Hilbert空间中有限多个拟非扩张映像的公共不动点集上的一类变分不等式的迭代算法

Hilbert空间中广义变分不等式的近似-似投影算法陈方琴;夏福全【摘要】In this paper, we consider the proximal projected-like method for solving generalized variational inequalities in Hilbert spaces. This method includes proximal method and projected-like method. At first, we obtain temporary iteration points by using proximal method, and then by using the projected-like method, we project the temporary point onto the feasible set of generalized variational inequalities to get the next iterative point. Under the assumptions that the set-valued mapping is maximal monotone, we prove that every weak accumulation point of the sequence is a solution of variational inequalities. Finally, under the condition that the distance-like function is a special function, we prove that the sequence has a unique weak accumulation point.%在Hilbert空间中研究了广义变分不等式解的近似-似投影算法,该算法包含了近似点算法和似投影算法.首先通过近似算法,获得暂时迭代点,然后利用似投影算法将该暂时的迭代点投影到广义变分不等式的可行集上,获得下一步的迭代点.在集值映象为极大单调的条件下,证明了迭代序列的任意弱聚点都是变分不等式的解.最后,在取特殊的似距离泛函的情况下证明了序列具有唯一的弱聚点.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)003【总页数】6页(P297-302)【关键词】近似点算法;似投影算法;似距离泛函;极大单调映象【作者】陈方琴;夏福全【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都 610066【正文语种】中文【中图分类】O176.3;O178设H为Hilbert空间，X为H中的非空闭凸子集，T：X→2H为集值映射.本文研究下列广义的变分不等式问题：求x*∈X，w*∈T(x*)，使得本文始终假设广义变分不等式问题(1)的解集S非空，并且X∩int(dom(T))≠Ø，或int(X)∩dom(T)≠Ø，其中广义变分不等式问题(1)在经济平衡、运筹学、数学物理等方面都有着广泛的应用［1］.同时，广义变分不等式问题(1)也和许多非线性问题有密切的关系，如相补问题、平衡问题、不动点理论等［2-3］.特别地，当 T是真凸下半连续泛函 f：H→R∪{+∞}的次微分时，广义变分不等式问题(1)退化为下列非光滑约束优化问题因此，对广义变分不等式问题(1)的研究无论是理论还是应用都很有意义.当集值映象T是强单调或者可行集X具有某种特殊结构(比如X是盒子)时，已有很多的有效算法计算广义变分不等式问题(1)的解［4-5］.但是，当集值映象T不是强单调或者可行集X不具有某种特殊结构时，广义变分不等式问题(1)的有效算法却不多.在这种情况下，应用最广泛的算法是投影算法，例如文献［6］.然而，一般情况下投影算子本身难以计算(事实上，必须要求解一个优化问题才能找到投影)，这使得投影型算法难以实现.如何降低投影算子的计算难度或者如何实现投影成为众多数学和应用数学工作者关注的问题.最近，A.Auslender等［7-8］为了克服这一难点，引入了似距离泛函，定义了似投影算子，并在映射T是极大单调以及T在X的有界集上有界的条件下得到迭代序列{xk}的凸组合的极限点是广义变分不等式问题(1)的解.另一方面，广义变分不等式问题(1)也等价于下列的变分包含问题：求x*∈X使得其中，NX是闭凸集X的正规对偶算子，其定义为：显然广义变分不等式问题(1)是下列问题的特例：其中，A是Hilbert空间H到自身的一个集值映射.对于(3)式的求解算法有很多(参见文献［9-11］)，其中最常见的方法之一是近似点算法，它的一般形式为然而，上式的精确解一般难以计算，特别当A为非线性算子时更困难.为了克服上述难点，近年有很多文献提出了非精确的近似点算法.具体方法是在上式中添加容许误差，从而计算上式的近似解(参见文献［12-13］).受上述工作的启发，本文在Hilbert空间中研究了广义变分不等式问题(1)的近似-似投影算法.该算法包含有非精确的近似点算法，即在近似点算法中包含有误差ξ，它满足一个容易验证的条件(5)(见算法2.1).应用非精确的近似点算法，获得暂时的迭代点.然后应用似投影算子，将暂时的迭代点投影到广义变分不等式的可行集上，获得下一步的迭代点，进而构造出变分不等式的迭代序列.本文在集值映象T是极大单调的条件下证明了迭代序列的有界性，也证明了迭代序列的弱聚点都为广义变分不等式问题(1)的解.最后，在取特殊的似距离泛函的情况下证明了序列的弱收敛性.本文只假设T是极大单调映射，去掉了T在X的有界集上有界的条件.因此，本文的结果推广了文献［7］中的相应结果.1 预备知识文中R+代表全体正实数.首先介绍A.Auslender等［7］给出的似投影算子的定义及性质：定义1.1 对任给的g∈H，x∈X，定义似投影算子P(g，x)如下：其中d：X×X→R+∪{+∞}为给定的泛函，且对任意的y∈X都有：(d1)d(·，y)是X上的真凸下半连续泛函且有d(y，y)=0，▽1d(y，y)=0，其中▽1d(·，y)是d(·，y)的梯度.