走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱

问题25 线性规划中的参数问题一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值． 二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ,y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数的最小值为2,则ab 的最大值为 ． 【答案】41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可．【小试牛刀】设变量y x ,满足约束条件,且的最小值是20-,则实数=a ． 【答案】2±【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由图知,当经过点(2,2)A 时取得最小值20-,即,解得2a =±．4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是( )A ．[]52,22 B ．(]23,22 C ．(]52,23D ．【答案】D ．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：,可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方,即；也可看成是以(),Q a b 为圆心为半径的圆,转换为圆与可行域有无公共点的问题．【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. (三)目标函数及约束条件中均含参数【例6】设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 下,目标函数my x z +=的最大值大于2,则m 的取值范围为（ ）．A ．()21,1+B ．()+∞+,21 C ．()3,1 D ．()+∞,3 【答案】B【小试牛刀】设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3 【答案】B五、迁移运用1．【陕西省西安市高新一中2019届高三一模】若满足，且的最小值为，则的值为（）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小值为，即，则，当时，，即，同时也在直线上，代入可得，解得，故选D．6．【山东省聊城市第一中学2019届高三上学期期中】设，满足约束条件，若的最大值为，则的最小值为（）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，7．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知点(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则（）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】B【解析】由目标函数的最大值为7，最小值为1，联立方程和，解得A(3，1)，B(1，－1)，由题意知A ，B 两点在直线上，所以解得a ＝－1，b ＝1.故选B.8.不等式组（1k >）所表示平面区域的面积为S ,则1kSk -的最小值等于（ ） A ．30 B ．32C ．34D ．36【答案】B【解析】,所以,当且仅当2k =时取等号,所以选B. 13.三个正数a,b,c 满足,,则ba的取值范围是（ ） A ．23[,]32 B ．2[,2]3 C ．3[1,]2D ．[1,2] 【答案】A14.已知x ,y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ) （A ）[6,15] （B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]【答案】D ．【解析】当3s =时,对应的平面区域为阴影部分,由y x z 23+=得,平移直线由图象可知当直线经过点C 时,直线的截距最大,此时3,24x y y x +=⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)C ,代入y x z 23+=得7z =．当5s =时,对应的平面区域为阴影部分ODE,由y x z 23+=得,平移直线由图象可知当直线经过点E 时,直线的截距最大,此时024x y x =⎧⎨+=⎩解得04x y =⎧⎨=⎩,即(0,4)E ,代入y x z 23+=得8z =．∴目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是78z ≤≤,即[7,8],选D ．15.已知y x ,满足约束条件,若恒成立,则实数k 的取值范围为 . 【答案】6≥k16．【北京市朝阳区2018年高三一模】已知实数,x y满足若取得最小值的最优解有无数多个,则m的值为__________．【答案】1【解析】z mx y=+可化为y mx z=-+,0m-<, z取得最小值,则直线l的截距最小,最优解有无数个,即l与边界AB重合,故1m=,故答案为1.22．若不等式组126axyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形,则实数a的取值范围是_______．【答案】()3,5．。

一．学习目标【学习目标】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．二．知识点总结【知识要点】1．二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．2．线性规划相关概念名称意义约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组条件目标函数关于x，y的函数解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合3.常见简单的二元线性规划实际问题一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务． 解线性规划问题的一般步骤： 审题、设元——列出约束条件(通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解． 三．解题方法总结.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法第一种：若用y ＝kx ＋b 表示的直线将平面分成上下两部分第二种：用Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)表示的直线将平面分成上下两部分(B ＝0读者完成)联系：将Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线转化成y ＝kx ＋b 的形式即是第一种.第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括. 2.线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下： ①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；②移：由z ＝ax ＋by 变形为y ＝－a b x ＋z b ，所求z 的最值可以看成是求直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距的最值(其中a ，b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化)，将直线ax ＋by ＝0平移，在可行域中观察使zb 最大(或最小)时所经过的点；③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；④答：写出最后结论.(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解.四.命题陷阱类型分析1.简单的线性规划例1．若实数,x y满足条件6{321x yx yx+≤-≤-≥，则23x y+的最大值为（）A. 21B. 17C. 14D. 5 【答案】B练习1．已知实数x，y满足1{2103xx yx y≥-+≤+≤，则3z x y=+的最大值是（）A. 4B. 7C. 8D. 17 3【答案】B【解析】作出可行域，如图所示：当直线经过点B ()12，时， 3z x y =+最大，即167z =+=， 故选：B2．已知实数,x y 满足31{4 1y x x y y ≤-+≤≥，则目标函数z x y =-的最大值为（ ）A. 3-B. 3C. 2D. 2- 【答案】C【解析】如图所示，当31x y ==，时， 目标函数z x y =-的最大值为312-= 故选C 。

