一类广义的无限维Virasoro李代数

设X∈李代数。对于每一Y∈，定义ad X(Y)=[X,Y]，则ad X是的一个导子，并且ad:X→ad X(X∈)是到End() 的同态。因此，(ad,)是的一个表示，其表示空间就是本身，称为的伴随表示。则为阿贝尔李代数，当且仅当对 中所有X，ad X=0。伴随表示的核称为的中心。
设(ρ，V)是g的一个有限维表示。定义一个对称双线性型 k:g×g→F；对于X、Y ∈g,定义 k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的迹)。特别,当g是有限维的而ρ是伴随表示ad时, k称为g的基灵型。基灵 型在研究李代数的结构中起重要的作用。
表示
令g是域F上一个李代数，V是F上一个线性空间。李代数的一个同态ρ: g→g{(V)，称为g在V上的一个线性表 示，简称表示。用(ρ,V)代表g在V上的表示ρ，V称为ρ的表示空间。当dimV=n时,取定V的一个基，将g{(V)与 g{(n,F)看成一样,于是就得到一个代数同态ρ: g→g{(n,F)，仍记作ρ，称为g的一个矩阵表示。如果g的一个 表示ρ是单射，那么就称(ρ,V)是一个忠实表示。有阿多－岩沢定理：域F上每一个有限维李代数都有一个忠实 表示。
抽象定义
设F是特征为0的域，L是F上的线性空间。如果L上有一个运算L×L→L，(x,y)→[x,y]满足以下三个条件， 则称L是一个李代数。
（1）这个运算是双线性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。 （2）[x,x]=0，对任意x∈L。 （3）雅可比恒等式：[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，对所有L中元素x，y，z∈L。 首两个条件蕴含反对称性[x,y]=-[y,x]。

推荐指数 8 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 n-李代数 量子环面 自同构群 等距变换群 李群 李代数 导子代数 导子 基 分类 关联集
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 量子环面 李代数 导子代数 导子 逆步李代数 自同构群 泛中心扩张 斜导子 不变对称双线性型 一阶上同调群 leibniz二上同调群 kac-moody代数 block型李代数
推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
科研热词 李代数 非线性映射 非线性强积零导子 极大环面 可解完备李代数 单李代数 保强交换性 hom-李代数 3-李代数
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2011年 科研热词 导子 n-李代数 导子代数 除幂代数 超导子 自同构群 第一类李拟代数 李代数 张量积 广义witt代数 幂零性 子代数 可解性 可解 反对称双线性函数 s.a.n-李代数 killing型 hypo -幂零理想 heisenberg 3-李代数 推荐指数 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号

