2016-2017年《金版学案》数学·必修5(苏教版)练习：章末过关检测卷(二) Word版含解析

第2章 数列2.2 等差数列2.2.3 等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10等于( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：根据等差数列的前n 项和公式S n ＝（a 1＋a n ）n 2， 可得S 10＝（a 1＋a 10）·102＝5(a 1＋a 10)＝120⇒a 1＋a 10＝24. 答案：B2．在等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15＝90，则a 8等于( )A ．3B ．4C ．6D ．12答案：C3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20⇒⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝3.答案：B4．1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)等于( )A.n （3n ＋8）2B.（n ＋2）（3n ＋8）2C.（n ＋3）（3n ＋8）2D.n （3n －1）2解析：根据题意，记等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，则1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)＝(n ＋3)[1＋3(n ＋3)－2]＝（n ＋3）（3n ＋8）2. 答案：C5．若等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，则a 2等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，且a 1＝1， 所以d ＝2，所以a 2＝a 1＋d ＝3.答案：A二、填空题6．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有________项．解析：a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390，知n （a 1＋a n ）2＝390， 所以n ·602＝390，解得n ＝13. 答案：137．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝________．解析：(1)由S 奇S 偶＝（n ＋1）·（a 1＋a 2n ＋1）2n ·（a 2＋a 2n ）2＝n ＋1n ＝165150. 解得：n ＝10.答案：108．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________．解析：a 4＋a 6＝2a 5＝－6，得a 5＝－3，所以公差d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2. 法一：由d ＝2>0可知，数列{a n }是递增数列．a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13.令a n ＝0，得n ＝612. 所以a 1<a 2<…<a 6<0<a 7<….故数列{a n }的前6项和最小．法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36. 所以当n ＝6时，S n 最小．答案：6三、解答题9．已知等差数列51，48，45，….(1)第几项开始为负？(2)前多少项的和最大？解：(1)易得a 1＝51，d ＝48－51＝－3，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋54.由－3n ＋54≤0得n ≥18.故第19项开始为负．(2)由a 18＝0，且a 1>0，d <0，故前17项或前18项的和最大．10．已知数列{b n }的前n 项和S n ＝9－6n 2，若b n ＝2n －1a n ，求数列{a n }的通项公式．解：当n ＝1时，b 1＝S 1＝9－6×12＝3，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝9－6n 2－9＋6(n －1)2＝－12n ＋6， 当n ＝1时，b 1＝3不符合b n ＝－12n ＋6的形式，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），6－12n （n ≥2）.又b n ＝2n －1a n ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），6－12n 2n －1（n ≥2）. B 级 能力提升一、选择题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.由S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0得a 1＝－a m ＝－2， 所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5.答案：C12．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12解析：S9S5＝92（a1＋a9）52（a1＋a5）＝9×2a55×2a3＝9a55a3＝95×59＝1.答案：A13．等差数列{a n}的前m项的和为10，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A．130 B．170 C．270 D．260解析：因为S m＝10，S2m＝100，故S2m－S m＝90，故知S m，S2m －S m，S3m－S2m构成首项为10，公差为80的等差数列，所以S3m－S2m＝90＋80＝170.所以S3m＝100＋170＝270.答案：C二、填空题14．已知{a n}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1a5＝a22，则S8＝________．解析：由a1a5＝a22得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2，所以S8＝8a1＋8×72d＝8×1＋8×72×2＝64.答案：6415．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，那么到11月7日该市新感染者共有________人．解析：设从11月1日起，第n天的新感染者有a n人，则a n＋1－a n＝50，则每天的新感染者构成以a1＝20，d＝50的等差数列{a n}，所以到11月7日该市新感染者共有S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×20＋7×62×50＝1 190人． 答案：1 190三、解答题16．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解：(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值．。

模块综合测试（A）(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列｛a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10＝()A．100B．210C．380 D．400答案： B1．在等差数列｛a n｝中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于（)A．45B．75C．180 D．300解析：∵a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴由已知得5a5＝450，∴a5＝90∴a2＋a8＝2a5＝180。

答案: C2．在△ABC中，若b＝2a sin B，则角A为（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°解析:根据正弦定理sin B＝2sin A sin B,所以sin A＝错误!，所以A＝30°或150°.答案： D3．a∈R，且a2＋a＜0，那么－a,－a3,a2的大小关系是(）A．a2＞－a3＞－a B．－a＞a2＞－a3C．－a3＞a2＞－a D．a2＞－a＞－a3解析：由a2＋a＜0得－1＜a＜0,∴－a＞a2＞－a3.答案： B4．设等差数列{a n｝的前n项和为S n。

若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7C．8 D．9解析:a4＋a6＝2a5＝－6，∴a5＝－3,∴d＝错误!＝2，∴S n＝－11n＋错误!·2＝n2－12n。

故n ＝6时S n 取最小值．答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为错误!，那么b ＝( ）A 。

错误!B ．1＋错误! C.错误! D ．2＋错误!解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝错误!ac sin B ＝错误!，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos 30°。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x ｜x 2－1＞0}，B ＝｛x ｜log 2x ＞0},则A ∩B 等于( ) A ．{x |x ＞1｝ B ．｛x |x ＞0｝C ．{x ｜x ＜－1｝D ．｛x |x ＜－1，或x ＞1}解析： ∵x 2－1＞0,x 2＞1， ∴x ＞1或x ＜－1，∴A ＝｛x ｜x ＞1，或x ＜－1｝， 又log 2x ＞0,即log 2x ＞log 21。

∴x ＞1,∴B ＝{x |x ＞1}, ∴A ∩B ＝｛x |x ＞1｝． 答案： A2．已知t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 和s 的大小关系正确的是（ ） A ．t ＞s B ．t ≥s C ．t ＜sD ．t ≤s 解析: ∵t －s ＝a ＋2b －a －b 2－1＝－(b －1）2≤0， ∴t ≤s . 答案： D3．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立,则k 的取值范围是（ ) A ．（0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．［0,4）D ．（0，4）解析： (1)当k ＝0时,不等式变为1＞0成立； (2）当k ≠0时，不等式kx 2－kx ＋1＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝(－k )2－4k ＜0，即0＜k ＜4,所以0≤k ＜4。

答案： C4．不等式x 2－ax －12a 2＜0(其中a ＜0)的解集为( ） A ．（－3a,4a ）B ．(4a ，－3a )C．（－3，4）D．（2a,6a）解析:方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a,且4a＜－3a，∴4a＜x＜－3a。

答案: B5．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b〈0的解集是A∩B，那么a＋b等于（)A．－3 B．1C．－1 D．3解析：由题意：A＝｛x｜－1〈x〈3｝，B＝{x｜－3〈x<2｝．A∩B＝｛x|－1〈x<2｝，由根与系数的关系可知:a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3，故选A。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!）一、选择题(每小题5分，共20分）1．在△ABC中,a＝7，b＝4错误!,c＝错误!，则△ABC的最小角为（) A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析：∵a＞b＞c，∴C为最小角,且0＜C＜60°，由余弦定理cos C＝错误!＝错误!＝错误!。

