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包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业<本科）选用教材：《数学分析讲义》<第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教案大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月.参考书：陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月.1987年获全国优秀教材一等奖.华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材一、课程性质、目地和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP二、教案基本要求在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw三、教案内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》第一章函数§1.1.函数一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质地函数一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数地概念,函数地表示,函数地复合运算和具有特殊性质地函数.极限第二章．§2.1. 数列极限n??)1(?一、极限思想,二、数列地极限,三、数列极限地概念??n??§2.2. 收敛数列一、收敛数列地性质二、收敛数列地四则运算三、数列地收敛判别法四、子数列§2.3. 函数地极限x??x?a f(xf(x))地极限时,函数时,函数地极限,一、当二、当§2.4. 函数极限地定理,一、函数极限地性质二、函数极限与数列极限地关系三、函数极限存在判别法§2.5. 无穷大与无穷小一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小地比较重点掌握：数列极限地定义与性质,收敛判别地单调有界原理,函数极限地定义与性质,两个重要极限,无穷大与无穷小地定义与性质.RTCrpUDGiT第三章连续函数§3.1. 连续函数一、连续函数地概念,二、间断点及其分类§3.2. 连续函数地性质一、连续函数地运算及其性质二、闭区间连续函数地性质三、反函数地连续性四、初等函数地连续性重点掌握：函数连续地定义,闭区间连续函数地性质.《数学分析Ⅱ》第四章实数地连续性§4.1. 实数连续性定理一、闭区间套定理二、确界定理三、有限覆盖定理四、聚点定理五、致密性定理六、柯西收敛准则§4.2. 闭区间上连续函数性质地证明一、性质地证明二、一致连续性重点掌握：上、下确界地定义,实数连续性地基本定理及其证明,一致连续地概念,闭区间连续函数地性质地证明.5PCzVD7HxA第五章导数与微分§5.1. 导数,一、实例,二、导数概念§5.2. 求导法则与求导公式一、导数地四则运算二、反函数地求导法则三、复合函数地求导法则四、初等函数地导数§5.3. 隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则,二、参数方程求导法则§5.4. 微分一、微分地概念二、微分地运算法则和公式三、微分在近似计算上地应用§5.5. 高阶导数与高阶微分三、高阶微分二、莱布尼茨公式一、高阶导数．重点掌握：导数与微分地定义,运算及应用,高阶导数与高阶微分.第六章微分学地基本定理及其应用§6.1. 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§6.2.洛必达法则0?型,二、型一、,三、其它待定型0?§6.3. 泰勒公式一、泰勒公式,二、常用地几个展开式§6.4. 导数在研究函数上地应用一、函数地单调性二、函数地极值与最值三、函数地凸凹性四、曲线地渐近线五、描绘函数图象重点掌握：微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式,利用导数研究函数性质,作出函数图象.第七章不定积分§7.1. 不定积分一、原函数,二、不定积分§7.2. 分部积分法与换元积分法一、分部积分法,二、换元积分法§7.3. 有理函数地不定积分一、代数地预备知识,二、有理函数地不定积分§7.4. 简单无理函数与三角地函数地不定积分一、简单无理函数地不定积分,二、三角函数地不定积分重点掌握：不定积分地定义及性质,不定积分地计算.第八章定积分§8.1. 定积分地概念一、实例,二、定积分地概念§8.2. 可积准则一、小和与大和,二、可积准则,三、三类可积函数§8.3. 定积分地性质一、定积分地性质,二、定积分中值定理§8.4. 定积分地计算一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分地基本公式四、定积分地分部积分法五、定积分地换元积分法jLBHrnAILg§8.5. 定积分地应用一、微元法二、平面区域地面积三、平面曲线地弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体地侧面积六、变力作功xHAQX74J0X§8.6. 定积分地近似计算一、梯形法,二、抛物线法重点掌握：定积分地定义,存在条件及性质,定积分地计算及应用.《数学分析Ⅲ》第九章级数数值级数9.1. §．一、收敛与发散地概念二、收敛级数地性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数地性质§9.2. 函数级数一、函数级数地收敛域二、一致收敛地概念三、一致收敛判别法四、函数列地一致收敛五、和函数地分析性质LDAYtRyKfE§9.3. 幂级数一、幂级数地收敛域二、幂级数和函数地分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数地幂级数展开五、幂级数地应用Zzz6ZB2Ltk§9.4.