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第七节单侧置信区间

第七节单侧置信区间


即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)
参数估计第三讲分布参数的区间估计 单侧置信区间

参数估计第三讲分布参数的区间估计 单侧置信区间

第三讲(0-1)分布参数的区间估计 单侧置信区间Ⅰ.授课题目（章节）§7.6 (0-1)分布参数的区间估计§7.7 单侧置信区间Ⅱ.教学目的与要求1. 了解(0-1)分布参数的区间估计；2. 掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅲ.教学重点与难点：重点：单侧置信区间的概念的理解难点：正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅳ.讲授内容：§7.6 (0-1)分布参数的区间估计设有一容量50>n 的大样本，它来自(0-1)分布的总体X ，X 的分布律为x x p p p x f --=1)1();(, 1,0=x ,其中p 为未知参数。

现在来求p 的置信水平为1—α的置信区间.已知(0-1)分布的均值和方差分别为: 2,σμp ==p )1(p -.设1X ,n X X ,,2 是一个样本. 因样本容量n 较大，由中心极限定理，知)1()1(1p np npX n p np np Xn i i --=--∑=近似地服从)1,0(N 分布，于是有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--<-2/2/)1(ααz p np np X n z P α-≈1 而不等式 2/2/)1(ααz p np np X n z <--<- 等价于 0)2()(222/222/<++-+X n p z X n p z n αα.记 )4(2121ac b b a p ---=, )4(2122ac b b ap -+-=. 其中222/22/),2(),(X n c z X n b z n a =+-=+=αα.于是可得p 的一个近似的置信水平为1—α的置信区间为),(21p p .例 设自一大批产品的100个样品中,得到一级品60个,求这批产品的一级品率p 的置信水平为0.95的置信区间.解 一级品率p 是(0-1)分布的的参数,此时100=n ,6.010060==x ,1—α=0.95,025.02/=α,96.12/=αz ,按上面的公式求p 的置信区间,其中36,84.123)2(,84.103)(222/22/==-=+-==+=X n c z X n b z n a αα 于是 50.0)4(2121=---=ac b b a p , 69.0)4(2122=-+-=ac b b ap 故p 的一个近似的置信水平为0.95的置信区间为(0. 50, 0.69).§7.7 单侧置信区间对于给定值α)10(<<α,若由来自X 的样本1X ,n X X ,,2 确定的统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 ),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥>1}{P ,则称随机区间（θ,∞）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信下限.又若统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 )(θθ<),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥<1}{P则称随机区间（∞-,θ）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信上限.例如对于正态总体X ，若均值μ，方差2σ均为未知，设1X 2X ，……,n X 是一个样本,由n S X /μ- ～ t(n-1)有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-)1(/n t n S X p αμα-=1，即 αμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->1)1(n t n S X P . 于是得到μ的一个置信水平为α-1的单侧置信区间(),1(--n t n SX α∞).μ的置信水平为α-1的单侧置信下限为).1(--=n t n SX αμ又由 22)1(σS n -～),1(2-n χ有 ,1)1()1(2122αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->--n S n P 即 αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<-1)1()1(2122n S n P 于是得2σ的一个置信水平为1α-的单侧置信区间 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---)1()1(,0212n S n αχ .2σ的置信水平为1α-的单侧置信上限为 .)1()1(2122--=-n S n αχσ 例 从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050 1100 1120 1250 1280设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解 1,95.0=-α n=5, ,1318.2)4()1(05.0==-t n t α ,1160=x .99502=s 由此可得所求单侧置信下限为1065)1(=--=n t n sx αμⅤ. 小结与提问：小结：首先了解(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法, 其次理解单侧置信区间的概念,且掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.提问：思考题1：(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法是怎样?思考题2：正态总体均值和方差在给定置信水平为α-1条件下的单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求有什么区别? Ⅵ.课外作业：P 22, 23211。

