概率论课件单侧置信区间

§7
单侧置信区间
1/4
对这类“ 对这类“好”指 对这类“坏 < 指 对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标 满足 ∀ θ ∈Θ 有 关心下限 关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为 单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章 参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体 设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得 怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为 等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么 故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n

即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)

由右图
za
P
X
/

n

z

1
即
P


X


n
z


1



于是得到μ的一个置信水平为1-α的单侧置信区间为

( X n z , )
μ的一个置信水平为1-α的单侧置信下限为：


X


n
z .
注意：在置信区间中的α /2都被α取代，这是由于 区间估计为双侧时，共为α的概率由两边均分，各占α /2.而置信上、下限则是单侧的.
6.5 单侧置信区间
定义6.7 对于给定值α(0<α<1)，由样本X1, X2
,…,Xn确定的统计量 与 ，若对θ的一切可取的值有
P{ } 1 则称随机区间( , )是θ 的置信水平为1- α的单侧
置信区间， 称为θ 的置信水平为1- α的单侧置信下
限. 若对θ的一切可取的值有
由书上的第149页表6-1，我们可以得到参数置信 上、下限的结果.
P{ } 1 则称随机区间(, )是θ 的置信水平为1- α的单侧置
信区间， 称为θ 的置信水平为1- α的单侧置知 2，求的单侧置信区间.
若X1, X 2, , X n是来自总体X的一个样本，由
X N (0,1) / n

从中解得
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的

区间 (, ) 为参数 的 单侧置信区间. 为单侧置信上限.
(, ), ( , ) : 随机区间
3、单侧区间估计的主要步骤 (1)根据样本X1, X2 , ..., Xn构造统计量:G G( X1, ..., Xn , ), 要求G中包含待估参数 ,但不能包含其它参数.并且G的
分布已知,且其分布不依赖于其它未知参数.
P( 2
a) 1
因此,
a
2 1
(n
1)
解不等式:
(n 1)S 2
2
2 1
(
n
1)
得 2 的 1 单侧置信区间:
f (t)
(0, (n 1)S 2 )
2 1
(n
1)
单侧置信下限: 2 (n 1)S2 2 (n 1)
O
2 1
t
例3 用某仪器测量温度, 重复 5 次, 得数据1250 oC , 1260 oC , 1265 oC , 1245 oC, 1275 oC . 若测得的数据服从
12.2 11.9 12.4 12.6.设样本来自正态总体N( , 2 ), , 2均 未知,试求的置信水平为0.95的单侧置信上限 .
解:由已知n 10 , 1 0.95, 0.05
查表得 t (n 1) t0.05(10 1) 1.8331
计算可得 x 11.72,
正态分布 , 求总体方差 2 的 0.95 置信区间上限 .
解 : 样本方差观测值
s2
1 51
5 i 1
( xi
1259)2
142.5
=0.05, 查表得
2 1
(n
Байду номын сангаас1)
2 0.95
(4)

解
µ 是 X 的无偏估计且
X S
−
µ
~
t(n
− 1)
n
⎧
⎫
Q
P
⎪ ⎨ ⎪⎩
X S
−
µ
n
<
tα (n − 1)
⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−α
⇒
P⎧⎨µ
⎩
>
X
−
tα
(n−1)
S
n⎫⎬⎭=1−α
⇒µ>X−
S n
tα

(n
−
1)
由题设 x = 41117, s = 1347, 1 − α = 0.95, n = 16
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400
假设这些数据来自正态总体 N (µ,σ 2 ) . 其中µ,σ 2 未知，试求 µ 的置信水平为0.95的置信下限.
2、
σ
2 1
σ
2 2
的单侧置信区间（µ1, µ2 未知）
(n1 − 1)S12
S12
σ
2 1
S22
=
σ
2 1
(n2 − 1)S22
(n1
− 1)
~
F (n1 − 1, n2
− 1)
σ
2 2
σ
2 2
(n2 − 1)
⇒
⎧ ⎪
S12
P
⎪⎨σ
2 1
⎩
S
2 2
σ
2 2
⎫
⎪ ⎬
=
1
−
α