傅里叶级数一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数地傅里叶级数2l为周期地函数地傅里叶级数五、以重点掌握：收敛与发散地概念,收敛级数地性质,同号级数、变号级数收敛性判别法,函数项级数、一致收敛、一致收敛级数地性质,幂级数地概念,收敛半径,和函数地分析性质,函数地幂级数展开,傅里叶级数地概念收敛定理,函数展开成傅里叶级数.dvzfvkwMI1第十章多元函数微分学§10.1. 多元函数一、平面点集二、坐标平面地连续性三、多元函数地概念§10.2. 二元函数地极限与连续一、二元函数地极限二、二元函数地连续性§10.3. 多元函数微分法一、偏导数二、全微分三、可微地几何意义四、复合函数微分法五、方向导数§10.4. 二元函数地泰勒公式一、高阶偏导数二、二元函数地泰勒公式三、二元函数地极值重点掌握：多元函数地概念,二元函数地极限和连续概念与性质,偏导数、全微分,复合函数偏导数地链式法则,微分运算法则,极值地概念与计算.rqyn14ZNXI第十一章隐函数§11.1. 隐函数存在定理一、隐函数地概念, 二、一个方程确定地隐函数, 三、方程组确定地隐函数§11.2. 函数行列式一、函数行列式, 二、函数行列式地性质, 三、函数行列式地几何性质§11.3. 条件极值一、条件极值与拉格朗日乘数法, 二、例§11.4. 隐函数存在定理在几何方面地应用一、空间曲线地切线与法平面二、曲面地切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理,函数行列式地性质,条件极值地概念与计算,曲线地切线与法平面和曲面地切平面与法线方程.EmxvxOtOco《数学分析Ⅳ》第十二章反常积分与含参变量地积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛与发散地概念, 二、无穷积分与级数, 三、无穷积分地性质, 四、无穷积分地敛散性判别法SixE2yXPq5瑕积分12.2.§．一、瑕积分收敛与发散地概念, 二、瑕积分地敛散性判别法§12.3. 含参变量地积分??函数函数与, 三、一、含参变量地有限积分, 二、含参变量地无穷积分重点掌握：无穷积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,瑕积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,含参变量地有限积分地概念与分析性质,含参变量地无穷积分地??函数,.函数与,概念,一致收敛地定义与判别法含参变量无穷积分地分析性质6ewMyirQFL第十三章重积分§13.1. 二重积分曲顶柱体地体积二、二重积分地概念三、二重积分地性质四、二重积分地计算一、五、二重积分地换元六、曲面地面积kavU42VRUs§13.2. 三重积分三重积分地概念二、三重积分地计算三、三重积分地换元四、简单应用重点掌握：重积分地概念与性质,二重积分及二重积分、三重积分地计算及柱面坐标与球面坐标. 第十四章曲线积分与曲面积分§14.1. 曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分地关系四、格林公式,五、曲线积分与路线无关地条件y6v3ALoS89§14.2. 曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,§14.3. 场论初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分地定义及计算,第二型曲线积分与曲面积分地定义及计算,格林公式,曲线积分与路线无关地条件,奥高公式,斯托克斯公式.M2ub6vSTnP四、教案重点与难点??定义极限地.-《数学分析Ⅰ》地重点内容有：极限论、函数地连续性,《数学分析Ⅱ》地重点内容有：实数地连续性、微分学、微分学地基本定理、积分学.难点是：实数连续性定理及其证明,闭区间上连续函数性质地证明,一致连续性.《数学分析Ⅲ》地重点内容有：级数论和多元函数微分学.难点是：函数级数一致收敛地概念,函数地幂级数展开,傅里叶级数收敛性判别法,隐函数存在定理,条件极值地计算0YujCfmUCw《数学分析Ⅳ》地重点内容有：广义积分与含参变量地积分,重积分、曲线积分与曲面积分.难点是：含参广义积分地一致收敛概念,各类积分之间地关系.eUts8ZQVRd五、学时分配《数学分析Ⅰ》总学时 64 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时6 1 <函数含习题课）36 2 含习题课）极限<22含习题课）<连续函数3《数学分析Ⅱ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时30 实数地连续性<含习题课）418 导数与微分<含习题课）530 <6 含习题课）微分学地基本定理及其应用14 7 含习题课）不定积分<168定积分<含习题课）《数学分析Ⅲ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.内容章节60 9 级数<含习题课）30 10 <含习题课）多元函数微分学1811 隐函数<含习题课）《数学分析Ⅳ》总学时72 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容30 含习题课）12 反常积分与含参变量地积分<18 13 重积分<含习题课）2414 含习题课）曲线积分与曲面积分<七、考核方式本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合地方式.平时考核成绩占15%,期末考试卷面成绩占85%.总分共100分.sQsAEJkW5T。
《函数的概念》教学教案一、教学目标1. 理解函数的定义及概念。
2. 掌握函数的表示方法，包括列表法、图象法、解析式法。
3. 能够判断两个变量之间的关系是否为函数。
4. 理解函数的性质，如单调性、奇偶性等。
二、教学内容1. 函数的定义及概念。
