【金版学案】2022-2021学年高一数学人教A版必修4练习：1.1.2 弧 度 制

第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四A 级 基础巩固 一、选择题1．sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：sin 7π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.答案：A2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：由于sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B3．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β )＝－cos(α－β )C ．sin(－α－360°)＝－sin αD ．cos(－α－β )＝cos(α＋β )解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 答案：B4．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ， 故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2，tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：由于tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝ tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A 二、填空题6．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π－α)＝________．解析：由于tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35，所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－757．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________． 解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝ sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案：2三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos3π5＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12＝1. 10．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：由于sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又由于sin αcos α<0， 所以cos α>0，cos α＝ 1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.B 级 力量提升1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z.其中与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π＝⎩⎨⎧sin π3（n 为奇数），－sin π3（n 为偶数）；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin π3.答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案：－23．已知α是其次象限角，且tan α＝－2. (1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标． 解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝ cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－35. (2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，由于α是其次象限，所以cos α<0，所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255.当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－55，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－55，255. 当k 为奇数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝55，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－255， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255. 综上，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－55，255或⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.。

章末过关检测卷(二)其次章 平 面 向 量(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是(B ) A ．e 1＝()0，0，e 2＝()1，－2 B ．e 1＝()－1，2，e 2＝()5，7 C ．e 1＝()3，5，e 2＝()6，10D ．e 1＝()2，－3，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－342．向量a ＝()－2，5的起点坐标为()2，1，则它的终点坐标为(A ) A.()0，6 B.()6，4 C.()7，1 D.()1，73．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)若()m ＋n ⊥()m －n ，则λ＝(B ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1解析：利用坐标运算得出m ＋n 与m －n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ.由于m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.故选B.4．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b 等于(B ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，即m ＝－4.∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝(－4，－8)．故选B.5．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为20 N ，合力与F 1的夹角为π3，那么F 2的大小为 (C ) A ．10 N B ．10 2 N C ．10 3 N D ．20 N6．若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为(D )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析： ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－72，|a |＝（2e 1＋e 2）2＝4＋4e 1·e 2＋1＝7，|b |＝（－3e 1＋2e 2）2＝9－12e 1·e 2＋4＝7，∴a ，b 的夹角的余弦值为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°，故选D.7．设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，当c ＝λa ＋μb ()λ，μ∈R ，且λ＋μ＝1时，点C (B )A ．在线段AB 上 B ．在直线AB 上C ．在直线AB 上，除去点AD ．在直线AB 上，除去点B解析：令t ＝μ，则c ＝(1－t )a ＋tb ，即：OC →＝(1－t )OA →＋tOB →⇒AC →＝tAB →.故选B.8．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与b －a 的夹角为(B )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由|a ＋b |＝|a －b |得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0.由|a ＋b |＝2|a |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4a 2，即b 2＝3a 2，∴|b |＝3|a |，∴(a ＋b )·(b －a )＝b 2－a 2＝3a 2－a 2＝2a 2，∴a ＋b 与b －a 的夹角的余弦值为cos θ＝（a ＋b ）·（b －a ）|a ＋b |·|a －b |＝2a 22|a |·2|a |＝12，∴θ＝π3，故选B.9．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC→＝(A ) A ．2OA→－OB → B ．－OA →＋2OB → C .23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB→－AC →|，则|AM →|＝(C ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1解析：由|BC→|2＝16，得|BC →|＝4.|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|＝|BC →|＝4，而|AB →＋AC →|＝2|AM→|，故|AM →|＝2.故选C . 11．已知向量a ＝(3，4)，若|λa |＝5，则实数λ的值为(D ) A.15 B ．1 C ． ±15D ．±1 12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝(B )A ．5B ．4C ．3D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________．解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，故O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而∠BAD ＝90°，因此AB→与AC →的夹角为90°. 答案：90°14．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，0)，则|2a ＋b |等于________．解析：∵a ＝(1，1)，b ＝(2，0)，∴2a ＋b ＝2(1，1)＋(2，0)＝(4，2)，∴|2a ＋b |＝42＋22＝20＝2 5. 答案：2 515．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________．解析：建立平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算求解．以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6－2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.答案：416．已知O ()0，0和A ()6，3，若点P 在线段OA 上，OP →＝12PA →，又点P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是____________．答案：()4，2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知a ＝()1，2，b ＝()－3，2，若ka ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．解析：∵ka ＋2b ＝k ⎝⎛⎭⎫1，2＋2⎝⎛⎭⎫－3，2＝⎝⎛⎭⎫k －6，2k ＋4，2a －4b ＝2⎝⎛⎭⎫1，2－4⎝⎛⎭⎫－3，2＝⎝⎛⎭⎫14，－4，又ka ＋2b 与2a －4b 平行，∴⎝⎛⎭⎫k －6⎝⎛⎭⎫－4－⎝⎛⎭⎫2k ＋4×14＝0，解得k ＝－1.18．(本小题共12分)(1)若a ＝(1，0)，b ＝(－1，1)，c ＝a ＋(a ·b )b . (1)求|c |；(2)已知|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝1，求a 与b 夹角θ的值．解析：(1)∵a ＝(1，0)，b ＝(－1，1)，∴a ·b ＝－1，则c ＝a ＋(a ·b )b ＝a －b ＝(2，－1)，|c |＝22＋（－1）2＝5，(2)∵|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |cos θ，又|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝1，∴1＋3＋23cos θ＝1⇒cos θ＝－32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.19．(本小题满分12分)求与向量a ＝()2，－3和b ＝()－2，3夹角相等，且模为2的向量c 的坐标．解析：设c ＝⎝⎛⎭⎫x ，y ，则依题意有⎩⎨⎧2x －3y ＝－2x ＋3y ，x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝2217y ＝477，或⎩⎨⎧x ＝－2217，y ＝－477.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2217，477或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2217，－477. 20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)、B (2，3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数解t 满足(AB →－tOC →)·OC→＝0，求t 的值． 解析：(1)方法一 由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB→－AC →＝(4，4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.方法二 设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则E 为B 、C 的中点，E (0，1)．又E (0，1)为A 、D 的中点，所以D (1，4)．故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42、AD ＝210.(2)由题设知：OC→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.21．(本小题满分12分)已知点P (－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA→·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解析：设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a ，0)(a ＞0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ→＝(a －x ，－y )． ∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，∴a ＝13x ，b ＝－y 2，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，Q (x3，0)． PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y .∴PA →·AM →＝0，∴3x －34y 2＝0，即所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．22．(本小题满分10分)已知：a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的表达式；(2)求函数f (x )的周期、值域、单调区间．解析：(1)f (x )＝a ·b ＝(3，－1)·(sin x ，cos x )＝3sin x －cos x (x ∈R)．(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6. ∴T min ＝2π1＝2π，值域为[－2，2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π得单调递增区间：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤x －π6≤32π＋2k π得单调递减区间：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z.。