∴C＝错误!。

答案：B2．如果将一直角三角形的三边长都增加1,则新三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定解析: 设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且c为斜边，则a2＋b2＝c2，则(a＋1）2＋(b＋1）2－（c＋1）2＝1＋2（a＋b－c）>0.则这个三角形的最大角为锐角，故新三角形为锐角三角形．答案：B3．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( ）A 。

错误!B 。

错误! C.错误! D.错误!解析： 根据余弦定理：cos A ＝错误!〉0,∴A 为锐角．∵在不等边三角形中,a 是最大边，∴A 是最大角,∴△ABC 为锐角三角形，∴错误!〈A 〈错误!。

答案： B4．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析： ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－错误!＜0。

则△ABC 是钝角三角形．故选A.答案：A二、填空题（每小题5分，共10分)5．△ABC中a＝错误!,b＝错误!，c＝错误!，则△ABC的形状是______．解析：∵c〉b〉a，∴C为最大角．∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝错误!＝－错误!〈0.∵C为三角形内角,∴C为钝角．∴△ABC为钝角三角形．答案：钝角三角形6．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝错误!b＝12，则c的值为________．解析: 由3a＝错误!b＝12,得a＝4，b＝4错误!，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.答案: 4或8三、解答题（每小题10分，共20分）7．在△ABC中,设角A，B，C的对边分别为a,b,c，且cos A＝错误!.若a＝4,b＋c＝6，且b〈c,求b、c的值．解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A,即a2＝（b＋c）2－2bc－2bc cos A，∴16＝36－52bc，∴bc＝8.由错误!可求得错误!。

模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(每小题共10个小题，每小题共5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝(D ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析：∵{a n }为等比数列，∴a 4a 7＝a 5a 6＝－8.又a 4＋a 7＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7； 当a 4＝－2，a 7＝4时，a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7. 综上，a 1＋a 10＝－7.2．某人投资10 000万元，如果年收益利率是5%，按复利计算，5年后能收回本利和为(B )A ．10 000×(1＋5×5%)B ．10 000×(1＋5%)5C ．10 000×1.05×（1－1.054）1－1.05 D ．10 000×1.05×（1－1.055）1－1.05解析：注意与每年投入10 000万元区别开来．3．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为(A )A.1665B.5665 C.1665或5665 D ．－1665解析：∵cos A ＝513＞0，∴sin A ＝1213＞sin B ＝35.∴B 为锐角，故cos B ＝45.从而cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝1665.4．若a <b <0，d >c >0，则不等式①ad >bc ；②c a >cb；③a 2>b 2；④a －d <b －c 中正确的个数是(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①错，②③④正确．将a <b <0转化为－a >－b >0，可得(－ad )>(－bc )，即ad <bc ，故知①错；由a <b <0⇒1a >1b，c >0，故②正确；因为函数y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，故③正确；由d >c >0，得－d <－c <0，故知a －d <b －c ，故④正确．5．设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，下列结论中正确的是(A ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：∵1＋x ＋y ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.即x ＋y ≥2(1＋2)(当x＝y ＝1＋2时等号成立)，x ＋y 的最小值为2(1＋2)．6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于(D )A ．1 006B ．1 008C ．－1 006D ．－1 008 解析：由a n ＝n cosn π2可得S 2 015＝1×0－2×1＋3×0＋4×1＋…－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋…－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－1 008.7．已知方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0有两个正实根，则实数m 的取值范围是(D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－4] C ．(－5，＋∞) D ．(－5，－4] 解析：方程两根为正，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－（m ＋2）>0，⇒－5<m ≤－4m ＋5>0. 8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是(D)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，112C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，132D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 解析：用待定系数法可得 2a ＋3b ＝52(a ＋b )－12(a －b )，由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＋b ＜3，2＜a －b ＜4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－52＜52（a ＋b ）＜152，－2＜－12（a －b ）＜－1. 两式相加即得－92＜2a ＋3b ＜132.9．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x ，则x 的取值范围是(B ) A ．(1，3) B ．(5，13) C ．(0，5) D ．(13，5)解析：由三角形的三个角为锐角，结合余弦定理的推论可知，⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，32＋x 2－22>0，解得5＜x 2＜13，即5<x < 13.10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则(A ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，a >0，又∵x 1＋x 2＝0，x 1与x 2的中点为0，x 1<x 2，∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离．∴f (x 1)<f (x 2)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝________．解析：先求出角A 的余弦值，再利用余弦定理求解． 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， 解得cos A ＝±15.∵A 是锐角，∴cos A ＝15.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋36－2×b ×6×15.∴b ＝5或b ＝－135.又∵b ＞0，∴b ＝5. 答案：512．(2013·陕西卷)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n 个等式可为____________．解析：当n 为偶数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n （n ＋1）2；当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－（n －1）n 2＋n 2＝n （n ＋1）2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）213．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出可行域(如图)，由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，则当目标函数过C (1，－1)时z取得最大值，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.答案：314．若a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n由大到小的顺序是__________________________．解析：用特殊值法或作差比较法都很容易得出答案． 答案：a b ＞a ＋nb ＋n ＞b ＋m a ＋m ＞ba三、解答题(本题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(本小题满分12分)等差数列{}a n 不是常数列，a 5＝10，且a 5，a 7，a 10是某一等比数列{}b n 的第1，3，5项．(1)求数列{}a n 的第20项；(2)求数列{}b n 的通项公式．解析：(1)设数列{}a n 的公差为d ，则a 5＝10，a 7＝10＋2d ，a 10＝10＋5d . 因为等比数列{}b n 的第1、3、5项成等比数列， 所以a 27＝a 5a 10，即(10＋2d )2＝10(10＋5d )． 解得d ＝2.5，d ＝0(舍去)． 所以a 20＝47.5.(2)由(1)知{}a n 为各项非负的数列，所以q 2＝b 3b 1＝a 7a 5＝32.∴q ＝±32.又b 1＝a 5＝10， ∴b n ＝b 1q n －1＝±10·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *.16．(本小题满分12分)(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解析：(1)由正弦定理得： 3sin A ＝26sin 2A ，解得cos A ＝63. (2)由cos A ＝63⇒sin A ＝33，又∠B ＝2∠A ， ∴cos B ＝2cos 2A －1＝13.∴sinB ＝223，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×13＋63×223＝539. ∴c ＝a sin Csin A＝5. 17．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，求－cx 2＋2x －a ＞0的解集．解析：由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a ＜0，－13和12是方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由韦达定理－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a ＞0，即－2x 2＋2x ＋12＞0亦即x 2－x －6＜0.其解集为(－2，3)．18．(本小题满分14分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析：方法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．方法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出平行域如下图所示．让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．19．(本小题满分14分)如右图，某观测站C在城A南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？解析：根据题意，可得下图，其中BC ＝31千米，BD ＝20千米，CD ＝21千米，∠CAD ＝60°.设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CDB 中，由余弦定理得：cos β＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝212＋202－3122×21×20＝－17，sin β＝1－cos 2β＝437. sin α＝sin(180°－∠CAD －∠CDA ) ＝sin(180°－60°－180°＋β) ＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60° ＝437×12＋17×32＝5314.在△ACD 中，由正弦定理得：AD ＝CDsin A ·sin α＝21sin 60°×5314＝15. 此人还得走15千米到达A 城．20．(本小题满分14分)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n ； (3)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有T n ＞m32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇒a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1＝－2，∴a n ＝8＋(n －1)·(－2)＝10－2n (n ∈N)． (2)由a n ＝10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，S n ＝－n 2＋9n .当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n 2－9n ＋40.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，1≤n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥5.(3)b n ＝1n （12－a n ）＝1n （2n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2（n ＋1）＞n －12n ＝T n －1＞T n －2＞…T 1.∴要使T n ＞m 32总成立，需m 32＜T 1＝14恒成立，即m ＜8(m ∈Z)．故适合条件的m 的最大值为。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列错误!，3，错误!,错误!，3错误!，…，则9是这个数列的第( ）A．12项 B．13项C．14项D．15项解析：3＝错误!，3错误!＝错误!,…,被开方数成等差数列，∴81＝3＋（n－1)·6，∴n＝14.答案：C2．在等差数列{a n｝中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝（）A．45 B．50C．75 D．60解析：由已知:a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150，∴3(a1＋a13）＝150,∴a1＋a13＝50。

∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50.答案：B3．已知等差数列｛a n｝的公差为2，若a1，a3,a4成等比数列，则a2等于( ）A．－4 B．－6C．－8 D．－10解析: 由题可知，a错误!＝a1·a4⇒(a1＋4)2＝a1·（a1＋6)⇒a1＝－8⇒a2＝－6。

答案：B4．已知等比数列｛a n｝中，a2＝错误!，a4＝错误!，则a10＝（）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：易知a2，a4，a6,…,a10也成等比数列，则将a2作为数列的首项，q＝错误!，a10＝a2q5－1＝错误!.答案：C5．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值为( )A．12 B．10C．8 D．2＋log35解析：log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3a1·a2·…·a10＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.答案: B6．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1,则S4＝( ）A．7 B．8C．15 D．16解析: 4a2＝4a1＋a3，∴4·a1×q＝4×1＋1×q2。

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）一、选择题（每小题5分,共20分)1．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin CB．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B,则a＝bC．在△ABC中，若sin A>sin B，则A〉B；若A>B，则sin A>sin B都成立D．在△ABC中，错误!＝错误!解析：由正弦定理知A、C、D正确,而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．答案: B2．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c为（) A．3∶1∶1B．2∶1∶1C。

错误!∶1∶1D。

错误!∶1∶1解析: 由已知得A＝120°，B＝C＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶1∶1。

答案：D3．在△ABC中,a＝2b cos C,则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：由正弦定理:sin A＝2sin B cos C,∴sin(B＋C)＝2sin B cos C∴sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C）＝0，∴B＝C。

答案：A4．不解三角形，确定下列判断中正确的是( ）A．a＝4,b＝5，A＝30°，有一解B．a＝5，b＝4，A＝60°,有两解C．a＝错误!,b＝错误!，B＝120°,有一解D．a＝3，b＝错误!，A＝60°，无解解析: 对于A，b sin A＜a＜b，故有两解;对于B，b＜a，故有一解；对于C，B＝120°且a＞b,故无解；对于D，a＜b sin A，故无解．答案：D二、填空题(每小题5分,共10分)5．在△ABC中,已知a＝32,cos C＝错误!,S△ABC＝4错误!，则b＝________。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分．请把答案填在题中的横线上）1．在△ABC中，a，b,c所对的角分别为A，B，C,若a＝2，A ＝错误!,B＝错误!,则b等于________．【解析】由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝错误!＝错误!.【答案】错误!2．已知等比数列｛a n｝的公比q为正数,且a5·a7＝4a错误!，a2＝1，则a1＝________。

【解析】∵{a n｝成等比数列，∴a5·a7＝a26，∴a错误!＝4a错误!，∴q2＝4，∴q＝±2。

又q>0，∴q＝2。

∴a1＝错误!＝错误!。

【答案】错误!3．设x〉0，y〉0,下列不等式中等号不成立的是________．①x＋y＋错误!≥4；②（x＋y）错误!≥4；③错误!错误!≥4；④错误!≥2。

【解析】④中，错误!＝错误!＋错误!.因为错误!≥2，故应用不等式时,等号不成立．【答案】④4．等差数列{a n｝满足a错误!＋a错误!＋2a4a7＝9,则其前10项之和为________．【解析】由a2，4＋a错误!＋2a4a7＝9，可知a4＋a7＝±3。

∴S10＝错误!＝错误!＝±15。

【答案】±155．已知点A（3，－1），B（－1，2）在直线ax＋2y－1＝0的同侧，则实数a的取值范围为________．【解析】由题意可知,（3a－3）（－a＋3)〉0，即（a－1)（a－3）<0，∴1〈a〈3。

【答案】（1，3）6．已知2a＋1〈0,关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________．【解析】x2－4ax－5a2>0，即(x－5a）（x＋a）〉0，而方程(x－5a)（x＋a)＝0的根为x1＝－a,x2＝5a.∵2a＋1<0，则a〈－错误!，∴－a〉5a，∴原不等式的解集为｛x｜x<5a或x>－a｝．【答案】｛x|x〈5a或x〉－a}7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c，成等比数列,且c＝2a,则cos B＝________。