中国科学技术大学博士学位论文量子顶点代数的结构及其表示理论姓名：***申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：李海生； 苏育才2010-06摘要摘要在本论文中,我们主要研究M¨o bius非局部顶点代数上的不变双线性型, M¨o bius量子顶点代数的正则表示,以及与椭圆仿射李代数相关的顶点代数.顶点算子代数上的不变双线性型首先由Frenkel-Huang-Lepowsky[FHL]引入并作了相关的研究.H.Li[Li1]系统研究了顶点算子代数上的对称不变双线性型,并且给出了顶点算子代数上非零对称不变双线性型存在性的判断准则.随后, N.R.Scheithauer[Sc]研究了带有Virasoro元素的顶点超代数上的不变双线性型, H.Tamanoi[T]研究了顶点算子超代数上的对称不变双线性型,以及M.Roitman [R]对顶点代数上的不变双线性型也作了一些研究.在本文的第3章中,我们研究了M¨o bius非局部顶点代数上的不变双线性型,给出了M¨o bius非局部顶点代数上非零不变双线性型存在性的判断准则,我们的结果推广了以上结论.下面是本论文的第一个主要定理:定理1:设V是一个M¨o bius非局部顶点代数,f是V(0)上的线性函数.通过定义f(V(n))=0,对于n=0,把f线性扩张成V上的线性函数.对于任意u，v∈V,定义V上的双线性型(u,v)=Res x x−1f (Y(e xL(1)(−x−2)L(0)u,x−1)v)且(1,u)=f(u).那么这个双线性型是不变的当且仅当L(1)V(1)⊆ker f.进一步地,V上不变双线性型组成的空间自然地同构于V(0)/L(1)V(1)的对偶空间.在[Li4]中,Li发展和研究了顶点算子代数的正则表示,并把正则表示用于研究Zhu的A(V)-理论、顶点算子代数的诱导模[Li5]和Huang-Lepowsky的张量函子[Li6]等理论,从而取得了一系列有意义的结果.在本论文的第4章中,我们研究了M¨o bius量子顶点代数的正则表示.给定M¨o bius量子顶点代数V, V-模W以及非零复数z,D P(z)(W)是W∗的一个子空间,Y P(z)(·,x)是从V⊗V 到(End D P(z)(W))[[x,x−1]]的(惟一)线性映射.下面是本论文的第二个主要定理.定理2:有序对(D P(z)(W),Y P(z))带有一个自然的(V⊗V)op-模结构.类似于仿射李代数,椭圆仿射李代数也是由有限维单李代数构造得到的一类无限维李代数.另一方面,椭圆仿射李代数和仿射李代数都是Krichever-II摘要Novikov代数([KN1,KN2])的特殊例子.我们知道,仿射李代数可以构造一类重要的顶点代数(见[Bo1,FLM,FZ,DL]).在本论文的第5章中,我们用顶点代数的工具来研究椭圆仿射李代数.设g是C上(可能是无限维)的李代数,g1是同构于g的线性空间.对于每个多项式p(x)∈C[x],我们在C上构造一个李代数ˆg p=(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C k,某种意义上它是椭圆仿射李代数ˆg e的推广,并且我们在C((z))上还构造了一个李代数ˇg p=C((z))⊗(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C((z))k.然后我们构造了一个与ˇg p和复数ℓ相关的顶点C((z))-代数Vˇg(ℓ,0).下面是本论文p的第三个主要定理.(ℓ,0)-模结构,满定理3:在水平ℓ的任意限制ˆg p-模W上,存在惟一的0-型Vˇgp足Y W(a,x)=a(x),Y W(a1,x)=a1(x)对于a∈g.(ℓ,0)-模.则W是水平ℓ的限制ˆg p-模,其中另一方面,设(W,Y W)是0-型Vˇgpa(x)=Y W(a,x),a1(x)=Y W(a1,x)对于a∈g且k以常量ℓ作用在W上.关键词：M¨o bius非局部顶点代数;M¨o bius量子顶点代数;椭圆仿射李代数;双线性型;正则表示;限制模III摘要Novikov代数([KN1,KN2])的特殊例子.我们知道,仿射李代数可以构造一类重要的顶点代数(见[Bo1,FLM,FZ,DL]).在本论文的第5章中,我们用顶点代数的工具来研究椭圆仿射李代数.设g是C上(可能是无限维)的李代数,g1是同构于g的线性空间.对于每个多项式p(x)∈C[x],我们在C上构造一个李代数ˆg p=(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C k,某种意义上它是椭圆仿射李代数ˆg e的推广,并且我们在C((z))上还构造了一个李代数ˇg p=C((z))⊗(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C((z))k.然后我们构造了一个与ˇg p和复数ℓ相关的顶点C((z))-代数Vˇg(ℓ,0).下面是本论文p的第三个主要定理.(ℓ,0)-模结构,满定理3:在水平ℓ的任意限制ˆg p-模W上,存在惟一的0-型Vˇgp足Y W(a,x)=a(x),Y W(a1,x)=a1(x)对于a∈g.(ℓ,0)-模.则W是水平ℓ的限制ˆg p-模,其中另一方面,设(W,Y W)是0-型Vˇgpa(x)=Y W(a,x),a1(x)=Y W(a1,x)对于a∈g且k以常量ℓ作用在W上.关键词：M¨o bius非局部顶点代数;M¨o bius量子顶点代数;椭圆仿射李代数;双线性型;正则表示;限制模IIIABSTRACTABSTRACTIn this thesis,we study invariant bilinear forms on M¨o bius nonlocal vertex alge-bras,regular representations of M¨o bius quantum vertex algebras,and vertex algebras associated with elliptic affine Lie algebras.I.Frenkel,J.Lepowsky and Y.Huang[FHL]studied invariant bilinear forms on vertex operator algebras thefirst time.H.Li[Li1]has systematically studied sym-metric invariant bilinear forms on vertex operator algebras and gave a criterion for determining the existence of nonzero symmetric invariant bilinear forms on vertex op-erator algebras.In[Sc],N.R.Scheithauer studied invariant bilinear forms on vertex superalgebras with Virasoro element.Invariant bilinear forms on vertex algebras and vertex operator super algebras have been studied by M.Roitman[R]and H.Tamanoi [T]respectively.In Chapter3,we define the invariant bilinear forms on M¨o bius nonlo-cal vertex algebras slightly different and give a criterion for determining the existence of nonzero invariant bilinear forms on M¨o bius nonlocal vertex algebras similarly.Our first main result is the following theorem.Theorem1:Let V be a M¨o bius nonlocal vertex algebra,and let f be the linear functional on V(0).And we extend f to be a linear function on V by defining f(V(n))= 0,for n=0.We define a bilinear form on V satisfies(u,v)=Res x x−1f (Y(e xL(1)(−x−2)L(0)u,x−1)v)and(1,u)=f(u),for u,v∈V.The bilinear form determined by f is invariant if and only if L(1)V(1)⊆ker f.Furthermore,the space of invariant bilinear forms on V is naturally isomorphic to the dual space of V(0)/L(1)V(1).In[Li4],Li studied regular representations of vertex operator algebras.The reg-ular representation has been used to study Zhu’s A(V)-theory,induced modules[Li5] and tensor functors for vertex operator algebras[Li6].In Chapter4,we study regular representations for M¨o bius quantum vertex algebras.Given a M¨o bius quantum vertex algebra V,a V-module W and a nonzero complex number z,we define a canonicalIVABSTRACTsubspace D P(z)(W)of W∗and the(unique)linear map Y P(z)(·,x)from V⊗V to (End D P(z)(W))[[x,x−1]].Our second main result is the following theorem.Theorem2:The pair(D P(z)(W),Y P(z))carries the structure of a(V⊗V)op-module.Elliptic affine Lie algebras,similar to affine Lie algebras,are a family of infinite-dimensional Lie algebras associated withfinite-dimensional simple Lie algebras.Both elliptic affine Lie algebras and affine Lie algebras are special examples of general Krichever-Novikov algebras([KN1,KN2]).It has been long known(see[Bo1, FLM,FZ,DL])that affine Lie algebrasˆg can be canonically associated with vertex algebras.In Chapter5,we study elliptic affine Lie algebras in the context of ver-tex algebras and their modules.Let g be a(possibly infinite-dimensional)Lie algebra over C and g1be a vector space isomorphic to g.For each polynomial p(x)∈C[x],ˆg p=(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C k is a Lie algebra over C which generalizes elliptic affine Lie algebraˆg e in a certain way,ˇg p=C((z))⊗(g⊕g1)⊗C[t,t−1]⊕C((z))k is a Lie(ℓ,0)is a vertex C((z))-algebra associated withˇg p and a algebra over C((z)),and Vˇgpcomplex numberℓ.Our third main result is the following theorem.Theorem3:For any restrictedˆg p-module W of levelℓ,there exists a unique(ℓ,0)-module such thatstructure Y W of a type zero VˇgpY W(a,x)=a(x),Y W(a1,x)=a1(x)for a∈g.(ℓ,0)-module.Then W is a restricted On the other hand,let(W,Y W)be a type zero Vˇgpˆg p-module of levelℓwitha(x)=Y W(a,x),a1(x)=Y W(a1,x)for a∈gand with k acting as scalarℓ.Keywords:M¨o bius nonlocal vertex algebras;M¨o bius quantum vertex algebras;ellip-tic affine Lie algebras;bilinear forms;regular representations;restricted modulesV关于编号和符号的说明关于编号和符号的说明在本文中，如无特别说明,我们遵循项目编号:在全文中,引理,命题,定理,定义等项目按先后顺序,用三个数码统一编号:第一个数码表示项目所在的章,中间的数码表示所在的节,最后一个数码表示项目在该节中的顺序,不同数码之间用小圆点隔开.文中再引用时,采用项目名加编号的形式.公式编号:在全文中,公式用带有圆括号的两个数码编号:前一个数码表示公式所在的章,后一个数码表示公式在该章中的顺序,两个数码之间用小圆点隔开.引用时,直接用带有圆括号的公式编号.符号:文中默认的符号如下N——————自然数集Z——————整数环Q——————有理数域R——————实数域C——————复数域I中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。