(d2)domd(·，y)⊂X，dom∂1d(·，y)=X，其中∂1d(·，y)是d(·，y)的次梯度映象. (d3)d(·，y)在X上ρ强凸，即存在ρ＞0对于任意的y∈X都有设D(X)表示满足条件(d1)～(d3)的所有泛函的集合.易知，若d∈D(X)，则对于任意的g∈H，x∈X都有P(0，x)=x.也需要下面的似距离泛函.定义1.2［8］ X是Hilbert空间H的闭凸子集，d∈D(X)，称泛函F：X×X→R+∪{+∞}为由d诱导的近似距离.若F在X×X上为有限值，且存在σ＞0，γ∈(0，1］，使得对任意的a，b∈X有：引理1.1［8］假设d∈D(X)，F是满足定义1.2的似距离泛函，P是定义2.1中的似投影算子，则对于任意的τ∈X，y∈X都有定义1.3 设X是一个Hilbert空间H的非空子集，T：X→2H为集值映射，称(i)T为单调的，如果对任意的x，y∈X，u∈T(x)，v∈T(y)有(ii)T为极大单调的，如果T为单调映射，并且对于任何的单调映射只要满足都有引理 1.2［14］假设η∈［0，1)且μ=若v=u+ξ，其中‖ξ‖2≤η2(‖u‖2+‖v‖2)，则2 近似-似投影算法及其性质在本节中，首先介绍广义变分不等式问题(1)的近似-似投影算法;然后再研究该算法的一些有用性质.选取正实数序列{λk}和正数η∈［0，1)，构造下列的迭代算法：算法2.11)选取初始点z0∈H.令k=0.2)求xk∈X，使得其中，ξk∈H满足3)若gk+ωk=0，则算法停止，否则令其中4)令k=k+1，然后回到第2步.令A=T+NX，其中NX是由(2)式定义的闭凸集X的正规对偶算子，若T为极大单调映象且dom(NX)∩intdom(T)≠Ø，则A为极大单调映象.从而(I+λkA)-1有意义且是单值的［15］.由(4)式知xk=(I+λkA)-1(zk+ξk)，从而序列{xk}、{zk}有定义. 本文总假设T是极大单调集值映射，η∈［0，1)，现介绍算法2.1产生的迭代序列的一些性质.且序列{λk}满足性质2.1 若则证明令v=λk(gk+ωk)，u=zk-xk，将其带入引理1.2就可以得到性质(i)和(ii).对于(iii)一方面利用Cauchy-Schwarz不等式及(i)有另一方面由(ii)可知注2.1 在算法2.1的第3步中，若gk+ωk= 0，则-ωk∈NX(xk)，从而有因此，xk是广义变分不等式问题(1)的解.另一方面，若gk+ωk≠0，由性质2.1(ii)知由T的伪单调性知对于任意的x*∈S，又因为gk∈NX(xk)则可得性质2.2 设且对任意k都有gk+ωk≠0，则且序列{F(x*，zk)}收敛.证明在引理1.1中，令τ=x*，g=βk(gk+ ωk)，结合(6)式有从而由定义2.2(ii)，上式等于这里由(10)式可得.另一方面所以将(11)～(12)式相结合有由(7)式，上式等于由(7)、(9)式以及可知从而即序列{F(x*，zk)}单调递减.又根据似距离泛函F的定义知对任意的k都有F(x*，zk)≥0，故序列{F(x*，zk)}收敛.性质2.3 假设序列{λk}满足(8)式，则存在一个常数ζ＞0使得证明如果gk+ωk=0，则上式成立.现假设gk +ωk≠0.由性质2.1(ii)有因为λk∈［α1，α2］，所以令性质2.4 假设序列{λk}满足(8)式且1-则证明若gk+ωk≠0，则由(8)、(13)和(14)式以及性质2.1(iii)可知，对于任意的k 有对上式取极限并由序列{F(x*，zk)}的收敛性得性质2.5 假设{xk}、{zk}是由算法2.1产生的两个无限序列，{λk}满足(8)式，则{xk}、{zk}都有界且具有相同的弱聚点.证明由性质2.2和定义1.2(iii)知序列{zk}有界，利用性质2.4和性质2.1(i)，可得所以有因为{zk}有界，从而可得{xk}有界.由(15)式知{xk}和{zk}具有相同的弱聚点.3 收敛性分析定理3.1 如果由算法2.1产生的序列{xk}是有限序列，则序列最后一项为广义变分不等式问题(1)的解.证明若序列{xk}为有限序列，则对于序列的最后一项算法2.1将在第3步停止，故有gk+ωk= 0.由注2.1知xk∈X且是广义变分不等式问题(1)的解.现在假设由算法2.1产生的序列{xk}是无限序列，下面将证明{xk}的弱聚点是广义变分不等式问题(1)的解.定理3.2 设{xk}是由算法2.1产生的序列，则{xk}的任意弱聚点都是广义变分不等式问题(1)的解.证明假设是{}的任意一个弱聚点，由此可以得到一个{xk}的子列弱收敛于.不失一般性，假设xk=(弱收敛).因为{xk}⊂X，所以∈X.由性质2.5知对于所有的v∈H，任意选取u∈T(v)+NX(v)，则存在点ω'∈T(v)和g'∈NX(v)，使得ω'+g'=u.因此，两个不等式相加有因为ω'+g'=u，所以由于‖ωk+gk‖→0，且{xk}有界，故有对(16)式取极限所以故存在使由NX的定义知从而所以是广义变分不等式问题(1)的解.当似距离泛函F(x，y)具有特殊结构时，将证明算法2.1产生的迭代序列{zk}、{xk}弱收敛于广义变分不等式问题(1)的解.下面推论的证明与R.T.Rockafellar［16］中证明序列收敛的方法一样.推论3.1 令F(x，y)=m‖x-y‖2，其中常数则由算法2.1产生的序列{zk}有唯一的弱聚点，从而{xk}和{zk}弱收敛.证明对于任意的x*∈S，由性质2.2知{m‖x*-zk‖2}收敛，下面证明序列{zk}有唯一的弱聚点.假设是{zk}的两个弱聚点，{zkj}和{zki}是{zk}的两个子序列且分别弱收敛于由性质2.5知是序列{xk}的弱聚点.再由定理3.2知根据性质2.2知序列和收敛.令则分别对(17)～(18)式取极限，由于{zkj}、{zki}分别弱收敛于所以〈和都收敛于0.由α1、α2、θ的定义可得由(19)和(20)式可得从而θ=0，故所以{zk}的所有子列具有相同的弱聚点，从而{zk}弱收敛，由性质2.5知{xk}弱收敛.