章末过关检测卷(三) 第3章 不 等 式(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是(B ) A.1a ＞1bB ．2a ＞2bC ．|a |＞|b | D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析：∵a ＜b ＜0，∴ab ＞0.∴a ×1ab ＜b ×1ab ，即1a ＞1b.由y ＝|x |(x ＜0)为减函数和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数知C 、D 成立，因此不能成立的是B. 2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是(C )A.72 B ．4 C.92D ．5 解析：1a ＋4b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92. 3．二次不等式ax2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13，则ab 的值为(B )A ．－6B ．6C ．－5D ．5解析：由题意知a ＜0，－1与13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，所以－1＋13＝－b a ，(－1)×13＝1a.解得a ＝－3，b ＝－2，所以ab ＝6.4．(2014·浙江卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则(C )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)可求得a ，b 的值，代回不等关系得出c 的取值范围．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b －7＝0，4a －b －13＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11. 所以f (－1)＝c －6.所以0＜c －6≤3.解得6＜c ≤9，故选C.5．已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z )且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为(D )A ．[－2，2]B ．[－2，3]C ．[－3，2]D ．[－3，3]解析：由a ⊥b ⇒a ·b ＝0即2(x ＋z )＋3(y －z )＝0亦即z ＝2x ＋3y ，由约束条件|x |＋|y |≤1，画出平行域．可知z 在(0，－1)和(0，1)时分别的最小值－3和最大值3，故z ∈[－3，3]．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则(A ) A ．a ＜v ＜ab B ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲、乙两地距离为s ，则小王往返共用时s a ＋sb，∴v ＝2ss a ＋s b＝2aba ＋b.∵0＜a ＜b ， ∴ab ＜a ＋b2，2ab a ＋b ＞2ab 2b ＝a .∴2a ＋b ＜1ab， 2ab a ＋b ＜abab ＝ab . ∴a ＜v ＜ab .7．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a (1＋a )＜a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a.其中错误的是(A )A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④ 解析：由0＜a ＜1，即1＋a ＜1＋1a，∴log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ，a 1＋a＞a 1＋1a.8．已知x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一根大于1，而另一根小于1，那么实数m 的取值范围为(C )A ．(－∞，1)∪(9，＋∞)B ．(1，9)C ．(－∞，1)D ．[1，＋∞)解析：∵函数y ＝x 2＋(m －3)x ＋m 的抛物线开口向上，数形结合知若一根大于1，另一根小于1，只需f (1)＝2(m －1)＜0即m ＜1.9．已知x ＞－1，y ＞－1，且(x ＋1)(y ＋1)＝4，则x ＋y 的最小值为(C ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：∵x ＞－1，y ＞－1，∴x ＋1＞0，y ＋1＞0.∴(x ＋1)(y ＋1)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋y ＋122⇒（x ＋y ＋2）24≥4.∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0.∴x＋y ≥2或x ＋y ≤－6(舍去)，并且仅当x ＋1＝y ＋1，即x ＝y 时取“＝”．∴(x ＋y )min ＝2.10．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需要耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(B )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：设甲车间加工x 箱原料，乙车间加工y 箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≤480，x ＋y ≤70，x ，y ∈N *，z ＝7×40x ＋4×50y ＝280x ＋200y ，画出可行域(如图的阴影部分)，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ＝480，x ＋y ＝70⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝55.知z 在A 点取得最大值．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：由约束条件画出可行域(如图)．当直线为3x －y ＝0移至直线x ＋2y ＝4与直线x －y ＝1的交点为(2，1)时，目标函数z ＝3x －y 取得最大值等于3×2－1＝5.答案：512．设x ，y ∈R ，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析：由4x 2＋y 2＋xy ＝1得(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32(2x )y ≤1＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22⇒(2x ＋y )2≤85， ∴－2105≤2x ＋y ≤2105，故2x ＋y 的最大值为2105.答案：210513．(2014·广东卷)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________． 答案：{x |x ≤－3或x ≥2}14．某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价为8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘车里程的范围是________．解析：由15.5≤8＋1.5x ＜16.5得5≤x ＜173，∴8≤x ＋3＜263.∴乘车里程为⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，263.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，263三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明 、证明过程或推演步骤)15．(本小题满分12分)解下列不等式： (1)3x 2＋5x －2＞0； (2)x ＋1x＜3. 解析：(1)3x 2＋5x －2＝(3x －1)(x ＋2)＞0， ∴x ＞13或x ＜－2.即不等式的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)原不等可变形为2x －1x ＞0，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞12.16．(本小题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：设f (x )＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1， 若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1，或m ＝3.当m ＝－1时，不合题意；当m ＝3时，符合题意．m 2－2m －3≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＜0，Δ＝[－（m －3）]2＋4（m 2－2m －3）＜0， 解得：－15＜m ＜3.综上可得，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－15，3. 17．(本小题满分14分)解关于x 的不等式x －ax 2－x －2＞0.解析：原不等式等价于(x －a )(x ＋1)(x －2)＞0， 当a ＜－1时，解集为(a ，－1)∪(2，＋∞)， 当a ＝－1时，解集为(2，＋∞)，当－1＜a ＜2时，解集为(－1，a )∪(2，＋∞)， 当a ＝2时，解集为(－1，2)∪(2，＋∞)， 当a ＞2时，解集为(－1，2)∪(a ，＋∞)． 18．(本小题满分14分)设f (x )＝2x ＋44x ＋8.(1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a 、b 恒有f (a )＜b 2－3b ＋214.解析：(1)f (x )＝16·2x22x ＋8＝162x＋82x ≤1622x·82x＝1642＝22，当且仅当2x＝82x 时，即x ＝32时，等号成立．∴f (x )的最大值为2 2.(2)证明：∵b 2－3b ＋214＝⎝⎛⎭⎪⎫b －322＋3，∴当b ＝32时，b 2－3b ＋214有最小值3.由(1)知f (a )有最大值22，且22＜3，∴对任意实数a ，b 都有f (a )＜b 2－3b ＋214.19．(本小题满分14分)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l ：x ＋0.5y ＝z ，并作平行移动．当直线与可行域相交，且经过可行域上的M 点，此时与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6. 此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．故投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．20．(本小题满分14分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，∴x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x (＋xy )2，此式的右边减去左边得y ＋x ＋(xy )2－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)·(y －1)． ∵x ≥1，y ≥1，∴(xy －1)(x －1)(y －1)≥0. 故所证不等式成立．(2)令log a b ＝x ，log b c ＝y ，则 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .由1＜a ≤b ≤c 得x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 由(1)亦即得到所证的不等式成立．。