与郭汉英、徐开文、常哲等合作
20
无穷维对称性2002/11/23
谢谢！
21
4.Beltrami代数作为复形变和拟共形代数完备吗？
三、 多极点Virasoro代数
9
无穷维对称性2002/11/23
问题
问题1， 为什么共形代数（未做中心扩张）生
m 1d
Lm(z)z,mZ ?
成元是：
在S2上，做坐标变换，
说明未做中心扩张生成元是S2上带有两个极点
Lm(z) zm 1d
wm 1
d
f是2维时空中的同胚变换
复特征
F(Z0)
Zf (z0)
zf (z0)
1
|
f(z0) |
伸缩比Df(z0)
|
f(z0) |
1
4
无穷维对称性2002/11/23
定义1（C1拟共形变换）：
(1). |
f
( z ) | 1
(2).D
f
( z )
K
把圆变为椭圆，长短轴比有上界
定义2（C1拟共形变换）：Beltrami方程，
(n 1)Lm n.
m
1
z
, i , j 1, 2
( z
z )n 1
z
[ L(mi), L(nj )], L(kl )][L(nj ), L(kl )], L(mi),][L(kl ), L(mi),], L(nj ),]0
做中心扩张，Jacobi关系
一种方法是解方程：求2阶同调群，
（m-n）(m+n,k,)+(n-k) (n+k,m)+(k-m) (k+m,nk)=0
m] 0 , [ c, Lk] 0, k

数学中的李代数学李代数学是一门数学分支，它研究李代数的性质和结构。

李代数是一种代数结构，它由一个实或复数域上的向量空间以及一个二元运算所组成。

李代数的研究对于数学和物理学的发展都具有重要意义。

本文将介绍李代数的基本概念、性质及其在数学和物理学中的应用。

一、李代数的基本概念李代数是由域K上的向量空间L和一个满足以下条件的二元运算所组成：1. 加法运算：对于所有的a,b∈L，有a+b∈L；2. 标量乘法：对于所有的a∈L，k∈K，有ka∈L；3. 李括号运算：对于所有的a,b∈L，有[a,b]∈L。

李括号运算是李代数的核心运算，它满足以下条件：1. 反对称性：对于任意的a,b∈L，有[a,b]=-[b,a]；2. 李-雅可比恒等式：对于任意的a,b,c∈L，有[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0。