7.7 单侧置信区间

7.7 单侧置信区间

( n 1) S 2 0, 2 ( n 1) , 1
2 ( n 1 ) S 2 2 . 1 ( n 1)
因
令
2
( n 1) S 2

P{
2
~ 2 ( n 1) ，
2 ( n 1)} 1 ，
( n 1) S 2
2
故 的置信水平1 的单侧置信区间
( n 1) S 2 ( 2 , ) ， ( n 1)
( n 1) S 单侧置信下限为 2 。 ( n 1)
2 2
例1 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿 命(以小时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡 寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95 的单侧置信下限.
解
X X ~ t (n 1), 有 P t (n 1) 1 , S/ n S / n
于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间 S t ( n 1), , X n
1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950, t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318, s t ( n 1) 1065. 的置信度为0.95的置信下限 x n
2. 正态总体均值的单侧置信区间
X X1, X 2 ,, X n iid N (, ) ，, 未知 取 ~ t (n 1), S/ n
2 2
X 有 P t ( n 1) 1 , S / n
S 即 P X t ( n 1) 1 , n 于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间
7.4单正态总体下未知参数的置信区间 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)

7.4单正态总体下未知参数的置信区间 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)


2 的无偏估计为 ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
2 ，
取 a b 满足
G ˆ 2, 2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
P
a
1
2
n
(Xi
i1
)2
b
1
二、方差的置信区间
取
a
2 2
n,b
2 12
n
此时，对应的 2 的双侧1 置信区间为：
n
X
i
2
n
X
i
2
i1
, i1
．
第7章 参数估计
1
07
参数估计
目录/Contents
第7章 参数估计
2
7.1 点估计
7.2 点估计的良好性评判标准
7.3 置信区间
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
7.5
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
第7章 参数估计
3
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
一、均值的置信区间 二、方差的置信区间
故 的双侧 0.95 置信区间的观测值为[1485.69,1514.31] ．
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
12
1
期望 已知, 方差 2的双侧置信区间；
2
期望 未知, 方差 2的双侧置信区间.
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
13
(1)期望 已知, 方差 2 的双侧置信区间
当 已知时，
0.95 的双侧置信区间.
解 由题设条件知 n 10, 0.05, x 1500, s 20, 查表得
非参数法,单侧95%置信区间计算例题

非参数法,单侧95%置信区间计算例题

非参数法,单侧95%置信区间计算例题
95%置信区间的计算公式如下图：
95%置信区间的意义：假设上面统计的结果为[ 170-10, 170+10]，怎么说明最低身高为160，最高身高为180。

这个统计结果有95%的可信度。

95%置信区间是用来估计参数的取值范围的方法。

比如：在我们用样本去估计整体均值的实验过程中。

假设我们做了100组统计均值实验后，算出95%的置信区间后，其中有95个置信区间包含整体均值，5个不包含。

置信区间计算公式是什么？
置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。

置信区间是在预先确定好的显著性水平下计算出来的，显著性水平通常称为α，绝大多数情况会将α设为0.05。

置信度为(1-α)，或者100×(1-α)%。

如果α=0.05，那么置信度则是0.95或95%，后一种表示方式更为常用。

置信区间的常用计算方法为Pr(c1<=μ<=c2)=1-α。

第7节 单侧置信区间

第7节 单侧置信区间


解
µ 是 X 的无偏估计且
X S
−
µ
~
t(n
− 1)
n
⎧
⎫
Q
P
⎪ ⎨ ⎪⎩
X S
−
µ
n
<
tα (n − 1)
⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−α
⇒
P⎧⎨µ
⎩
>
X
−
tα
(n−1)
S
n⎫⎬⎭=1−α
⇒µ>X−
S n
tα

(n
−
1)
由题设 x = 41117, s = 1347, 1 − α = 0.95, n = 16
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400
假设这些数据来自正态总体 N (µ,σ 2 ) . 其中µ,σ 2 未知，试求 µ 的置信水平为0.95的置信下限.
2、
σ
2 1
σ
2 2
的单侧置信区间（µ1, µ2 未知）
(n1 − 1)S12
S12
σ
2 1
S22
=
σ
2 1
(n2 − 1)S22
(n1
− 1)
~
F (n1 − 1, n2
− 1)
σ
2 2
σ
2 2
(n2 − 1)
⇒
⎧ ⎪
S12
P
⎪⎨σ
2 1
⎩
S
2 2
σ
2 2
⎫
⎪ ⎬
=
1
−
α
单侧置信区间