2. 函数的表示方法：列表法、图象法、解析式法。
3. 判断两个变量之间的关系是否为函数。
4. 函数的性质：单调性、奇偶性。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的定义及概念，函数的表示方法，函数的性质。
2. 教学难点：函数的性质的理解与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究来理解函数的概念。
2. 利用多媒体课件，展示函数的图象，帮助学生直观地理解函数的性质。
3. 开展小组讨论，让学生通过合作交流，加深对函数概念的理解。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考函数的概念。
2. 讲解函数的定义及概念，解释函数的基本要素：自变量、因变量、对应关系。
3. 介绍函数的表示方法，包括列表法、图象法、解析式法，并通过实例进行展示。
4. 讲解如何判断两个变量之间的关系是否为函数，引导学生通过实例进行分析。
5. 讲解函数的性质，如单调性、奇偶性，并通过图象进行展示。
6. 开展小组讨论，让学生通过合作交流，加深对函数概念的理解。
7. 总结本节课的主要内容，布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课后作业：要求学生完成相关的习题，巩固函数的基本概念和性质。
2. 课堂问答：通过提问的方式，检查学生对函数概念的理解程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和思考深度。
七、教学反思1. 教师需要在课后对自己的教学进行反思，考虑是否有清晰地传达函数的概念和性质。
2. 反思教学方法的有效性，是否激发了学生的兴趣和参与度。
3. 根据学生的反馈和作业情况，调整教学计划和方法，以便更有效地帮助学生理解函数。
八、拓展与延伸1. 鼓励学生探索更复杂的函数性质，如周期性、连续性等。
函数的概念的由来函数的概念起源于数学，它是数学中一个非常重要的概念，也是数学分析的基础之一。
在十六世纪的数学家斯内利茨提出了函数的定义，并将其系统地发展成为了数学分析的理论体系。
函数从数学领域逐渐延伸到物理学、工程学、计算机科学等领域，并贯穿其中。
函数的概念最早出现在十七世纪的数学家佩林尼(I.B.Pelini)的著作中，他将函数定义为一种数学映射，即“一切算术之形式都以一写映之名称为代表”。
这里的“映射”指的是将一个数集的每个元素映射到另一个数集的对应元素的过程。
通过函数，可以建立不同数集之间的关系和规律。
在十九世纪，法国数学家庞加莱( H.Poincare)将函数的概念进一步发展，他将函数定义为无限多个数之集合，即“以某种法则将一个数域上的数集到另一个数域上的数”。
庞加莱的定义使得函数可以更加灵活地描述不同数集之间的关系。
在数学中，函数可以用各种形式表示，如方程、图形、表格等。
方程是一种用代数公式表示的函数形式，它使用字母和数来表示关系，常见的方程形式有线性方程、二次方程等。
图形是一种用图形表示的函数形式，它通过画出函数的曲线或者直线来表示函数关系。
表格则是一种用表格形式表示的函数形式，它将函数的输入和输出值以表格的形式展示出来。
函数的概念在物理学中也有很重要的应用。
物理学中的函数通常用来描述物体的运动、能量变化等物理量之间的关系。
例如，在牛顿力学中，通过建立物体质点的位置随时间变化的函数，可以描述物体的运动规律。
在热力学中，通过建立物体的温度随时间变化的函数，可以描述物体的温度变化规律。
在工程学中，函数的概念也得到了广泛的应用。
工程学中的函数通常用来描述系统的输入和输出之间的关系，通过建立系统输入和输出之间的函数关系，可以实现对系统的控制和优化。
例如，在电气工程中，建立电流与电压之间的函数关系可以描述电路的特性。
在机械工程中，建立力和位移之间的函数关系可以描述物体的弹性变形。
随着计算机技术的发展，函数的概念被引入到计算机科学领域。
伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解第1章函数1.1复习笔记一、实数1．数集（1）集合的概念集合是将具有某种特性的、确定的、互不相同的对象的全体作为一个整体，这些对象称为集合中的元素，若a是集合A中的元素，则记为a∈A，如果a不是集合A中的元素，则记为.（2）集合的表示方法①列举法：是将集合中的元素全部列出.②描述法：是将集合的特性精确给出.（3）子集的相关概念①子集的定义：若集合A中的每一个元素X都属于集合B，则称B包含A，记为，此时也称A是B的子集.②集合相等：如果和同时成立，则认为A，B是同一个集合，此时也记为A＝B.③真子集的定义：若且A≠B，则称A是B的真子集，记为A B⊂.≠注：空集即中不含有任何元素,因此是任何集合的子集.（4）集合的运算给定集合A，B，集合有以下常用运算：①称为A与B的并；②称为A与B的交；③称为A与B的差.2．实数系的连续性（1）分划的定义设S是一个有大小顺序的非空数集，A和B是它的两个子集，如果它们满足以下条件①②③都有④A中无最大数，则将A，B称为S的一个分划，记为.（2）戴德金分割定理对实数系R的任一分划（A|B），B中必有最小数.3．有界集与确界（1）有界集①设集合并且，a．如果存在使得对有x≤M，则称E是有上界的，并且说M是E的一个上界；b．如果存在使得对有x≥m，则称E是有下界的，并且说m是E的一十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书个下界；c．如果E 既有上界又有下界，则称E 是有界的.②E 是有界的充分必要条件是：存在M＞0，使得对任意的有（2）确界的定义①上确界设为一个非空数集，若有满足a．M 是E 的一个上界，即有b ．对存在使得则称M 为E 的上确界，记为.②下确界设为一个非空数集，若有满足：a．m 是E 的一个下界，即有b ．对存在使得，则称m 为E 的下确界，记为显然，E 的上确界就是它的最小上界，而下确界就是它的最大下界.（3）确界定理非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界.