其次章平面对量2．1 平面对量的实际背景及基本概念1．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立同学学习向量的认知基础．2．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．基础梳理一、向量的概念1．向量的实际背景．有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．2．平面对量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？答案：位移、力思考应用1．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区分吗？解析：x轴，y轴只有方向，没有大小，因而不是向量．数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，由于力这个向量还和作用点(即起点)有关．二、向量的几何表示1．有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作AB→．起点要写在终点的前面．有向线段包含三个要素起点、方向、长度．2．向量的有向线段表示方法．向量常用带箭头的线段表示，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．3．向量也可以用黑体的字母表示，如a，b，c.强调：箭头不能不写，否则表示数量．4．向量的模．|AB→|(或|a|)表示向量AB→(或a)的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作0，长度等于1个单位的向量称为单位向量．思考应用2．(1)单位向量是否唯一？有多少个单位向量？(2)若将全部单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是________．解析：(1)单位向量不唯一，由于方向可以不同．有很多个单位向量．(2)圆三、共线向量与相等向量1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．2．相等向量是长度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作a＝b．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．3．共线向量：任一组平行向量都可以移动到同始终线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a与b共线，即a与b 平行，记作a∥b.思考应用3．共线向量有几种状况？方向为西南方向的向量与东北方向的向量是共线向量吗？解析：共线向量有四种状况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．方向为西南方向的向量与东北方向的向量方向相反，它们是共线向量．自测自评1．下列各物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的个数是(D)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：②③④⑤是向量，故选D.2．向量a与任一向量b平行，则a肯定是0．解析：零向量与任一向量平行，∴a肯定是0.3．如图，在圆O中，向量AO→、OB→、OC→是(C)A．有相同的起点B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量4．如图，在四边形ABCD中，AB→＝DC→，则相等的向量是(D) A.AD→与CB→B.OB→与OD→C.AC→与BD→D.AO→与OC→基础提升1．下列关于向量的说法中正确的是(C)A．长度相等的两向量必相等B ．两向量相等，其长度不肯定相等C ．向量的大小与有向线段起点无关D ．两个向量相等，则它们的起点和终点都相同 2．下列条件中能得到a ＝b 的是(D ) A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝0解析：由相等向量的定义知，D 正确．故选D .3．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是(D )A ．与AB→相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB→的模相等的向量有9个(不含AB →) C .BD→的模恰为DA →模的3倍 D .CB→与DA →不共线 4．若|AB|→＝|AD|→且（BA →＝CD ）→，则四边形ABCD 的外形为(B ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．等腰梯形解析：由BA →＝CD →知，AB 綊CD ，又AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．故选B .5．若|a |＝2，b ＝a ，则|b |＝______，b 的方向与a ______．若b ＝－a ，则|b |＝______，b 的方向与a ______．答案：2 相同 2 相反 巩固提高6．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．答案：①③④7．如下图，设ABCD 是菱形，可以用同一条有向线段表示的两个向量是________．解析：∵相等向量可以平行移动，∴相等向量可用同一条有向线段表示．图中AD→和BC →是相等向量． 答案：AD→和BC → 8．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中：(1)与向量FE→共线的有________________________________________________________________________．(2)与向量DF→的模相等的有________________________________________________________________________．(3)与向量ED→相等的有________________________________________________________________________．答案：(1)EF →、BC →、CB →、BD →、DB →、CD →、DC → (2)FD →、AE →、EA →、EC →、CE→ (3)AF →、FB→ 9．已知四边形ABCD ，AB →＝12DC →，且|AD→|＝|BC →|，则四边形ABCD 的外形是__________．解析：∵AB →＝12DC →，∴AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．∵|AD→|＝|BC →|，∴四边形ABCD 为等腰梯形． 答案：等腰梯形10．在平面上任意确定一点O ，点P 在点O “东偏北60°，3 cm ”处，点Q 在点O “南偏西30°，3 cm ”处，画出点P 和点Q 相对于点O 的位置向量(即知起点O ，方向和长度，确定点P 、Q )．解析：所求图如下：1．非零向量相等，必有大小相等且方向相同，反之也成立．2．两个非零向量方向相同或相反，则它们共线，但要留意零向量与任一向量共线，零向量的方向是任意的．3．与向量a 同方向，且长度等于1个单位的向量，叫做a 方向上的单位向量，记作a|a |，这实质上告知了求任意非零向量的单位向量的方法．。

