《数理统计》第7章§7单侧置信区间

格式：ppt
大小：437.50 KB
文档页数：4

下载文档原格式

《数理统计》第7章§7单侧置信区间

§7
单侧置信区间
1/4
对这类“ 对这类“好”指对这类“坏 < 指对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标满足 ∀ θ ∈Θ 有关心下限关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n

概率论与数理统计第7章.ppt

即 S 2是 2 的无偏估计,故通常取S 2作 2的估计量.
例3 设总体 X 服从参数为的指数分布, 概率密度
x 1 e , f ( x; ) 0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本, 试证 X 和 nZ n[min( X 1 , X 2 ,, X n )] 都是的无偏估计.
行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155,
158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
试求电池的平均寿命的最大似然估计值 .
解
n 50, m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量, 进而若待估参数 g( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续 ˆ g( 函数, 则的矩估计量 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆ n ) g( A1 , A2 ,
, An ) 是的相合估计量.
第三节
估计量的评选标准
一、问题的提出
二、无偏性三、有效性四、相合性五、小结
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准.
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
3. 两种常见的截尾寿命试验

概率论与数理统计第7章

x 0 , x 0 ,x 1 ,x 2 ,
,x n 为总体 X
的一个样本 ,则未知参数的矩估计 ˆ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f (x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L() f (x1, x2 ,…, xn; )
得
pˆ1Βιβλιοθήκη nn i 1xix
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
p ˆ(X1,
1n ,Xn)ni1Xi X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联合密度);
(2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变
量看成已知常数,而把参数看作自变量,得到似然函数L();
要求：领会
2.2 估计量的有效性、相合性，要求：领会
3.区间估计
3.1 置信区间的概念，
要求：领会
3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
1 p
n
pxi (1p)1xi
i1
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1
n
n
xi
n xi
L(p)pi1 (1p) i1

第七节单侧置信区间

即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入现要根据所抽取的的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义定义: 定义给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法思路: 思路同双侧量区间的求法不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)

参数估计第三讲分布参数的区间估计单侧置信区间

第三讲(0-1)分布参数的区间估计单侧置信区间Ⅰ.授课题目（章节）§7.6 (0-1)分布参数的区间估计§7.7 单侧置信区间Ⅱ.教学目的与要求1. 了解(0-1)分布参数的区间估计；2. 掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅲ.教学重点与难点：重点：单侧置信区间的概念的理解难点：正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅳ.讲授内容：§7.6 (0-1)分布参数的区间估计设有一容量50>n 的大样本，它来自(0-1)分布的总体X ，X 的分布律为x x p p p x f --=1)1();(, 1,0=x ,其中p 为未知参数。