参考文献［1］Fang Y P，Huang N J.Variational-like inequalities with generalized monotone mappings in Banach spaces［J］.Optim Theo Appl，2003，118(2)：327-338.［2］吴定平.随机变分不等式和随机相补问题［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2005，28(5)：535-537.［3］张石生.变分不等式和相补问题理论及应用［M］.上海：科学技术文献出版社，1991.［4］Auslender A，Teboulle M.Interior gradient and proximal methods for convex and coinc optimization［J］.SIAM J Optim，2006，16：697-725. ［5］Xia F Q，Huang N J，Liu Z B.A projected subgradient method for solving generalized mixed variational inequalities［J］.Oper Research Lett，2008，36：637-642.［6］Solodov M V，Svaiter B F.A new projection method for variational inequality problems［J］.SIAM J Control Optim，1999，37(3)：765-776. ［7］Auslender A，Teboulle M.Projected subgradient menthods whih non-euclidean distances for non-differentiable convex minimization and variational inequalities［J］.Math Program，2009，120：27-48.［8］Auslender A，Teboulle M.Interior projection-like methods for monotone variational inequalities［J］.Math Program，2005，A104：39-68.［9］Eckstein J，Bertsekas D P.On the Douglas-Rachford splitting method and the proximal point algorithm for maximal monotone operators［J］.Math Program，1992，55：293-318.［10］Eckstein J，Svaiter B F.A family of projective splitting methods forthe sum of two maximal monotone operators［J］.Math Pro-gram，2008，111：173-199.［11］Eckstein J，Ferris M.Smooth methods of mulitipliers forcomplementarity problems［J］.Math Program，1999，86：65-90. ［12］Solodov M V，Svaiter B F.Error bounds for proximal point subproblems and associated inexact proximal point algorithms［J］.Math Program，2002，88：371-389.［13］Solodov M V，Svaiter B F.A hybrid projection-proximal point algorithm［J］.J Convex Anal，1999，6：59-70.［14］Solodov M V，Svaiter B F.A unified framework for some inexact proximal point algorithms［J］.Numer Funct Anal Optim，2001，22：1013-1035.［15］Minty G.A theorem on monotone sets in Hilbert spaces［J］.J Math Anal Appl，1967，97：434-439.［16］Rockafellar R T.Monotone operators and the proximal point algorithm［J］.SIAM J Control Optim，1976，14：877-898.［17］Ding X P，Xia F Q.A new class of completely generalized quasi-variational inclusions in Banach spaces［J］.J Comput Appl Math，2002，147：369-383.［18］Xia F Q，Huang N J.Variational inclusions with general H-monotone operators in Banach spaces［J］.Comput Math Appl，2007，54：24-30. ［19］Rockafellar R T，Bets R J.Variational Analysis［M］.New York：Springer-Verlag，1988.［20］Teboulle M.Convergence of proximal-like algorithms［J］.SIAM J Optim，1997，7：1069-1083.。

Hilbert空间中变分不等式的一种新算法
方长杰;王盈
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(038)006
【摘要】提出在Hilbert空间中求解变分不等式问题的新的混合超梯度算法,在f 是单调且连续的映射的假设下,证明由新的混合超梯度算法所生成迭代序列强收敛到变分不等式问题的解集与可数无限个非扩张映射的不动点集合的公共元素.