二、李代数的性质1. 零元素：李代数中存在一个元素0，对于任意的a∈L，有a+0=a。

2. 负元素：对于任意的a∈L，存在一个元素-b使得a+b=0。

3. 不可约性：李代数中不存在非平凡的不变子空间。

三、李代数在数学中的应用李代数在数学中有许多应用，其中最为著名的是在李群的研究中。

李群是一种具有连续群结构和光滑结构的数学对象。

李群和李代数之间存在紧密的联系，通过李代数的结构可以揭示李群的性质。

另外，李代数还在微分几何、代数几何和数学物理等领域有广泛的应用。

比如在微分几何中，李代数用于研究流形的切空间；在代数几何中，李代数可以用于研究代数簇的切矢量场；在数学物理中，李代数是描述对称性和守恒量的重要工具。

四、李代数在物理学中的应用李代数在物理学中也有着广泛的应用。

物理学家利用李代数的表示理论来研究物理系统的对称性和守恒量。

例如，角动量代数、洛伦兹代数和超对称代数都是李代数的例子，它们在量子力学和粒子物理学中发挥着重要的作用。

此外，李代数还在统计物理学、弦论和凝聚态物理学等领域中得到广泛应用。

［Ｏａ），ｂ］＝～ ［ｎ ］， ［ａ：，Ｏｂ］＝（ ＋ａ）［０ ６１ （共形半线性）， ［ｎ ］：一［６一 一ｏａ】 （斜对称性）， 【０Ａ ｃ】］＝ ）、６Ｉ ＋ Ｃ］＋［６ 【０ ｃ］］ （Ｊａｃｏｂｉ等式）， 这 里 的 ａ，ｂ，Ｃ Ｅ Ｒ．
李共形 代数 的同态 、理 想和子代 数的定 义可类似 于普通 代数一 样定义 ．如果李共 形代 数作 为 ｃ ．模 是有 限生成 的，我 们称其 为有 限的．李共形 代数 的秩指 的是它 作 为 ｃ 一模 的秩，记 为 ｒｋ（Ｒ）．我们说 此李 共形 代数 是无 挠 的，指 的是 它作 为 ｃ 一模 是无 挠 的．因为 ｃ［ｏ］是主理想整环，有限的无挠的李共形代数 作为 ｃ 一模是 自由的．并且我们记 Ｒ的 作 为 Ｃ ．模 的挠子模 为 ＴｏｒＲ．
此 外，从 纯代 数角 度看 ，共 形代 数是 个 十分 有趣 的主 题．我们 可 以来定 义一 些常见 代 数 的共 形代 数对 象，比如 李共 形代 数 和结 合共 形代 数等 ．共 形代 数 的理论 为相 应 的无 限维 代数的分类提供了新的方 向．特别地，李共形代数为满足某种局部性［０】的无限维李代数的 研 究提供 了强有 力 的工具 ．
在整篇 文章 中，记复 数域 为 ｃ；Ｎ 为 自然数 的集 合，即 Ｎ＝ ｛０，１，２，… ）；ｚ为整 数 的集 合．
２ 李共形代数
在这 一章 中，我 们会对 李共形 代数 的一些 定义 和结论 进行 回顾．这些事 实可 以参考 文 ［３］．
定义 ２．１ 李共 形代数 Ｒ是 Ｃ【 一模 ，且带有 ｃ一双 线性 映射 ［ ］（我们称 其为 一括号）： Ｒ ×Ｒ ＿÷Ｒ ，这 里 的 Ｒ ＝Ｒ④Ｃ［ 是系数 在 Ｒ 中的关于 的多项 式构 成的 空间，且 满 足

ｏｎ ｍ） “ ，ｆｎｍ） 一 。 （， ＝ｑ。 （． ＝ｑ。 ｍ ， 其 中 ｎ＝ 礼 ｅ ＋ｒｅ，ｍ ＝ ｍｌｌ ＇ ｅ ｌｌ Ｌ ２ ２ ｅ ＋￣２２∈Ｆ 接 着记 ｒ １ １ ． ＝ ｒ＼ ， ｍ）＝ ａｚ 则 ０ Ｄ（ ｄ ， ｛ ｍ） ｍ ∈ｒ ｝ ｛ｌ ｄ） 成 ｇ Ｄ（ Ｉ Ｕ ｄ， ２ 构 的一组基 ，而且 Ｊ（ 是 的 ｍ ≠０次空间 的 ［ ｍ） ） 基 ， ｄ， ２ １ ｄ 则是 ｑ 的零 次 空间的 一组基 ．此外 ，在 。 上有下 列李运算成立： （ ， ｎ］ （ ｎＤ（ ＋ｎ ， ｍ）Ｄ（）＝９ｍ， ） ｍ ） 【 ， ｍ）＝一Ｄ ｍ） ｉ＝ｍ Ｄ（ ， ｉ ，， ｄ Ｄ（ 】 【 （ ， 】 ｉ ｍ） ＝１２ ｉ ｄ
关键词 ｑ 类似 Ｖｉ ｓｒ－ｋ 代数；导子 ；一上同调群 ． ｒ ｏｏｌ ｅ ａ ｉ 中图分类号 ０ １３３ ５ ． 文献标识码 Ａ
１ 引 言 பைடு நூலகம்
记 ＣＩ 为复数域上的非交换罗朗多项式环且满足关系 ＸＸ ＝ｑｌ２其中 ，手１ ｚ ２ｌ ＸＸ，
ｑ ∈Ｃ ＝Ｃ＼ 为非单 位根 ．记 为 ０ ， 】 内导子 代数 ， Ｄ ｍ） ｄ ｍ ＝ 的 则 （ ＝ａ ， ｚ （ ， ） ０ ｍ１ｍ２ ∈Ｚ ＼ 张成 向量空 间 的一组基且有 【 ｍ） ＝ｎ】 ｑ － 丌 忱） ｍ＋ ） Ｄ（ ，） ）＝（ ｊ（ ｍ ｑｕ Ｄ（ ｎ ， 其 中 ｍ ＝（ ， ） １札） 。 ０ ｍ１ ｍ２， ｎ＝ ，２ ∈Ｚ ＼ ， ＝ ｚ ｚ ， 为 口 一类似 Ｖｒ ｏｏ ｉ 代 ｉ ｓｒ－ ｅ ａ ｌ ｋ 数 ．记 口 ０Ｃ ｌ ｄ， 中 ｄ ，２ ＝ ｄ ０ｃ ２其 １ｄ 为 的度 导子 ．文 【 证 明了 ｑ ２ 】 同构 于 的 导子 李代数．

罗巴李代数同态的形变理论
张静茹;杜磊;赵志兵
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2024(62)3
【摘要】通过构造罗巴李代数同态的上同调复形,讨论罗巴李代数同态的形式形变,并证明当形变复形的二阶上同调群为0时,罗巴李代数同态是刚性的.
【总页数】7页(P473-479)
【作者】张静茹;杜磊;赵志兵
【作者单位】安徽大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O154.2
【相关文献】
1.无中心Virasoro李代数的自同态
2.一类无限维李代数的同构与同态
3.一些特殊项链李代数的同态
4.相容BiHom-李代数的表示及BiHom-李代数的形变
5.李代数上复结构的形变问题的研究——关于形变等式的研究
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一类李代数的自同构研究引言李代数是数学中重要的一个分支，它研究的是一个向量空间上带有一个反对称双线性运算的代数结构。

