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振动运动学

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机械简谐振动的运动学与能量

机械简谐振动的运动学与能量

机械简谐振动的运动学与能量引言机械简谐振动是物理学中重要的概念之一，它在很多领域都有广泛的应用。

本文将介绍机械简谐振动的运动学和能量方面的内容。

首先，我们将对机械简谐振动的定义进行说明，接着讨论它的运动学表达式，最后深入探讨与机械简谐振动相关的能量变化。

机械简谐振动的定义机械简谐振动是指在无外力作用的情况下，质点围绕平衡位置做线性回复的振动。

简谐振动的运动规律可以用如下的数学表达式表示：$$x(t) = A \\cdot \\sin(\\omega t +\\varphi)$$其中，x(t)表示质点在时间t时的位移，A是振幅，$\\omega$是角频率，$\\varphi$是相位常数。

机械简谐振动的运动学机械简谐振动的运动学研究主要关注质点的位移、速度和加速度随时间的变化规律。

1.位移：如前文所述，机械简谐振动的位移可以用上述的数学表达式表示。

位移随时间的变化是一个正弦曲线，振幅A决定了曲线的最大值，相位常数$\\varphi$则决定了曲线在时间轴上的平移。

2.速度：速度是位移对时间的导数，可以通过对位移函数求一阶导数得到：$$v(t) = A\\omega \\cdot \\cos(\\omega t + \\varphi)$$速度也是一个正弦曲线，它的幅值$A\\omega$是振幅和角频率的乘积，相位常数$\\varphi$则决定了曲线在时间轴上的平移。

3.加速度：加速度是速度对时间的导数，可以通过对速度函数求一阶导数得到：$$a(t) = -A\\omega^2 \\cdot \\sin(\\omega t + \\varphi)$$加速度也是一个正弦曲线，它的幅值$-A\\omega^2$是振幅和角频率的平方的乘积，相位常数$\\varphi$则决定了曲线在时间轴上的平移。

机械简谐振动的运动学分析可以帮助我们了解振动物体在不同时刻的位移、速度和加速度情况，从而更好地描述和预测振动过程。

机械简谐振动的能量在机械简谐振动中，质点的能量会随着时间的变化而发生变化。

02简谐振动的运动学精品PPT课件

02简谐振动的运动学精品PPT课件

19
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x 轴
上的投影点的
运动为简谐运
动.
第4章 机械振动
4–2 简谐振动的运动学
20
y
vm t π
2
t an
A
0
a
v
x
x Acos(t )
vm A v A sin(t )
an A 2
a A 2 cos(t )
雌性蚊子 雄性蚊子 苍蝇 黄蜂
355~415 455~600 330 220
第4章 机械振动
4–2 简谐振动的运动学
例 如图所示系统（细线的质 量和伸长可忽略不计），细线 静止地处于铅直位置，重物位 于O 点时为平衡位置.
若把重物从平衡位置O 略 微移开后放手, 重物就在平衡 位置附近往复的运动．这一振 动系统叫做单摆. 求单摆小角 度振动时的周期．
12
x 简谐运动中， x和 v
间不存在一一对应的关系. A
x A cos(t 0 ) o
v A sin(t 0 ) A
v v
T 2
xt 图
v T t
3、位相和初位相 t 0
1） t 0 (x, v) 存在一一对应的关系;
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
4–2 简谐振动的运动学
1
一 简谐振动的运动学方程
d2x 2x 0
dt 2
x Acos(t 0 )
cos(t
0
)
sin(t
0
2
)

谐振动的运动学

谐振动的运动学

)
令 t=0 则
x0
A c os 0
(1)
V 0
Asin 0
(2)
12 22
得
A
x02
V02
2
2、周期T（频率、圆频率ω 、固有圆频率）
（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间
x Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0
Acos(t 0 2 )
T 2
或 T 2
2
(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数
13
2、参考圆、参考点：
(1) 所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参 考点。
参考点在坐标轴上的投影才是谐振动。
（2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限
由图可知:
x>0, v<0 , φ在第 I 象限
v2
v1
x<0, v<0 , φ在第Ⅱ 象限 x<0, v>0 , φ在第 III 象限 x>0, v>0 , φ在第Ⅳ 象限
φ ＝tg-1（－ｖ0／ωｘ0）＝12.6° 在第三象限， φ0 ＝180°＋12.6°
或取
φ0 ＝180°+12.6°＝192.6°＝3.36 rad
也可写成 φ0 ＝－2.92 rad
振动表达式为
ｘ＝2.05×10-2cos（11.2ｔ－2.92） （ＳＩ）
12
三、谐振动的旋转矢量表示法
1、旋转矢量的规定法则 (1) 旋转矢量的制作
两个同频振动在同一时刻的位相之差
Δφ=φ20-φ10
2）同一振动在不同时刻的位相差
同一振动在t1、t2时刻的位相差为
Δφ=(ωt2+φ0)-(ωt1+φ0)=ω(t2-t1)

