数学分析--函数的连续性课件

第四章函数的连续性§1 连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识, 而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.一函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1)则称f 在点x0 连续.例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为又如,函数limx →2f ( x) = limx →2( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) .f ( x) =x sin1x, x ≠ 0 ,0 , x = 0在点x = 0 连续, 因为lim x →0 f ( x) = limx →0x sin1x= 0 = f ( 0) .为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 .注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数.引进了增量的概念之后, 易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于lim Δy = 0 .Δx →070第四章 函数的连续性由于函数在一点的连续性 是通 过 极限 来定 义的 , 因 而 也可 直接 用 ε- δ方 式来叙述 , 即 : 若对任给的 ε> 0 , 存在 δ> 0 , 使得当 | x - x 0 | < δ时有| f ( x) - f ( x 0 ) | < ε,( 2)则称函数 f 在点 x 0 连续 .由上述定义 , 我们可得出函数 f 在点 x 0 有 极限 与 f 在 x 0 连 续这两 个概 念 之间的联系 .首先 , f 在点 x 0 有极限是 f 在 x 0 连续的必要条件 ; 进一步说“, f 在 点 x 0 连续”不仅要求 f 在点 x 0 有极限 , 而且其 极限值应 等于 f 在 x 0 的 函数 值 f ( x 0 ) .其次 , 在讨论极限 时 , 我们假 定 f 在 点 x 0 的某 空心 邻域 U °( x 0 ) 内有 定 义 ( f 在点 x 0 可以没有定义 ) , 而“ f 在点 x 0 连续”则要求 f 在某 U( x 0 ) 内 ( 包 括 点 x 0 ) 有定义 , 此时由于 (2 ) 式当 x = x 0 时总是成 立的 , 所以在 极限定义 中的“0 < | x - x 0 | < δ”换成了在连续定义中的“ | x - x 0 | < δ”.最后 , (1 ) 式又可表示为lim x → xf ( x) = f lim x ,x → x可见“ f 在点 x 0 连续”意味着极限运算 lim x → x与对应法则 f 的可交换性 .例 1 证明函数 f ( x ) = x D( x ) 在 点 x = 0 连续 , 其 中 D ( x ) 为 狄 利 克 雷 函数 .证 由 f (0 ) = 0 及 | D( x ) | ≤ 1 , 对任给的 ε> 0 , 为使| f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | ≤ | x | < ε, 只要取 δ= ε, 即可按 ε- δ定义推得 f 在 x = 0 连续 . □相应于 f 在点 x 0 的左、右极限的概念 , 我们给出左、右连续的定义如下 : 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义 .若lim x → x +f ( x) = f ( x 0 ) lim -x → xf ( x) = f ( x 0 ) , 则称 f 在点 x 0 右 ( 左 ) 连续 .根据上述定义 1 与定义 2 , 不难推出如下定理 .定理 4.1 函数 f 在点 x 0 连续的充 要条 件是 : f 在 点 x 0 既是 右连续 , 又 是 左连续 .例 2 讨论函数在点 x = 0 的连续性 .解 因为f ( x ) =x + 2 , x ≥ 0 , x - 2 , x < 0lim x → 0 +lim x → 0 -f ( x ) = lim x → 0 + f ( x) = lim x → 0 -( x + 2 ) = 2 ,( x - 2) = - 2 , 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连 续 , 但 不左 连续 , 从 而 它在 x = 0 不 连续 ( 见●§1 连续性概念 71图 4 - 1 ) .