专题六不等式问题二：线性规划中地参数问题一，考情思路线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域地确定问题。

（2）区域面积问题。

（3）最值问题。

（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中地难点,其主假如依据目标函数地最值或可行域地情况决定参数取值．二，经验分享(1)求平面区域地面积：①首先画出不等式组表示地平面区域,若不能直接画出,应利用题目地已知款件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域。

②对平面区域进行思路,若为三角形应确定底与高,若为规则地四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解地平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合地方式去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数地几何意义求目标函数地最值．当目标函数是非线性地函数时,常利用目标函数地几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要依据临界位置确定参数所满足地款件,含参数地平面区域问题,要结合直线地各种情况进行思路,不能凭直觉解答,目标函数含参地线性规划问题,要依据z地几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三，知识拓展常见代数式地几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)地距离,￿x－a￿2＋￿y－b￿2表示点(x,y)与点(a,b)地距离。

②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线地斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线地斜率．四，题型思路(一) 目标函数中含参数若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数得到最值时所经过地可行域内地点（即最优解）,将点地坐标代入目标函数求得参数地值．1．目标函数中x地系数为参数【点评】线性规划问题地最优解一般在平面区域地边界顶点处或边界线上一,当最优解不唯一时,说明目标函数所表示地直线与区域地某一边平行【思路】约束款件所满足地区域如图所示,目标函数过B【点评】这类问题应依据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数地值．．目标函数中,x y地系数均含参数4【点评】本题地关键是给出目标函数地实际意义()()22x a y b -+-,可看成可行()()222x a y b =-+-。

走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱线性规划是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现.传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点.但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向：一方面将它与函数、方程、不等式、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起；另一方面在这些问题背景中引进参变量，变换设问角度，提高思维强度，增加题目难度.下面我们对线性规划中参变量的新情景设置给出深度分析，帮助同学们走出思维误区，正确求解线性规划问题.一、约束条件中的参变量例1 已知实数,x y 满足01240y x y x y x my n ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪++≥⎩ ，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是 .例2 设变量,x y 满足约束条件037x y xx ay ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，其中1a >若目标函数z x y =+的最大值为4，则a 的值为 .例3 在平面直角坐标系中，设不等式组()003x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横、纵都为正整数的点）的个数为n a ，则n a = .例4 若实数,x y 满足不等式33023010x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且x y +的最大值为9，则实数m = .例5 实数,,x y k 满足3010x y x y x k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若22z x y =+的最大值为13，则k = .例6 已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，则k = .例7 已知点(,)P x y 满足条件020x y xx y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则k = .例8 已知2z x y =+，,x y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则a = .例9 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件0230x y x y x m +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为 .例10 若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围为 .二、目标式中设置的参数值例1 已知实数,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a = .例2 设,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax by=+()0,0a b >>的最大值为12，则23a b+的最小值为 .例3 已知区域D ：1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，的面积为S ，点集(){},1T x y D y kx =∈≥+在坐标系中对应区域的面积为12S ，则k = .例4 已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = .例5 已知变量,x y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y=+(0)a >其中仅在点()1,1处取得最大值，则a 的取值范围为.例6 设实数,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则22a b +的最小值为 .例7 设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+当且仅当在点()2,4处取最大值，在点()1,1处取最小值，则实数a 的取值范围为 .例8 已知实数,x y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为 .三、其他类例1 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影.由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段AB ，则AB = .例2 在平面直角系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足OA OB =2OA OB ==，则点集{},1,,P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈R 所表示的区域的面积为 .例3 若两个正数,a b 满足24a b +<，则222b z a +=-的取值范围为 .例4 若实数,x y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值为.例5 若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩，表示的区域为Ω，不等式221124x y ⎛⎫-+≤⎪⎝⎭表示的区域为Γ，在Ω中任取一点P ，则点P 落在区域Γ中的概率为 .例6 已知正数,,a b c 满足：534,ln ln c a b c a c b a c c -≤≤-≥+，则b a的取值范围是 .例7 已知实数,x y 满足()21y xx y a a x ≥⎧⎪+≤>⎨⎪≥⎩，22223y xy x x -+的最大值为6，则实数a = .例8 已知实数,x y 满足约束条件104312020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则211x y z x -+=+的最大值为 .例9 已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A B 、，当APB ∠最大时，cos APB ∠=.例10 设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为 .例11 设,x y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a= . 答案：一、 1.32- 2.2 3.3n 4.1 5.26.1-7.6-8.149.1- 10.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、 1.12-或 2.256 3.13 4.2 5.10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6.25137.(]2,0- 8.7三、 1.2. 3.()3,1- 4.14 5.3236π+ 6.[],7e 7.4 8.459.1210.18 11.3。