【总页数】6页(P824-829)
【作者】方长杰;王盈
【作者单位】重庆邮电大学理学院,重庆400065;重庆邮电大学理学院,重庆400065
【正文语种】中文
【中图分类】O177.92;O178
【相关文献】
1.MIMO空间复用系统中的一种新的低复杂度球形检测算法 [J], 任光亮;段昕利;郁光辉;杨丽花
2.一种新的子空间更新算法在DOA估计中的应用 [J], 胡茂兵;汤炜;蔡灿辉
3.Banach空间中关于广义变分不等式问题和不动点问题的一种新的迭代算法 [J], 胡绍涛;蔡钢
4.Hilbert空间中均衡问题、不动点问题和变分不等式的新迭代算法 [J], 段丽凌;
刘元星
5.从空间数据库中挖掘频繁邻近类别集的一种新算法 [J], 马荣华;何增友
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Hilbert空间中拟压缩映射的不动点迭代
骆舒心;江卫华
【期刊名称】《河北轻化工学院学报》
【年(卷),期】1997(018)004
【摘要】在Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中讨论Ｈｉｃｋｓ和Ｋｕｂｉｃｅｋ提出了的一个问题，对于Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ拟压缩映射证明了不动点的迭代收敛性。

【总页数】2页(P18-19)
【作者】骆舒心;江卫华
【作者单位】河北科技大学（中校区）基础课部;河北科技大学（中校区）基础课部
【正文语种】中文
【中图分类】O189.2
【相关文献】
1.Hilbert空间中有限多个拟非扩张映像的公共不动点集上的一类变分不等式的迭代算法 [J], 何江彦;刘立红;冯光辉
2.Hilbert空间中拟非扩张映像族公共不动点的迭代算法 [J], 何斌;陈东青;周宇
3.完备凸度量空间中拟压缩映射对的公共不动点迭代法 [J], 刘才贵
4.Hilbert空间中k-严格拟伪压缩映像有限族公共不动点的迭代算法 [J], 何斌;陈东青
5.Hilbert空间中闭的拟非扩张映像不动点的另一迭代算法 [J], 张东凯;周海云因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Hilbert空间中广义变分不等式的投影算法李涛; 夏福全【期刊名称】《《四川师范大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2011(034)005【总页数】5页(P610-614)【关键词】投影算法; 弱收敛; 伪单调.映象【作者】李涛; 夏福全【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院四川成都610066【正文语种】中文【中图分类】O176.3; O178设H为Hilbert空间，X为H中的非空闭凸子集，T：X→2H为集值映射.本文研究下列广义变分不等式问题：求x*∈X，w*∈T(x*)使得变分不等式问题在经济平衡、运筹学、数学物理等方面都有着广泛的应用［1－2］.同时，变分不等式问题也和许多非线性问题有密切的关系，如优化问题、相补问题、平衡问题、不动点理论等［3－5］.因此，对变分不等式(1)无论是理论还是应用上都有着深入的研究.同时，也有许多的迭代算法计算问题(1)的解.然而，为了迭代算法的收敛，很多算法都要求变分不等式中的映象为单值的或严格单调的，只有很少的方法克服了这一难题，比如平均算法等［6－7］.当变分不等式中的映象为集值映象时，这些算法至少都要求问题(1)中的映象是单调的.当集值映象非单调时，这些算法产生的迭代算法都不收敛.因此，很有必要研究非单调的情况下变分不等式问题(1)的迭代算法.最近，F.Q.Xia等［8］在Hilbert中研究了广义混合变分不等式解的投影算法，他们在集值映象仿单调的假设条件下，证明了迭代算法的序列收敛于混合变分不等式的解.众所周知，投影算法最早起源于G.M.Korpelevich［9］的外梯度算法，它有比较容易实现且适用范围广泛等特点.并且，在许多单值变分不等式的投影算法中，都只要求映象连续而非单调［10－11］.因此，能不能用F.Q.Xia等［8］的投影算法研究非单调变分不等式(1)的解自然成为人们关心的问题.另一方面，J.P.Crouzeix等［12］研究了集值映象广义单调的定义，定义了比单调映象更弱的伪单调+、伪单调*、伪单调+*映象，并获得了下列结果：性质A 设X是Rn中的非空紧子集且集值映象T在X上是伪单调*和有界闭的.再设{xk}是X中的序列，rk∈T(xk)满足其中x*是变分不等式(1)的解.