数学分析1-34 函数

数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。

以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。

一、函数函数是数学分析的核心概念之一。

1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。

2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。

（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。

（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。

3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。

如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。

二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。

1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。

2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。

数分函数总结数学分析中的函数是一种非常重要并且常见的概念。

函数可以帮助我们描述和研究自然和社会现象，并且在各个学科中都有广泛的应用。

在本文中，我们将对数学分析中常见的函数进行总结和介绍。

基本函数线性函数线性函数是函数中最简单的一种。

它的定义形式为：y=f(x)=ax+b其中a和b是常数。

线性函数的图像是一条直线，它的特点是斜率为常数。

线性函数在经济学中常用于描述线性关系，如利润和成本之间的关系。

幂函数幂函数是一种重要的函数类型，它的形式为：y=f(x)=x n其中n是常数。

幂函数的图像由n的不同取值而有所不同。

当n为正偶数时，函数图像呈现出向上凸的形状；当n为正奇数时，函数图像呈现出向上凹的形状；当n为负数时，函数图像则会关于x轴对称。

幂函数在物理学中经常用于描述物体的运动和力学问题。

指数函数指数函数是一种常见的函数类型，它的形式为：y=f(x)=a x其中a是常数且大于 0。

指数函数的图像是一条逐渐上升或逐渐下降的曲线，与幂函数不同，指数函数的变量位于指数位置上。

指数函数在经济学、生物学和物理学等领域都有重要的应用。

对数函数对数函数是指数函数的逆运算，它的形式为：$$ y = f(x) = \\log_a{x} $$其中a是常数且大于 0，x是正实数。

对数函数的图像是一条递增的曲线，它与指数函数互为反函数。

对数函数在数学、工程学和计算机科学等领域中被广泛应用。

特殊函数三角函数三角函数是非常重要的一类特殊函数，它们与三角学紧密相关。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的定义和性质如下：•正弦函数（sin）：$y = \\sin(x)$，函数图像在区间 $[-\\pi, \\pi]$ 上是周期性的，且在 $x=\\pi/2$ 处取得极大值。

•余弦函数（cos）：$y = \\cos(x)$，函数图像在区间 $[-\\pi, \\pi]$ 上是周期性的，且在x=0处取得极大值。

•正切函数（tan）：$y = \\tan(x)$，函数图像在区间 $(-\\pi/2, \\pi/2)$ 上是周期性的，其余响应与正弦函数类似。

第一章实数集与函数3 函数的概念一、函数的定义定义1：给定两个实数集D和M，若有对应法则f，则对D内每一个数x，都有唯一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作：f:D→Mx↦y数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y，称为f在点x的函数值，常记为f(x)。

全体函数值的集合f(D)={y|y=f(x),x∈D}( ⊂ M)称为函数f的值域。

我们常用y=f(x)，x∈D表示一个函数。

习惯上，我们称此函数关系中的x为自变量，y为因变量。

使函数解析式有意义的自变量的全体通常称为存在域。

以存在域做为定义域时可以省略不写。

函数f给出了x轴上的点集D到y轴上点集M之间的单值对应，也称为映射。

对于a∈D，f(a)称为映射f下a的象，a则称为f(a)的原象。

在函数定义中，对每一个x∈D，只能有唯一的一个y值与它对应，这种函数称为单值函数；若同一个x值可以对应多于一个的y值，则称这种函数为多值函数。

两个相同的函数对应法则相同，定义域也相同，但对应法则的表达形式可能不同，如：f(x)=|x|，x∈R和f(x)=，x∈R.二、函数的表示法函数有三种主要的表示法，即解析法(或称公式法)、列表法和图象法。

在定义域不同部分用不同公式表示的函数称为分段函数。

如符号函数：sgn x=，，，函数f(x)=|x|可表示为：，，或f(x)=xsgn x函数y=f(x)，x∈D还可以表示为有序数对的集合：G={(x,y)|y=f(x), x∈D}狄利克雷函数：D(x)=，当为有理数，，当为无理数定义在[0,1]上的黎曼函数：R(x)=当为既约真分数当和内的无理数三、函数的四则运算给定两个函数f,x∈D1和g,x∈D2，记D=D1∩D2，并设D≠Ø，则定义：F(x)=f(x)+g(x)，x∈D；G(x)=f(x)-g(x)，x∈D；H(x)=f(x)g(x)，x∈D；令D*=D1∩{x|g(x)≠0, x∈D2}≠Ø，则L(x) =，x∈D*.四、复合函数设有两个函数：y=f(u), u∈D；u=g(x), x∈E.记E*=E∩{x|g(x)∈D}. 若E*≠Ø，则对每一个x∈E*，可通过函数g对应D内唯一的一个值u，而u又通过函数f对应唯一的一个值y。