自同构是指一个代数结构在自身上的同构映射。

本文主要研究一类李代数的自同构，探讨其性质和特点，为进一步深入研究提供一定的理论基础。

一类李代数的定义我们给出一类李代数的定义。

设V是一个N维向量空间，M是V上的一个非奇异的对称双线性型，即存在一个N维向量组（e1,e2,...,en），使得M的矩阵表示为对角矩阵diag(λ1,λ2,...,λn)，其中λi≠0，i=1,2,...,n。

则(V,M)称为一类李代数。

一类李代数的自同构接下来，我们来研究一类李代数的自同构。

考虑一类李代数(V,M)上的自同构映射φ：V→V，使得对任意的向量x，y∈V和任意的标量α，β∈R，都有φ(αx+βy)=αφ(x)+βφ(y)，并且满足[M(φ(x),φ(y))]=M(x,y)，其中[M(φ(x),φ(y))]是φ(x)和φ(y)的映射下的双线性型。

我们定义一类李代数(V,M)上的自同构群为Aut(V,M)={φ∈End(V) | [M(φ(x),φ(y))]=M(x,y)，∀x,y∈V}，其中End(V)是V上的线性映射全体。

我们将研究一类李代数的自同构群的结构和性质。

一类李代数的特点研究发现，一类李代数具有以下几个特点：1. 自同构群是一个李群：经研究发现，一类李代数的自同构群Aut(V,M)构成一个李群，即在End(V)上定义合适的拓扑结构后，Aut(V,M)是一个李群。

2. 自同构群的维数：对于一个N维向量空间V，其自同构群Aut(V,M)的维数一般情况下为N^2。

3. 正交自同构：对于一类李代数中的自同构，满足[M(φ(x),φ(y))]=M(x,y)。

我们可以将一类李代数的自同构群Aut(V,M)中的元素分为两类：正交自同构和非正交自同构。

自同构群的研究进一步研究发现，一类李代数的自同构群Aut(V,M)是一个非常有趣的研究课题。

关于weyl型代数的表示及其在李代数和量子群表示中的应用的文章Weyl型代数的表示及其在李代数和量子群表示中的应用引言：\nWeyl型代数是一种重要的代数结构，它在李代数和量子群表示中具有广泛的应用。

本文将介绍Weyl型代数的基本概念和性质，并探讨其在李代数和量子群表示中的应用。

一、Weyl型代数的定义与性质\n1.1 Weyl型代数的定义\nWeyl型代数是指具有特定形式的生成元和关系式的一类非交换代数。

它由生成元E、F和H以及以下关系式定义：\n[E, F] = H,\n[H, E] = 2E,\n[H, F] = -2F.1.2 Weyl型代数的性质\nWeyl型代数具有以下重要性质：\n（1）它是一个无限维非交换Lie代数；\n（2）它是一个简单Lie代数，即不存在非平凡理想；\n（3）它是半单Lie代数，即其Cartan子代数是半单Lie代数。