单侧置信区间


μ的置信水平为1-α的单侧置信区间
S X t ( n 1 ), n
μ的置信水平为1-α的单侧置信下限为
S X t ( n 1) n
又例如,μ未知,

2
( n 1) S 2

2
~ ( n 1)
2
给定α,找
12 ( n 1)
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ),
由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1 , X 2 ,, X n ) ,
Θ,
使得
P{ } 1 ,
称随机区间( , ) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限. 对于给定值α ( 0 <α <1 ), 如果有统计量 使得
( n 1) S 2 5 0.039 0.41 2 1 ( n 1) 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 ) ，其中 2 已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
思考题答案：

n
X
z
练习题：
1. 为研究某汽车轮胎的磨损特性,随机抽了16只轮胎 使用,记录其使用到磨坏时所行驶的路程(公里),得
X , S 2 分别是样本均值和样本方差.
未知，
2
X ~ t ( n 1), S/ n
给定α,
找 t (n 1), 使
X P t ( n 1) 1 S / n
S P X t ( n 1) 1 n
x 41116, s 6346.
单侧置信区间

单侧置信区间


一个，第三步略改即可．
参数估计
单侧置信区间
例 设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X ~ N( ， 2 ) 的样本，且 2 已知， 未知．求 的置信度为 1 (0 1) 的单侧置信下限．
解 根据统计量的定理知 U X ~ N (0，1) ． / n
于是，对给定置信度1 ，存在 u 使
PLeabharlann X / nu
1
，
即
P
X
n
u
1
．
参数估计
单侧置信区间
所以， 的置信度为1 的单侧置信下限为 X
n
u
．将上例所求得的单侧置信下
限X
n
u
与同一置信度的双侧置信区间的置信下限
X
n
u
/2
比较发现，只是
2
与
的差别．此种规则对前面介绍的各种条件下的正态总体都适用，即只需将双侧置信区间的
置信上（或下）限中的 换成 ，就是相应条件下相应参数的同一置信度的单侧置信区 2
参数估计
单侧置信区间
定义 设总体 X 的分布函数是 F(x； ) ，其中 是未知参数；又设 X1 ，X2 ， ，Xn 是
总体的一个样本．对给定的值 (0 1) ，若统计量ˆ1( X1 ，X 2 ， ，X n ) 满足
P{ ˆ1} 1 ，
（6-25）
则称随机区间 (ˆ1 ， ) 为 的置信度为1 的单侧置信区间，并称ˆ1 为置信度为1 的
概率论与数理统计
参数估计
单侧置信区间
在前面的讨论中，我们所求的未知参数
的置信区间 (ˆ1 ，ˆ2 ) 都是双侧的．然而，在解决 某些问题时，我们可能不是同时关心它们的 “上限”和“下限”，即有时“上限”和“下 限”的重要性是不对称的，我们可能只关心某 一个界限．因此，在某些问题中，只需要讨论 单侧置信上限或下限就可以了．由此实际背景， 我们引进单侧置信区间的概念．
单侧置信区间

单侧置信区间


(n

1)


2 0.95
(5)

1.145,
S 2 0.039
标准差σ的单侧 0.95 的置信上限

(n 1)S 2

2 1
(n

1)

5 0.039 0.41 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 )，其中 2已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
布, N (, 2 ),, 2未知.从某天生产的滚珠中随机地抽
取6个滚珠,测得直径（毫米）为
14.7， 15.1， 14.9， 14.8， 15.2， 15.1
求标准差σ的单侧 0.95 的置信上限.
解： 2的单侧 0.95 的置信上限是

2

(n 1)S 2

2 1
(
n

1)
2
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ), 由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1, X2 ,, Xn ), Θ, 使得
P{ } 1 ,
称随机区间( ,) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限.
2

(n 1)S 2
12 (n 1)

1

2 的置信水平为1-α的单侧置信区间

0,
(n 1)S
12 (n
2
1)

2 的置信水平为1-α的单侧置信上限为

2

(n 1)S 2

2 1
(n
第7.5节 单侧置信区间——概率论与数理统计(李长青版)