机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)

机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
(4.19)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0

振动学基础-大学物理

振动学基础-大学物理

2
A cos (t
)
7
8
特征量：
x 位移
A 振幅
广义：振动的物理量 最大位移 由初始条件决定 表征了系统的能量
9
x Acos t
圆频率 角频率
频率
2π
T 周期 T 1
系统的周期性 固有的性质 称固有频率…
t 相位 位相
初相位
初位相
取决于时间零点的选择
10
小结
S. H. V. 的判据
= /4 = /2 = 3/4
P··Q
= = 5/4 = 3/2 = 7/4
（-3/4） （-/2） （-/4）
35
§3 平面简谐波 一 机械波产生的条件 1 机械波的基本概念
一、波的产生 二、横波和纵波 三、波长 波的周期和频率 波速
36
一、机械波的产生 1、机械波——机械振动在弹性介质（固体、液 体和气体）内的传播
45
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
0
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
如果波沿x轴负方向传播,则相应的波动方程为:
yP (t)
A c os
t
x u
0
利用关系式 2 T 和 2 ，并uT概括波的两种可能的
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直 向下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
12
船的位移为y 时船所受合力为：
f (h y)Sg mg ySg
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
Sg
m
因 m Sh,

机械振动运动学5弹性体振动

机械振动运动学5弹性体振动
可得：
以上两式等截面梁横向弯曲振动的振型函数正交性的表 达式。
如果在梁的全长上截面有变化，则 EJ 与A均不是常数， 所以在梁的全长上λ不是一个常数，因此， 和 都不能从积分 符号内抽出来。
上式为梁的振型函数对于质量的正交性；
上式则是梁的振型函数对于刚度的正交性。 可得： 利用振型函数正交性的这些性质，就可以将任何初始条
就可以应用多自由度系统求固有频率和主振型的同样 方法，来计算包含有分布质量系统的固有频率和主振型， 其具体计算方法和步骤，就不再在这里重复。
5.6.2 弦的横向振动 在石油机械中经常用到的连续弹性性体─弦。把弦的
固有频率，固有振型及其对周期激振外力的响应搞清楚， 在实用上非常重要。
梁的自由横振动 分析图5.14所示以张力T拉紧1的每单位长度质量为 ， 自由弯曲的均匀弦。沿弦的静止位置取x轴，与它生垂直的 弦的位移为y(x，t)。
5.1 概述
石油机械的零部件具有分布的质量和连续分布的刚度 以及阻尼等物理参数。
石油机械工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、弦、 板、壳，以及它们的组合系统）进行振动力学分析多自由度系 统和弹性体连续系统是近似的。
离散系统
简化、离散化 自由度n 趋向于无穷
连续系统
结构的离散化
弦振动
弹性体例如弦、杆、轴和梁等不复杂的振动有解析解。但 实际问题往往是复杂的，常常离散成有限自由度系统进行计算。
5.2 杆的纵向振动
5.2.1 运动方程
石油机械中有一根均质等截面的棱柱形直杆(例如抽油杆等 零件)，杆长为l，截面积为A，质量密度为ρ ，拉压弹性模量为E。 取直杆件中心线为x轴，原点取在直杆的左端面（见图5.2a）， 当振动过程中直杆的横截面只有x方向的位移，而且每一截面都 始终保持平面并垂直于x轴线，作为杆的纵向振动，并且略去杆 纵向伸缩引起的横向变形。