数学分析公式总结数学分析是数学中的一门重要课程，它主要研究函数的性质和运算法则，以及极限、导数和积分等概念及其应用。

在学习数学分析时，我们经常会遇到各种各样的公式。

下面是对其中一些重要的数学分析公式进行总结。

一、极限公式1.常值函数的极限公式：\(\lim_{x\to a} c = c\)2.幂函数的极限公式：\(\lim_{x\to a} x^{m} = a^{m}\) （其中m为整数）3.正弦函数和余弦函数的极限公式：\(\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)\(\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x} = 0\)4.自然对数函数的极限公式：\(\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{x}-1}{x} = 1\)5.无穷小替换公式：当\(x\to a\)时，若\(\lim_{x\to a} f(x) = 0\)，\(\lim_{x\to a} g(x) = 0\)，且\(\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\)存在，则：\(\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)二、导数公式1.基本导数公式：\((c)'=0\)（其中c为常数）\((x^{n})' = nx^{n-1}\) （其中n为整数）\((\sin x)' = \cos x\)\((\cos x)' = -\sin x\)\((e^{x})'=e^{x}\)2.乘积法则：\((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)3.商法则：\((\dfrac{f(x)}{g(x)})' = \dfrac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\)4.链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都可导，则\(y'(x)=f'(u)g'(x)\)三、积分公式1.基本积分公式：\(\int cdx = cx + C\) （其中c为常数，C为常数）\(\int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) （其中n不等于-1）\(\int \sin xdx = -\cos x + C\)\(\int \cos xdx = \sin x + C\)\(\int e^{x}dx = e^{x} + C\)2.基本换元公式：\(\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\) （其中u = g(x)）四、泰勒展开公式泰勒展开公式是一种将一个函数在其中一点附近用多项式逼近的方法。