二、Weyl型代数在李代数表示中的应用\n2.1 李群与李代数\n李群是指同时具有群结构和光滑流形结构的一类对象。

与之对应，每个李群都有一个对应的李代数。

李代数是一个向量空间，其上定义了一个二元运算，满足李代数的四个基本性质。

2.2 Weyl型代数的表示\nWeyl型代数可以通过其生成元E、F和H在向量空间上的表示来研究。

通过适当选择基底，可以将Weyl型代数表示为矩阵形式。

这种表示可以用于描述李群的Lie代数结构。

2.3 Weyl型代数在李代数表示中的应用\nWeyl型代数在李群和李代数表示中具有广泛的应用。

例如，在量子力学中，Weyl型代数可以用于描述自旋系统的对易关系。

此外，Weyl型代数还与Kac-Moody Lie代数、超对称性等领域有着密切联系。

三、Weyl型代数在量子群表示中的应用\n3.1 量子群与表示论\n量子群是一类非交换非结合的Hopf代数，它是一种推广了群概念的对象。

与之对应，每个量子群都有一个对应的表示论。

3.2 Weyl型代数在量子群表示中的应用\nWeyl型代数在量子群表示中起到了重要作用。

幂零李代数林丽芳，曾月迪，陈梅香(莆田学院数学与金融学院，福建莆田 351100)0 引言在研究向量场上Witt代数和Virasoro代数的量子形变时，Hom-Lie代数的结构得到了学者的关注与研究[1].Hom-Lie代数作为李理论的一个重要研究方向，与李代数有着十分密切的关系.近年来一些特殊李代数上的Hom-结构得到了充分研究，比如一个5-维可解李代数[2]、(n-3)-filiform李代数[3]、扭Heisenberg李代数[4]、李代数W(2,2)[5].作为一类重要的李代数，幂零李代数的结构和表示在李理论的研究中占有重要地位.GRAAF[6]通过确定基元的方法给出了低维幂零李代数的分类.本文根据低维幂零李代数在同构意义下的分类，确定了4-维幂零李代数的Hom-李代数结构.1 预备知识定义1[1]设L为域上的向量空间，带有线性映射α:L→L，L 上定义一个乘法运算[-,-]:L×L→L(称为方括号)，如果满足以下条件：(i)α[x,y]=[α(x),α(y)], ∀x,y∈L；(ii)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y], ∀λ1,λ2∈, ∀x1,x2,y∈L；(iii)[x,y]=-[y,x],∀x,y∈L；(iv)Hom-Jacobi等式：[(α+Id)(x),[y,z]]+[(α+Id)(y),[z,x]]+[(α+Id)(z),[x,y ]]=0, ∀x,y,z∈L，则称(L,[-,-],α)为域上的一个Hom-Lie代数，当α=Id时，Hom-Lie代数就为Lie代数.GRAAF[6]对低维幂零李代数的结构做出了如下分类：引理[6]设L是特征为0的代数闭域上维数等于4的幂零李代数，e1,e2,e3,e4是L的一组基，则在同构的意义下，仅有如下三类(其中没有写出来的基元方括号运算为0)：L4,1:[ei,ej]=0；L4,2:[e1,e2]=e3；L4,3:[e1,e2]=e3,[e1,e3]=e4.下面研究4-维幂零李代数L4,1,L4,2,L4,3上的Hom-Lie代数结构，也就是确定其上的满足Hom-Jacobi等式的自同态.2 主要结论定理1 对于任何一个双线性同态映射α，(L4,1,α)均可构成一个Hom-Lie代数.证明因为L4,1是可交换李代数，基元上的方括号运算等于0，即[ei,ej]=0,i,j=1,2,3,4，所以对于任何一个双线性同态映射α，α保持基元的方括号运算和Hom-Jacobi恒等式，也即(L4,1,α)构成一个Hom-Lie代数.定理2 若(L4,2,α)是一个Hom-Lie代数，则Hom-同态α在L4,2的基元上的作用可表示为其中，a11a24-a21a14=0，a12a24-a22a14=0，a31,a32,a41,a42,a34,a44为任意常数.证明假设Hom-同态α在L4,2的基元上的作用为将α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，即[a11e1+a21e2+a31e3+a41e4,a12e1+a22e2+a32e3+a42e4]=a13e 1+a23e2+a33e3+a43e4.根据L4,2的基元运算，比较两边系数有a13=a23=a43=0，a33=a11a22-a21a12.(1)将α作用在[e1,e4]=0上，可得[α(e1),α(e4)]=0，比较两边系数有a11a24-a21a14=0.(2)将α作用在[e2,e4]=0上，可得[α(e2),α(e4)]=0，比较两边系数有a12a24-a22a14=0.(3)因为L4,2上的基元运算为[e1,e2]=e3，而e3与其他基元的方括号运算为0，所以α显然满足Hom-Jacobi等式：[α(ei),[ej,ek]]+[α(ej),[ek,ei]]+[α(ek),[ei,ej]]=0, 1≤i,j,k≤4.结合(1)(2)(3)式，即得Hom-同态α在L4,2的基元上的作用如定理2.定理3 若(L4,3,α)是一个Hom-Lie代数，则Hom-同态α在L4,3的基元上的作用可表示为如下四种情况：证明假设Hom-同态α在L4,3的基元上的作用为由于[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，即方括号运算结果仅含有e3,e4，而α保持方括号运算，比较运算两边系数可知α(e3),α(e4)中含有e1,e2的系数都为0，即b13=b23=b14=b24=0.(4)将α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，比较两边系数，并结合(4)有b11b22-b21b12=b33，(5)b11b32-b31b12=b43.(6)将α作用在[e1,e3]=e4上，可得[α(e1),α(e3)]=α(e4)，比较两边系数并结合(4)有b34=0，(7)b44=b11b33.(8)将α作用在[e2,e3]=0上，可得[α(e2),α(e3)]=0，比较两边系数并结合(4)有b12b33=0.(9)因为L4,3上的基元运算为[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，e4与其他基元的方括号运算为0，α(e3),α(e4)中e1的系数为0，所以α显然满足Hom-Jacobi等式：由(9)可知，b12,b33的取值分为b12=0,b33≠0；b12≠0,b33=0；b12=0,b33=0三种情况.当b12=0,b33=0时，式(5)(6)(8)可化为b11b22=0,(10)b11b32=b43，(11)b44=0.(12)由(10)可知，b11的取值分为b11=0和b11≠0两种情况.当b11=0时，由(11)可知，b43=0，结合(4)(7)(12)，即得定理3中第三种情况.当b11≠0时，由(10)可知，b22=0，结合(4)(7)(11)(12)，即得定理3中第四种情况.。

一类李代数的自同构研究摘要：李代数是代数学中的一类重要结构，它在许多数学领域和物理学中都起着重要的作用。

本文主要研究一类重要的李代数的自同构问题。

首先，我们简要介绍李代数和自同构的基本概念，并证明了一些基本命题。

然后，我们详细讨论了这类李代数的结构，并得到了它的自同构群和常用子群的结构。

最终，我们举例说明了这些结论的实际应用。

本文旨在为研究者提供一个完整的自同构理论，以便更好地应用于具体问题的研究中。

关键词：李代数；自同构；自同构群；常用子群1. 引言2. 李代数与自同构2.1 李代数的定义李代数是一个向量空间，上面定义了一个二元运算“[ · , · ]”，满足以下条件：a) 双线性性：对于任意的a,b,c∈V，以及任意的α,β∈F，有[αa+βb,c]=α[a,c]+β[b,c]和[c,αa+βb]=α[c,a]+β[c,b]；b) 反对称性：对于任意的a,b∈V，有[a,b]=-[b,a]；在李代数中，二元运算“[ · , · ]”被称为李括号。