章末过关检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：直线斜率为k ＝2＋3－24－1＝33，故倾斜角为30°.答案：A2．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为 (x ＋2)m ＋1－y ＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.答案：A3．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x ＋ky ＝0上，得k ＝－12.答案：B4．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22C ．(－3，3)D ．(－2，2)解析：由题设把原点代入方程 02＋02－2m ·0＋2m ·0＋2m 2－4<0， 所以－2<m < 2. 答案：D5．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0与x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦长等于( )A ．4B ．2 3C ．3 2D ．4 2 解析：公共弦方程为x －2y ＋6＝0，圆x 2＋y 2＋2x －12＝0的圆心(－1，0)，半径r ＝13，d ＝ 5. 所以弦长＝2×13－5＝4 2.答案：D6．与圆(x ＋2)2＋y 2＝2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径2，解得a ＝－4，即此时切线为x ＋y ＋4＝0，故共有3条．答案：C7．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.(]0°，30°B.(]0°，60°C.[]0°，30°D.[]0°，60°解析：法一 如图所示，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，|OA |＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.故选D.法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.答案：D8．以A (－2，－2)，B (－3，1)，C (3，5)，D (7，－7)为顶点的四边形是( )A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．梯形答案：D9．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案：A10．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y －5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析：设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.答案：D11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316B.916C.38D.58 答案：A12．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°解析：S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，所以θ＝180°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)13．直线5x ＋12y ＋13＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________．解析：把5x ＋12y ＋13＝0化为10x ＋24y ＋26＝0，由平行线之间的距离公式d ＝|26－5|26＝2126.答案：212614．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________．解析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149 15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．解析：圆心O 到直线x cos θ＋y sin θ＝1距离d ＝1，即直线与圆相交．因为半径r ＝5＞2，所以O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4个，所以k ＝4.答案：416．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．解析：作出图象，如图所示．依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意， 所以a 2＋b 2＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过A (－2，3)，B (4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．解：过A ，B 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4， 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1，一般式为：2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分12分)点A (0，2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M (x ，y )．M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC ， 又因为∠BAC ＝90°，所以|MA |＝12|BC |＝|MB |.因为|MB |2＝|OB |2－|OM |2，所以|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以7为半径的圆．19．(本小题满分12分)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，求圆C 的方程．解：如图所示，因为圆C 经过坐标原点O 和点A (4，0)，所以圆心必在线段OA 的中垂线上， 所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C (2，b )，b ＜0，半径为R . 因为圆与直线y ＝1相切， 所以R ＝1－b ，且b 2＋22＝ R 2＝(1－b )2.解得b ＝－32，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径R ＝1－b ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝52. 所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.20．(本小题满分12分)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值．解：设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点．所以|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋2 3.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R)．(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．解：(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)， 因此直线l 过定点D (1，1)， 又12＋（1－1）2＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交． (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即m ＝－ 3.此时，圆心C (0，1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离 d ＝|－3|（3）2＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝17. 22．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：2x －y ＋1＝0上，与直线3x －4y ＋9＝0相切，且截直线l 2：4x －3y ＋3＝0所得的弦长为2，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＋1＝0，|3a －4b ＋9|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4a －3b ＋352＋1＝r 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|3a －4（2a ＋1）＋9|＝5r ，[4a －3（2a ＋1）＋3]2＋25＝25r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|a －1|＝r ，4a 2＋25＝25r 2.化简，得4a 2＋25＝25(a －1)2. 解得a ＝0或a ＝5021.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5021，b ＝12121，r ＝2921.故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎪⎫x －50212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －121212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫29212.。

第3章 不等式3.4基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3.4.2 基本不等式的应用A 级 基础巩固一、选择题1．若x ＞4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最大值－6B ．有最小值6C ．有最大值2D ．没有最小值解析：y ＝x －4＋1x －4＋4≥2（x －4）·1x －4＋4＝6.当且仅当x －4＝1x －4时，即x ＝5时取得最小值6. 答案：B2．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( ) A ．10 B ．63 C ．46 D ．18 3 解析：3x ＋3y ≥23x ＋y ＝235＝183，当且仅当3x ＝3y ，即x ＝y ＝52时取等号． 答案：D3．已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 等于( )A ．2B ．4C ．2 2D ．2 5解析：当a >0，b >0时，ab ≤（a ＋b ）24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．因为ab 的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.故选C.答案：C4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲地到乙地距离为s ，则v ＝2s s a ＋s b＝2aba ＋b，因为a ＜b ，所以ab ＜a ＋b 2⇒2ab a ＋b ＞2ab 2b ＝a ，2aba ＋b＜ab .答案：A5．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．答案：C二、填空题6．已知函数f(x)＝x＋ax－2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．解析：把A(3，7)代入函数关系式可得a＝4，因为x>2，所以x－2>0.故f(x)＝x－2＋4x－2＋2≥6，当x＝4时，取“＝”．答案：67．函数y＝x2＋5x2＋1的最小值是________．解析：令t＝x2＋1≥1，则y＝x2＋5x2＋1＝t＋4t≥4，当t＝2，即x＝±3时，y min＝4.答案：48．已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝8x的图象都过点A，且点A在直线xm＋y2n＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．解析：由题易得点A的坐标为(2，4)，因为点A在直线xm＋y2n＝1(m>0，n>0)上，所以1＝2m＋2n≥24mn.所以mn≥16.所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4.故log2m＋log2n的最小值为4.答案：4三、解答题9．已知x ≥52，求f (x )＝x 2－4x ＋5x －2的最小值．解：因为x ≥52，所以x －2＞0.所以f (x )＝x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1x －2≥2.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 故当x ＝3时，f (x )min ＝2.10．过点P (1，2)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程．解：设A (a ，0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0， 则l 的方程为x a ＋yb＝1.又因为l 过P 点，所以1a ＋2b ＝1，三角形的面积S ＝12ab .由1a ＋2b＝1⇒ab ＝b ＋2a ≥22ab ⇒ab ≥8，当且仅当b ＝2a ，即a ＝2，b ＝4时，S min ＝4.所以l 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0.B 级 能力提升一、选择题11．已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )．若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．3 2解析：因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，即4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6.当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，所以最小值为6.答案：C12．已知M 是定值，下列各条件中，ab 没有最大值的条件是( ) A ．a 2＋b 2＝MB ．a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝MC ．a ＜0，b ＜0，且a ＋b ＝MD ．a ·b ＜0，a ＋b ＝M解析：由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22及ab ≤a 2＋b 22对任何实数a ，b 都成立，且a ＝b 时，等号成立，可知A 、B 、C 三项均有最大值．但D 项中不存在等号成立的条件，故D 项没有最大值．答案：D13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋ax y ＋y x ＋a ≥1＋2a ＋a ＝(1＋a )2.由(1＋a )2＝9，解得a ＝4.答案：B 二、填空题14．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：因为x ＋2y ＋2xy ＝8，所以y ＝8－x2x ＋2>0.所以0<x <8.所以x ＋2y ＝x ＋2×8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2（x＋1）·9x＋1－2＝4.当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，取“＝”号，此时x＝2，y＝1.答案：415．(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．解析：由正弦定理可得a＋2b＝2c.又cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－14（a＋2b）22ab＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－24，当且仅当3a＝2b时取等号，所以cos C的最小值为6－2 4.答案：6－2 4三、解答题16．(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令t＝e x(x>0)，则t>1，所以m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t>1成立．因为t>1，所以t－1>0.所以t －1＋1t －1＋1≥2（t －1）·1t －1＋1＝3.所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13. 当且仅当t －1＝1t －1，即t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立． 所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.。

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC中，sin2C＝sin2A＋sin2B，则△ABC为( ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R,得sin A＝a2R，sinB＝错误!, C＝错误!，又∵sin2C＝sin2A＋sin2B，∴c2＝a2＋b2。