（4）常用不等式①实数的绝对值由此可知，对任何有②三角不等式，③伯努利（Bernoulli）不等式：对任意的和任意正整数n，有④算术—几何平均不等式：对任意n个非负实数有：（5）常用记号①N：全体正整数组成的集合；②Z：全体整数组成的集合；③Q：全体有理数组成的集合；④R：全体实数组成的集合.显然有⑤闭区间：⑥开区间：⑦左开右闭区间：⑧左闭右开区间：且；⑨无穷区间：.二、函数的概念1．函数的定义（1）对于给定的集合，如果存在某种对应法则f，使得对X中的每一个数x，在R中存在唯一的数y与之对应，则称对应法则f为从X到R的一个函数，记做其中y称为f在点x的值，X称为函数f的定义域，数集称为函数f的值域，记为f（x），x称做自变量，y称做因变量.（2）构成一个函数必须具备三个基本要素：定义域、值域和对应法则.2．常见函数类型（1）基本初等函数①常值函数：②幂函数：③指数函数：④对数函数：⑤三角函数：⑥反三角函数：.（2）特殊函数①符号函数②狄利克雷（Dirich1et）函数.③高斯（Gauss）取整函数其中［x］即不超过x的最大整数，即n≤x＜n＋1.④黎曼（Riemann）函数⑤特征函数:设，称为集E的特征函数.3．函数的构造（1）函数的四则运算设为两个已知函数，且则可以利用实数的四则运算构造新函数如下：（2）函数的限制与延拓设函数和满足：且则称f（x）是g（x）在X1上的限制，而g（x）是f（x）在X2上的延拓.（3）函数的复合设为两个函数，若则定义在X1上的函数称为f1和f2的复合函数，记作，通常称f1为该复合函数的内函数，f2为外函数.注：函数的复合运算可以进行的前提条件是，外函数的定义域必须包含内函数的值域.（4）映射和反函数的定义①单射：设是一个函数，若对任意的只要x1≠x2，就有。
第一章实数集与函数3 函数的概念一、函数的定义定义1：给定两个实数集D和M，若有对应法则f，则对D内每一个数x，都有唯一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作：f:D→Mx↦y数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y，称为f在点x的函数值，常记为f(x)。
全体函数值的集合f(D)={y|y=f(x),x∈D}( ⊂ M)称为函数f的值域。
我们常用y=f(x)，x∈D表示一个函数。
习惯上，我们称此函数关系中的x为自变量，y为因变量。
使函数解析式有意义的自变量的全体通常称为存在域。
以存在域做为定义域时可以省略不写。
函数f给出了x轴上的点集D到y轴上点集M之间的单值对应，也称为映射。
对于a∈D，f(a)称为映射f下a的象，a则称为f(a)的原象。
在函数定义中，对每一个x∈D，只能有唯一的一个y值与它对应，这种函数称为单值函数；若同一个x值可以对应多于一个的y值，则称这种函数为多值函数。
两个相同的函数对应法则相同，定义域也相同，但对应法则的表达形式可能不同，如：f(x)=|x|，x∈R和f(x)=，x∈R.二、函数的表示法函数有三种主要的表示法，即解析法(或称公式法)、列表法和图象法。
在定义域不同部分用不同公式表示的函数称为分段函数。
如符号函数：sgn x=，，，函数f(x)=|x|可表示为：，，或f(x)=xsgn x函数y=f(x)，x∈D还可以表示为有序数对的集合：G={(x,y)|y=f(x), x∈D}狄利克雷函数：D(x)=，当为有理数，，当为无理数定义在[0,1]上的黎曼函数：R(x)=当为既约真分数当和内的无理数三、函数的四则运算给定两个函数f,x∈D1和g,x∈D2，记D=D1∩D2，并设D≠Ø，则定义：F(x)=f(x)+g(x)，x∈D；G(x)=f(x)-g(x)，x∈D；H(x)=f(x)g(x)，x∈D；令D*=D1∩{x|g(x)≠0, x∈D2}≠Ø，则L(x) =，x∈D*.四、复合函数设有两个函数：y=f(u), u∈D；u=g(x), x∈E.记E*=E∩{x|g(x)∈D}. 若E*≠Ø，则对每一个x∈E*，可通过函数g对应D内唯一的一个值u，而u又通过函数f对应唯一的一个值y。
南京信息工程大学2008年研究生招生入学考试《数学分析》考试大纲科目代码：602科目名称：数学分析参考书目：《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，华东师范大学数学系编，1991年第二版。
考试内容:第一章实数集与函数1 实数集及其性质2 确界定义与确界原理3 函数概念 4有某些特性的函数第二章数列极限1 数列极限概念2 收敛数列的性质3 数列极限存在的条件第三章函数极限1 函数极限概念2 函数极限的性质3 函数极限存在的条件4 两个重要极限5 无穷小量与无穷大量,阶的比较第四章函数的连续性1 连续性概念2 连续函数的性质3 初等函数的连续性第五章导数与微分1 导数的概念2 求导法则3 微分4 高阶导数与高阶微分5 参量方程所确定的函数的导数第六章微分学基本定理与不定式的极限1 中值定理2 不定式极限3 泰勒公式第七章运用导数研究函数性质1 函数的单调性与极值2 函数的凸性与拐点 6 函数图象的讨论第八章极限与连续性(续)1 实数集完备性的基本定理2 闭区间上连续函数性质的证明第九章不定积分1 不定积分概念与基本积分公式2 换元积分法与分部积分法3 有理函数和可化为有理函数的积分第十章定积分1定积分的概念 2 可积条件 3 定积分的性质 4 微积分学基本定理 6 非正常积分第十一章定积分的应用1 平面图形的面积2 由截面面积求体积3 曲线的弧长与曲率4 旋转曲面的面积第十二章数项级数1 级数的收敛性2 正项级数3 一般项级数第十三章函数列与函数项级数1 一致收敛性2 一致收敛的函数列与函数项级数的性质第十四章幂级数1 幂函数的收敛性2 函数的幂级数展开第十五章傅里叶级数1 傅里叶级数的概念2 以2L为周期的函数的展开式3 收敛定理的证明第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数2 二元函数的极限3 二元函数的连续性第十七章多元函数的微分学1 可微性2 复合函数微分法3 方向导数与梯度4 泰勒公式与极值问题第十八章隐函数定理及其应用1 隐函数2 隐函数组3 几何应用4 条件极值第二十章重积分1 二重积分概念2 二重积分的计算3 三重积分4 重积分的应用第二十一章含参量积分1 含参量正常积分2 含参量反常积分3 欧拉积分第二十二章曲线积分与曲面积分1 第一型曲线积分与第一型曲面积分2 第二型曲线积分 3. 格林公式，曲线积分与路线的无关性 4 第二型曲面积分 5高斯公式与斯托克斯公式。