□二 间断点及其分类定义 3 设函数 f 在某 U °( x 0 ) 内有定义 .若 f 在 点 x 0 无定义 , 或 f 在点 x 0 有 定 义而 不 连续 , 则称 点 x 0 为 函数 f 的间断点或不连续点 .按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的 讨论 , 若 x 0 为函数 f 的间断点 , 则必出现下列情形之一:图 4 - 1( i ) f 在点 x 0 无定义或极限 l im x → xf ( x ) 不存在 ; 0 ( ii ) f 在点 x 0 有定义且极限 lim x → xf ( x ) 存在 ① , 但 lim x → xf ( x) ≠ f ( x 0 ) .据此 , 我们对函数的间断点作如下分类 : 1. 可去间断点 若lim x → xf ( x ) = A ,而 f 在点 x 0 无定义 , 或有定义但 f ( x 0 ) ≠ A , 则称 x 0 为 f 的可去间断点 .例如 , 对于函数 f ( x ) = | sgn x | , 因 f ( 0) = 0 , 而lim x → 0f ( x) = 1 ≠ f (0 ) ,故 x = 0 为 f ( x ) = | sgn x | 的 可 去 间 断 点 . 又 如 函 数 g ( x ) =sin x, 由 于 xlim x → 0g ( x ) = 1 , 而 g 在 x = 0 无定义 , 所以 x = 0 是函数 g 的可去间断点 .设 x 0 为函数 f 的可去间断点 , 且 lim x → xf ( x ) = A .我们按如下 方法定 义一 个 0函数 f ^: 当 x ≠ x 0 时 , f ^( x ) = f ( x) ; 当 x = x 0 时 , f ^( x 0 ) = A .易 见 , 对 于函 数f ^, x 0 是它的连续点 .例如 , 对上述的 g( x) = sin x , 我们定义x则 g^在 x = 0 连续 .g ^( x ) = sin x x, x ≠ 0 , 1 , x = 0 ,2. 跳跃间断点 若函数 f 在点 x 0 的左、右极限都存在 , 但lim x → x +f ( x) ≠ lim x → x -f ( x) , 则称点 x 0 为函数 f 的跳跃间断点 .例如 , 对函数 f ( x ) = [ x ] ( 图 1 - 8) , 当 x = n ( n 为整数 ) 时有①这里所说的极限存在是指存在有限极限 , 即不包括非正常极限 .72第四章 函数的连续性lim x → n -[ x] = n - 1 , lim x → n +[ x] = n , 所以在整数点上函数 f 的左、右极限不相 等 , 从而 整数 点都是 函数 f ( x ) = [ x ] 的跳跃间断点 .又如符号函数 s gn x 在点 x = 0 处的左、右 极限 分别 为 - 1 和 1 , 故 x = 0 是 sgn x 的跳跃间断点 ( 图 1 - 3) .可去间断点和跳跃间断点统称 为第 一类 间断 点 .第一类 间断 点的特 点是 函 数在该点处的左、右极限都存在 .3. 函数的所有其他形式的间断点 , 即使得函数至少有 一侧极限 不存在的 那 些点 , 称为第二类间断点 .例如 , 函数 y = 1 当 x → 0 时不存在有限的极限 , 故 x = 0 是 y = 1的第二类x x 间断点 .函数 s in 1 在点 x = 0 处左、右极限都不存在 , 故 x = 0 是 s in 1的第二类x x间断点 .又如 , 对于狄利克雷函数 D( x ) , 其定义域 R 上 每一点 x 都 是第二类 间 断点 .三 区间上的连续函数若函数 f 在区间 I 上的每一点都连续 , 则称 f 为 I 上的连续函数 .对于闭区 间或半开半闭区间的端点 , 函数在这些点上连续是指左连续或右连续 .例如 , 函数 y = c, y = x , y = sin x 和 y = cos x 都是 R 上 的连 续 函数 .又 如 函数 y =1 - x 2在 ( - 1 , 1 ) 每 一点处都 连续 , 在 x = 1 为 左连续 , 在 x = - 1 为右连续 , 因而它在 [ - 1 , 1] 上连续 .若函数 f 在区间 [ a , b] 上仅有 有限 个第 一类间 断点 , 则称 f 在 [ a, b] 上 分 段连续 .例如 , 函数 y = [ x ] 和 y = x - [ x] 在区间 [ - 3 , 3 ] 上是分段连续的 .