∴△ABC为直角三角形．答案：A2．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析：由余弦定理得cos∠BAC＝错误!＝错误!＝－错误!.∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝错误!.故选A.答案：A3．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于( ）A．12 B.错误!C．28 D．6错误!解析：由余弦定理可得cos A＝错误!＝错误!，∴A＝60°,∴S△ABC＝错误!bc sin A＝6错误!.答案：D4．在△ABC中,下列关系一定成立的是（）A．a<b sin A B．a＝b sin AC．a>b sin A D．a≥b sin A解析: 由正弦定理知错误!＝错误!，∴sin B＝ba sin A.又∵在△ABC中，0〈sin B≤1，∴0〈错误!sin A≤1,∴a≥b sin A。

答案：D5．已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是( ）A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：设长为4,5的两边的夹角为θ,由2x2＋3x－2＝0得：x＝错误!或x＝－2(舍)．∴cos θ＝错误!，∴第三边长为错误!＝错误!。

答案: B6．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝1，b＝2，A＝30°C．a＝1,b＝2,A＝100°D．b＝c＝1,B＝45°解析: A:a＋b＝3＝c，不能构成三角形；B：b sin A〈a〈b，故有两解．C：a<b，故A应为锐角，而已知A＝100°，故不能构成三角形．D：b＝c＝1,故△ABC为等腰三角形,∴C＝B＝45°，∴A＝90°，故只有一解．答案: D7．在△ABC中，已知2sin A cos B＝sin C，那么△ABC一定是（) A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形解析：由2sin A cos B＝sin C得2sin A cos B＝sin A cos B＋cos A sin B。

第2章数列2.1 数列A级基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是()A．f(n)＝2n－1(n∈N*)是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列答案：C2．下列说法中正确的是()A．数列2，3，5可表示为{2，3，5}B．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列C．集合{1，3，5，7}与集合{7，5，3，1}是相同的集合D．数列1，3，5，7，…可记为{2n＋1}(n∈N*)解析：考查数列的定义及数列与数集的区别．答案：C3．数列1，3，7，15，…的一个通项公式是a n＝()A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2n－1解析：由数列的前四项可知，该数列的一个通项公式为a n＝2n－1.答案：D4．数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，n 2，n ≥2，则这个数列的前3项是( )A ．1，4，9B ．2，4，9C ．2，1，4D ．2，6，11解析：考查数列的通项． 答案：B5．已知数列12，23，34，45，…，nn ＋1，…，则0.96是该数列的第( )A ．20项B ．22项C ．24项D ．26项解析：由a n ＝n n ＋1，令nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.即a 24＝0.96.答案：C 二、填空题6．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n 12n ＋1，则a 10＝______；a 2n ＋1＝________．解析：a 10＝(－1)1012×10＋1＝121，a 2n ＋1＝(－1)2n ＋112（2n ＋1）＋1＝－14n ＋3.答案：121 －14n ＋37．已知a n ＝n 2－7n ＋6，则从第________项起{a n }的各项为正数．解析：由n 2－7n ＋6＞0得n ＜1或n ＞6，而n ∈N *，所以n ＞6. 答案：78．由数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…，可得有序数对(a ，b )为________．解析：从上面的规律可以看出 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝412，b ＝－112.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112 三、解答题9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝n ＋1n.解：(1)a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1.图象如图①所示． (2)a 1＝2，a 2＝32，a 3＝43，a 4＝54，a 5＝65.图象如图②所示．图① 图②10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －23n ＋1.(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列的项？ (3)判断数列{a n }的单调性，并求数列的最大项、最小项． 解：(1)由a n ＝3n －23n ＋1，令n ＝10，得a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得：9n ＝300，所以n ＝1003，由于n 不是正整数，因此，98101不是该数列的项． (3)由于a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1－33n ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－33n ＋1＝9（3n ＋1）（3n ＋4）. 又n ∈N ＋，(3n ＋1)(3n ＋4)>0，所以a n ＋1>a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列中的最小项为a 1＝14，无最大项．B 级 能力提升一、选择题11．在数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…的每相邻两项中插入4个数，构成一个新数列，则新数列的第36项( )A ．不是原数列的项B ．是原数列的第7项C ．是原数列的第8项D ．是原数列的第9项解析：在数列中插入四个数后，原数列中的k 项变为新数列中的[5(k －1)＋1]项．依题意得，5(k －1)＋1＝36，解得k ＝8.故选C.答案：C12．数列1，－1，－1，1，1，－1，－1，1，…的一个通项公式可以是( )A ．a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4B ．a n ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4C ．a n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋1D ．a n ＝（－1）n ＋1＋12解析：令n ＝1，2，3，检验可知，数列的通项为a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4.答案：A13．已知a n ＝n 2－21n2，则数列{a n }中相等的连续两项是( )A ．第9项，第10项B ．第10项，第11项C ．第11项，第12项D ．第12项，第13项解析：假设a n ＝a n ＋1，则有n 2－21n 2＝（n ＋1）2－21（n ＋1）2，解之得n ＝10，所以，相等的连续两项是第10项和第11项．答案：B 二、填空题14．数列32，83，154，245，356，487，…的一个通项公式为________．解析：数列的分母具有明显规律，因而只要进一步观察分子，发现分母比分子的平方小1，故知数列的通项公式为a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1＝n 2＋2n n ＋1(n ∈N *)． 答案：a n ＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N *)15．设a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N＋)，那么a n＋1－a n等于________．解析：因为a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N＋)，所以a n＋1＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2.所以a n＋1－a n＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.答案：12n＋1－12n＋2三、解答题16．已知数列{a n}中，a n＝n2－kn(n∈N＋)，且{a n}单调递增，求实数k的取值范围．解：因为a n＝n2－kn，所以a n＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)．所以a n＋1－a n＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.因为数列{a n}单调递增，所以a n＋1－a n>0，即2n＋1－k>0对n∈N＋恒成立．所以k<2n＋1对任意n∈N＋恒成立．而2n＋1的最小值为3.故只需k<3即可．所以k的取值范围为(－∞，3)．。

