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由定义2知
函f数 (x)在 x0处连 . 续h Nhomakorabea5
3.单侧连续
若f(函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续
若f(函 x )在 [x 0 ,b 数 ) 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点右 . 连续
x x0
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x) 在点x0 连续.
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
h
4
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
设 xx0 x,
yf(x )f(x 0),
x 0 就 x 是 x 0 , y 0 就 f ( x ) 是 f ( x 0 ).
h
3
定义 2 设函数 f ( x) 在U ( x0 )内有定义,如果
函数 f ( x) 当x x0 时的极限存在,且等于它在
点
x
0
处的函数值
f
(
x 0
)
,即
lim
二 、 f ( x )在 ( , 1 )与 ( 1 , )内连续 , x 1 为 跳 跃 间
断点.
三、1、 x 1为第 一类间断点；
2、 x k 为可去间断点 , 2
x k(k 0)为第二类间断点.
f1( x )
x tan
x
,
x
k,k
2
1 , x 0
(k 0,1,2, ) ,
h
23
思考题解答 f(x)在 x0连 续 ， x l ix0m f(x)f(x0)
且 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 )
x l ix0m f(x)f(x0) x l x i0fm 2 (x ) x l x i0fm (x ) x l x i0fm (x ) f2(x0) 故 |f ( x ) |、 f 2 ( x ) 在 x 0 都 连 续 .
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要 f ( 0 0 ) 使 f ( 0 0 ) f ( 0 ) ,a1 ,
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
h
20
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如,有理函(数 , 在 ) 内 区 是 间 连 . 续
h
8
例3 证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si nxcoxs(x)
2
2
cosx(x)1, 则y2sinx.
0
0
0
f(x)的跳跃.间断点
例4
讨论f(函 x) 1 数 x x ,,
x0,在 x0处的.连 x0,
解 f(00)0, f(00)1,
y
f( 0 0 ) f( 0 0 ),
x0为函数的跳跃间.断点 o
x
h
11
2.可去间断点如果 f(x)在点 x0处的极限 , 存
但lx ixm 0 f(x)Af(x0),或f(x)在点 x0处无定 义则称 x0为 点函f数 (x)的可去间 . 断点
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续 .
1、
f
(x
)
x
3
1, x x, x
1在 1
x R
上
.
2、 f (x) x ,在 x R 上 . tan x
四 、 讨 论 函 数 f ( x ) lim 1 x 2 n 的 连 续 性 ， 若 有 间 断 n 1 x 2n
例6 讨论函 f(x) 数 1 x, x0,在 x0处的连 . 续
x, x0,
y
解 f(00)0, f(00),
x1为函数的第二类间. 断点 o x 这种情况称为无穷断间点.
h
15
例7 讨论f(函 x)s数 i1 n在 x0处的连 . 续 x
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
h
24
但反之不成立.
例
f(x)1,1,
x0 x0
在 x 0 0 不 连 续
但 |f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x 0 0 连 续
h
25
练习题
一、填空题：
1、指 出 y x 2 1 在 x 1 是 第 _______类 间 x2 3x 2
断点；在 x 2 是第_____类间断点 .
2、指 出 y x 2 x 在 x 0 是 第 ________ 类 间 x ( x 2 1)
断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1
是第_____类间断点 .
x, x 1
二、研究函数 f (x)
的连续性，并画出函数
1, x 1
的图形 .
h
26
三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
h
21
第y
一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
h
y
o
x0
y
o
跳跃型 x
x 振荡型
22
思考题
若 f(x)在 x0连 续 ， 则 |f(x)|、 f2(x)在 x0是 否 连 续 ？ 又 若 |f(x)|、 f2(x)在 x0连 续 ， f(x)在 x0是 否 连 续 ？
例5 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x , x 1,
在 x 1处的连续性 .
y y1x
2 y2 x
1
o1
x
h
12
解 f(1)1,
f(10)2, f(10)2,
lim f(x)2 f(1), x 1
x 0为函数的可去间.断点
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
故y2sin xx, 当 x 0 时 , y 0 . 2
即 函 y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连
h
9
二、函数的间断点
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三
(1)f(x)在x点 0处有;定义
(2)limf(x)存在 ; xx0
点，判断其类型 .
五 、 试 确 定 a,b 的 值 ,使 f (x) e x b ， ( x a )( x 1 )
（ 1 ） 有 无 穷 间 断 点 x 0 ；（ 2 ） 有 可 去 间 断 点 x 1 .
h
27
练习题答案
一 、 1、 一 类,二 类 ； 2、 一 类,一 类 ,二类 .
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函 f(x)在 数x点 0处不 . 连续
h
7
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在(a开 ,b)内 区连 间 , 续 并且在左端 xa处右连 , 在 续右端 x点 b处左连 , 则 续称 函数 f(x)在闭区 [a,b间 ]上连. 续
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
h
16
y sin 1 x
h
17
★ 狄利克雷函数
yD(x)10,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点.
★
f(x)xx,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
h
28
f2( x )
x tan 0,x
,x k,k x k
2
(k
0 , 1, 2 ,
).
2
x, x 1
四、
f
(
x
)
0
,
x
0
x 1 和 x 1 为 第 一 类 间 断 点 .
x, x
1
五 、 (1)a 0,b 1;
(2)a 1,b e .
h
29
h
18
★
f(x)11,,
当x是有理,数时 当x是无理,数时
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
yfx
x1 o
x2
x3
h
x
19
例8 当 a取何,值时
函数 f(x) a cox xs,,
x0, x0,
在 x0处连 . 续
解 f(0)a,
lim f(x)lic m o xs1,
h
2
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x )在U ( x0 ) 内有定义,如