第7.5节 单侧置信区间——概率论与数理统计(李长青版)

1
则称 ˆ1 为参数θ的置信度为 1–α的单侧置信下限,
ˆ , ) 为θ的置信度为 1–α的单侧置 并称随机区间 ( 1
信区间.
ˆ2 ( X1 , X 2 , , X n ), Θ 使得 若存在统计量
ˆ } 1 P{ 2
则称 ˆ2 为参数θ的置信度为 1–α的单侧置信上限,
2 即 的置信度为95%的单侧置信上限为5.598.
Байду номын сангаас
例2 已知灯泡寿命 X 服从正态分布, 从中随机抽 取5 只作寿命试验, 测得寿命为 1050 , 1100 , 1120 , 1250 , 1280 (小时) 求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命方差的单侧置 信上限(取 0.05). 解 X ~ N ( , 2 ) , , 2 未知
n 5 , x 1160 ,
5 1 s 2 ( xi2 5 x 2 ) 9950 . 4 i 1
(1) 选取样本函数
X ~ t (4) S n
(1) 选取样本函数
X ~ t (4) S n
t t0.05 2.1318, s 9950 x t0.05 1160 2.1318 1064.9 5 5
即制造单件产品平均工时最少为10.65(小时).
2 2) 此时采用 样本函数, 有
2
(n 1)S 2
2
~ 2 (n 1)
由
(n 1) S 2 2 P (n 1) 1 2
即
2 (n 1) S 2 P 2 1 (n 1)
(2) 选取样本函数
(n 1) S 2 2 ~ ( 4) 2
置信区间详细定义及计算课件39页PPT

置信区间详细定义及计算课件39页PPT


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
置信区间详细定义及计算课件
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比

单侧95%置信限标准偏差

单侧95%置信限标准偏差标准偏差是统计学中常用的一个量度指标，它用于衡量一个样本的离散程度，或者说是数据的波动性。

在许多实际应用中，我们通常需要估计某个总体的标准偏差。

当我们进行一次抽样来估计总体标准偏差时，我们希望能够估计得出的标准偏差具有一定的可靠程度，这就是置信限的概念。

单侧95%置信限是一种统计学方法，它根据给定的样本数据，利用某种统计量的抽样分布以及假设检验的方法，计算出一个区间，该区间代表了对总体标准偏差的区间估计。

95%的置信水平表示，在重复进行抽样和计算的情况下，这个区间将包含总体标准偏差的真实值的概率为95%。

单侧置信限是指该区间估计只有一个边界，而另一个边界不确定。

计算单侧95%置信限的方法有多种，以下是一种常用的方法：1. 确定问题：首先需要明确问题的研究目标，例如估计某个总体的标准偏差。

2. 收集样本：从总体中进行随机抽样，收集一定数量的样本数据。

3. 计算标准差和均值：对样本数据进行统计分析，计算出样本的标准差s和均值x。

4. 计算样本标准误差：样本标准误差是标准差的估计，它是总体标准差的一个无偏估计量。

样本标准误差的计算公式为：SE = s/√n，其中s为样本标准差，n为样本容量。

5. 计算置信限：根据样本标准误差以及置信水平，计算出置信限的边界。

对于单侧95%置信限，通常使用t分布进行计算。

t分布是一个以自由度为参数的概率分布函数，其形状类似于正态分布。

6. 画出样本分布图：可利用统计软件或手动绘制样本分布图，用来更直观地展示置信限的位置和范围。

虽然无法提供链接，但是参考文献可以提供以下一些经典的统计学教材或论文供参考：1. Casella, G., & Berger, R. L. (2001). Statistical inference. Duxbury Press.2. Hogg, R. V., & Tanis, E. A. (2005). Probability and statistical inference. Prentice Hall.3. Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2003). Applied statistics and probability for engineers. John Wiley & Sons.4. Sheskin, D. J. (2004). Handbook of parametric and nonparametric statistical procedures. CRC Press.这些参考文献都是经典的统计学教材，详细介绍了统计学中的基本概念和方法，包括置信限的计算方法。