在§3 中我们将证明任何初等函数在其定义区 间上为 连续函数 .同 时 , 也 存 在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数 , 如前面已提到的狄利克雷函数 .例 3 证明 : 黎曼函数R ( x) =1 , 当 x = p q qp 、q 为正整数 , p 6q / 为既约真分数 , 0 , 当 x = 0 , 1 及 (0 , 1 ) 内无理数 在 (0 , 1 ) 内任何无理点处都连续 , 任何有理点处都不连续 .证 设 ξ∈ ( 0 , 1) 为无 理数 .任给 ε> 0 不妨设 ε< 12, 满足 1 ≥ε的正 整q数 q 显然只有有限个 ( 但至少有一个 , 如 q = 2) , 从而使 R( x ) ≥ε的 有理数 x ∈(0 , 1 ) 只有有限个 至少有一个 , 如 12, 设为 x 1 , , x n .取δ = min | x 1 - ξ| , , | x n - ξ| ,ξ, 1 - ξ ,3 §1 连续性概念73则对任何 x ∈ U(ξ;δ) ( Ì ( 0 , 1) ) , 当 x 为有理数时有 R( x ) < ε, 当 x 为无理数 时 R ( x ) = 0 .于是 , 对任何 x ∈ U(ξ;δ) , 总有R ( x) - R(ξ) = R ( x ) < ε .这就证明了 R ( x ) 在无理点 ξ处连续 .现设 p 为 (0 , 1 ) 内任一有理 数 .取 ε0 =1 , 对任 何正 数 δ( 无 论 多么 小 ) , 在 q2 q Up q;δ 内总可取到无理数 x ( ∈ ( 0 , 1) ) , 使得 R( x ) - R pq = 1 q > ε0 . 所以 R ( x ) 在任何有理点处都不连续 .□习 题1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续 :( 1) f ( x ) = 1; ( 2) f ( x ) = | x | .x2. 指出下列函数的间断点并说明其类型 :( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x;x | x |( 3) f ( x ) = [ | cos x | ] ; (4) f ( x) = sgn | x | ;( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ;x , x 为有理数 ,( 6) f ( x ) =( 7) f ( x ) = - x , x 为无理数 ; 1x + 7, - ∞ < x < - 7 , x , - 7≤ x ≤1( x - 1 )sin 1, 1 < x < + ∞ .x - 13. 延拓下列函数 , 使其在 R 上连续 :( 1) f ( x ) = x - 8 ; ( 2) f ( x) = 1 - cos x;x - 2 x 2( 3) f ( x ) = x cos 1.x2 24. 证明: 若 f 在点 x 0 连续 , 则 | f | 与 f 也在 点 x 0 连 续 .又问 : 若 | f | 或 f 那么 f 在 I 上是否必连续 ?在 I 上连续 , 5. 设当 x ≠0 时 f ( x) ≡ g( x ) , 而 f ( 0) ≠ g (0 ) .证明 : f 与 g 两者中 至多有 一个在 x = 0 连续 .6. 设 f 为区间 I 上的单调函数 .证明: 若 x 0 ∈ I 为 f 的间断点 , 则 x 0 必是 f 的第一类间 断点 .n n - 174第四章 函数的连续性7. 设函数 f 只有可去间断点 , 定义g( x ) = lim y → xf ( y) .证明 g 为连续函数 .8. 设 f 为 R 上的单调函数 , 定义g( x) = f ( x + 0 ) .证明 g 在 R 上每一点都右连续 .9. 举出定义在 [0 , 1 ]上分别符合下述要求的函数 :( 1) 只在 1 , 1 和 1三点不连续的函数 ;2 3 4 ( 2) 只在 1 , 1 和 1三点连续的函数 ;2 3 4 ( 3) 只在 1( n = 1 , 2 , 3 , )上间断的函数 ;n( 4) 只在 x = 0 右连续 , 而在其他点都不连续的函数 .§2 连续函数的性质一 连续函数的局部性质若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在点 x 0 有极 限 , 且极 限值 等于函 数值 f ( x 0 ) . 从而 , 根据函数极限的性质能推断出函数 f 在 U ( x 0 ) 的性态 .