运动学中的圆周运动与简谐振动

运动学中的圆周运动与简谐振动

运动学中的圆周运动与简谐振动运动学是物理学中研究物体运动状态、运动规律的分支学科。

在运动学中，圆周运动和简谐振动是两个常见的运动形式。

本文将探讨圆周运动和简谐振动在运动学中的特性和应用。

一、圆周运动在物理学中，圆周运动指物体在一个平面上沿着一条圆弧运动的情形。

而当物体在进行圆周运动时，它受到向心力的作用。

向心力的大小与物体的质量和速度的平方成正比，与运动的半径成反比。

圆周运动的速度可以用线速度或角速度来描述。

1.1 线速度和角速度线速度是指物体在圆周上运动的速度，可以表示为物体在圆周上运动的路程除以所花费的时间。

在圆周运动中，线速度的大小与物体沿圆周弧长所运动的距离和所花费的时间成正比。

如果用v表示线速度，l表示弧长，t表示所花费的时间，那么线速度v可以表示为v=l/t。

角速度是指物体在圆周运动中所占据的角度的变化速率。

通常用小写希腊字母ω来表示角速度，单位为弧度/秒。

角速度可以用角度或弧度来表示，其中1弧度=180°/π。

1.2 向心力和向心加速度在圆周运动中，物体受到向心力的作用。

向心力的大小与物体的质量和线速度的平方成正比，与圆周运动的半径成反比。

向心力的方向与物体运动方向垂直，指向圆心。

根据牛顿第二定律，向心力可以表示为F=mv²/r，其中F表示向心力，m表示物体的质量，v表示物体的线速度，r表示圆周运动的半径。

通过对向心力的分析，可以获得物体的向心加速度。

1.3 圆周运动的应用圆周运动在日常生活和工程领域中有广泛的应用。

例如，摩天轮、行星绕太阳的运动、地球的自转等都属于圆周运动。

工程上的一些设备，如离心机、离心泵等也利用了圆周运动的原理。

二、简谐振动简谐振动是指一个物体在受力驱动下沿着固定轨道来回振动的运动。

简谐振动具有周期性和重复性，其运动规律可以用正弦或余弦函数来描述。

简谐振动是一个重要的物理现象，广泛应用于科学领域和工程实践中。

2.1 简谐振动的特性简谐振动具有以下特性：- 振动物体在平衡位置附近往复振动；- 振幅是振动物体距离平衡位置最大偏离的距离；- 周期是振动物体完成一次往复振动所需要的时间；- 频率是振动物体完成一个周期所需要的次数。

机械振动学总结全

机械振动学总结全

机械振动学总结 第一章 机械振动学基础第二节 机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。

在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。

从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。

用函数关系式来描述其运动。

如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数来表示，则这一个运动时周期运动。

其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。

简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。

一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。

如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度ω称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。

因此在物体运动前加速度是最早出现的量。

可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。

这是简谐振动的重要特征。

在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。

图P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有)sin()cos()(ψωψωψω+++==+t jA t A z Ae z t j用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。

因为复指数t j e ω对时间求导一次相当于在其前乘以ωj ，而每乘一次j ，相当于有初相角2π。

二．周期振动满足以下条件：1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。

则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中22n n n b a A += nn n b a =ψt a n 三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1.俩个同频率的简谐振动)sin(222ψω+=t A x ，)sin(2222ψω+=t A x它们的合成运动也是该频率的简谐振动2.俩个不同频率振动的合成若21ωω≤，则合成运动为若21ωω≥ ，对于A A A ==21 ,则有上式可表示为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。

108846-大学物理-普通物理学-Chap 6-4(3-28)

108846-大学物理-普通物理学-Chap 6-4(3-28)

a
d2x dt 2
A 2 cos( t )
am cos( t )
比x超前π/2 比x超前π
m A 速度振幅
am A 2 加速度振幅
x,v,a
x=Acos(ωt+φ)
a
2
υ
ωt
0
5、由初始条件确定振幅A和初相位φ：
x Acos( t ) dx A sin(t )
x Acos( t )
(ω为角频率，rad/s)
弹簧振子的 周期和频率：
T
2
2
m, 1
k
2 2
k m
例：一劲度系数为k的轻弹簧上端固定，下端挂一质量为m的
物体，使物体上下振动。证明该物体作简谐振动。
例6-2
mg
kx'
m
d 2 x' dt 2
即：
d 2 x' dt 2
2
x'
g
0
2 k
因此，简谐振动的运动方程也可写成：
x Acos( 2 t )
或 x Acos( 2 t )
T
另外经过一个周期后：
x Acos( t ) Acos( t 2 )
A cos( t
2
)
4、简谐振动的速度和加速度：
速度
dx dt
A
sin( t
)
m
cos( t
2
)
加速度
dt
设 t =0 时，x = x0、υ = υ0 ，
则： x0 Acos 0 A sin
得：
A
x02
2 o
2
tan 0 x0
6、简谐振动的矢量表示法：
设一质点绕圆心O作半径为A 、角速度为ω的匀速 圆周 运动。 t =0时，位矢 A与x轴夹角为φ 。 t 时刻 A与x轴 夹角（相角）为ωt+ φ则该质点在轴上的投影的坐标：