授课章节：第一章 §３ 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念。
教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。
会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。
教学重点：函数的概念。
教学难点：初等函数复合关系的分析。
教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。
教学程序：引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。
为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论。
一 函数的定义１．定义１ 设,D M R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x D ∀∈，存在唯一的一个数y M ∈与之对应，则称f 是定义在数集Ｄ上的函数，记作:f D M →(|x y →).函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f D 。
即{}()|(),f D y y f x x D ==∈。
２．几点说明（1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →。
习惯上称x 自变量，y 为因变量。
（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。
当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。
因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。
所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。
例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈ ().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）。
（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。
此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。
即“函数()y f x =”或“函数f ”。
（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。
a 称为()f a 的原象。
（5）函数定义中，x D ∀∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数。
本书中只讨论单值函数（简称函数）。
（６）定义１中的定义是Cauchy 于1834年给出。
不是完美的、现代意义上的函数定义。
事实上，函数定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象。
从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程。
这个进程中充满了斗争。
历史上，原始的“函数观念”伴随着数学的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究，则在１７世纪以后，现代函数定义是在１９２１年，则库拉托夫斯基给出。
定义如下：设f 是一个序偶集合，若当(,)x y f ∈时，y z =，则f 称为一个函数。
—（朱家麟《浅谈函数概念的历史演讲》，《河北师范大学学报》，1990年第４期）二 函数的表示方法1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。
2 可用“特殊方法”来表示的函数。
（１） 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。
例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）（借助于Sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）。
（２）用语言叙述的函数。
（注意；以下函数不是分段函数）例 １）[]y x =（取整函数）２）1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,（Ｄirichlet ） ３）1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x ⎧=∈+⎪=⎨⎪=⎩当为假分数),当和内的无理数.（Riemman 函数）三 函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =⋃，并设D φ≠，定义f 与g 在Ｄ上的和、差、积运算如下：若在Ｄ中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠，可在D 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈. 注：１）若12D D D φ=⋃=，则f 与g 不能进行四则运算。
