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第三章平面问题有限元法重庆大学机械工程学院一、平面单元一、平面单元矩形单元正方形单元二、三角形三节点单元2.1 单元位移模式xy{}(,,)Ti ii u v i j m δ ={}T TeTT T i j mi i j j m m u v u v u v δδδδ ==节点数:3；自由度自由度（（DOF ): 6节点位移节点位移：：单元位移单元位移：：二、三角形三节点单元三角形三节点单元位移模式123456u x y v x y αααααα=++=++(3-1)节点：i ()i i y x ,()i i v u ,节点：j ()j j y x ,()j j v u ,()m m y x ,()m m v u ,节点：m二、三角形三节点单元将三个节点的坐标和位移代入将三个节点的坐标和位移代入（（3-1），），得得ii i y x u 321ααα++=jj j y x u 321ααα++=mm m y x u 321ααα++=321ααα，，ii i y x v 654ααα++=j j j y x v 654ααα++=mm m y x v 654ααα++=654ααα，，二、三角形三节点单元mm m j j ji i iy x v y x v y x v A214=αmmmj j ji i i y x u y x u y x u A211=αm mj j i i y u y u y u A111212=αmm j ji i u x u x u x A111213=αmm j ji i y v y v y v A111215=αmm j j i i v x v x v x A111216=αmmj ji iy x y x y x A 1112=(3-2)二、三角形三节点单元将（3-2）代入代入（（3-1），），并整理并整理i i j j m m i i j j m m u N u N u N u v N v N v N v =++=++(3-3))(2111121y c x b a A y x y x yxAN i i i m mj ji ++==)(2111121y c x b a A y x y xy x AN j j j mmii j ++==)(2111121y c x b a A yxy x y x AN m m m j jiim ++==m j i N N N ,,称为形函数二、三角形三节点单元jm m j mmj j i y x y x y x y x a −==m i i m ii mmj y x y x y x y x a −==ij j i jji i m y x y x y x y x a −==mj mji y y y y b −=−=11im im j y y y y b −=−=11ji jim y y y y b −=−=11二、三角形三节点单元)(m j mj i x x x x c −−==)(11i m im j x x x x c −−==)(11j i jim x x x x c −−==二、三角形三节点单元将（3-3）写成矩阵形式：{}}}ee v uf =(3-4)形函数的性质1）形函数形函数在节点处的值为处的值为11，在其余节点处之值为零i N i≠==ij i j y x N j j i 01),((3-5)mj N N ,？？形函数的性质2）在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于11(3-6)1i j m N N N ++=3）在单元某一边上的形函数与第三个顶点的坐标无关形函数的性质0),(=y x N m )/()()/()(),(i j j i j j i y y y y x x x x y x N −−=−−=)/()()/()(),(i j i i j i j y y y y x x x x y x N −−=−−=在边上ij形函数的性质4）形函数在单元面积形函数在单元面积A A 上的二重积分之值上的二重积分之值，，等于高为等于高为11、底为底为A A 的三角锥的体积的三角锥的体积。