高考数学一轮复习 热点难点突破 不拉分系列（十）研透两种题型，突破含参变量的线性规划问题 新人教版含参变量的线性规划问题是近年来高考命题 的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧， 增加了解题的难度．参变量的设置形式通常有以 下两种：(1)条件不等式组中含有参变量； (2)目标函数中设置参变量．[典例1] (2012·福建高考)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．2[解析] 可行域如图阴影所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0得交点A (1,2)，当直线x ＝m 经过点A (1,2)时，m 取到最大值为1.[答案] B[题后悟道] 由于条件不等式中含有变量，增加了解题时画图的难度，从而无法确定可行域，要正确求解这类问题，需有全局观念，结合目标函数逆向分析题意．整体把握解题的方向，是解决这类题的关键．针对训练1．(2012·“江南十校”联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，记目标函数z ＝2x＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1，－4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－2解析：选D 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7和直线x ＋y ＝4的交点，经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2.[典例2] (2012·深圳调研)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1[解析] 如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时，相应直线在y 轴上的截距才达到最大)，结合图形可知a ＞12.[答案] B[题后悟道] 此类问题旨在增加探索问题的动态性和开放性．解决此类问题一般从目标函数的结论入手，对图形的动态分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解这类问题的主要思维方法．针对训练2．(2012·温州适应性测试)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选B 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.。