第1章1.1第2课时1.1.2弧度制课前预备温故知新：过去我们学习过用角度制来度量角，这种度量角的方法很好理解，但给出的弧长公式较繁杂，不是很简洁。

既然长度和重量等都有多种度量制，那么角度是不是会有更简洁的度量方法呢？争辩发觉，圆的弧长与半经的比值的大小只与所对圆心角的大小直接相关，而与圆的半经和弧长不直接相关。

这就为我们设计度量角的新方法供应了便利。

学习目标：了解弧度制.把握角度与弧度的换算公式并能娴熟地进行角度与弧度的换算.同时要求同学们熟记特殊角的弧度数把握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培育同学们运用弧度制解决具体问题的意识和力量．课前思考：如何解决角度制下公式的烦琐问题？弧度制的引入对解决与角相关问题的优越性在那里？角度制下的角与弧度制下的角如何互化？ 课堂学习一、学习引领1．角度制：过去同学们争辩过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？实际上是规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180r n l π=．这种度量角的方法便于理解，但在使用时还是有不便利的地方，这就导致能不能用更为简洁的形式度量角的思考。

2．弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为零。

弧度制的建立将角度与实数建立起一一对应关系。

3．为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小有关呢？1M 如图，设α∠为()0>n n的角，圆弧和的长分别为和1l ，点M 和到点O 的距离（即圆半径）分别为r ()0>r 和1r ()01>r ，由己学过的弧长公式可得：r n l 180π=，11180r n l π=，于是18011πn r l r l ==．上式表明，以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由α∠的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．4．扇形的弧长与面积公式：弧长公式为l r α=)0(>α，面积为21122S lr r α==，其中r 为扇形所对应圆的半径；(02)ααπ<<为扇形的中心角。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知角α的终边经过点P (－1，2)，则cos α的值为( )A ．－55B ．－ 5 C.255 D.52解析： cos α＝－1（－1）2＋22＝－55. 答案： A 2．若sin αcos α<0，则角α的终边在( )A ．第二象限B ．第四象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限解析： 若sin α>0，cos α<0，则α是第二象限角；若sin α<0，cos α>0，则α是第四象限角．答案： C3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝( ) A ．－8B ．－4C ．±8D ．±4 解析： sin θ＝y 16＋y2＝－255，∴y <0且y 2＝64，从而y ＝－8. 答案： A4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为( )A ．－2<a <3B ．－2<a ≤3C ．－2≤a <3D ．－3≤a <2 解析： ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上．∴3a －9≤0且a ＋2>0.∴－2<a ≤3.答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．如果α的终边过点P (2sin 60°，－2cos 60°)，则sin α＝________．解析： ∵2sin 60°＝3，－2cos 60°＝－1，∴P (3，－1)，∴sin α＝－1（3）2＋（－1）2＝－12. 答案： －126．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝ ________．解析： 当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋sin αcos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0. 综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案： 07．设α为第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________________________________________________________________________象限角．解析： ∵α为第三象限角，∴α2为第二或第四象限角． 又∵⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴sin α2<0. 故α2为第四象限角． 答案： 四三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知角α终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)．求2sin α＋cos α的值． 解析： ∵r ＝|OP |＝（4a ）2＋（－3a ）2＝5|a |，∴当a >0时，sin α＝y r ＝－3a 5|a |＝－35，cos α＝x r ＝4a 5|a |＝45. ∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25. 当a <0时，sin α＝－3a 5|a |＝35，cos α＝4a 5|a |＝－45.∴2sin α＋cos α＝65－45＝25. ∴2sin α＋cos α＝⎩⎨⎧25，a <0，－25，a >0.9．求下列三角函数值：(1)cos (－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4. 解析： (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos (－1 050°)＝cos (－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3， ∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22.。

1．1.2弧度制明目标、知重点 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1 360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr. 2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°弧度0π180π6π4π3π2度120°135°150°180°270°360°弧度2π334π5π6π3π22π3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝απR180l＝α·R扇形的面积S＝απR2360S＝12l·R＝12α·R2[情境导学]学校几何争辩过角的度量，规定周角的1360作为1°的角．我们把用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今日我们就来争辩这种新的单位制—弧度制．探究点一弧度制思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，∠AOB就是1弧度的角．思考2假如一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律．AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0没旋转00°π2r顺时针方向－π2－90°πr逆时针方向π180°2πr顺时针方向－2π－360°πr180逆时针方向π1801°r逆时针方向1⎝⎛⎭⎫180π°（规律：假如一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么α的弧度数的确定值是l r ，即|α|＝lr.小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.假如半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向打算．思考3 角度制与弧度制换算时，机敏运用下表中的对应关系，请补充完整．例1 (1)把67°30′化成弧度； (2)把－7π12化成角度．解 (1)∵67°30′＝⎝⎛⎭⎫6712°， ∴67°30′＝π180rad ×6712＝38π rad.(2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可． 跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝________rad ； (2)8π5＝________°. 答案 (1)－π8(2)288探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请依据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)． 答 半径为r ，圆心角为n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180，扇形面积公式为S 扇＝n πr 2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.反思与感悟 机敏运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题． 跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，依据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.探究点三 利用弧度制表示终边相同的角导引 在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必需是弧度． 思考1 利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合．终边所在的位置角的集合 x 轴 {α|α＝k π，k ∈Z } y 轴 {α|α＝k π＋π2，k ∈Z }坐标轴{α|α＝k π2，k ∈Z }思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合．α终边所 在的象限 角α的集合 Ⅰ {α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z }Ⅱ {α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z }Ⅲ {α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }Ⅳ{α|2k π＋3π2<α<2k π＋2π，k ∈Z }例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2<2π－4<π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练3 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，又0<169π<2π，∴－1 480°＝169π＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2k π＝169π＋2k π(k ∈Z )．又β∈[－4π，0]，∴β1＝169π－2π＝－29π，β2＝169π－4π＝－209π.∴β＝－29π或β＝－209π.1．时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 rad C.π12 rad D ．－π12 rad 答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6rad ，故选B.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．1或2 C ．1或4 D ．2或4 答案 C解析 设扇形半径为r ，中心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得{ r ＝1，α＝4或{r ＝2，α＝1.3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β， 则⎩⎨⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360.4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π. ∴θ＝－34π.[呈重点、现规律]1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 角的度数与弧度数换算关系：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度．一、基础过关1．－300°化为弧度是( ) A ．－43π B ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对 答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1 答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．5．设角α、β满足－180°<α<β<180°，则α－β的范围是________． 答案 (－360°，0°) 解析 ∵α<β，∴α－β<0°，又－180°<α<180°，－180°<－β<180°， ∴－360°<α－β<360°，综上可知α－β的范围是－360°<α－β<0°.6．假如一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .二、力气提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶ 3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.9．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角(单位：弧度)是( ) A ．1 B ．4 C ．π D ．1或4 答案 D解析 设扇形的半径为x ，所以弧长为6－2x ，扇形的圆心角为6－2x x ，由于扇形的面积为2，所以12(6－2x )x＝2，解得x ＝1或x ＝2，所以扇形的圆心角为4或1.10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝______________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ， 从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，最大面积为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了动身点A 处，求θ.解 由于0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，n ∈Z ，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与拓展13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是确定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