数学分析题库（1-22章）三 判断题1. 数列收敛的充要条件是数列有界.( ){}n a {}n a 2. 若, 当时有, 且, 则不存在. ( )0N ∃>n N >n n n a b c ≤≤lim lim n n n n a c →∞→∞≠lim n n b →∞3. 若, 则存在 使当时,有.( )lim ()lim ()x x x x f x g x →→>00(;)U x δ00(;)x U x δ∈()()f x g x >4. 为时的无穷大量的充分必要条件是当时,为无界函数.()f x 0x x →00(;)x U x δ∈()f x ( )5. 为函数的第一类间断点. ( )0x =sin xx6. 函数在上的最值点必为极值点. ( )()f x [,]a b 7. 函数在处可导.( )21,0,()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩0x = 8. 若在上连续, 则在上连续. ( )|()|f x [,]a b ()f x [,]a b 9. 设为区间上严格凸函数. 若为的极小值点，则为在上唯一的极f I 0x I ∈f 0x f I 小值点. ( )10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根. ( )11. . （ ）2200011lim sinlim limsin 0x x x x x x x →→→=⋅=12. 数列存在极限对任意自然数, 有. （ ）{}n a ⇔p lim ||0n p n n a a +→∞-=13. 存在的充要条件是与均存在.（ ）)(lim 0x f x x →)(lim 0x f x x +→)(lim 0x f x x -→14.（ .0)2(1lim )1(1lim 1lim )2(1)1(11lim 222222=++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ）15. 若, 则 . （ ）,lim a a n n =∞→0,0>>a a n 1lim lim ==∞→∞→n n n n n a a 16.设为定义于上的有界函数,且,,则)(),(x g x f D )()(x g x f ≤D x ∈.（ ）)(inf )(inf x g x f Dx Dx ∈∈≤17. 发散数列一定是无界数列.（ ）18. 是函数的第二类间断点. （ ）0x =1()sinf x x x=19. 若在连续，在内可导，且，则不存在，使()f x [,]a b (,)a b ()()f a f b ≠(,)a b ξ∈.（ ）()0f ξ'=20. 若在点既左可导又右可导，则在连续.（ ）()f x 0x ()f x 0x 21．定义在关于原点对称的区间上的任何函数f(x)均可表示为一个偶函数和一个奇函数之和.( ）22．设函数f(x)在处的导数不存在，则曲线y=f(x)在处无切线.（ 0x x =()()00,x f x ）23．若f(x)与g(x)均在处取得极大值，则f(x)g(x)在处也取得极大值.（0x x =0x x =）24.(为常数,可以是之一)，则，lim ()x f x b→Λ=b Λ000,,,,,x x x -+∞+∞-∞是变化时的无穷小量( )25.函数在(a,b)单调增加，则时，函数的左、右极限()f x 都存在，且( )26. 设，为有理数集，则( )27.若函数在连续，则也在连续 ( )28．设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于任何数)(M c mc ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ. ( )29．设(),()f x g x 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则)(')('x g x f >.( )30．设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n ny x +的极限未必不存在.( )31．如是函0x x =数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f . ( )32．对于函数x x x cos +，由于)sin 1(lim ')'cos (lim x x x x x x -=+∞→∞→不存在，根据洛必达法制，当x 趋于无穷大时，x x x cos +的极限不存在. ( )33．无界数列必发散. ( )34．若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间（b a ,）内连续. ( )35．初等函数在有定义的点是可导的. ( )36．ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导 . ( )37．设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('≠x f . ( )38．设数列递增且 （有限）. 则有. ( )}{n a }sup{n a a =39．设函数在点的某邻域内有定义. 若对,当)(x f 0x )(0x U )(0x U x n∈∀时, 数列都收敛于同一极限. 则函数在点连续. ( )0x x n →)}({n x f )(x f 0x 40．设函数在点的某邻域内有定义. 若存在实数,使时,)(x f y =0x A 0→∆x 则存在且. ( )),()()(00x x A x f x x f ∆=∆--∆+ )(0x f 'A x f =')(041．若则有( )),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='=').()(21x f x f >42．设. 则当时,⎰⎰+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()()()(x G x F ≠有. ( ))()(x g x f ≠43．设在内可导，且，则)(),(t g x f ),(b a )()(x g x f >. ( ))(')('x g x f >44．存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点. ( )45．在上可积,但不一定存在原函数. ( )()x f []b a ,46．利用牛顿一来布尼兹公式可得. ( )21111112-=--=⎰-x x47．任意可积函数都有界,但反之不真. ( )48．级数,若,则必发散. ( )∑∞=1n na∑∞=≠10n na∑∞=1n n a 49．若级数收敛,则亦收敛. ( )∑∞=1n n a ∑∞=12n n a 50．若在[a,b]上收敛.且每项都连续,则( )()().limlim dx x f dx x f b ann n ban ⎰⎰∞→∞→=51．若一致收敛,则.( )∑∞=1n nu0lim =∞→n n u 52．若在上一致收敛,则在上绝对收敛. ( )∑∞=1n nuI ∑∞=1n nuI 53．函数的傅里叶级数不一定收敛于.( )()x f ()x f 54．设在上可积，记则在上可导，)(x f ],[b a ⎰∈∀=Φxab a x dtt f x ,],[)()()(x Φ],[b a 且( )).()(x f x =Φ'55．上有界函数可积的充要条件是：有对的一个分法，使],[b a )(x f ,0>∀ε],[b a 0T ( ).)()(00ε<-T s T S 56．部分和数列有界，且则收敛. ( )}{n S ,0lim =∞→n n u ∑∞=1n nu57．若收敛，则一定有收敛. ( )∑∞=1||n nu∑∞=1n n u 58．若幂级数在处收敛，则在处也收敛. ( )∑∞=-1)1(n n nx a1-=x 3=x 59．若存在，则在上可展成的幂级数. ( ))(),,()(x fr r x n -∈∀)21 ，，（=n )(x f ),(r r -x60．在区间套内存在唯一一点使得( )]},{[n n b a ,ξ.,2,1],[ =∈n b a n n ξ61.函数列在上一致收敛是指：对和，自然数，当(){}n f x [],a b 0ε∀>[],x a b ∀∈∃N 时，有. ( )m n N >>()()n m f x f x ε-<62.若在上一致收敛于，则在上一致收敛于. ( )(){}n f x [],a b ()f x (){}nfx [],a b ()f x 63.若函数列在上一致收敛，则在上一致收敛. ( )(){}n f x [],a b (){}2n f x [],a b 64. 若函数列在内的任何子闭区间上都一致收敛，则在上一(){}n f x (),a b (){}n f x (),a b 致收敛. ( )65.若函数项级数在上一致收敛，则在上也一致收敛. ( )()1nn u x ∞=∑[],a b ()1nn u x ∞=∑[],a b 66.任一幂级数都有收敛点，它的收敛域是一个区间。

授课章节：第一章 实数集与函数---§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。

教学要求：（１）掌握邻域的概念；（２）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。

教学难点：确界的定义及其应用。

教学方法：讲授为主。

教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。

引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容。

下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。

而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。

提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。

本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。

一 区间与邻域１．区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <。

{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩２．邻域联想：“邻居”。