定理 4.2 ( 局部有界性 ) 若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在某 U( x 0 ) 内有界 . 定理 4 .3 ( 局部保号性 ) 若函数 f 在点 x 0 连 续 , 且 f ( x 0 ) > 0 ( 或 < 0 ) , 则 对任何正数 r < f ( x 0 ) ( 或 r < - f ( x 0 ) ) , 存 在 某 U ( x 0 ) , 使 得 对 一 切 x ∈ U( x 0 ) 有f ( x) > r ( 或 f ( x ) < - r) .注 在具体应用局 部保 号性 时 , 常 取 r = 12f ( x 0 ) , 则 ( 当 f ( x 0 ) > 0 时 ) 存在某 U( x 0 ) , 使在其内有 f ( x) > 12f ( x 0 ) .定理 4 .4 ( 四则运算 ) 若函数 f 和 g 在点 x 0 连续 , 则 f ± g , f ·g, 6f g( x 0 ) ≠ 0) 也都在点 x 0 连续 .以上三个定理的证明 , 都可从函数极限的有关定理直接推得 .g /( 这里 对常量函数 y = c 和函数 y = x 反复应用定理 4.4 , 能推出多项式函数P( x) = a 0 x + a 1 x + + a n - 1 x + a n和有理函数 R ( x ) = P( x)Q( x)( P , Q 为多项式 ) 在其定义域的每 一点都是 连续的 .同样 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的连续性 , 可推出 tan x 与 cot x 在其定义域的每0 §2 连续函数的性质75一点都连续 .关于复合函数的连续性 , 有如下定理 : 定理 4.5 若函数 f 在点 x 0 连续 , g 在点 u 0 连续 , u 0 = f ( x 0 ) , 则复合函 数 g f 在点 x 0 连续 .证 由于 g 在 u 0 连续 , 对任给的 ε> 0, 存在 δ1 > 0 , 使得当| u - u 0 | < δ1 时有| g( u) - g( u 0 ) | < ε . ( 1) 又由 u 0 = f ( x 0 ) 及 u = f ( x ) 在点 x 0 连续 , 故 对上述 δ1 > 0 , 存在 δ> 0 , 使得 当 | x - x 0 | < δ时有 | u - u 0 | = | f ( x ) - f ( x 0 ) | < δ1 .联系 ( 1 ) 得 : 对 任给的 ε> 0 , 存在 δ> 0 , 当 | x - x 0 | < δ时有| g ( f ( x ) ) - g( f ( x 0 ) ) | < ε . 这就证明了 g f 在点 x 0 连续 .□ 注 根据连续性的定义 , 上述定理的结论可表为lim x → xg( f ( x) ) = g lim x → xf ( x ) = g( f ( x 0 ) ) .( 2)例 1 求lim sin (1 - x 2) .x → 1解 sin ( 1 - x 2 ) 可看作函数 g( u) = sin u 与 f ( x ) = 1 - x 2的复合 .由 ( 2) 式 得lim sin ( 1 - x 2 ) = sin lim(1 - x 2) = sin 0 = 0 .□x → 1x → 1注 若复合函数 g f 的内函 数 f 当 x → x 0 时 极限 为 a , 而 a ≠ f ( x 0 ) 或 f 在 x 0 无定义 ( 即 x 0 为 f 的可去间断点 ) , 又外函数 g 在 u = a 连续 , 则我们仍可 用上述定理来求复合函数的极限 , 即有lim x → xg( f ( x ) ) = g lim x → xf ( x) .( 3)读者还可证明 : ( 3 ) 式 不 仅 对 于 x → x 0 这 种 类 型 的 极 限 成 立 , 而 且 对 于 x → + ∞ , x → - ∞或 x → x ±等类型的极限也是成立的 .例 2 求极限 :(1 ) lim2 - sin x; (2 ) lim2 - sin x .x → 0解 (1 ) limx → 0 x 2 - sin x x x → ∞= 2 - lim x → 0 xsin x = 2 - 1 = 1; x(2 ) lim 2 -sin x= 2 - lim sin x = 2 - 0 = 2 . □x → ∞ x x → ∞ x二 闭区间上连续函数的基本性质设 f 为闭区间 [ a , b] 上 的连续 函数 , 本 段中我 们讨 论 f 在 [ a , b] 上 的整 体 性质 .。