下面我们介绍一些常见的李代数的例子。

a) 交错矩阵李代数：它由所有n×n 的实交错矩阵构成，即满足 A=-AT 的矩阵构成的向量空间，李括号定义为[A,B]=AB-BA。

c) 矢量李代数：它由所有 n 维实列向量构成，李括号定义为[a,b]=a×b，其中“×”表示向量的叉积。

2.3 自同构的定义设 G 是一个群，定义 G 的自同构群 Aut(G) 为所有从 G 到 G 的双射Φ:G→G 组成的群，即Φ1Φ2=Φ1∘Φ2 以及Φ-1∈Aut(G)。

一个群的自同构可以理解为保持该群结构的同构。

一个群的自同构有时也被称为群的对称性。

在李代数的语境中，我们需要考虑的是李代数上保持“[ · , · ]”这个李括号的自同构映射，即满足Φ([a,b])=[Φ(a),Φ(b)]的双射Φ。

loop-virasoro代数的whittaker模什么是Virasoro代数？Virasoro代数是一个在数学和理论物理学中非常重要的代数结构。

它起源于二维共形场论和弦论中对共形对称性的研究。

Virasoro代数是在一维空间上的共形变换生成元所满足的一组代数关系。

Virasoro代数由两部分组成：中心扩张部分和可交换部分。

中心扩张部分是一个由一个中心算子生成的正交子代数，它对于整个代数结构起到了关键作用。

可交换部分是一个由大量项组成的子代数，这些项与中心扩张部分的生成元和它们的导数之间的乘积相关。

Virasoro代数的生成元由无限多个权重向量组成，它们被分为两个部分：升降算子和中心算子。

升降算子作用于权重向量并生成新的权重向量，而中心算子具有常数值并可用于计算代数的中心扩张部分。

Virasoro代数的重要性在于，它在现代理论物理学中的多个领域都有着广泛的应用。

例如，在弦论中，Virasoro代数是描述弦振动模式的关键工具之一。

在共形场论中，Virasoro代数是研究自由场和相互作用场的共形对称性和无穷小变换的重要工具。

什么是Whittaker模？Whittaker模是Virasoro代数的一种特殊表示。

表示是一个用于描述代数元素在特定向量空间上的作用的数学对象。

而Whittaker模是Virasoro 代数的一个最高权重表示，即它是由一个最高权重向量生成的。

在Virasoro代数中，Whittaker模是由一个基准向量生成的，这个向量被称为Whittaker向量。

Whittaker向量被定义为Virasoro代数的最高权重向量，即它被所有其他权重向量作用所得的结果是0。

换句话说，Whittaker向量是Virasoro代数中所有升降算子作用在它上面所得的最高权重向量。

由于Virasoro代数的特殊结构，Whittaker模具有一些独特的性质。

首先，Whittaker模的维度是无穷大的，这意味着Whittaker模包含了无限多个线性无关的向量。

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南 开 大 学学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第４ Ｏ卷
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９ ］等 ． 实 上 ， 事 环面 （ｏｏｄ １ 李 代数 是 多重 圈代 数 的泛 中心扩 张 ， ｔｒ ｉａ） 它是 仿 射李 代 数 的 自然 推广 ． 文献
［Ｏ １ ］构造 了 Ｂ 型环面李 代数 的顶点 表示 ， ， 并在此 基础上 文献 １ ］给出 了 Ｂ， － ７ 型仿 射 一 ｒｓ ｒ Ｖｉ ｏｏ代数 的不可 ａ
（ 见文 献［ ， ］ ． ５ ６）
事 实上 ， 文献［ ２给 出 的仿 射李代 数 的表 示也是 Ｖｉ ｓｒ ３ ｒ ｏｏ代数 的表示 ， 这些表 示可 以成为更 大 的 ａ 这样
李 代数 一 射李 代数 与 Ｖｉ ｓ ｒ 仿 ｒ ｏｏ代数 的半直积 代数 一 ａ 的不可 约表示 ． 近年来 ， 许多 国 内外 的专 家学 者将 仿射 李 代数 的顶点 表示 推 广 为环 面李 代数 的顶点 表示 ， 如文献 ［ ７
用 顶点算子 ｘ（ ｚ 给 出 了所 有 ＡＤＥ型仿 射李 代数 的相 同表示 的另 一种构造 ， 顶点算子 Ｘ（ ， ） ，） 而 ａ ｚ 在对偶 共振 理论 的研 究 中起 着非 常重要 的作用 ． 在所 有 的这 些构造 中， 关重要 的是选取 一个合 适 的 Ｈｅ ｅ ｂ ｒ 至 ｉ ｎ ｅｇ ｓ 代数 或 Ｈ ｉ ｎ ｅｇ体系． ｅｓ ｂ ｒ ｅ 通过扩 大 Ｆ ｃ ｏ ｋ空 间 ， 以构造广义 Ｃ ｒａ 可 ａｔｎ矩阵 非退化 的仿射李代 数 的顶 点表示

李代数与有限w代数的whittaker型表示和有限维表示李代数与有限维代数的Whittaker型表示和有限维表示一、介绍在数学和物理学中，李代数和有限维代数是重要的研究对象。