则序列{xk}的任意极限点都是变分不等式(1)的解.但文献［12］中，J.P.Crouzeix等并没有给出具体的算法.因此，自然会问，能不能构造一个具体的算法获得J.P.Crouzeix等［12］的收敛性结果.本文在Hilbert空间中研究了广义变分不等式的投影算法.在集值映象为伪单调*的条件下，证明了迭代序列弱收敛于广义变分不等式的解，获得了J.P.Crouzeix等［12］的收敛性结果.同时，本文也削弱了F.Q.Xia等［8］的映象为仿单调的假设条件，推广了文献［8］中的相应结果.1 预备知识设X⊂H是一个非空闭凸集，表示点z到X的距离.设PX［z］为点z到X上的投影，即PX［z］满足下面是投影算子的性质，将在后面用到.性质1.1 设X是一个Hilbert空间的非空闭凸集，则下面的性质成立：1)〈x－y，x－PX［x］〉≥0，∀x∈H，∀y∈X;2)对任意的x，y∈H都有‖PX［x］－PX［y］‖≤‖x－y‖.定义1.1 设X是一个Hilbert空间的非空子集，T：X→2H为集值映射，称：(i)T为单调的，如果对任意的x，y∈X，u∈T(x)，v∈T(y)有(ii)T为伪单调的，如果对任意的x，y∈X，u∈T(x)，v∈T(y)有(iii)T为伪单调*的，如果T在X上是伪单调的，并且存在一个正数γ，使得对任意的x，y∈X，u∈T(x)，v∈T(y)有定义1.2 设X是一个Hilbert空间的非空子集，T：X→2H为集值映射，如果存在L＞0，使得对于X的任意子集B有称T在集合B上Lipschitz连续，其中H(·，·)为H中的非空有界闭子集上的Hausdorff度量.定义1.3 设T为X上的集值映射，{xk}⊂X且弱收敛到¯，wk∈T(xk).如果{wk}弱收敛于时总有，则称集值映射T在X上为弱闭的.显然，如果集值映射T在X上是弱闭的，则对任意的x∈X，T(x)为H空间上的弱闭子集.引理1.1 设αk和βk为实序列.假设对所有的k≥0有αk≥0且又设存在和θ＞0使得当时有βk≥0且对所有的k有则定义1.4 设H为Hilbert空间，V为H上的非空子集，如果对任意的存在和一个序列δk⊂R+使得当时有以及则称序列{xk}在集合V上拟Fejéi收敛.下面的结论为Y.I.Alber等［13］中的性质1.引理1.2 设{xk}为集合V上的拟Fejéi收敛序列，则下列性质成立：(a){xk}有界;(b)对所有的收敛;(c)如果序列{xk}的所有弱聚点属于V，则序列{xk}是弱收敛的且{xk}有唯一的聚点.2 投影算法从现在起假定条件(A1)～(A3)成立.(A1)广义变分不等式问题(1)的解集非空.(A2)伪单调*映射T：X→2H在X的非空有界集上有界和Lipschitz连续，并且在X上是弱闭的.(A3)设{xk}为非负实序列且满足由假设(A2)，易知T在X的任何有界子集上是有界的.下面介绍关于广义变分不等式问题(1)的算法.算法2.11)选取初始的x0∈X和w0∈T(x0).令k=0.2)如果0∈T(xk)则运算终止，否则进行第3)步.3)取ηk=max{1，‖wk‖}，令其中，αk满足条件(2)～(3)式.4)取wk+1∈T(xk+1)，满足令k=k+1，然后回到第2)步.注2.1 Hilbert空间H上集值映射T若是闭值的，则T为弱闭凸值的.由假设(A3)，知道T是非空有界闭的.因此，由Nadler定理［14］知存在wk+1∈T(xk+1)使得现在在Hilbert空间H中分析由算法2.1产生的序列{xk}的收敛性.定理2.1 若算法2.1产生的序列{xk}是有限的，则序列的最后一项xk为变分不等式(1)的解.证明如果序列{xk}是有限的，则在算法2.1中，对于某个xk，运算将终止于第2)步.因此，0∈T(xk)和存在w∈T(xk)，使得因此xk是变分不等式(1)的一个解.从现在开始，总假设算法2.1产生的序列为无限序列.将证明序列{xk}的收敛性.下面定理2.2的证明方法与Y.I.Alber等［13］的引理1的证明方法类似.定理2.2 假设条件(A1)～(A3)成立，则由算法2.1产生的序列{xk}是有界的.证明设S为变分不等式(1)的解集.令由(4)式知对所有k都有xk∈X，因此PX［xk］=xk.利用性质1.1的2)和‖wk‖≤ηk可得由下面的式子，将推导出是有界的.由(6)式得由性质1.1的1)，上式由(6)式，上式由‖wk‖≤ηk，得上式即因x*∈S，所以存在w*∈T(x*)使得将y=xk代入(8)式得由T的伪单调性得知因此，βk≥0.由(7)式得现在证明序列{xk}是有界的.令由(3)式知r＜∞，故因为对所有k有所以因此，序列{xk}包含在以x*为中心的某邻域内，从而{xk}是有界的.