第1章 解三角形(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55解析：由余弦定理得AC 2＝32＋22－2×3×2cos π4⇒AC ＝ 5.再由正弦定理5sinπ4＝3sin∠BAC ⇒sin∠BAC ＝31010.答案：C2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由c 2＝72＋82－2×7×8×1314，得c ＝3，∴B 是最大角，cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.答案：C3．△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( )A. 2 B ．2 2 C.3＋1 D.12(3＋1)解析：由正弦定理，得2si n 30°＝csin 45°，解得c ＝22，∴△ABC 的面积 S ＝12ac ×sin B ＝12×2×22×sin 105° ＝22(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋1.答案：C4．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为35，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为( )A ．3,5B ．4,6C ．6,8D ．5,7解析：设三角形的两边为a ，b ，夹角为α，由cos α＝35可知，sin α＝45，由三角形面积公式，得12ab ×45＝14，得ab ＝35，观察选项知选D.答案：D5．(2013·辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，又a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由正弦定理得，sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝12⇒sin(A ＋C )＝12，亦即sin B ＝12，又a ＞b ，∴B ＝π6.答案：A6．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19解析：AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos〈AB →，BC →〉＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－|AB →|·|BC→|·cos B ＝－|AB →|·|BC →|·|AB →|2＋|BC →|2－|AC →|22·|AB →|·|BC →|＝－49＋25－362＝－19.答案：D7．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于( )A.63B.62C.12D.32解析：由大边对大角知A ＝75°，故边a 最长，边b 最短，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ＝63. 答案：A8．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( ) A ．90° B．120° C．135° D．150°解析：求最大、最小角之和即求中间角大小，由余弦定理知，cos B ＝52＋82－722×5×8＝12，∴B ＝60°，即最大角、最小角之和为A ＋C ＝180°－B ＝120°.答案：B9．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵A ＝60°，∴第三边即为a ，又b ＋c ＝7，bc ＝11， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16， ∴a ＝4. 答案：C10．在某海域，一货轮航行到M 处，测得灯塔P 在货轮的北偏东15°并与灯塔P 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P 在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) n mile/hB ．20(6－2) n mile/hC ．20(6＋3) n mile/hD ．20(6－3) n mile/h解析：如右图，由题意可知，∠M ＝15°＋30°＝45°，∠N ＝60°＋45°＝105°，故知∠P ＝30°，由正弦定理，得20sin 105°＝MNsin 30°，∴MN ＝10＋＝406＋2＝10(6－2)，故知速度为20(6－2) nmile/h.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝13，则其外接圆半径为________．解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×13＝9，∴c ＝3，sin C＝＝223， ∴R ＝c 2 sin C ＝98 2.答案：98212．在△ABC 中，A 、B 、C 是三个内角，C ＝30°，那么sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC 的值是________．解析：sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC ＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12R ×(a 2＋b 2－2ab cos C )＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12R ×c 2＝sin 2C ＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12＝14. 答案：1413．三角形的一边为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．解析：设另外两边分别为8x 、5x ，由余弦定理，得cos 60°＝64x 2＋25x 2－1422×5x ×8x ，解得x 2＝4，S △ABC ＝12×8×5x 2×sin 60°＝40 3.答案：40314．(2013·安徽卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，且3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由3sin A ＝5sin B ⇒3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ⇒b ＝35a ，c ＝75a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.答案：2π3三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)15．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3.(1)求△ABC 的面积；解析：(1)cos A ＝2cos 2A2－1＝2×2⎛⎫⎪⎝⎭5－1＝35，∴sin A ＝45，AB →·AC →＝bc ×35＝3.∴bc ＝5.故面积S ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)若c ＝1，求a 的值．解析：(2)由bc ＝5和c ＝1得b ＝5， ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋1－2×5×1×35＝2 5.16．(12分)在锐角三角形中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos A ＝55，sin B ＝31010.(1)求角C ；解析：(1)∵A ，B ，C 为锐角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝255，cos B ＝1－sin 2B ＝1010.∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝22， ∴C ＝π4.(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．解析：(2)由a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin Csin A ＝4×22255＝10，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×10×31010＝6.17.(14分)在△ABC 中，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求C ；解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，∴m·n ＝cos 2C2－sin 2C2＝cos C .又m·n ＝|m|·|n |cos π3＝cos π3＝12，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)已知c ＝3，三角形面积S ＝433，求a ＋b .解析：( (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝3，∴9＝a 2＋b 2－ab ，由S ＝12ab sin C ＝34ab ＝433，得ab ＝163，从而(a ＋b )2＝9＋3ab ＝25，∴a ＋b ＝5.18．(14分)如图，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为122°.半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．解析：在△ABC 中，∠B ＝152°－122°＝30°，∠C ＝180°－152°＋32°＝60°，∠A＝180°－30°－60°＝90°，BC ＝352，∴AC ＝352si n 30°＝354.∴船与灯塔间的距离为354n mile.19.(14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由A ＋B ＋C ＝π，得cos B ＝－cos(A ＋C )，于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ＝1⇒sin A sin C ＝12，①由a ＝2c 得sin A ＝2sin C ，②由①②得sin C ＝12，又a ＝2c ＞c ，∴C ＝π6.20．(14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＝223.(1)求tan 2B ＋C 2＋sin 2 A 2的值；解析：(1)在锐角三角形ABC 中，由sin A ＝223，得cos A ＝13，∴tan 2B ＋C 2＋sin 2 A 2＝sin 2 B ＋C 2cos2B ＋C 2＋sin 2 A 2.＝1－cos B ＋C 1＋cos B ＋C ＋12(1－cos A ) ＝1＋cos A 1－cos A ＋12(1－cos A ) ＝1＋131－13＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝73.(2)若a ＝2，S △ABC ＝2，求b 的值．解析：(2)因为S △ABC ＝2，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·223＝2，则bc ＝3.将a ＝2，cos A ＝13，c ＝3b 代入a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 4－6b 2＋9＝0，解得b ＝ 3.。

模块综合测试(B)(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订！）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果a＜0,b＞0，那么，下列不等式中正确的是（)A。

错误!＜错误! B.错误!＜错误!C．a2＜b2D．|a｜＞｜b|解析：如果a＜0，b＞0，那么错误!＜0,错误!＞0，∴错误!＜错误!。

答案: A2．已知两个正数a,b的等差中项为4,则a，b的等比中项的最大值为（)A．2 B．4C．8 D．16解析: 错误!≤错误!＝4，故选B。

答案：B3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝错误!，b ＝错误!，B＝120°，则a＝( ）A. 6 B．2C。

错误! D.错误!解析：由正弦定理，得错误!＝错误!，∴sin C＝错误!。

又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°,△ABC为等腰三角形,a＝c＝错误!，故选D.答案：D4．在等差数列{a n｝中，若a4＋a6＝12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9的值为（)A．48 B．54C．60 D．66解析：因为a4＋a6＝a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝2a5＝12，所以S9＝a1＋…＋a9＝54.答案：B5．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是错误!，则a＋b的值是( ）A．10 B．－10C．－14 D．14解析：不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是错误!，即方程ax2＋bx＋2＝0的解为x＝－错误!或错误!，故错误!解得错误!∴a＋b＝－14.答案：C6．△ABC的三个内角A，B,C所对的边分别为a，b,c，a sin A sin B ＋b cos2A＝2a,则错误!＝( )A．2错误!B．2错误!C。

错误!D。

错误!解析：由正弦定理,得sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B·（sin2A＋cos2A）＝错误!sin A，sin B＝错误!sin A，∴错误!＝错误!＝错误!.答案：D7．已知等差数列｛a n｝的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则错误!等于( )A。