解题宝典在解答函数问题时，我们经常遇到含参二次函数问题.此类问题看似简单，其实较为复杂.函数的图象、最值、单调性随着参数、对称轴、定义域区间的变化而变化，我们需灵活运用分类讨论思想和数形结合思想才能顺利解题.当问题中出现两个参数时，解题的难度就会升级，我们采用常规方法求解很难得到问题的答案.这里介绍另外一种方法：利用线性规划模型来求解.线性规划模型主要用于研究线性约束条件下线性目标函数的最值问题.在解答含参二次函数问题时，我们可以结合已知条件建立线性规划模型，将问题转化为线性规划问题，利用几何平面区域（可行域）来求解.例1.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[]0,1内存在2个零点，求的a +b 取值范围.分析：首先结合函数的解析式画出大致的函数图象，由图象可得到f (0)≥0,f (1)≥0，Δ>0,0<-a 2<1四个不等式关系，将其看作线性约束条件，将z =a +b 看作目标函数，建立线性规划模型.在直角坐标系中画出对应的可行域，求得z 的最值便可解题.解：由题意可得ìíîïïïïf (0)=b ≥0,f (1)=a +b +1≥0,Δ=a 2-4b >0,0<-a 2<1,画出如图1所示的可行域，设z =a +b ，将其变形可得b =a -z ，移动直线b =a ，当b =a -z 过直线a +b +1=0,a 2=4b 的交点，即（-2，1）时，z 有最小值-1，即a +b 的取值范围为[)-1,+∞.图1一般地，对于目标函数为z =ax +by 型的线性规划问题，我们需先将目标函数变形为y =-a b x +zb ，将求z 的最值问题转化为求直线y =-a b x +zb的纵截距的最值.当b >0时，y =-a b x +z b的纵截距最大，z 最小；当纵截距最小时，z 最大.当b <0时，y =-a b x +z b的纵截距最大，；当纵截距最小时，z 最小.例2.已知f （x ）=x 2-2bx +b -3，函数的两个零点分别为x 1，x 2，且-1<x 1<0,x 2>3，求b 的取值范围.分析：本题采用常规方法求解，需先利用一元二次方程的求根公式分别求出x 1,x 2，然后根据已知条件-1<x 1<0,x 2>3分别列出不等式，结合Δ>0，求出b 值的范围.在解题的过程中，需将b 分为b >3或b ≤3两种情况进行讨论，这样计算量较大，且过程繁琐.我们可根据题意建立线性规划模型，利用几何平面区域来解题.解：由题意可绘制如图2所示的图象，观察图2可得ìíîïïf (-1)=3b -2>0f (0)=b -3<0f (3)=-5b +6<0,解得65<b <3.图2由于已知函数零点的范围，所以我们可以根据题意画出函数的大致图象，借助图象便可建立关于零点x 1,x 2的不等式.将上述不等式组看作线性规划问题中的线性约束条件，将z =b 视为目标函数，建立线性规划模型.通过画出可行域，在可行域内找到b 的最值，便可求得问题的答案.例3.若函数f (x )=x 2-ax +b 在区间[]1,2内存在2个零点，求a 2+b 2-3b 的取值范围.分析：我们根据题意列出关于零点和判别式的不等式，将其看作线性约束条件，令z =a 2+b 2-3b ，将其视为目标函数，建立线性规划模型.由目标函数z =a 2+b 2-3b 可以联想到z =a 2+b 2，于是把问题转化为求可行域内动点与定点距离的平方的最值，根据可行域以及点到直线的距离公式求得z 的最小值.40解：要使函数存在2个零点，需使ìíîïïïïf (1)=1-a +b ≥0，f (2)=4-2a +b ≥0，Δ≥0，1≤a 2≤2，绘制如图3所示的可行域（可行域为箭头所指的曲边三角形）.对z =(x -a )2+(y -b )2变形，可得z +94=a 2+æèöøb -322，则将问题转化为求点(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）距离的平方的最值.从图3中可以看出点(0,32)到直线1-a +b =0的距离即为(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）的最小距离，利用点到直线的距离公式d =||Ax 0+By 0+C A 2+B 2，得d =522.则≥522，解得z ≥78.所以a 2+b 2-3b 取值范围为éëöø78，+∞.对于目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2型的目标函数，我们可以依据(x -a )2+(y -b )2的几何意义，把问题转化为求可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )距离的平方的最值，从而求出z 的范围.综上所述，利用线性规划模型解答含参二次函数问题有如下几个步骤:1.根据题意建立不等式组，将其视为线性约束条件;2.将所求目标设为目标函数，将其变形为直线的截距式、两点的距离;3.画出可行域；4.在可行域内寻找使得直线的纵截距、动点到定点的距离取最值的点；5.将最值点的坐标代入求得问题的答案.同学们在解题的过程中要注意根据题意建立线性规划模型，利用线性规划模型来提升解答含参二次函数问题的效率.（作者单位：宁夏育才中学）空间几何体的外接球问题是高考试卷中的重要题型，主要考查球空间几何体的性质、面积公式、体积公式.此类问题的难度系数较大，要求同学们具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力.本文介绍几种常见空间几何体的外接球问题的题型及其解法，以帮助同学们破解此类问题.类型一：三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球问题该类型的三棱锥具有明显的特征：三条棱两两互相垂直.我们可以抓住该特征，将其看作长方体、正方体的一部分，构造出一个完整的长方体、正方体.将三条棱看作长方体、正方体的三条边，于是三棱锥的外接球的直径等于长方体、正方体的对角线.求出三棱锥的外接球的半径、直径，空间几何体的外接球问题便可顺利获解.类型二：一条侧棱垂直于一个底面的三棱锥的外接球问题我们可将该三棱锥看作直棱柱的一部分，将其补成一个直棱柱，再将其补成一个圆柱，如图1、2、3、4所示，那么三棱锥的外接球即为圆柱的外接球.直棱柱的上、下底面为三角形，且三角形的外接圆的直径为a sin A =b sin B =c sin C =2r ，上下底面的距离为OO 1=12PA(此时PA 垂直与底面)，则有①(2R )2=PA 2+(2r )2，即2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12，即R =r 2+OO 12，这样便建立了PA 与三棱锥的外接球之间的关系，进方法集锦图341。

专题05 破译线性规划中含参问题一、单选题1．设变量x ，y 满足约束条件20{440 3x y x y x y -+≥--≤+≥若目标函数z ＝x ＋ky (k >0)的最小值为13，则实数k 等于( )A . 7B . 5或13C . 5或294D . 13 【答案】C点睛：线性规划问题中，若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．2．若对圆()()()222110x y r r -+-=>上任意一点(),P x y ， 346349x y x y -++--的取值与,x y 无关，则实数r 的取值范围是（ ）A . 1r ≥B . 1r ≤C . 12r ≤≤D . 2r ≥【答案】B【解析】令34x y t -=，则等价于69t t ++-的值与t 无关，所以69t -≤≤，即6349x y -≤-≤，所以圆的区域位于两平行线区域之间， 所以122,1d d ==， 所以1r ≤，故选B 。