２）为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g+-. 四 复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系。
例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率Ｅ为2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代入f ，即得 221(())2f v t mg t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”。
[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）。
2． 定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，记{}()E x f x D E =∈⋂，若E φ≠，则对每一个x E ∈，通过g 对应Ｄ内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈或()(),y fg x x E =∈。
简记为f g 。
称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量。
3. 例子例讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进行复合，求复合函数。
4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成。
每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：[1,1]y x =∈-.２）不仅要会复合，更要会分解。
把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化。
①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-②arcsin ,y y u u =→==③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===五、反函数１ 引言在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量。
但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u是因变量。
习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化。
但有时我们不公要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况。
对此，我们引入反函数的概念。
２ 反函数概念设函数(),y f x x D =∈。
满足：对于值域()f D 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.３ 注释a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是Ｄ与()f D 之间的一个一一映射，称1f-为映射f 的逆映射，它把()f D D →； b) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,ff x x x D -≡∈ 1(()),().f f x y y f D -≡∈ c) 在反函数的表示1(),()x f y y f D -=∈中，是以y 为自变量，x 为因变量。
若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数f 的反函数1f -可以改写为1(),()y f x x f D -=∈.应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已。
但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别。
六 初等函数1.．基本初等函数（６类）常量函数 y C =（Ｃ为常数）；幂函数 ()y x R αα=∈；指数函数(0,1)x y a a a =>≠；对数函数 log (0,1)a y x a a =>≠；三角函数 sin ,cos ,,c y x y x y tgx y tgx ====；反三角函数 arcsin ,arccos ,,y x y x y arctgx y arcctgx ====。
注：幂函数()y x R αα=∈和指数函数(0,1)x y a a a =>≠都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义。
下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质。
定义２．给定实数0,1a a >≠，设x 为无理数，我们规定： {}{}sup |,1|,01r x r xr a r a a a r a <⎧>⎪=⎨<<⎪⎩r<x为有理数当时,inf 为有理数当时.[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数如：22112sin cos ,sin(),l g ,||.a e y x x y y o x y x x x -=+==+= 不是初等函数的函数，称为非初等函数。
如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数。
注：初等函数是本课程研究的主要对象。
为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域。
确定定义域时应注意两点。
例２．求下列函数的定义域。
（１） y = （２） ln |sin |.y x = ［作业］ P 15 ３；４:（２）、（３）； ５:（２）； ７:（３）； １１。