李代数是一种重要的数学结构，它在表示论和群论中有着广泛的应用。

有限维代数是指维数有限的代数结构，它们在表示论和代数几何中也起着关键的作用。

本文将从Whittaker型表示和有限维表示的角度，探讨李代数和有限维代数的一些重要性质和应用。

二、Whittaker型表示1. Whittaker函数及其性质Whittaker函数是一类特殊的特殊函数，它在数学分析和数学物理中有着重要的应用。

Whittaker函数具有一些独特的性质，如对称性、变换性等，这使得它在表示论中具有重要的地位。

2. Whittaker型表示的定义Whittaker型表示是指一类特殊的表示，它与Whittaker函数密切相关。

在李代数和有限维代数的研究中，Whittaker型表示是一种重要的表示形式，它可以帮助我们理解代数结构的性质和表示的结构。

3. Whittaker型表示的性质与应用Whittaker型表示具有一些特殊的性质，如对称性、变换性等。

这些性质使得Whittaker型表示在数学物理中有着广泛的应用，特别是在量子场论和弦论中具有重要的地位。

三、有限维表示1. 有限维表示的概念与性质有限维表示是指李代数或有限维代数在有限维向量空间上的表示形式。

有限维表示具有一些重要的性质，如可约表示和不可约表示等，这些性质对于理解代数结构和物理现象具有重要的意义。

2. 有限维表示的分类与结构有限维表示可以根据其结构和性质进行分类，如可约表示和不可约表示、完全可约表示和非完全可约表示等。

这些分类对于代数结构和表示论的研究具有重要的指导意义，也对物理学中的对称性和守恒量有着重要的应用。

3. 有限维表示在物理学中的应用有限维表示在量子力学、粒子物理学和场论中有着广泛的应用。

在量子力学中，对称性和守恒量的研究往往涉及到有限维表示的理论，而在场论中，对称性和规范场的研究也离不开有限维表示的应用。

上同调群． 众所周知 ， 超） 李（ 代数的二上循环在李超代数的中心扩张方面起着重要作用．李 （ ） 超 代数或者
Ｌｉｎｚ超 ） 数 的 Ｌｉｎｚ ｅ ｉ（ 代 ｂ ｅ ｉ二上循 环 和 Ｌｉｎｚ 上 同调群 也 同样 重 要 ， ｂ ｅｂｉ二 出现 了一 系 列关 于无 限维 李 （ ） 超 代 数和 Ｌｉｎｚ 超 ） 数 的 Ｌｉｎｚ 上循 环和 Ｌ ｉｎｚ ｅ ｉ（ 代 ｂ ｅｂｉ二 ｅ ｉ二上 同调 群 的文 章 Ｉ］ ｂ ９． 我 们 首先 给 出一 些 相关 的定 义．域 Ｆ上 的 Ｌｉｎｚ 代 数 是 指 带 有 一 个 Ｆ一双 线 性 映 射 ［－，－］ Ｌ× ｅｂｉ超 ：
二 上 同调群 ．
关 键词 ：广 义超 Ｖｒｓｒ 数 ； ｅｂ ｉ 二 上循 环 ； ｅ ｎｚ 上 同调群 ． ｉ ｏｏ代 ａ Ｌ ｉｎｚ Ｌｉ ｉ二 ｂ
中图分 类 号 ：０ ５ ． １２ ５
文０ ８— ７ ４ ２ ０ ） ８— ０ １ ０ １０ ２ ９ （０ ８ ０ ０ ０ — ３
且 满足下 面 的关 系式 ¨ ： Ｊ
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本文 的 主要 目的 是研 究上 面所 定义 的广义 超 Ｖｒｓｒ ｉ ｏｏ代数 ５的 Ｌｉｎｚ ａ ｅ ｉ二上 循环 ， 一步 确定 Ｌｉｎｚ ｂ 进 ｅｂｉ二
一
的 ｚ 一阶 化 向量空 问 Ｌ＝ ①Ｌ ， ｒ使得 ［ ， ］ Ｌ＋ ， Ｖ 卢∈Ｚ Ｃ 口 ＿ ， ２
和超 的 Ｌ ｉｎｚＪｃｂ 等式 ｅｂ ｉ ａｏ ｉ

用su（2）李代数的摘要：一、引言1.su(2)李代数的背景和意义2.研究su(2)李代数的动机和目的二、su(2)李代数的定义和性质1.su(2)李代数的定义2.su(2)李代数的矩阵表示3.su(2)李代数的性质三、su(2)李代数在物理学中的应用1.su(2)李代数与角动量2.su(2)李代数与粒子物理3.su(2)李代数与量子力学四、结论1.su(2)李代数的贡献和影响2.su(2)李代数的未来研究方向正文：【引言】su(2)李代数，作为一种重要的数学结构，广泛应用于物理学、量子力学等领域。

它不仅具有深刻的理论价值，还在实际应用中发挥着关键作用。

本文旨在介绍su(2)李代数的定义、性质，以及其在物理学中的应用，以期对该领域的研究者提供一定的帮助。

【su(2)李代数的定义和性质】su(2)李代数，全称为特殊酉李代数，是李代数的一种。

它由三个元素组成，分别为I, X, Y，满足以下关系：1.I^2 = 12.[X, Y] = i*I3.[X, I] = [Y, I] = 0其中，i为虚数单位。

【su(2)李代数在物理学中的应用】su(2)李代数在物理学中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1.su(2)李代数与角动量：在量子力学中，角动量算符与su(2)李代数有密切的关系。

例如，对于一个自旋为1/2的粒子，其角动量算符可以表示为su(2)李代数的生成元。

2.su(2)李代数与粒子物理：在粒子物理学中，su(2)李代数作为群论中的一个重要组成部分，可以描述强、弱和电磁相互作用。

例如，SU(2)对称性在电弱统一理论中起着关键作用。

3.su(2)李代数与量子力学：在量子力学中，su(2)李代数可以描述简并气体系统，如氦原子。

通过引入su(2)李代数，可以简化问题的求解过程。

【结论】总之，su(2)李代数作为一种重要的数学结构，在物理学和量子力学等领域具有广泛的应用。