单侧95%置信限标准偏差

单侧95%置信限标准偏差在统计学中，置信限是一种度量对一个参数的估计的可信程度的方法。

对于标准偏差的置信限，我们希望以一定的置信度估计真实标准偏差的范围。

置信限的计算取决于所采用的统计分布和置信水平。

在正态分布下，当样本量较大时，常常使用95%置信限来估计标准偏差。

以下是一些标准偏差的置信限的参考内容：1. 学术研究文章在学术研究领域，标准偏差的置信限经常被提及。

可以查阅相关的学术期刊，如《Statistics in Medicine》、《Biometrics》和《Statistical Methods in Medical Research》等，这些期刊经常发表与统计推断和置信限相关的研究文章。

2. 统计学教科书统计学教科书通常会涵盖关于置信限的内容，并提供计算标准偏差置信限的方法。

查阅经典的统计学教科书，如《数理统计学》(Introduction to Mathematical Statistics)、《应用回归分析》(Applied Regression Analysis)或者《生物统计学》(Biostatistics)等，可以找到关于标准偏差置信限的详细解释和计算方法。

3. 统计软件文档各种统计软件，如R、SPSS、Stata、SAS等，都提供了计算标准偏差置信限的函数或命令，并给出了详细的使用说明和参考资料。

可以查阅相应软件的官方文档或用户手册，或者搜索相关的在线文档和帮助文件，以获取关于标准偏差置信限的计算方法和相关参考资料。

4. 统计研究报告和白皮书一些统计机构、研究机构或政府部门发布的统计研究报告和白皮书中经常包含有关标准偏差置信限的内容。

查阅这些报告和白皮书，可以了解到在特定领域或特定应用背景下的标准偏差置信限的研究成果和应用实践。

总之，了解标准偏差置信限的相关参考内容有助于我们理解和应用这一统计方法。

需要注意的是，标准偏差置信限的计算依赖于样本数据和所采用的统计分布假设，因此在进行应用时应谨慎选择并参考适用的参考内容。

§7.3参数的区间估计(IV)


四 单侧置信限
定义7.8 设总体X的分布函数F(x;)中含有未知参数，
X1, X2, …, Xn是来自总体X的一个样本。
若存在统计量1=1(X1, X2, …, Xn)，使得 P{>1}=1-，
则称1为参数的置信水平为1-的单侧置信下限。 若存在统计量2=2(X1, X2, …, Xn)，使得
P{<2}=1-， 则称2为参数的置信水平为1-的单侧置信上限。 【注】1-(0<<1)为置信水平。
z，
,
，
X
0
n
z
,
的单侧置信下限和上限分别为
1
X
0
n
z ,
2
X
0
n
z .
【注】只有对比才有区分。
(2)总体方差 2未知，求总体均值的单侧置信限。
已知X是的无偏估计量，故取样本函数为 h(x)
T X.
Sn
依定理6.5，T~t(n-1).
x O t(n-1)
如图所示，依t(n-1)分布的分位点，有
§7.3 参数的区间估计
四 单侧置信限
【引言】在许多实际问题中，常会遇到只需求单侧的置 信上限或下限的情形。比如某品牌的电视，当然是平 均寿命越长越好。于是我们关心的是这个品牌电视的
平均寿命最低可能为多少，即关心的下限。
又如一批产品的次品率p当然是越低越好。于是我们 关心的是这批产品的次品率最高可能为多少，即关心 p的上限。
(x)
x
X
0
n
z
.
-z O
即
P
X
0
n
z
1.
依定义，的置信水平为1-的单侧置信区间为
,