侧置信下限 .
又如果统计量 ( X1 , X 2 ,, X n ), 对于任 意 满足
P{ } 1 ,
则称随机区间 ( , ) 是 的置信水平为 1 的 单侧置信区间 , 称为 的置信水平为1 的单侧
置信上限 .
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间
例如对于正态总体X，若均值, 方差 2 均为
的置信水平为 0.95 的置信下限
x
s n
t
(n
1)
1065.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
未知 , 设 X1, X2 ,, Xn 是一个样本 , 由
X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(n
1)
1
,
即
P X
Байду номын сангаас
S n
t
(n
1)
1
,
于是得 的一个置信水平为 1 的单侧置信区间
X
S n
t
(n
1),
,
的置信水平为 1 的置信下限
X
S n
t
(n
1).
又由
第七节 单侧置信区间
一、问题的引入 二、基本概念 三、小结
一、问题的引入
上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实 际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限。
例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了。

n
L(t,m,t0)
n
tm0
n i1
tim
i1
tim1e t0
n
n
tim
ln L(m ,t0)nln m l n t0 (m 1)i 1ln ti i 1 t0
ln
L(m,t0 m
)
n m
n i1
ln ti
n
tim ln ti
i1
t0
0
ln
L(m, t0
t0
)
n
t0
n
tim
n
n
XXi /n,YYi /n
i1
i1
n
n
Q (Y iY ˆi)2 (Y imi X B )2
i 1
i 1
Q Q 0 m B
n
n
Y i mˆ X i
Bˆ i 1
i1
N
mˆ
n i1
X iYi
1 N
n
n
X i Yi
i1
i1
n i1
X
2 i
1 N
n i1
X i 2
rrr
))
22 ))
CC CC
UU
UU
22 2 2
22
122 11
( 22 r ((22rr
) )
2) 2)
22
单侧
定数截尾
CL
2
2
(2
r
)
2
CU
2
2 1
(2 r )
2
C L
2
2
(
2
r
)
C U
2
2 1
(2

μ的置信水平为1-α的单侧置信区间
S X t ( n 1 ), n
μ的置信水平为1-α的单侧置信下限为
S X t ( n 1) n
又例如,μ未知,

2
( n 1) S 2

2
~ ( n 1)
2
给定α,找
12 ( n 1)
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ),
由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1 , X 2 ,, X n ) ,
Θ,
使得
P{ } 1 ,
称随机区间( , ) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限. 对于给定值α ( 0 <α <1 ), 如果有统计量 使得
( n 1) S 2 5 0.039 0.41 2 1 ( n 1) 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 ) ，其中 2 已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
思考题答案：

n
X
z
练习题：
1. 为研究某汽车轮胎的磨损特性,随机抽了16只轮胎 使用,记录其使用到磨坏时所行驶的路程(公里),得
X , S 2 分别是样本均值和样本方差.
未知，
2
X ~ t ( n 1), S/ n
给定α,
找 t (n 1), 使
X P t ( n 1) 1 S / n
S P X t ( n 1) 1 n
x 41116, s 6346.

X t(n1)
S n
将样本值代入得
的置信水平为0.95的单侧置信下限是
1065小时
三、小结
数理统计
这一讲，我们介绍了区间估计. 同学们可通过练习，掌握各种求未知参数的 置信区间的具体方法.
数理统计
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
x 1 1 4 5 5 1 5 0 2 1 3 7 0 1 6 1 0 1 4 3 0 1 4 7 3 .4
5
可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右。
但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？ 因此我们自然希望能确定一个区间，使我们能 以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
——区间估计
一、 置信区间定义
数理统计
设 是 一个待估参数，给定 0, 若由样本
X1,X2,…Xn确定的两个统计量
: 5. 对“a<U(T, )<b”作等价变形,得到如下形式
θθθ
即
P {θθθ}1α
于是 ( θ , θ ) 就是的100(1)％的置信区间.
数理统计
例1 设X1,…Xn是取自 N(,2) 的样本， 2已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
解 选 的点估计为 X , 取 U X ~ N(0, 1)
n
明确问题,是求什么 参数的置信区间? 置信水平是多少？
寻找一个待估参数和 统计量的函数 ，要求 其分布为已知.
寻找未知参 数的一个良 好估计.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
数理统计