定理2.3 设x*∈S为变分不等式(1)的一个解，βk=〈wk，xk－x*〉.如果假设条件(A1)～(A3)成立，则证明由定理2.2知，序列{xk}是有界的.对所有k，存在一个常数λ＞0使得‖xk‖≤λ.令B为包含{xk}的有界集.由假设(A2)知，{wk}是有界的，因此对所有的k存在常数ρ＞1使得‖wk‖≤ρ，从而由(11)式得对(12)式求和得由(3)式可得另一方面，由Cauchy－Schwartz不等式，上式由(5)式，上式由T的Lipschitz连续性以及(6)式，上式即由(9)式知对所有k有βk≥0.再由(2)、(14)、(15)式和引理1.1得定理2.4 假设(A1)～(A3)成立，则由算法2.1产生的序列{xk}的每一个弱聚点都是变分不等式(1)的一个解.证明由定理2.2知，序列{xk}是有界的，故{xk}存在弱聚点.设¯x为{xk}的任一弱聚点，则存在{xk}的子列弱收敛于¯x.不失一般性，假设{wk}弱收敛于¯x.根据{xk}的有界性以及假设条件(A2)知，{wk}是有界的.因此，{wk}存在弱收敛子列.不妨假设{wk}弱收敛于¯w.由于T是弱闭的，所以¯w∈T(¯x).由定理2.3知由此可得根据T的伪单调性有又因为x*是变分不等式(1)的一个解，故存在w*∈T(x*)使得由(16)、(17)式知存在w*∈T(x*)使得又因为T是伪单调*的，所以存在正常数k使得.故存在使得这说明¯是变分不等式(1)的一个解.定理2.5 假设条件(A1)～(A3)成立，则由算法2.1产生的序列{xk}是弱收敛的.证明对任意的x*∈S，由(11)式可知由(3)式知，由定义1.4知序列{xk}是拟收敛的.再由定理2.4和引理1.2(c)可得序列{xk}是弱收敛的.参考文献［1］丁协平.一类广义变分不等式及应用［J］.四川师范大学学报：自然科学版，1994，17(6)：10－16.［2］Auslender A，Teboulle M.Interior gradient and proximal methods for convex and conic optimization［J］.SIAM J Optim，2006，16：697－725. ［3］吴定平.随机变分不等式和随机相补问题［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2005，28(5)：535－537.［4］张石生.变分不等式和相补问题理论及应用［M］.上海：科学技术文献出版社，1991.［5］Auslender A，Teboulle M.Projected subgradient methods with non－Euclidean distances for non－differentiable convex minimization and variational inequalities［J］.Math Program，2009，120(1)：27－48. ［6］Rockfellar R T.Monotone operators and the proximal point algorithm ［J］.SIAM J Control Optim，1976，14：877－898.［7］Iusem A N，Svaiter B F，Teboulle M.Entropy－like proximal methods in convex programming［J］.Math Oper Res，1994，19：790－814. ［8］Xia F Q，Huang N J，Liu Z B.A projected subgradient method for solving generalized mixed variational inequalities［J］.Operations Research 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关于严格伪压缩映射与均衡问题的一个修正迭代格式黄丽月;胡艳芳;陶燕【摘要】在Hilbert空间,论文给出了关于严格伪压缩映射与均衡问题的一个修正的迭代格式. 在迭代参数满足新的条件下,获得了一个强收敛定理,所得结果是相关文献结果的补充和完善.【期刊名称】《红河学院学报》【年(卷),期】2010(008)004【总页数】6页(P37-42)【关键词】严格伪压缩映射;不动点;均衡问题;强收敛【作者】黄丽月;胡艳芳;陶燕【作者单位】红河学院数学学院,云南,蒙自,661100;红河学院数学学院,云南,蒙自,661100;红河学院数学学院,云南,蒙自,661100【正文语种】中文【中图分类】O17设表示实Hilbert空间,〈.,.〉