
(n2 1)S22
2
~
2(n2
1),
且它们相互独立, 故由 2 分布的可加性知
V
(n1
1)S12
2
(n2
1)S22
2
~
2(n1
n2
2),
由于 U 与V 相互独立 , 按 t 分布的定义 .
U V /(n1 n2 2)
( X Y ) (1 2)
则有：
( X Y ) (1 2 )
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
11
~ t(n1 n2 2)
n1 n2 2
n1 n2
证：X
Y
~
N
(1
2
,
2
n1
2
) n2
所以 ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 1/ n1 1/ n2
(n1 1)S12
2
~
2 (n1
1),
定理二
设 X1, X2 , , Xn 是总体 N ( , 2 ) 的样本,
X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
(1)
(n 1)S 2
2
~
2(n 1);
(2) X 与 S 2 独立.
推论1 设 X1, X2, , Xn 是总体 N ( , 2 ) 的
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
2
P( X
2
t2
(n))
2
P(Y
t2
12
(n))
所以
t2
12

所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0

1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：

n1 n2
(n1
1) S12
2
～
2
(n1
1),
(n2
1)S
2 2
2
～
2

(n2
1)
且S12与S22相互独立，由 2分布的性质知
(n1 1)S12
2
(n2 1)S22
2
～ 2 (n1
n2
2)
再由定义3知
T
X
Y Sn
(1
1 n1
1
2
)
～t(n1
n2
n2
- 2)
t 分布的上侧分位点
对于给定的 (0< <1)，称满足条件
X
2 i
.
i2
i4
解 (1) 因为Xi～N(0,1)，i=1, 2, …, n. 所以
X1-X2 ～N(0, 2)，
X
2 3
X
2 4
~
2(2),
X1
X2 2
~
N(0,1),
故
X1 X2
X
2 3
X
2 4
(X1
X
X 2)
2 3
X
2 4
2
～t(2).
2
例1 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单
/2
/2
- t/2(n) O t/2(n) t
图5-8
在附表4 (P256)中给出了t分布的临界值表.
例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，
t0.05(15)= 1.753
t0.05/2(15)= 2.131
其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.

特别，若12 =22 ，则 F=sx2/sy2 F(m1,n1)
18 July 2014
第五章 统计量及其分布
第27页
推论5.4.4
在推论5.4.3的记号下，设 12 =22 = 2 ，
2 x 2 y 2 i 1 i 1 m n
18 July 2014
第五章 统计量及其分布
第15页
其密度函数为（推导过程见P273）：
1 [(n 1) 2] y 2 n2 p( y ) (1 ) , y n (n 2) n
t 分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称 的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似， 只是峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标 准正态分布的大一些。
• 当自由度较大 (如n30) 时， t 分布可以用 正态分布 N(0,1)近似。
18 July 2014
第五章 统计量及其分布
第18页
当随机变量t t(n) 时，称满足 P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数. 分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。 譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得 t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 . 由于 t 分布的密度函数关于0 对称, 故其分位数 间有如下关系 t(n1)= t1(n1)
A (aij ) 定义如下：
1 a1 j , j 1, 2, n , n,
18 July 2014
1 k ( k 1) , j k k 1 akj , jk, k ( k 1) 0, jk
k 2
第五章 统计量及其分布
n
(3) (n1) s2/2 2(n1)。

STAT
平均数的抽样分布
An example A die is thrown infinitely many times. Let X represent the number of spots showing on any throw.一个骰子被投掷了无数次,用X表示每一次出现的点数. The probability distribution of X is
统计学
第 6 章 统计量及其抽样分布
PowerPoint
作者：中国人民大学统计学院 贾俊平
统计量
01
关于分布的几个概念
02
由正态分布导出的几个重要分布
03
样本均值的分布与中心极限定理
04
样本比例的抽样分布
05
两个样本平均值之差的分布
06
关于样本方差的分布
07
第 6 章 统计量及其抽样分布
了解统计量及其分布的几个概念
理解样本均值的分布与中心极限定理
了解由正态分布导出的几个重要分布
掌握单样本比例和样本方差的抽样分布
学习目标
2
常用统计量
3
次序统计量
1
统计量的概念
4
充分统计量
6.1 统计量
设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量
统计分布类型就是：在某些限定条件下，考察不同类型的个别数量现象在总体上具有什么样的分布特征，熟知的如正态分布。这些模型的结果告诉我们各种情况出现的可能性。
1
2
3
4