课件

有比(X 2, X 2)精确度更高的置信区间呢？
15
则X ~ N ( ,1).
P(X 2 X 2) P(| X |2)
2(2) 1 0.9544
( X 2, X 2)是的置信水平为0.95
的 置信区间.
6
若 0.5,当x 分别为3, 2,1时，对应区间为
：
(1,5), (0,4), (1,3) 对于一个具体的区间而言，或者包含 真值或者不包含真值，无概率可言。
第49讲 置信区间, 置信限
根据具体样本观测值,点估计提供一个明 确的数值.
但这种判断的把握有多大,点估计本身并 没有告诉人们. 为弥补这种不足,提出区间估 计的概念.
2
设X是总体，X1,, Xn是一样本.区间估计的 目的是找到两个统计量：
ˆ =ˆ ( X ,, X ),
111
n
ˆ =ˆ ( X ,, X ),
2 21
n
使随机区间(ˆ,ˆ )以一定可靠程度盖住. 12
3
定义1：设总体X的分布函数F x; ,未知.对给定 值0 1,有两个统计量 L L X1,, Xn ， U U X1,, Xn ，使得：
P L X1,, Xn UX1,, Xn 1
ˆL,ˆU 称为的置信水平为1 的双侧置信区间；
P ˆL 1, P ˆU 2, P ˆL ˆU 1 P ˆL P Uˆ
11 2.
11
定义3：称置信区间(ˆL,ˆU )的平均长度E(ˆU ˆL)
为区间的精确度,精确度的一半为误差限.
注意：在给定的样本容量下,置信水平和精确度
是相互制约的.
在例1中已得到
置信水平高，精确度低 精确度高，置信水平低
参数的置信水平为1的单侧置信下限