1.1.2弧度制学习目标核心素养1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽象素养．2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养.1．度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的1360为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad思考：比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0°30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度0 π6π4π3π22π33π45π6π3π22π设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.1．下列说法中错误的是( ) A ．1弧度的角是周角的1360B ．弧度制是十进制，而角度制是六十进制C ．1弧度的角大于1度的角D ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度A [A 错误，1弧度的角是周角的12π.B 、C 、D 都正确．] 2．(1)7π5化为角度是________． (2)105°的弧度数是________．(1)252° (2)7π12 [(1)7π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π5×180π°＝252°；(2)105°＝105×π180 rad ＝7π12 rad.]3．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．π3 [由已知得S 扇＝12×π6×22＝π3.] 4．－274π是第________象限的角．三 [－274π＝－8π＋5π4，∵5π4是第三象限角， ∴－274π也是第三象限角．]角度与弧度的互化与应用【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9. [解] (1)72°＝72×π180＝2π5； (2)－300°＝－300×π180＝－5π3； (3)2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°；(4)－2π9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9×180π°＝－40°.角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键；(2)方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.[跟进训练]1．(1)将－157°30′化成弧度为________； (2)将－11π5化为度是________．(1)－78π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－3152×π180 rad ＝－78π rad.(2)－11π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5×180π°＝－396°.]2．在[2π，4π]中，与72°角终边相同的角是________．(用弧度表示) 125π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )．当k ＝1时，θ＝432°＝125π，所以在[2π，4π]中与72°角终边相同的角是125π.]用弧度制表示角【例2】 ＜2π，并判断它是第几象限角？(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．思路点拨：(1)把角度换成弧度→再转化为2k π＋α(k ∈Z )形式→利用终边相同的角判断出象限 (2)写出终边为OA 的锐角→写出终边落在AOy 内范围→加k π(k ∈Z )表示角θ的集合[解] (1)－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9＜2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角． (2)因为30°＝π6 rad,210°＝7π6 rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤． (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用.[跟进训练]3．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )C [A ，B 中弧度与角度混用，不正确．94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．[解] 30°＝π6，150°＝5π6.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪π6＋k π＜β＜5π6＋k π，k ∈Z. 弧长公式与扇形面积公式的应用[1．用公式|α|＝lr 求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．【例3】 (1)如图，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为________；(2)扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的半径和圆心角． 思路点拨：(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程，再解方程求∠EAD 的弧度数．(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．(1)2－π2 [设AB ＝1，∠EAD ＝α， ∵S 扇形ADE ＝S 阴影BCD ，由题意可得12×12×α＝12－π×124，∴解得α＝2－π2.](2)[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l ·r ＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2. 故所求扇形的半径为2，圆心角为2 rad.1．(变条件)将本例(2)中的条件“8”改为“10”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4.②由①得l ＝10－2r ，代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1时，l ＝8(cm)， 此时，θ＝8 rad ＞2π rad(舍去)．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 rad.2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是4 cm 2”删掉，求扇形OAB 的最大面积及此时弧长AB .[解] 设弧长为l ，半径为r ，由已知l ＋2r ＝8， 所以l ＝8－2r ，|α|＝l r ＝8－2rr ，从而S ＝12|α|r 2＝12·8－2r r ·r 2＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4， 当r ＝2时，S 取最大值为4，这时圆心角α＝l r ＝8－2rr ＝2， 可得弧长AB ＝αr ＝2×2＝4.1．弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2和S＝12lr.(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．2．通过弧度制的引入，使弧长公式及扇形面积公式均有了弧度制的新形式，体现了核心素养下两种公式的比较及弧度的渗透．角度制下l＝nπr180，S＝nπr2360弧度制下l＝|α|r，S＝12|α|r2＝12lr1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于利用“180°＝π rad”这一关系式．3．弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．1．下列说法正确的是()A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 D [利用弧度的概念判断，易知D 正确．] 2．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3 B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－76π D.π12化成度是15°C [对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故选C.]3．若把－570°写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________. 5π6 [－570°＝－19π6＝－4π＋5π6.]4．求半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长及面积． [解] 因为r ＝π，α＝120×π180＝2π3， 所以l ＝αr ＝2π23 cm ，S ＝12lr ＝π33 cm 2.。