现在来求p 的置信水平为1—α的置信区间.已知(0-1)分布的均值和方差分别为: 2,σμp ==p )1(p -.设1X ,n X X ,,2 是一个样本. 因样本容量n 较大，由中心极限定理，知)1()1(1p np npX n p np np Xn i i --=--∑=近似地服从)1,0(N 分布，于是有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--<-2/2/)1(ααz p np np X n z P α-≈1 而不等式 2/2/)1(ααz p np np X n z <--<- 等价于 0)2()(222/222/<++-+X n p z X n p z n αα.记 )4(2121ac b b a p ---=, )4(2122ac b b ap -+-=. 其中222/22/),2(),(X n c z X n b z n a =+-=+=αα.于是可得p 的一个近似的置信水平为1—α的置信区间为),(21p p .例设自一大批产品的100个样品中,得到一级品60个,求这批产品的一级品率p 的置信水平为0.95的置信区间.解一级品率p 是(0-1)分布的的参数,此时100=n ,6.010060==x ,1—α=0.95,025.02/=α,96.12/=αz ,按上面的公式求p 的置信区间,其中36,84.123)2(,84.103)(222/22/==-=+-==+=X n c z X n b z n a αα 于是 50.0)4(2121=---=ac b b a p , 69.0)4(2122=-+-=ac b b ap 故p 的一个近似的置信水平为0.95的置信区间为(0. 50, 0.69).§7.7 单侧置信区间对于给定值α)10(<<α,若由来自X 的样本1X ,n X X ,,2 确定的统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 ),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥>1}{P ,则称随机区间（θ,∞）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信下限.又若统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 )(θθ<),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥<1}{P则称随机区间（∞-,θ）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信上限.例如对于正态总体X ，若均值μ，方差2σ均为未知，设1X 2X ，……,n X 是一个样本,由n S X /μ- ～ t(n-1)有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-)1(/n t n S X p αμα-=1，即 αμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->1)1(n t n S X P . 于是得到μ的一个置信水平为α-1的单侧置信区间(),1(--n t n SX α∞).μ的置信水平为α-1的单侧置信下限为).1(--=n t n SX αμ又由 22)1(σS n -～),1(2-n χ有 ,1)1()1(2122αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->--n S n P 即 αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<-1)1()1(2122n S n P 于是得2σ的一个置信水平为1α-的单侧置信区间 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---)1()1(,0212n S n αχ .2σ的置信水平为1α-的单侧置信上限为 .)1()1(2122--=-n S n αχσ 例从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050 1100 1120 1250 1280设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解 1,95.0=-α n=5, ,1318.2)4()1(05.0==-t n t α ,1160=x .99502=s 由此可得所求单侧置信下限为1065)1(=--=n t n sx αμⅤ. 小结与提问：小结：首先了解(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法, 其次理解单侧置信区间的概念,且掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.提问：思考题1：(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法是怎样?思考题2：正态总体均值和方差在给定置信水平为α-1条件下的单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求有什么区别? Ⅵ.课外作业：P 22, 23211。

数理统计7

S/ n
则对给定的α，令
P{ X
S/ n
t (n 1)} 1
2
查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。
P{X
S n
t
2 (n
2
1)
X
S n
t
2
(n
1)}
1
则μ的置信度为1－α的置信区间为
S [ X n t 2 (n 1)]
由中心极限定理知，当 n 充分大时，无论X服从什么
分布，都近似有 Z X ~ N (0,1) / n
12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16,
12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11,
12.08, 12.01, 12.03, 12.06,
在置信度为95%时,试求总体方差的置信区间。
解已知
查
得
查
得
由此得置信区间:
所求标准差σ的置信度为0.95的置信区间由得
大的样本,才能使的置信水平为0.95 的置信区间
的长度不大于 0.49 ?
解设需要抽取容量为的样本, 其样本均值为
查表得
于是
的置信水平为0.95的置信区间为
该区间长度
要使
只要
即
取
2) 未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差 S 2 代替σ2
已知 T X ~ t(n 1)
设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量
满足
则称区间
是的置信水平为的
单侧置信区间. 称为单侧置信下限.
又若统计量
满足

概率论与数理统计浙大四版第七章第七章3讲

一个待估参数和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.
第四节
区间估计
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
内. 这里有两个要求:
1. 要求以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2]
内，就是说，概率P{ˆ1ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为的置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根
据置信水平1 ，可以找到一个正数，
使得 P{ˆ||}1
称为ˆ 与之间的误差限 .
只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出：
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.

概率论课件单侧置信区间

由右图
za
P
X
/

n

z

1
即
P

X

n
z

1

于是得到μ的一个置信水平为1-α的单侧置信区间为

( X n z , )
μ的一个置信水平为1-α的单侧置信下限为：

X

n
z .
注意：在置信区间中的α /2都被α取代，这是由于区间估计为双侧时，共为α的概率由两边均分，各占α /2.而置信上、下限则是单侧的.
6.5 单侧置信区间
定义6.7 对于给定值α(0<α<1)，由样本X1, X2
,…,Xn确定的统计量与，若对θ的一切可取的值有
P{ } 1 则称随机区间( , )是θ 的置信水平为1- α的单侧
置信区间，称为θ 的置信水平为1- α的单侧置信下
限. 若对θ的一切可取的值有
由书上的第149页表6-1，我们可以得到参数置信上、下限的结果.
P{ } 1 则称随机区间(, )是θ 的置信水平为1- α的单侧置
信区间，称为θ 的置信水平为1- α的单侧置知 2，求的单侧置信区间.
若X1, X 2, , X n是来自总体X的一个样本，由
X N (0,1) / n