课件

那到底该选哪个a,b呢？
1.根据Neyman原则：求a和b使得区间长度最短；
2.如果最优解不存在或比较复杂,对连续型总体,,, Xn;) a) P(G(X1,, Xn;) b) / 2
3. 从 a G b 解出ˆ ˆ .
L
U
8
那么 L,U 就是的置信度为1 的双侧置信区间
已知)
(12 =22未知)
其中Sw2
n1
1S12
n2
1
S2 2
n1 n2 2
, Sw
S2 w
14
2 1
的枢轴量：
2 2
S2 2
1
S2 2
122~ F (n1 1, n2 1),
(1，2未知)
15
2的枢轴量：(n
1)S
2
2
~
2 (n 1)，(未知)
13
(2)二个正态总体N
(1,
2 1
),
N
(2,
2 2
)情形
1 2的枢轴量：
(X
Y ) (1
12
n1
2 2
n2
2 )
~
N (0,1)，
( X
Y Sw
) (1
1 1 n1 n2
2 )
~
t(n 1
n 2
2),
(12
,
2 2
X1,, Xn的函数.
(3)从a G b解出ˆ ˆ
L
U
(ˆ ,ˆ )就是置信度为1 的双侧置信区间. LU
3
设总体X有概率密度（或分布律）f (x; ) 其中是待估的未知参数.
设X1,,X
是一样本.记:
n
G G( X1,, Xn ; )
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区间 (, ) 为参数 的 单侧置信区间. 为单侧置信上限.
(, ), ( , ) : 随机区间
3、单侧区间估计的主要步骤 (1)根据样本X1, X2 , ..., Xn构造统计量:G G( X1, ..., Xn , ), 要求G中包含待估参数 ,但不能包含其它参数.并且G的
分布已知,且其分布不依赖于其它未知参数.
P( 2
a) 1
因此,
a
2 1
(n
1)
解不等式:
(n 1)S 2
2
2 1
(
n
1)
得 2 的 1 单侧置信区间:
f (t)
(0, (n 1)S 2 )
2 1
(n
1)
单侧置信下限: 2 (n 1)S2 2 (n 1)
O
2 1
t
例3 用某仪器测量温度, 重复 5 次, 得数据1250 oC , 1260 oC , 1265 oC , 1245 oC, 1275 oC . 若测得的数据服从
12.2 11.9 12.4 12.6.设样本来自正态总体N( , 2 ), , 2均 未知,试求的置信水平为0.95的单侧置信上限 .
解:由已知n 10 , 1 0.95, 0.05
查表得 t (n 1) t0.05(10 1) 1.8331
计算可得 x 11.72,
正态分布 , 求总体方差 2 的 0.95 置信区间上限 .
解 : 样本方差观测值
s2
1 51
5 i 1
( xi
1259)2
142.5
=0.05, 查表得
2 1
(n
Байду номын сангаас1)
2 0.95
(4)
0.711
1 单侧置信上限:
2
(n 1)s2
2 1
(n
1)
4 * 142.5 0.711
801.68
重点总结 (参考P166表6.1)
X1,
X2 , ...,
X
能确定统计量
n
(X1, X2,
...,
X n ), 使得
P( ) 1 则称随机区间 ( , ) 为参数 的 置信
水平为1 的单侧置信区间.称为单侧置信区间下限.
根据样本X
1
,
X
2
,
...,
X
构造统计量
n
( X1 , X 2 , ..., X n )
对给定的 0 1 , 使得 P( ) 1 则称随机
/ n
从而 X ~ N (0 , 1) / n
使 P( X b) 1 / n
b z
(t)
O z
x
解不等式 :
X / n z
得:
X z
n
(单侧置信区间下限)
同理
令 P( X / n
z ) 1
解不等式 :
X
/
n
z
得:
X z
=
n
(单侧置信区间上限)
例1 设有一正态总体 , 其标准差 3, 总体均值 未知 ,
单侧置信区间.
备注：b的取值是唯一的.
二、一个正态总体参数的单侧置信区间(重点)
设总体 X ~ N ( , 2 ), X1, X2 , ..., Xn为总体X的样本, X , S2分别为样本均值,样本方差,置信水平为1-
1. 已知方差 2 , 均值 的单侧置信区间
X ~ N( , 2 )
n 令 G X
第6节 单侧置信限 主要内容（1学时）
一、单侧置信区间 二、单个正态总体参数的单侧置信区间（重点）
一、单侧置信限
1、问题的提出
双侧置信区间( , ) : 满足 P( ) 1 .
但在许多实际问题中，更关心未知参数的单侧置信区间：
(1)灯泡寿命X e( ) (2)测量误差 N (0, 2 )
单个正态总体参数的单侧置信区间.
本章重点总结
一、矩估计、最大似然估计。 二、估计量的评选标准。 三、单个正态总体均值、方差的双侧区间估计。 四、一个正态总体参数的单侧置信区间.
s2
1 10 1
10 i 1
( xi
11.72)2
0.692
置信水平0.95的单侧置信上限 :
X t (n 1)
S n
11.72 0.69 *1.8331 12.12 10
3.方差 2 的单侧置信区间
由于
(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
令
G
(n 1)S2
2
由
(n 1)S 2
更关心寿命的"下限".
更关心误差的"上限".
(3)投资组合收益率R N (, 2 )
更关心收益率的"下限"或风险的"上限".
(4)石油,黄金矿产的开采 更关心矿物含量的"下限".
2、单侧置信区间的概念
设总体X的分布 F ( x; )中含有一未知参数 . X1, X 2 , ..., Xn 是总体X的一个 样本. 对于给定的 0 1 , 若由样本
(2)对于给定的置信水平1 ,根据G的分布定出常数a, b, 使得 P(G( ) a) 1 或 P(G( ) b) 1
取a G1 , b G .
(3)若能从G( ) b 或 G( ) a得出等价的不等式 , (或 ),则( , )或(-, )即为的置信水平为1 的
0.75 n
单侧置信上限 :
x z0.01
2.7 2.33*1.5 6.195
n
2. 方差 2未知, 均值 的单侧置信区间
X ~ t(n 1)
S/ n
令 G X
S/ n
令 P( X b) 1
S/ n
b t (n 1)
解不等式 :
X S/
n
t
(n 1)
置信水平1-的单侧置信区间 :
现抽得容量为 4 的一组样本值 : 1.2 , 3.4 , 0.6 , 5.6 , 试求
的 0.99 的单侧置信区间限 .
解: 样本均值 x 1 (1.2 3.4 0.6 5.6) 2.7 4
3, n4,
0.01, z0.01 2.33
置信水平0.99的单侧置信下限 :
x z0.01
X t (n 1)
S
n
由
P( X
S/ n
t (n 1)) 1
置信水平1-的单侧置信区间 :
X t (n 1)
S
n
例2(P165 例1) 下面列出了自密歇根湖中捕获的10条鱼 的聚氯联苯的含量(有毒物) : 11.5 12.0 11.6 11.8 10.4 10.8