和‖.‖分别表示它的内积及范数,是的非空闭凸子集.设映射Φ:C×C→R(其中是实数集).关于Φ的均衡问题(简称EP)是指:找一个元x∈C 使得设EP(Φ)表示问题(1)的解集.如果,Φ(x,y)=〈Ax,y-x〉,其中映射A:C→H是非线性算子,则问题(1)退化为经典变分不等式问题:找一个元x∈C,使得设T是H中的映射,D(T)和R(T)分别表示T的定义域和值域,F(T)表示T的不动点集,F(T)={x∈D(T):Tx=x}.如果‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,∀x,y∈D(T),则称T是非扩张映射;如果存在常数k且0≤k<1,使得则称T是k-严格伪压缩映射.显然,非扩张映射是0-严格伪压缩映射.通过迭代逼近方法,许多作者讨论了均衡问题(1)与某些非线性算子不动点问题的公共逼近解,例如文献[1-4].在文献[1]中,曾六川等建立了关于k-严格伪压缩映射的迭代格式其中{an},{rn}是非负实数列且满足{an}⊂[a,β](a,β∈(k,1))和>0.曾六川等获得下面的结果:定理C1[1]设C是H的非空闭凸子集,映射Φ:C×C→R满足(A1)-(A4)(见第二节),T:C→C是k-严格伪压缩映射且(T)∩EP(Φ) Ø.设x1∈C,{xn}和{un}迭代格式(3)产生的序列.若(3)的迭代参数an, rn满足条件:(i){an}⊂(a,β),a,β∈(x,1);(ii)>0.则{xn}和{un}分别弱收敛于P∈F(T)∩EP(Φ).定理C2[1]设C是H的非空闭凸子集,映射Φ:C×C→R满足(A1)-(A4)(见第二节),T:C→C是k-严格伪压缩映射且F(T)∩EP(Φ) Ø.设x1∈C,{xn}和{un}是迭代格式(3)产生的序列.若迭代格式(3)的迭代参数an,rn满足下面的条件:(i),{an}⊂(a,β),a,β∈(k,1);:(ii)(xnF(T))∩EP(Φ))=0,其中d(xnF(T))∩EP(Φ))表示xn到F(T))∩EP(F))的距离.注:定理C1和C2中的迭代参数种自然选择.受文献[1]的启发,我们建立一个新的迭代格式,在迭代参数满足新的条件下,获得了一些强收敛性定理.我们所获得的结果是文献[1]结果的补充与完善.为了证明本文的结果,需要介绍下面的预备知识.设H表示实Hilbert空间,则对于任何λ∈[0,1]和∀x,y∈H有则 (1)Tr是单值的;(2)∀y∈H,有‖Tr(x)-Tr(y)‖2≤〈Tr(x)-Tr(y),x-y〉(3)F(Tr)=EP(Φ)(4)EP(Φ)是非空闭凸集.引理1.4设∀x,y∈H,则‖x+y‖2≤‖y‖2+2〈x,x+y〉.引理1.5[7]设{an}是非负实数列并满足ax+1≤(1-an)an+anσn+yn,n≥0若(i)a n∈[0,1],Σan=∞,(ii),lim supσn≤0,(iii)yn≥0,Σyn<∞,则当n→∞,an→0.引理1.6[8]设C是实H ilbert空间的闭凸子集,T:C→C是k-严格伪压缩映射,则I-T 是半闭的,即当xn弱收敛于x和(I-T)xn强收敛于y时,x∈C和(I-T)x=y,其中I是恒等映射.定理2.1设是C实H ilbert空间H的非空闭凸子集,映射满足条件Φ:C×C→R满足条件(A1)-(A4), T:C→C是k-严格伪压缩映射(其中0≤k<1),EP(Φ)∩F(T)≠Ø,定义序列{xn}和{un}为:其中v,x1∈C,σ∈(0,1-k),an∈(0,1),an,βn,rn满足下列条件:证明.首先证明{xn}有界.设u∈◊,由于T是k-严格伪压缩映射,因此从(4)式得到:另一方面,从引理1.3知un=Tynxn,因此‖un-u‖≤‖Tynsn-Tyn‖≤‖xn-u‖,于是上述(6)式可用数学归纳法证明,这里略去.从(6)式可知{x}界.因此,{y}和{z}也有界. 由un=Trnxn和引理1.3得和在(9)取yn+1和在(10)取y=u可得和致谢:首先,衷心感谢大学生科技创新基金的支持.其次,在本文的撰写过程中,何振华老师作为我的指导老师,他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.他给予我细心的指导和不懈的支持,在此衷心的感谢何老师.【相关文献】〔1〕L.-C.Ceng,S.Al-Homidan,Q.H.Ansari,J.