第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴===g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：==g(f(x0)).例1：求sin(1-).解：sin(1-)=sin ((1-))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。

.例2：求极限：(1)；(2).解：(1)==1.(2)==.二、闭区间上连续函数的基本性质定义1：设f为定义在数集D上的函数。

第四章 函数的连续性(计划课时：1 2 时)§1 函数的连续性 ( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义. 定义 (用).()(lim 00x f x f x x =→)定义 (“δε-”定义.)定义 (用0lim 0=∆→∆y x ) 先定义x ∆和.y ∆例1 函数12)(+=x x f 在点20=x 连续.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(x x xx x f 在点00=x 连续. 例3 函数)()(x xD x f =在点00=x 连续.注: 若函数)(x f 在点0x 连续,则)()(lim 00x f x f x x =→,又因00l i mx x x x =→,从而)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=,即在)(x f 的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序.3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th1 (单、双侧连续的关系)例4 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=.0 ,2,0,,0 ,2)(x x x A x x x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性. 二.间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况(即)0(0+x f 或)0(0-x f 中至少有一个不存在)称为第二类间断点. 例5 讨论函数x x f sgn )(=的间断点类型.例6 延拓函数,sin )(xxx f = 使在点00=x 连续. 例7 讨论函数][)(x x f =的间断点类型.例8讨论函数xx f 1sin )(=的间断点类型.例9讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性. 三．区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex [1]P 73 1—5.§2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为Th 1—4.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数f 在点0x 连续,函数g 在点0u 连续,且)(00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续. ( 证 )注: Th 4 可简写为 ()().)()lim ()(lim )(lim 0000x f g x f g x f g x f g x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→例1 求极限 ).1sin(lim 21x x -→例2 求极限:⑴ ;s i n 2l i m 0x x x -→ ⑵ .s i n 2l i m xxx -∞→例3 求极限 .)1ln(lim0xx x +→ (x ln 的连续性见后).二、闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性: 先定义最值. Th 5 ( 最值性 ) 系 ( 有界性 )2. 介值性: 定义介值. Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系 ( 零点定理 )例4 证明: 若,0>r n 为正整数,则存在唯一正数0x ,使得r x n=0(0x 称为r 的n 次正根(即算术根),记作n r x =0).例5 设f 在],[b a 上连续,满足],[]),([b a b a f ⊂,证明:],,[0b a x ∈∃使得00)(x x f =.二. 反函数的连续性:Th 7 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1-f 在相应的定义域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续. ( 证 )关于函数αx x x y , , arcsin =等的连续性Ex [1]P 80—81 1—10四． 函数的整体连续性 —— 一致连续： 1． 连续定义中δ对0x 的依赖性 ：例6 考查函数xx f 1)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性.对], 1 , 0 (0∈∀x 作限制,120≤<x x 就有 . 2211 20000000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>∀ε , 取 }. 2, 2 min{020xx εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ. 本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.例6 考查函数xx f 1)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2, 2 min{2cc εδ= 该δ却与0x 无关, 可 记为)(εδ.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对0>∀ε, 确证)0(>δ存在. 为此, 从不失真地放大 式 )()( x f x f ''-'入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x x ''-'之外, 其余部分中不含 有x '和x '', 然后使所得式子ε<, 从中解出.x x ''-'例8 验证函数 )0( )(≠+=a b ax x f 在) , (∞+∞-内一致连续.例9 验证函xx f 1sin )(=在区间 )10( ) 1 , (<<c c 内一致连续. 证 ,c o s 2s i n 2 1s i n 1s i n 22121212121212121c x x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-例10 若函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续, 则)(x f 在),(b a 内有界.3. 一致连续的否定: 否定定义. 例11 证明函数xx f 1)(=在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10<∀=δε 取}, 21, min{δ='x与,2x x '='' 便有 .22δδ<≤'=''-'x x x 但 .12121 11 0ε=>≥'=''-'=''-'x x x x x证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz 连续与一致连续: 定义Lipschitz 连续.例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ⇒在I 上一致连续. ( 证 )但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.(为证明x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明不等式: ,0, 21≥∀x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上, 21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+ 同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+利用该不等式, 为使 =-221)()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 . 221ε<-x x)却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈∀x x 有 , )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-则当21x x ≠时，应成立 .121L x x ≤+但若取,4 ,12221nx n x ==就有 ). ( ,3121∞→∞→=+n nx x 矛盾. 5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, )( x f ⇒在],[b a 上一致连续. 例13 见[1]P80例10.Ex [1]P 102 8，9，10.§3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例1 求函数2ln 1)(-+=x x x f 的连续区间和间断点.解 ). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+⋃⋃⋃-=f D∴ )(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+. 间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续).二. 利用函数的连续性求极限:例2 .cos )1ln(lim20xx x +→例3.1111lim 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例4 ().1lim sec 0xctgxx tgx +→ 解 I = ()().)1(lim )1(lim 1sec lim 0sec 0e e tgx tgx xctgxx xctgx x x ==+=+→→→例5 ().sin 1sinlim x x x -++∞→解 =-+x x sin 1sin .21cos 21sin 2xx x x ++-+,021lim sin 21sin lim ,121cos=-+=-+≤++∞→+∞→xx x x x x x x∴I = .0Ex [1]P 84 1，2；。