3．已知实数,x y 满足1{2 1 y y x x y m≤≥-+≥，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则实数m 等于（ ）A . ﹣4B . ﹣2C . 0D . 1【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：点睛：线性规划问题，涉及到可行域中有参数问题，综合性要求较高．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题中显然直线越上移z 越小，结合可行域显然最小值在B 点取得，从而求出m ．4．若不等式组20{220 20x y x y x y a +-≤+-≥-+≥解为坐标的点所表示的平面区域为三角形，且其面积为43，则实数a 的值为（ ）A . 3-B . 1C . 3-或1D . 3或1-【答案】B【解析】做出不等式组对应的平面区域如图所示，若不等式组表示的平面区域为三角形， 由20{220x y x y +-=+-=可得： 2{x y ==，即()2,0A .满足题意时，点()2,0A 位于直线20x y m -+=下方，即： 220m +>，解得： 1m >-，据此可排除ACD 选项. 本题选择B 选项.5．若实数,x y 满足约束条件1{ 1 33x y x y x y +≥-≥--≤，目标函数2z ax y =+ 仅在点()10，处取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A . []-62，B . ()-62，C . []-31，D . ()-31，【答案】B6．若x y 、满足约束条件{2 2x ay x y ≤≤+≥，若2z x y =+的最大值是6，则z 的最小值为（ ）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】A 【解析】7．在直角坐标系中，若不等式0{21x y ax y x ≥≥≤-+表示一个三角形区域，则实数a 的取值范围是( ) A . a >0 B . a ≥0 C . a ≤－2 D . a >－2【答案】D 【解析】点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8．实数,x y 满足3{0 ,60x x y x y ≤+≥-+≥若z ax y =+的最大值为39a +,最小值为33a -,则实数a 的取值范围是A . []1,0-B . []0,1C . []1,1-D . ][(),11,∞∞--⋃+【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示，由目标函数z 与直线z ax y =+在y 轴上的截距之间的关系可知，当1a >时，直线z ax y =+过点()C 3,9时目标函数z ax y =+取得最大值39a +，直线z ax y =+过点()A 3,3-时目标函数z ax y =+取得最小值33a -+，不符合题意；当11a -≤≤时，直线z ax y =+过点()C 3,9时目标函数z ax y =+取得最大值39a +，直线z ax y =+过点()3,3B -时目标函数z ax y =+取得最小值33a -，如图所示，符合题意；当a >-1时，直线z ax y =+过点()3,3A -时目标函数z ax y =+取得最大值33a -+，直线z ax y =+过点()3,3B -时目标函数z ax y =+取得最小值33a -，不符合题意.综上可得实数a 的取值范围是[]1,1-，故选C .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9．若实数,x y 满足不等式组20{240 250x y x y x y -+≥+-≥+-≤，且()()321x a y -++的最大值为5 ，则a 等于（ ）A . 2B . 1-C . 2-D . 1【答案】A【解析】实数x ，y 满足不等式组20{240 250x y x y x y -+≥+-≥+-≤，的可行域如图：故选：A ．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10．若x ， y 满足0{30 30y x y kx y ≥-+≥-+≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（ ）．A . 32-B. 32 C . 23- D . 23【答案】A 【解析】二、填空题11．设,x y 满足约束条件250{220 0x y x y x y -+≥--≤+≥，则目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为5，则,a b 满足的关系为__________； 22a b +的最小值为__________．【答案】 345a b += 1 【解析】12．当实数x ，y 满足240{10 1x y x y y +-≤--≤≥时，ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由约束条件作可行域如图，联立1{240x x y =+-=，解得31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，联立10{240x y x y --=+-=，解得()2,1B ，在10x y --=中取0y =得()1,0A ．由4ax y +≤得4y ax ≤-+，要使4ax y +≤恒成立，则平面区域在直线4y ax =-+的下方，若0a =，则不等式等价于4y ≤，此时满足条件，若0a ->，即0a <，平面区域满足条件，若0a -<，即0a >时，要使平面区域在直线4y ax =-+的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可，即214a +≤，得302a <≤，综上32 a≤，所以实数a的取值范围是3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦，故答案为3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.13．若曲线y＝x2上存在点(x，y)满足约束条件20{220x yx yy m+-≤--≥≥，则实数m的取值范围是____________．【答案】(],1-∞【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)，作出抛物线y＝x2，14．如图，目标函数z kx y=+的可行域为四边形OABC（含边界），()1,0A、()0,1C，若32,43B⎛⎫⎪⎝⎭为目标函数取最大值的最优解，则k的取值范围是_____________【答案】48,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】直线z kx y=+的斜率为k-，平移直线+y kx z=-，因为32,43B⎛⎫⎪⎝⎭为目标函数z kx y=+取最大值的最优解，所以AB BCk k k≤-≤，又84,39AB BCk k=-=-Q，8448,3993k k∴-≤-≤-⇒≤≤，故答案为48,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦.15．已知区域2:{20 10y D x y x y ≥+-≥--≤，则圆()()22:22C x a y -+-=与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[]2,5a ∈-点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16．已知实数x ， y 满足条件1,{4, 20,x y x y x y -≥-+≤-≤若存在实数a 使得函数(0)z ax y a =+<取到最大值()z a 的解有无数个，则a =_________， ()z a =_________． 【答案】 1- 1【解析】由约束条件画出可行域如下图， ()()84A 1.5,2.5,,,2,133B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，目标函数可化为 ,0,y ax z k a =-+=-> 1,12BC AC k k ==，取最大值即截距最大，且有无数个解，所以目标函数与边界重合，当12k a =-=，截距为最小值，不符，当1k a =-=时，符合。