样本主要统计量： 平均数 比率（成数） 方差

的
F
2 ( 2 )
分布，记为
2
F～
F
(
1,
2
)
。
对于样本方差
s12
和
s
2 2
，自由度分别为
1
和
2
的
正态总体，因为有 1s12 2
～
2
( 1 )
,
2s22 2
～ 2 ( 2 ) ,
所以有 F
= s12 s22
～ F (1, 2 )
F分布的概率密度函数
f (F)
P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
② 10，双 =0.05，t 2, t0.05/ 2,10 2.228 ，则有
P(t 2.228) P(t 2.228) 0.05 t t 0.10/2,30 0.05,30
t分布曲线下面积（附表2）
双侧t0.05/2，9＝2.262 ＝单侧t0.025，9
F 分佈是為了紀念著名的統計學家R.A. Fisher（1890-1962)而得名。
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
F 分布曲线 11,2 5
15,2 5
110,210
2F
3
4
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
服从χ2 ( ) ，
由此可对方差的抽样误差进行假设检验。
χ2分布
f(χ2)
χ2
χ2分布曲线下的面积与概率
二、 t 分布(t-distribution)
随机变量X N（，2）

三大抽样分布课件
欢迎来到我们的三大抽样分布课件！在这个课件中，我们将介绍离散型随机 变量概率分布、连续型随机变量概率分布以及抽样分布的概念、特点和应用。 让我们一起来探索这个精彩的主题吧！
离散型随机变量概率分布
概念介绍
了解离散型随机变量的概率分布和概率质量函数是建立在此领域的基础
二项分布
掌握二项分布的概念、参数和求解方法对于实际问题的应用至关重要
连续型随机变量概率分布
概念介绍
了解连续型随机变量的概率分布和概率密度函数是 理解其特性和应用的基础
正态分布
深入探讨正态分布的特性、标准正态明白总体与样本的区别以及抽样分布的
t分布
2
概念对于实际数据分析至关重要
了解t分布的特点和应用举例，可以更好
地理解样本均值的抽样分布
3
F分布
学习F分布的特点和应用举例，加深对 抽样分布的认识
总结与回顾
三大抽样分布的概念
回顾离散型、连续型随机变量概率分布和抽样分布的基本概念
不同分布的特点和应用
总结各个分布的特点，以及它们在实际问题中的应用场景

x
p(x)
2 P ( χ 2 ≤ χ p (n)) = p
例 n = 10
α = 0.05
p
2 χ p ( n)
x
2 2 P ( χ 2 ≤ χ0.05 (10) = 0.05 ) P( χ 2 ≥ χ0.05 (10) ) = 0.95 = 3.9403 = 3.9403 2 2 2 P( χ 2 ≤ χ0.95 (10) ) = 0.95 P ( χ ≥ χ0.95 (10)) = 0.05 = 18.307 = 18.307 2 2 P( χ 2 ≥ χ0.975 (10) ∪ χ 2 ≤ χ0.025 (10) ) = 0.05 = 3.2470 = 20.4832
χ 2 (m −1)
χ (n −1)
x ~ N ( µ1 ,
σ 12
m
) y ~ N (µ 2 ,
2 σ2
n
)
（2）样本均值差的分布 2 σ 12 σ 2 (x − y) − (µ1 − µ2 ) X1 = ~ N(0,1) x − y ~ N ( µ1 − µ 2 , + ) 2 m n σ12 σ2
P(
2 χ0.025 (10)
= 3.2470
≤ χ2 ≤
2 χ0.975(10) )
= 20.4832
= 0.95
二、F分布 分布
1、构成的统计量的形式 、
2 2
第一自由度
X1 / m X 1 ~ χ ( m) X 2 ~ χ ( n) ⇒ F = ~ F (m, n) X2 /n 第二自由度
2、定理 、 X1 / m 1 X2 /n F= ~ F (m, n), 则 = ~ F (n, m) F X1 / m X2 /n

1.
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1)
2. X 与 S 2 独立。 定理三 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样
X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
X S/ n ~ t (n 1)
定理四 设 X 11,,X 22,,,X nn 与Y11,,Y22,,,,Ynn 是来自正态总体 N ((11,, 1212))和 N Y 是来自正态总体 N 和 设 X X , X 与Y Y 2 ) 和 N ( 2 , 2 ) 的样本，且这两个样本相互独立。设 n 1 1 n1 X i 1 X i , Y i 1 Yi 分别是这两个样本的均值； n2 n1 n 1 1 n1 2 2 2 S2 (Yi Y ) 2 S1 i1 ( X i X ) , n21 1 i 1 n1 1 分别是这两个样本的样本方差， 则有
则称随机变量
[(n1 n 2 ) / 2](n1 / n 2 ) n1 / 2 y ( n1 / 2 ) 1 , y0 ( y ) (n1 / 2)(n 2 / 2)[1 (n1 y / n 2 )]( n1 n2 ) / 2 0, 其它
其图形如右图所示
U / n1 F V / n2 服从自由度为 ((n1 ,,n 22)的2)) 服从自由度为 n1 n )的F 分布，记为 F ~ F n1 n
F (n1 , n 2 ) 分布的概率密度为
2 2 设 U ~ ( n1 ), V ~ (n 2 ), 且U , V 独立，
1 0.357 2.80
二、抽样分布定理
定理一 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 本，X 是样本均值，则有 X ~ N ( , 2 / n) 定理二 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有