第一章 三角函数三角函数1．4 三角函数的图象与性质1．4.3 正切函数的性质与图象1．理解正切函数的性质，把握正切函数的图象的作法．2．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．基础梳理 一、 正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ．2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期是π．3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称．4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数．练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，由于它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义冲突．对每一个k ∈Z ，在开区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增． 二、正切函数的图象1．依据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠kπ＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的很多多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，留意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交．思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？ 分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上的简图，观看图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝ 3.∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C ) A ．2π B ．π C.π2 D.π4解析：T＝π2，故选C.2．下列命题正确的是(C ) A ．正切函数在定义域内是增函数B ．正弦函数在定义域内是增函数C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数解析： 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排解A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4的定义域是(D ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠π4 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π4的值域为⎣⎦⎥⎤3，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B. 2．tan 600°的值是(D )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 3解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C )A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tan ωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为(C )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则(A)A ．f (0)>f (－1)>f (1)B ．f (0)>f (1)>f (－1)C ．f (1)>f (0)>f (－1)D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ，∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－3π4， ∴1－3π4，－1，0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0，∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2x tan x的定义域为(A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)由于tan x ≥－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－1，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z . (2)在 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式kπ－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan2x ≤－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ，∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2，即θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2.1．正切函数单调区间的求法：求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，再由不等式k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z)求得x 的范围即可．2．比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小．假如自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小．3．解简洁的三角不等式：一般地，求解简洁的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集．。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．答案： B2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．答案： B3．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是() A．①②B．①③C．②③D．②④解析：－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．答案： D4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°＜α＜180°}B．{α|90°＋k·180°＜α＜180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°＜α＜－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°＜α＜－180°＋k·360°，k∈Z}解析：终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0°；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．解析： ①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°＜α＜180°，锐角θ的取值范围为0°＜θ＜90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④锐角θ的取值范围是0°＜θ＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确． 答案： ①③④6．α满足180°＜α＜360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________． 解析： 5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z.又∵180°＜α＜360°，∴α＝270°.答案： 270°7．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________． 解析： ∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k ·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案： 216° －144°三、解答题(每小题10分，共20分)8．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°； (2)－60°； (3)－503°36′.解析： (1)549°＝189°＋360°，而180°＜189°＜270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°＜300°＜360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°＜216°24′＜270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．9．已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角． 解析： 由α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，得α2＝120°＋k ·180°，k ∈Z. 若k 为偶数，设k ＝2n ，n ∈Z ，则α2＝120°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与120°角的终边相同，是第二象限角；若k 为奇数，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则α2＝300°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与300°角的终边相同， 是第四象限角．所以，α2是第二象限角或第四象限角．。