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练习思维跳跃，拓展思维方式。

对已有知识进行组合和重组，寻找新的解决方法。

下面就让小编给大家带来数学线性规划解题技巧，希望大家喜欢!高数学线性规划解题技巧常用的途径有(一)、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。

(二)、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。

因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。

(三)恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间，也存在着多种联系方式。

因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。

数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形(点、线、面、体)，构造算法，构造多项式，构造方程(组)，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。

数学线性规划解题实战运用所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。

简单化是熟悉化的补充和发挥。

一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。

因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。

解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。

1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。

含参数的线性和非线性规划问题【提纲挈领】主干知识归纳1．含参数的线性规划问题通常有两种：即线性约束条件中含有参数与目标函数中含有参数两问题. 方法规律总结1、线性约束条件中含有参数问题：可以根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线,进而确定线性约束条件中所含有的参然值,然后画出可行域,把问题转化为一般形式的线性规划问题.2、目标函数含参数的问题：可以根据条件先画出可行域，然后运用数形结合的思想，比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度等,直观求解。

【指点迷津】【类型一】在约束条件中仅含一个参数的线性规划问题【例1】：已知x ，y ∈R ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：作出不等式组对应的平面区域．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，y ＝k ，解得⎩⎨⎧x ＝－2k ，y ＝k ，即A(－2k ，k)；由⎩⎨⎧x －y ＝0，y ＝k ，解得⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k ，即B(k ，k)．∵平面区域的面积是6，∴12×(3k)×k ＝6，即k 2＝4，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)．答案:B【例2】：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a >1x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为 ( )．A ．4B ．3C ．2D.32【解析】：作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2.答案:C【例3】设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]【解析】： 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.答案：A【类型二】、在目标函数中仅含一个参数的线性规划问题【例4】：设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________．【解析】：画出可行域如图，k 为直线y ＝kx ＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k 最大，此直线需过B (2,4)点，所以k ＝4－22－0＝1. 答案：1【例5】：在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( )A ．－5B ．3C ．5D ．7【解析】：直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7. 答案：D【例6】：设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )．A.256B.83C.113D ．4【解析】：由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·⎝⎛⎭⎫a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256.答案：A【类型三】、在约束条件和目标函数中都含参数的线性规划问题【例7】：设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．【解析】：目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm，∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2. 答案：(1,1＋2)【例8】：设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a 等于( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】：当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎨⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．答案：B【例9】：(山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2【解析】：方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示． 由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值， 所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方， 故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B. 答案：B【同步训练】【一级目标】基础巩固题组一、选择题1、点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a 的值为（）A 、2B 、3C 、4D 、5【解析】：由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3. 答案：B2、 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为()A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】：当kx －y ＝0与直线x ＝1垂直时，k ＝0示的平面区域如图①所示，直角三角形的面积S ＝12×3×3＝92满足题意．当kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时，k ＝1，不等式组所表示的平面区域如图②所示，直角三角形的面积S ＝12×(2－1)×(3－1)＝1，满足题意．综上可知，k 的值为1.答案：D3、(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 【解析】：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值进行解答．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a x －3得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，答案：B4、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值时最优解不唯一，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．－1或1D ．1ax ＋y ＝0，当其与直线BC 重合时，目标函数值最大，此时a ＝1. 答案:D5、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ≥0，0≤x ≤k .若z ＝x ＋ky 的最小值为－2，则z 的最大值为()A ．12B ．16C ．20D ．24【解析】：由题易知k>1.作出不等式组对应的平面区域如图所示，联立⎩⎨⎧x ＝k ，x ＋2y －1＝0，解得B(k ，1－k2)．当直线y ＝－1k x ＋z k 过点B(k ，1－k 2)时，在y 轴上的截距最小，即zk 最小，所以k ＋k ·1－k2＝－2，解得k ＝4(－1舍去)． 当直线y ＝－1k x ＋zk 过点C(4，4)时，z ＝x ＋4y 取得最大值20.答案：C 二、填空题6、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋2y －a ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为6，则a ＝________【解析】：作出不等式组表示的平面区域，即可行域如图中阴影部分所示．直线x ＋2y －a ＝0与x 轴交于点A (a ，0)，目标函数为z ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋z 过可行域内点A (a ，0)时，z 恰好取得最大值6，即z max ＝3a ＋0＝6，得a ＝2，即直线x ＋2y －a ＝0过点(2，0)，故a ＝2. 答案：27、若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．【解析】：如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.答案18、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．【解析】：画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.答案：),21(+∞ 三、解答题9、不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D 上的点，求（1）2x ＋y 的最大值（2）若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 上，求圆O 的面积的最大值．【解析】：区域D 如下图所示：当直线2x ＋y ＝z 过点A (4,6)时，z max ＝14.又圆x 2＋y 2＝r 2在区域D 上，故半径r 的最大值是原点O 到直线2x －y －2＝0的距离d ＝|－2|2212＝25，∴圆O 的面积的最大值为45π.答案：1445π 10、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 【解析】：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．答案：(1) z 的最大值为1，最小值为－2 (2) a 的取值范围是(－4,2)【二级目标】能力提升题组一、选择题1、在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3 【解析】：画出⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3答案：D2、 [2015·福建卷] 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于()A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】：C [解析] 由约束条件可知，①若m ∈[2，＋∞)，则当⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0时， z max ＝0(舍去)；②若m ∈(12，2)，则当⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，mx －y ＝0，即⎩⎨⎧x ＝22m －1，y ＝2m 2m －1时， z max ＝2×22m －1－2m2m －1＝2，所以m ＝1； ③若m ∈(－∞，12]，则z 无最大值(舍去)．答案：C 二、填空题3、已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若y －mx ≤2恒成立，则实数m 的取值范围为________．【解析】： 由题意作出不等式组表示的平面区域，y －mx ＝2恒过点(0，2)，且m 是y －mx ＝2的斜率，则由图可知，若y －mx ≤2成立，则－1≤m ≤2. 答案:－1≤m ≤2 三、解答题4、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，求ab 的最大值。