概率论与数理统计(7.6 单侧置信区间)

即
S P X t (n 1) 1 n
2013年5月10日星期五
4
目录
上页
下页
返回
于是的置信度为 1 的单侧置信下限为 S X t (n 1) ． n
将 x 1160 ， s 99.75 ， t0.05 (4) 2.1319 ， n 5 代入上式得 1065 ．由此可知的置信度为 0．95 的单侧置信下限为 1065．
【例 20】从一批电子元件中随机地取出 5 只做寿命试验，测得寿命数据(单位：小时)如下： 1050，1100，1120，1250，1280 若寿命服从正态分布，试求寿命均值的置信度为 0．95 的置信下限．解由题意知，总体方差未知，选取统计量 T ，得
X P X1, X 2 ,, X n ) ，对于任意满足
P 1
称随机区间 (, ) 是的置信度为 1 的单侧置信区间，称为的置信度为 1 单侧置信上限．
2013年5月10日星期五 3
目录上页下页返回
2013年5月10日星期五
5
目录
上页
下页
返回
内容小结
2013年5月10日星期五
6
目录
上页
下页
返回
习题A
2013年5月10日星期五
7
目录
上页
下页
返回
《概率论与数理统计》
*****大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli）柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
2013年5月10日星期五 1
目录上页下页返回
7.6 单侧置信区间
2013年5月10日星期五

置信区间(详细定义及计算)

P{
2
z } 1
2

n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{

n
z
2

X

n
z
2}
1
P{X

n
z 2

X

n
z 2} 1
这就是说随机区间

[ X n z 2 , X n z 2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
数学期望和方差 2的区间估计。 5
设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X ~ N (, 2 ) 的样本，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 1 ，这里是一个很小
的正数，称为显著水平。
2
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的两个统计量
1 1( X1, X 2 ,, X n ),
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96) 即 (x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

α
第七章参数估计
§7
单侧置信区间
3/4
设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , σ 2 ) 的样本, 为来自总体的样本, , σ 2均未知. 试求σ 2的置信水平为 1 α 的单侧置信上限. 均未知. 的单侧置信上限. , σ 2 的无偏估计分别为 X , S 2,且 (n 1) S 2 χ 2 形式运算 ~ (n 1) 2 σ (n 1) S 2 2 σ ~ 2 2 的置信度为 χ (n 1) 故σ 1 α 的单侧置信上限为 (n 1) S 2 σ2 = 2 χ 1α (n 1) α, 1α ?
§7
单侧置信区间
1/4
对这类" 对这类"好"指对这类"坏 < 指对这类"< α"1, 若存在统计量 θ = θ ( X , X ,, X ) 0 1 n 标2 标满足 θ ∈ Θ 有关心下限关心上限 P{ θ < θ } = 1 α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1 α 的单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X 1 , X 2 , , X n ) 满足 θ ∈ Θ 有
α α
(注意 α 较小) 较小)
2 χα ( n 1)
χ12α (n 1)
第七章参数估计
§7
单侧置信区间4/4Fra bibliotek15,16,19,20, 15,16,19,20,22
ΕΝ
第七章参数估计
�
P{ θ < θ } = 1 α 则称 (∞, θ ) 为 θ 的置信水平为 1 α 的单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , σ 2 ) 的样本, , σ 2 均未知.试求的置信水平为 1 α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. , σ 2 的无偏估计分别是 X , S 2 且 , X ~ t (n 1) S/ n 对于给定的置信水平 1 α ,可查表求得 t α (n 1) 使得怎样直接写出置信下限 ~ X S t (n 1) ~ t X XS (n 1) P n < t α (n 1) = 1 α n α S / n 故的单侧置信下限为等价地有 t (n 1) = X S t α (n 1) n P{ X S t α (n 1) < } = 1 α n 的置信上限是什么故的单侧置信下限为 = X SS tt α((n 1) = + 1) X n α n n

《数理统计》第7章§7单侧置信区间

合集下载