不定积分的换元积分法4.2

解：
(1)
a2
1
x2
dx

1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a

C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx

arcsin
x a

C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分


f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)

dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是

dx x 1


du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x

ln
1
x

C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)

ln x x
dx
解：
(2)

x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt

对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6

dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5

t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)


f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x

§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。

即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。

定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。