2024大学物理力学第八章机械振动

2024大学物理力学第八章机械振动

动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。

特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。

动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。

运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。

势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。

能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。

当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。

同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。

同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。

相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。

02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。

振动力学基础

振动力学基础

v0 0
5 或 3
因此，所求振动式为 4
4
x
2l0 cos(
g t 3 )
2l0 4
即新g的/(平2l0衡) 位置在原来木板平衡位置下x方l0处A
x0=－l0
cos(
t


)
[例4-3]如图所示，质量为m的木板水平置于轻弹簧上端，轻
弹簧下端固定于地面。开始时木板静止，弹簧被压缩了l0； 在木板上方高h= l0处自由落下一与木板质量相同的泥块，与 木板作完全非弹性碰撞。求： (1)碰撞后木板的运动方程；
9
2
相位: (t + ) –描述振动状态
初相位 ：
➢ 相位差: =( 2 t + 2 )-(1t + 1)
对两同频率的谐振动 =2 - 1 初相差
➢ 同相和反相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两
振动步调相同,称同相. 当 = (2k+1) , ( k
而应满足
即新的平衡位置在原来木板平衡位置下方l0处
[例4-3]如图所示，质量为m的木板水平置于轻弹簧上端，轻 弹簧下端固定于地面。开始时木板静止，弹簧被压缩了l0； 在木板上方高h= l0处自由落下一与木板质量相同的泥块，与 木板作完全非弹性碰撞。求： (1)碰撞后木板的运动方程； (2)从泥块与木板相碰到它们第一次回到相碰位置所用时间。
由此可知l ，板做d简t 2谐振动dt 2 l
f2
x


m
0
d2x dt 2
f1
周期为
mN1, T
f2
2
mN2 l mg
[例4-3]如图所示，质量为m的木板水平置于轻弹簧上端，轻

机械振动运动学3两自由度系统振动2

机械振动运动学3两自由度系统振动2

图3.7系统的主振型
根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos
k m k m
t 0.8cos1.581
k m k m
t
x 2 0.4cos
3.2.4 振动特性的讨论 （1）运动规律
t 0.4cos1.581
t
两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。机 械系统的自由振动一般是一种非周期的复杂运动。 （2）频率和振型 两自由度系统有两个不同数值被称为主频率的固有频率 。任 何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即具有确定的振动形态 这就是主振型。
为第一主振型，即对应于频率
的振幅比；
为第二主振型，即对应于频率
振幅
的振幅比。
与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。
振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
由振动的四个初始条件来决定。
假设初始条件为：t=0时，
。经过整理，
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：
（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵； （2）求出主坐标下的响应； （3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应； （4）利用初始条件确定常系数。
磨床磨头系统就可以简化为图3.1
（d）所示的支承在进刀拖板上的两 自由度系统。 两自由度系统振动
图3.1 两自由度振动系统及其动力学模型

大学物理111简谐振动课件

大学物理111简谐振动课件

1. 平衡位置 2. 建立坐标 3.受力分析
弹性力 f kx
4.牛顿运动方程
kx
ma
m
d2 dt
x
2
令 k 2 整理得
m
d 2 x 2 x 0 简谐振动动力学方程
dt 2
解微分方程可得
x A cos(t 0 )
简谐振动运动学方程
二、简谐振动的三个特征量
1.振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A， 由初始条件决定，描述振动的空间范围。
2.周期 振动状态重复一次所需要的时间,描述振 动的快慢.
Acos[(t T ) 0] Acos(t 0)
T 2π T 2π
1
T
物体在单位时间内发生完全振动的次
数，称振动的频率.
2π 称圆频率（角频率）.
k T 2 m 1 k
m
k
2 m
反映了系统的固有特性，分别称为谐振子系统 的固有圆频率、固有周期和固有频率.
圆频率 k 由系统决定，与初始条件无关
m
振幅 反映振动的强弱，由初始条件决定.
由
x Acos t 0 v A sin t 0
x0 Acos0
t=0时 v0 A sin0 可得
A
x02
v02
2
初相位 0 已知初始振动状态，用旋转矢量确定
x0<0 v0<0
x0=0 v0<0
x0>0 v0<0
例6 某简谐振动的振动曲线如图，写出振动方程。 x(cm)
O
t(s)
-1
1
-2
解： 设振动方程为 x A cos(t 0 )
则由振动曲线： A=2 cm
xA

