空间直角坐标系与空间角

《空间直角坐标系》知识讲解1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则212121(,,)AB x x y y z z =---． 4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则222123||a a a a a a =⋅=++，yk i ABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxzyk i A(x,y,z)O jxzyk iABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxz222123||b b b b b b =⋅=++．5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++．6．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-．例1 已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中， （1）若E 1∈A 1B 1，F 1∈C 1D 1，且11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦 （2）若P 为DD 1的中点，O 1，O 2，O 3分别是面ABCD ，B 1B 1C 1C 1，AB 1C 1D ，ABCD 的中心. 求证:B 1O 3⊥PA;并求PO 3与O 1O 2所成的角.(3)若E,F 分别是BB 1、CD 的中点，判断点A 、D 、C 1、E 四点是否共面？。

空间直角坐标系角度空间直角坐标系是解析几何的基础，是物理学、工程学等学科中不可缺少的基本工具。

而空间直角坐标系的角度，则是在三维平面中确定两个向量之间的角度，被广泛应用于求解物体的速度、加速度、动量等问题。

本文将分步骤阐述空间直角坐标系角度的基本概念、计算方法及应用。

一、基本概念空间直角坐标系角度是指在三维坐标系中，求两个向量之间的夹角。

假设有两个向量u和v，它们的坐标分别为(u1,u2,u3)和(v1,v2,v3)。

那么，它们之间的夹角的余弦值可用如下公式计算：cosθ=(u·v)/(|u||v|)其中，u·v是向量u和v的数量积，|u|和|v|是向量u和v的模。

上式中cosθ是两个向量间的夹角的余弦值，而θ是夹角的度数。

当cosθ>0时，表示两个向量的方向相同；当cosθ<0时，表示两个向量的方向相反；当cosθ=0时，表示两个向量正交。

二、计算方法计算两个向量间的夹角通常可以使用向量的点积和模的概念。

1.点积计算两个向量之间的夹角，只和它们的点积有关，点积计算公式如下：u·v=u1v1+u2v2+u3v3其中，u和v是两个向量，(u1,u2,u3)和(v1,v2,v3)是它们的坐标。

2.模的计算向量的模是用来衡量一个向量大小的指标，其计算公式为：|u|=√(u1^2+u2^2+u3^2)其中，u是一个向量，(u1,u2,u3)是它的坐标。

3.角度计算已知两个向量的坐标，可以通过点积和模的计算公式，求得它们的夹角的余弦值，再通过反余弦函数acos计算夹角的度数，即：cosθ=(u·v)/(|u||v|)θ=acos(cosθ)三、应用领域空间直角坐标系角度广泛应用于物理学、工程学等领域。

以下两个应用例子，简单说明其中应用。

1.速度和加速度的求解当物体在经过一段时间后，在空间中的位置发生了变化，可以通过空间直角坐标系角度，求得物体的速度和加速度。

空间坐标系空间坐标系是用来描述物体在空间中位置的一种数学工具。

在二维平面中，我们使用笛卡尔坐标系来表示物体的位置。

而在三维空间中，我们需要使用更加复杂的坐标系来准确描述物体的位置。

本文将介绍常见的空间坐标系，包括直角坐标系、极坐标系和球坐标系。

1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，也是最容易理解和使用的坐标系之一。

它由三个互相垂直的轴构成，分别称为x、y和z轴。

这三个轴的交点称为原点，它是空间中所有点的起点。

任意一点可以由它在x、y和z轴上的坐标表示，用(x, y, z)表示。

2. 极坐标系极坐标系是一种极其简洁的坐标系，它使用极径和极角来表示物体的位置。

极径表示物体到原点的距离，极角表示物体和x轴的夹角。

在极坐标系中，我们使用(r, θ)来表示一个点的位置。

其中，r为非负实数，表示距离，θ为角度，表示方向。

3. 球坐标系球坐标系是一种在三维空间中描述物体位置的坐标系。

它的原点位于球心，与直角坐标系不同的是，球坐标系中的轴并不垂直。

球坐标系由三个坐标参数组成，分别是极径r、极角θ和方位角φ。

极径r表示物体到球心的距离，极角θ表示物体到正z轴的夹角，方位角φ则表示投影到xy平面的夹角。

这三种坐标系在不同的应用场景下具有不同的优势。

直角坐标系适合描述物体在一个平面内的位置，对于三维空间中的物体来说，它提供了最直观的表示方法。

极坐标系适合描述物体在一个相对固定点周围的运动，比如天体运动中的行星轨迹。

球坐标系则适合描述物体在一个球体上的位置，比如地理信息系统中的三维地理位置。

总的来说，空间坐标系是用中文表示物体在三维空间中位置的一种数学工具。

它通过合适的坐标系，可以准确地描述物体在空间中的位置和运动。

不同的坐标系适用于不同的应用场景，我们可以根据具体情况选择合适的坐标系来进行描述和计算。

通过熟练掌握和运用空间坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的各种现象和问题。