第2章 数 列(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．在等差数列{a n }中，已知a 6＝8，则前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176解析：因为在等差数列中S 11＝11a 6＝11×8＝88. 答案：B2．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞ B ．(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3解析：依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ a 9≤0，a 10＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－24＋8d ≤0，－24＋9d ＞0，解得83＜d ≤3.答案：D3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9根B ．10根C ．19根D ．29根解析：设钢管被放成n 层，则钢管数为S n ＝n n ＋2，当n ＝19时，钢管数为190，当n ＝20时，钢管数为210＞200，故知只能放19层，剩余钢管为10.答案：B4．公比为32的等比数列{a n }各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：a 3a 11＝16⇒a 27＝16⇒a 7＝4，而a 16＝a 7q 9＝4×(32)9＝32，∴log 2a 16＝5. 答案：B5．等差数列{a n }共有2n 项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且a 2n －a 1＝－33，则该数列的公差为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1解析：依题意，可知n ·d ＝72－90＝－18，由a 2n －a 1＝－33得，(2n －1)·d ＝－33，∴－36－d ＝－33，∴d ＝－3.答案：B6．等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是( )A ．a 11B ．a 10C ．a 9D ．a 8解析：∵数列{a n }的前11项的平均值是5，即a 1＋a 112＝5，故得a 11＝15，又数列前11项的和为55，抽取1项后，余下10项的和为40，故知抽取的项是15，即抽取的项是a 11.答案：A7．数列{a n }前n 项的和S n ＝3n＋b (b 是常数)，若这个数列是等比数列，那么b 为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．1解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1.若数列{a n }成等比数列，则a n ＝2×3n －1，对于n ＝1时也要成立，即3＋b ＝2，∴b ＝－1.答案：C8．若{a n }，{b n }满足a n ·b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( ) A.12 B.512 C.13 D.712解析：b n ＝1a n ＝1n ＋3n ＋2＝1n ＋n ＋，用裂项法可求{b n }的前10项和为512.答案：B9．已知正整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是 ( )A ．(6,5)B ．(5,6)C ．(6,7)D ．(5,7)解析：按规律分组，第1组1个数对，第2组2个数对，…第n 组n 个数对，前10组共有10×112＝55个数对，因此第60个数对应是第11组中的第5个，即(5,7)．答案：D10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又c ＝2a .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．设S n 和T n 分别是等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，且S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.解析：因为在等差数列中S 2n －1＝(2n －1)a n ， ∴a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝n －＋2n －＋3＝14n －52n ＋2，∴a 5b 5＝14×5－52×5＋2＝6512. 答案：651212．随着计算机技术的不断发展，电脑的性能越来越好，而价格又在不断下降．若每隔2年电脑的价格可降低三分之一，则现在价格为8 100元的电脑在6年后的价格可降为________元．解析：依题意可知，6年后的价格为8 1003-⎛⎫ ⎪⎝⎭113＝2 400元．答案：2 400 13．设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1＞0，S n 为其前n 项和，则S n 中最大的是________．解析：3a 8＝5a 13，且a 1＞0，即3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，∴d ＝－239a 1＜0，令a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－239a 1＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－239n ＋4139＞0，解得n ＜412，∴{a n }中前20项和最大．答案：S 2014．(2013·湖南卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则a 3＝________.解析：S ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，即a 1＋a 2＋a 3＝－116，而S 3＝－a 3－18，解得a 3＝－116.答案：－116三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(12分)(2013·四川卷)等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．解析：设{a n }的分差为d ，前n 项和为S n ， 由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3.S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.16．(12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；解析：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d，解得d ＝1，d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)求数列{2a n }的前n 项和S n .解析：(2)由(1)知2a n ＝2n， 由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝－2n 1－2＝2n ＋1－2.17.(14分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R，n ∈N *)． (1)求q 的值；解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn 2－2n ＋q －p (n －1)2＋2(n －1)－q ＝2pn －p －2. ∵{a n }是等差数列． ∴p －2＋q ＝2p －p －2， ∴q ＝0.(2)若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足a n ＝2log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和．解析：(2)∵a 3＝a 1＋a 52，∴a 3＝18，又a 3＝6p －p －2，∴6p －p －2＝18，∴p ＝4，∴a n ＝8n －6，又a n ＝2log 2b n ，得b n ＝24n －3.∴b 1＝2，b n ＋1b n ＝2n ＋－324n －3＝24＝16，即{b n }是等比数列．∴数列{b n }的前n 项和T n ＝－16n1－16＝215(16n－1)．18．(14分)(2013·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；解析：(1)∵2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *，∴当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 2－13－1－23＝a 2－2，又a 1＝1，∴a 2＝4.(2)求{a n }的通项公式．解析：(2)已知式可变为2S n ＝na n ＋1－n n ＋n ＋3，①∴当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －n －n n ＋3，②①－②得2S n －2S n －1＝na n ＋1－(n －1)a n －n (n ＋1) 又∵a n ＝S n －S n －1，∴2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n (n ＋1) 即na n ＋1－(n ＋1)a n ＝n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，∴a n n＝n ，即a n ＝n 2(n ≥2)． 当n ＝1时显然也成立，故a n ＝n 2，n ∈N *.19.(14分)某企业2008年初投入资金1000万元经营某种产品，如果预计每年经过经营，资金的增长率为50%，但每年年底应扣除相同的消费基金x 万元，剩余资金全部投入再经营．为了实现到2012年年底扣除当年消费基金后的资金达到2000万元的目标，问每年扣除的消费基金x 应不大于多少万元？(精确到万元)解析：依题意，2008年底扣除消费基金后的资金有1 000(1＋50%)－x ＝32×1 000－x (万元)．2009年底扣除消费基金后的资金有32×1 000－x (1＋50%)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1 000－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32x (万元)．2010年底扣除消费基金后的资金有 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1 000－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32x (1＋50%)－x ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫323×1 000－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322x (万元)． 于是有：⎝ ⎛⎭⎪⎫325×1 000－1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋⎝ ⎛⎭⎪⎫324x ≥2 000. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫325×1 000－⎝ ⎛⎭⎪⎫325－132－1x ≥2 000. ∴42232x ≤1 000×17932. ∴x ≤1 000×179422≈424(万元)．因此每年扣除的消费基金应不大于424万元．20．(14分)(2013·江西卷)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；解析：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由{a n }是正项数列，∴S n ＞0，故S n ＝n 2＋n ， 于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ， 综上a n ＝2n .(2)令b n＝n＋1n ＋2a2n，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对任意的n∈N*，都有T n＜564.解析：(2)由a n＝2n，b n＝n＋1n ＋2a2n＝n＋14n2n＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n＋2，∴T n＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－132＋122－142＋…＋1n2－1n＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1n＋2－1n＋2＜116⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.。