西北工业大学振动学

西北工业大学振动学

把An 和 φn与 ω之间的变化关系，用图形表示，这 种图形称为频谱。
(a) 幅频特性
(b) 相频特性
周期运动的谱分析 典型周期函数的时域和频谱（离散的线条：离散谱）
幅值为A，频为ω的三角函数
锯齿波函数
周期运动的谱分析
F
(t)
=
a0 2
+ An
n =1
sin
( n 1 t
+
n
)
一项近似
二项近似
x = A e i(t+) x = i A e i ( t + ) = i x x = − 2 A e i ( t + ) = − 2 x
简谐振动 简谐运动的叠加：同频率运动叠加
X1 = A1eit X 2 = A2ei(t+ ) X = X1 + X 2 = Aei(t+ )
A = A12 + A22 + 2 A1A2 cos
式中
1
=
2 （称为基频）
an
=
2
0 F (t) cos n 1t d t
a
0
=
2
bn
=
2
F (t) d t 均值/直流分量
0
F (t) sin
0
n 1t d t
基波 谐波
或
F
(t)
=
a0 2
+
An
n =1
sin
(
n 1 t
+
n
)
式中
An =
a
2 n
+
b
2 n
n
=
arc
tan

振动理论02-振动的运动学

振动理论02-振动的运动学

水斗
进水方向
法兰西斯水轮机
解决办法 把17只水斗换成16只水斗的工作轮 相邻分流冲击到达AA截面的路程不 变 改变了相邻冲击发生的时间间隔 如果设计使声波经过涡壳圆周的一 半的时间恰好为1/2 × 1/113(半周 期)，1和9产生的2个冲击反相 端面A-A处到达的相邻冲击间隔为 180/9= 20度 18个分流的冲击排列成具有零矢量 的圆
直接利用两个垂直矢量的叠加，其合成振动为
a b cos t b 2 sin 2 t sin 1t
2
a 2 b 2 cos 2 t sin 2 t 2ab cos t sin 1t 振幅以频率 ∆������ 在 (������ + ������) 和 a 2 b 2 2ab cos t sin 1t (������ − ������)之间变化
21
b
2015/9/18
拍的三角函数证明
已知 a sin 1t , b sin 2t , 2 1 0
a sin 1t b sin 2t
2 1
a sin 1t b sin 1t cos t cos 1t sin t a b cos t sin 1t b sin t cos 1t
20 2015/9/18
拍
利用旋转矢量的概念理解拍
不同频率振动的叠加 频率接近于相等时
a sin 1t b sin 2ct , 1 2
1 2
a
a
c
b
•在同一转中，两个矢量明显保持同样的相对 位置，两个矢量可以近似叠加，得到正弦波 •若干转之后，两个矢量的相对位置发生变化， 矢量和也随之改变 •合成的运动可近似描述为正弦波，频率为 1， 振幅在(������ + ������)和(������ − ������)之间变化 •拍的频率：每秒中振幅从最小值经过最大 值到最小值的次数 •拍的周期是两个矢量相对运动一周的时间 •拍的圆频率：������1 − ������2

简谐振动的运动学方程

简谐振动的运动学方程

简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动是物理学中非常重要的一种振动形式，它广泛应用于机械、电子、光学等领域。

简谐振动的运动学方程是描述其运动规律的数学公式，本文将从以下几个方面详细介绍简谐振动及其运动学方程。

一、简谐振动的定义和特点1.1 简谐振动的定义简谐振动是指一个物体在弹性力作用下沿某一轴向做周期性往复运动的现象。

其中，弹性力是指当物体发生形变时所产生的恢复力，该力与形变量成正比例关系。

1.2 简谐振动的特点（1）周期性：简谐振动具有周期性，即一个完整的往复运动所需时间相等。

（2）等加速度：在整个周期内，物体所受加速度大小相等。

（3）最大速度和最大位移：在整个周期内，物体达到最大速度和最大位移时刻相同。

二、简谐振动的数学表达式2.1 位移函数对于一个做简谐运动的物体，在任意时刻t时其位置可以用位移函数x(t)表示。

假设物体在t=0时刻位于平衡位置，则位移函数可以表示为：x(t) = A cos(ωt + φ)其中，A表示振幅，即最大位移；ω表示角频率，即单位时间内振动的圆周角度；φ表示初相位。