含参数的简单线性规划问题的解法教学目标：1、知识与技能：掌握目标函数或约束条件中含参数问题的一般解法2、过程与方法：（1）通过例1及其变式的讨论，让学生掌握含参数问题可以抓住直线恒过定点的角度考虑；（2）通过例2的四个小变式的讨论，让学生体会含参数问题可以考虑参数的几何意义，数形结合讨论动直线的几何特征，画出目标函数，列式求解3、情感态度与价值观：以学生为主体，以问题解决为目的，激发学生观察思考，猜想探究的兴趣；培养学生分析问题、解决问题的能力教学重点：解决含参数的简单线性规划问题中的四个解法步骤：动中找静，确定参数几何意义，研究动直线的几何特征，列式求解教学难点：根据参数出现的不同位置，数形结合研究动直线的几何特征，从而能有效解题教学方法：尝试、归纳法教学过程：一、实例探索例1、若不等式组3434xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx=+分为面积相等的两部分，则k的值为（）A. 73B.37C.43D.34变式：若不等式组34040xx ykx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域为三角形，则k的取值范围为_________________.设计意图：此类问题中参数的变化导致直线位置不确定，因此先要找到直线恒过的定点，再确定参数的几何意义，根据其它条件进行列式求解例2当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时（1） 若目标函数z ax y =-+取到最大值时的最优解有无穷多个，则实数a 的值是_________________.（2） 若目标函数z ax y =-+取到最大值时的唯一最优解是()2,1，则实数a 的取值范围是_________________设计意图：在平面区域定的前提下，确定参数a Z 、的几何意义，数形结合讨论动直线的变化过程，加强学生分类讨论的思想（3） 若目标函数z ax y =-+取到最大值为12，则实数a 的值是_________. 设计意图：通过上面的讨论分析，学生从形上就能快速找到取到最大值的点（4） 若4ax y -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________________.设计意图：从最值的角度思考，结合上面的分析，最大值所取的点二、随堂练习若0,0a b ≥≥ ，且当0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标点(),p a b 所形成的平面区域的面积等于________________.三、课时小结解决含参数的简单线性规划问题的基本解法：（1）动中找静（2）确定参数的几何意义（3）数形结合研究动直线的几何特征（4）列式求解四、课后作业1、若不等式组()0211y y x y a x ⎧≥⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围为________________.2、（2011湖南）设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤+⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）。