数学分析第四章函数的连续性函数的连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。

在本章中，我们将讨论函数的连续性及其性质，并介绍一些与连续性相关的重要定理。

在数学分析中，函数的连续性可以用一种直观的方式来理解。

如果在一个区间内，函数的图像是连续的、没有断点的，那么我们就可以说这个函数在这个区间内是连续的。

如果函数在其中一点处发生突变或跳跃，那么我们就认为函数在该点处不连续。

首先，我们来定义函数在其中一点处的连续性。

设函数f(x)在点a 处有定义，则我们说f(x)在点a处连续，如果满足以下三个条件：1.f(a)存在，即函数在点a处有定义；2. lim(x→a) f(x)存在，即函数在点a处的极限存在；3. lim(x→a) f(x) = f(a)，即函数在点a处的极限等于函数在点a 处的取值。

根据这个定义，我们可以得出一些常见函数的连续性。

例如，多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数都是连续函数。

此外，利用连续函数的相加、相乘、相除和复合运算，我们可以得到更多的连续函数。

接下来，我们来讨论一些与连续性相关的重要定理。

首先是介值定理。

该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值有一正一负，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。

该定理的应用非常广泛，例如在实际问题中解方程、求极值等情况下都可以通过介值定理来找到解。

其次是零点定理。

该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值异号，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。

零点定理是介值定理的特殊情况，它对于函数的零点存在性给出了一个更加明确的条件。

另一个重要的定理是最值定理。

该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，那么在这个区间之内，函数必然存在最大值和最小值。

最值定理告诉我们，在一定范围内，连续函数的值是有上下界的。

最后，我们介绍一个重要的定理，即连续函数的保号性定理。