2.2 速度函数对于一个做简谐运动的物体，在任意时刻t时其速度可以用速度函数v(t)表示。

速度函数可以通过对位移函数求导得到，即：v(t) = -Aω sin(ωt + φ)其中，负号表示速度方向与位移方向相反。

2.3 加速度函数对于一个做简谐运动的物体，在任意时刻t时其加速度可以用加速度函数a(t)表示。

加速度函数可以通过对速度函数求导得到，即：a(t) = -Aω^2 cos(ωt + φ)三、简谐振动的运动学方程3.1 运动学方程的定义运动学方程是描述物体在某一轴向上做运动规律的数学公式。

对于简谐振动而言，其运动学方程包括了物体的位置、速度和加速度三个方面。

3.2 简谐振动的运动学方程根据以上所述，我们可以得到简谐振动的运动学方程：x(t) = A cos(ωt + φ)v(t) = -Aω sin(ωt + φ)a(t) = -Aω^2 cos(ωt + φ)其中，x(t)表示物体在任意时刻t时的位移；v(t)表示物体在任意时刻t 时的速度；a(t)表示物体在任意时刻t时的加速度。

简谐振动的运动学

简谐振动的运动学
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第九章 振 动
ω v = − A ω sin( ω t + ϕ ) π = Aω cos(ωt + ϕ + ) 2 2 a = − A ω cos( ω t + ϕ )
= Aω cos(ωt + ϕ + π )
2
x = A cos(ωt + ϕ ) 2π T= 取ϕ = 0
A −A
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x = Acos(ω0t + α )
第九章 振 动
讨论
0 = A cos α
已知 t = 0, x = 0, v0 < 0 求
π α =± 2
r v
α
x
Q v0 = − Aω0 sin α < 0
o
x
∴ sin α
π > 0取 α = 2
x −t图
T
T 2
π x = A cos(ω0t + ) 2
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第九章 振 动 [例题 某简谐振动规律为 x = A cos( 10 t + α ) 初始条件 例题3] 例题 求该振动的初相位. 为 t = 0, x0 = 1, v0 x = −10 3 ，求该振动的初相位 [解] 解
x = Acos(ω0t + α )
vx = − Aω0 sin(ω0t + α )
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第九章 振 动
ω
t =t
ωt + ϕ
v A
x
o
x = A cos(ωt + ϕ )
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.

教科版 高中物理选修3-4 机械振动+机械波

教科版 高中物理选修3-4 机械振动+机械波

（1）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振动的振幅。

①振幅是标量。

②振幅是反映振动强弱的物理量。

（2）周期和频率：①振动物体完成一次全振动所用的时间叫做振动的周期。

②单位时间内完成全振动的次数叫做全振动的频率。

它们的关系是T=1/f 。

在一个周期内振动物体通过的路程为振幅的4倍；在半个周期内振动物体通过的路程为振幅2倍；在1/4个周期内物体通过的路程不一定等于振幅 3）简谐运动的表达式：)sin(ϕω+=t A x 4）简谐运动的图像：振动图像表示了振动物体的位移随时间变化的规律。

反映了振动质点在所有时刻的位移。

从图像中可得到的信息： ①某时刻的位置、振幅、周期②速度：方向→顺时而去；大小比较→看位移大小 ③加速度：方向→与位移方向相反；大小→与位移成正比 3、简谐运动的能量转化过程：1）简谐运动的能量：简谐运动的能量就是振动系统的总机械能。

①振动系统的机械能与振幅有关，振幅越大，则系统机械能越大。

②阻尼振动的振幅越来越小。

2）简谐运动过程中能量的转化：系统的动能和势能相互转化，转化过程中机械能的总量保持不变。

在平衡位置处，动能最大势能最小，在最大位移处，势能最大，动能为零。

（二）简谐运动的一个典型例子→单摆： 1、单摆振动的回复力：摆球重力的切向分力。

①简谐振动物体的周期和频率是由振动系统本身的条件决定的。

②单摆周期公式中的L是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，一般也叫等效摆长。

4、利用单摆测重力加速度：（三）受迫振动：1、受迫振动的含义：物体在外界驱动力的作用下的运动叫做受迫振动。

2、受迫振动的规律：物体做受迫振动的频率等于策动力的频率，而跟物体固有频率无关。

1）受迫振动的频率：物体做稳定的受迫振动时振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

2）受迫振动的振幅：与振动物体的固有频率和驱动力频率差有关3、共振：当策动力的频率跟物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。

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振动运动学1. 选择题题号：10111001 分值：3分 难度系数等级：1物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是（A ）在平衡位置加速度最大； （B ）在平衡位置速度最小； （C ）在运动路径两端加速度最大； （D ）在运动路径两端加速度最小。