如何有效解决初中数学中的线性规划问题数学是一门普遍认为抽象难懂的学科，而初中数学中的线性规划问题更是让许多学生感到困惑。

然而，线性规划问题在实际生活和工作中却有着广泛的应用。

所以，掌握解决线性规划问题的方法和技巧对于学生来说至关重要。

本文将介绍一些有效的解决线性规划问题的方法，帮助初中学生轻松应对数学考试。

一、理解线性规划问题的基本概念在解决线性规划问题之前，首先需要了解线性规划问题的基本概念。

线性规划是一种数学模型，通过寻找目标函数在一组约束条件下的最优解来求解问题。

常见的线性规划问题包括最大化利润、最小化成本等。

了解这些基本概念将有助于学生更好地理解和处理线性规划问题。

二、列出数学模型和约束条件解决线性规划问题的第一步是清楚地列出数学模型和约束条件。

通常，在问题描述中已经给出了目标函数和限制条件。

学生需要仔细阅读问题描述，将这些信息转化为数学表达式，并确定各个变量的含义。

例如，如果问题要求求解某个物品的最大利润，目标函数可以表示为P=2x+3y，其中x和y分别表示该物品的两个属性。

接下来，学生需要将约束条件转化为等式或不等式，并将其列为一个个方程或不等式。

这样做的目的是限制变量的取值范围，使其满足实际条件。

例如，如果问题给出了物品的制作限制，如“制作A类物品需要2小时，制作B类物品需要3小时”，可以用不等式表示为2x+3y≤10。

三、确定可行域和边界条件在列出了数学模型和约束条件后，学生需要确定问题的可行域和边界条件。

可行域是变量的取值范围，满足所有约束条件的点的集合。

边界条件是可行域的边界线，上面的点满足所有约束条件，而下面的点不满足至少一个约束条件。

在图形中绘制可行域和边界条件有助于学生更好地理解问题，并找到最优解所在的位置。

四、确定最优解和目标函数值经过前面的步骤，学生已经将线性规划问题转化为了数学模型，并确定了可行域和边界条件。

接下来，学生需要确定最优解和目标函数值。

最优解是指在可行域内使目标函数达到最大值或最小值的点。

含参线性规划问题的求解策略
作者：谢绍义
来源：《读与写·下旬刊》2016年第05期
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）05-0248-02
线性规划问题一直是高考的热点题型，尽管分值不太，但在近几年的高考卷和模拟卷中，线性规划的考题出现了灵活性大、综合性强的特点，其中最明显的变化就是约束条件或目标函数中含有参数，这类试题对数学能力要求较高，不少学生因思维不严密或方法不当造成失误，究其原因，主要是学生对处理这类问题的常用策略有所缺失。

下面结合自己的教学实践，通过举例的方式来说明解决这类问题常用的求解策略。

含参问题的解题思路含参问题是指在解题过程中，需要根据给定的参数进行处理和求解的问题。

这些参数可以是常数、变量或者其他数值，用于补充或限制问题的条件，从而使问题具体化。

解决含参问题的思路一般可以分为以下几个步骤：1.确定问题的背景与目标：首先明确问题的背景和目标，了解问题的具体内容和要求。

这有助于我们在后续的步骤中对问题进行分析和求解。

2.分析问题的参数：接下来分析给定的参数，了解它们的含义和限制。

这些参数可能会对问题的解决方案产生影响，因此需要仔细考虑它们。

如果有多个参数，则需要对不同参数之间的关系进行分析，明确它们之间的约束条件。

3.确定问题的求解方法：根据问题的具体要求，选择合适的求解方法。

常见的求解方法包括利用数学模型进行计算、使用算法进行搜索或优化、通过统计方法进行分析等。

选择合适的求解方法有助于提高问题的解决效率和准确度。

4.进行数值计算或实验验证：根据问题的具体要求，进行数值计算或实验验证。

如果问题是一个数学问题，可以选择通过计算机编程或数值计算软件进行求解；如果问题是一个实际问题，可以通过实验或观测来验证求解结果。

5.分析和解释结果：最后对求解结果进行分析和解释。

考察问题的解决方案是否满足问题的要求，是否符合实际情况，是否能够给出有意义的结论。

如果问题的解决方案存在不确定性或误差，需要对这些不确定性或误差进行分析和评估。

尽管含参问题种类繁多，但以上的解题思路可以适用于大部分含参问题的求解过程。

在解题过程中，还需要注意以下几点：1.对参数进行合理化处理：有时候，问题中给出的参数可能存在一定的局限性或不合理性。

在解题过程中，需要对这些参数进行合理化处理，避免得出不现实或错误的结论。

2.多角度思考问题：在解题过程中，不仅要从一个方面来考虑问题，还需要从多个角度来思考。

通过多角度思考，可以获得更全面的解题思路，提高解决问题的效果。

3.学会借用已有方法和经验：在解决含参问题时，可以借鉴已有的方法和经验。