[ ]答案：（C ）题号：10111002 分值：3分 难度系数等级：1一弹簧振子，当0t =时，物体处在/2x A =（A 为振幅）处且向负方向运动，则它的初相为（A ）π3； （B ）π6； （C ）-π3； （D ）-π6。

[ ]答案：（A ）题号：10111003 分值：3分 难度系数等级：1两个同周期简谐振动曲线如图所示。

x 1的相位比x 2的相位(A) 落后π/2 ； (B) 超前π/2 ； (C) 落后π ； (D) 超前π 。

[ ]答案：（B ）题号：10111004 分值：3分 难度系数等级：1把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。

若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为(A) π ； (B) π/2 ； (C) 0 ； (D) θ 。

[ ]答案：（C ）题号：10111005 分值：3分 难度系数等级：1一弹簧振子，当0t =时，物体处在/2x A =-（A 为振幅）处且向负方向运动，则它的初相为（A ）π3； （B ）-π3 ； （C ）23π- ； （D ）23π 。

[ ]答案：（D ）题号：10112006 分值：3分难度系数等级：2一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为(C)[ ]答案：（B ）题号：10112007 分值：3分难度系数等级：2一质点作简谐振动，周期为T 。

当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为(A) T /12 ； (B) T /8 ； (C) T /6 ； (D) T /4 。

[ ] 答案：（C ）题号：10112008 分值：3分 难度系数等级：2已知一质点沿ｙ轴作简谐振动。

其振动方程为3cos()4y A t ωπ=+。

与之对应的振动曲线是[ ]答案：（B ）题号：10112009 分值：3分 难度系数等级：2一物体作简谐振动，振动方程为)41cos(π+=t A x ω。

在t = T /4（T 为周期）时刻，物体的加速度为 (A)22A ω-； (B)22A ω； (C)22A ω-； (D)22A ω。

[ ]答案：（B ）题号：10112010 分值：3分难度系数等级：2一质点作简谐振动，振动方程为)cos(φω+=t A x ，在t = T /2（T 为周期）时刻，质点的速度为(A) φωsin A -； (B) φωsin A ； (C) φωcos A -； (D) φωcos A 。

[ ]答案：（B ）题号：10112011 分值：3分难度系数等级：2两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。

第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。

当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点恰在最大负位移处。

则第二个质点的振动方程为 (A) )π21cos(2++=αωt A x ； (B) )π21cos(2-+=αωt A x ； (C) )π23cos(2-+=αωt A x ； (D) )c o s (2π++=αωt A x 。

[ ]答案：（A ）题号：10112012 分值：3分难度系数等级：2一质点作简谐振动，周期为T 。

质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为(A) T /4 ； (B) T /6 ； (C) T /8 ； (D) T /12 。

[ ] 答案：（D ）题号：10112013 分值：3分 难度系数等级：2一弹簧振子，当把它水平放置时，它作简谐振动。

若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是（A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。

[ ]答案：（C ）题号：10113014 分值：3分 难度系数等级：3图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x 、速度v 和加速度a 。

下列说法中哪一个是正确的？(A) 曲线3，1，2分别表示x ，v ，a 曲线；(B) 曲线2，1，3分别表示x ，v ，a 曲线； (C) 曲线1，2，3分别表示x ，v ，a 曲线；(D) 曲线2，3，1分别表示x ，v ，a 曲线。

[ ]答案：（C ）题号：10113015 分值：3分 难度系数等级：3一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 10.04cos(2)3x t ππ=+（SI ），从t = 0时刻起，到质点位置在x = -0.02 m 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为(A)s 81； (B) s 61； (C) s 41； (D) s 21。

[ ]答案：（D ）竖直放置放在光滑斜面上x, v , a tO123题号：10113016分值：3分难度系数等级：3一质点在x轴上作简谐振动，振幅A = 4 cm，周期T = 2 s，其平衡位置取作坐标原点。

若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm处的时刻为(A) 1 s ；(B) 23s ；(C) 43s ；(D) 2 s 。

[ ]答案：（B）题号：10113017分值：3分难度系数等级：3一质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系如图所示。

在4t s时，质点的（A）速度为正的最大值，加速度为零；（B）速度为负的最大值，加速度为零；（C）速度为零，加速度为负的最大值；（D）速度为零，加速度为正的最大值。

[ ]答案：（C）题号：10113018分值：3分难度系数等级：3一个弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后开始振动，第二次把弹簧压缩2x后开始振动，则两次振动的最大加速度的大小之比为（A）2:1；（B）1:1；（C）1:2；（D）1:4。

[ ] 答案：（C）题号：10113019分值：3分难度系数等级：3一小球作周期为0.5s、振幅为10cm的简谐运动，则在正方向的最大位移处，小球运动的加速度为（A）0 ；（B）-15.8 m/s2；（C）15.8 m/s2；（D）-1.26 m/s2。

[ ] 答案：（B）题号：10113020分值：3分难度系数等级：3用余弦函数描述一简谐振动。

已知振幅为A ，周期为T ，初相 π-=31φ，则振动曲线为：A21-A21-A21 2121 AA 21-A21-21[ ]答案：（A ）题号：10114021 分值：3分难度系数等级：4用余弦函数描述一简谐振子的振动。

若其速度～时间（v ～t ）关系曲线如图所示，则振动的初相位为21--(A)π6 ； (B) π3 ； (C) π2 ； (D) 2π3。

[ ]答案：(A)题号：10114022 分值：3分 难度系数等级：4一简谐振动曲线如图所示。

则振动周期是(A) 2.62 s ； (B) 2.40 s ； (C) 2.20 s ； (D) 2.00 s 。

[ ]答案：（B ）题号：10114023分值：3分难度系数等级：4如图所示为弹簧振子做简谐运动的位移随时间变化的图象。

从t=0开始计时，在9 s 内振子通过的路程和9 s末振子的位移分别为（A）45 cm、5 cm ；（B）45 cm、－5 cm ；（C）5 cm、－5 cm ；（D）45 cm、0 。

[ ] 答案：（B）题号：10115024分值：3分难度系数等级：5已知某简谐振动的振动曲线如图所示。

则此简谐振动的振动方程为（SI）：（A）220.02cos()33x t=π+π；（B）220.02cos()33x t=π-π；（C）420.02cos()33x t=π+π；（D）420.02cos()33x t=π-π。

[ ]答案：（C）题号：10115025分值：3分难度系数等级：5弹簧振子作简谐振动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1秒，质点通过B点后再经过1秒又第二次通过B点，在这2秒内质点通过的总路程为12cm，则质点的振动周期和振幅分别为（A）3s、12cm ；（B）4s、6cm ；（C）4s、9cm ；（D）2s、8cm 。

[ ] 答案：（B）2. 判断题题号：10121001分值：2分难度系数等级：1质点离开平衡位置的位移随时间按正弦或余弦函数发生变化，则该质点作简谐运动。

答案：对题号：10121002分值：2分难度系数等级：1一个作简谐运动的物体，从负方向的最大位移处运动到正方向的最大位移处所需的时间为一个周期。

答案：错题号：10121003分值：2分难度系数等级：1一个简谐运动的振幅A、角频率ω和初相φ都给定了，则这个简谐运动在任意时刻的运动状态就完全确定了。

答案：对题号：10122004分值：2分难度系数等级：2质点作简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时1/4周期，因此走过该距离的一半需时1/8周期。

答案：错题号：10122005分值：2分难度系数等级：2一个作简谐振动的物体，其位移与加速度的相位始终相差π。

答案：对题号：10122006分值：2分难度系数等级：2两个作同频率简谐振动的质点，质点1的相位比质点2的相位超前π/2。

则当第一个质点在负的最大位移处时，第二个质点恰好在平衡位置处，且向正方向运动。

答案：错题号：10122007分值：2分难度系数等级：2一质点作匀速圆周运动，它在直径上的投影点的运动是简谐振动。

答案：对题号：10122008分值：2分难度系数等级：2一个作简谐振动的物体处于平衡位置处时具有最大的速度和最大的加速度。

答案：错题号：10123009分值：2分难度系数等级：3一弹簧振子做简谐振动，周期为T，若t时刻和t+△t时刻的位移大小相等，运动方向也相同，则△t一定等于T的整数倍。

答案：错题号：10123010分值：2分难度系数等级：3一弹簧振子做简谐振动，周期为T，则在t时刻和t+T/2时刻弹簧的长度一定相等。

答案：错题号：10123011分值：2分难度系数等级：3物体做简谐振动时，其加速度的大小与物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。

答案：对题号：10123012分值：2分难度系数等级：3物体做简谐运动时，其速度的大小和方向、加速度的大小和方向都在随时间变化。

答案：对题号：10123013分值：2分难度系数等级：3两个质点作同频率的简谐振动，当第一个质点自正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点，则第二个质点的相位超前 /2。