-C.Yao,An iterative scheme for equilibrium problems and fixed pointproblems of strict pseudo-contraction mappings[J],Journal of Computational and AppliedMathematics,2009,15:967-974〔2〕A.Tada,W.Takahashi,Strong convergence theorem for an equilibrium problem and a nonexpansive mapping[J],Optim.Theory Appl.,133(2007)359-370.〔3〕XiaolongQin,Shih-sen Chang,Yeol JeCho,Iterative methods for generalized equilibrium problems and fixed point problemswithapplications[J],NonlinearAnalysis,doi:10.1016/j.nonr wa.2009.10.017.〔4〕bettes,S.A.Hirstoaga,Equilibrium programming in Hilbert space[J],Nonlinear convexAnal.6(2005)117-136.〔5〕Tomonari Suzuki,Strong convergence theorems for infinite families of nonexpansive mappings in general Banach spaces[J],Fixed。

关于k-严格伪非扩展映象的不动点问题罗光耀;龚黔芬【摘要】介绍了一类新的k-严格伪非扩展映象,举例说明了该类映象的存在性,并在Hilbert空间中建立严格伪扩展映象的不动点与变分不等式问题解集的等价关系.利用该等价关系和求解变分不等式问题的投影技巧、预解算子技巧和松弛迭代等方法,可以研究逼近k-严格伪非扩展映象不动点的数值方法.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(032)011【总页数】4页(P71-73,79)【关键词】非扩展映象;k-严格伪非扩展映象;不动点;变分不等式;Hilbert空间【作者】罗光耀;龚黔芬【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;重庆工商大学计算机与信息工程学院,重庆400067【正文语种】中文【中图分类】O117.91设H为一实Hilbert空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉和C为H的一个非空闭凸子集,称 T:C→C为非扩展映象,如果从文献[1]可知,式(1)等价于称T:C→C为k-严格伪压缩映象[2],如果存在常数k∈[0,1),使得如果k=0,称T为非扩张映象,即,∀y∈C. 称T:C→C为k-严格伪非扩展映象,如果存在常数k∈[0,1),使得显然,每一个非扩展映象都是拟非扩张映象且0-严格伪非扩展映象,但其逆命题并不成立.所以,k-严格伪非扩展映象是非扩展映象的推广形式. 此处以Fix(T)表示T的不动点集合,即Fix(T)={x∈C,Tx=x}.不动点理论是现代非线性分析的重要组成部分,广泛应用于经济决策、最优化理论、算子理论、数值分析和动力系统等经济和工程技术领域. 近年来,非线性映象的不动点定理及其逼近算法引起了数学研究者的极大兴趣,他们努力寻求各种关于不动点问题的数值算法、变分不等式、平衡问题和鞍点问题等,并获得了一系列很好的研究成果[2-13].文章目的是在Hilbert空间中建立k-严格伪非扩展映象的不动点与不等式问题解的等价关系,为进一步探索变分不等式和平衡问题的数值解提供必要的理论基础.设C为Hilbert空间H的一个非空闭凸子集,A:C→H为一非线性映象. 考虑如下变分不等式问题: 求一点x∈C,使得用VI(C,A)表示变分不等式问题(4)的解集. 对任意x∈H,在C中存在唯一的最近点Pcx,即称PC为H到C上的度量投影. 从文献[5]可知,PC是非扩张的,且u=PCx的充分必要条件是称映象A:C→H是α-逆强单调的,如果存在常数α>0,使得现举例说明该类推广的k-严格伪非扩展映象及其不动点问题的存在性.例1[7] 设R表示实数集,如下定义映象T:R→R，不难验证,T是k-严格伪非扩展映象,却不是非扩展映象且Fix(T)=(-∞,0].例2 取,则T:C→C是k-严格伪非扩展映象,其中证明首先,不妨设x,y∈]，则，且由于,则所以,对任意k∈[0,1),使得其次,当x∈[-1,0],y∈[0,1],即且由于x∈[-1,0],[0,1],则所以,对任意k∈(0,1)，式(5)仍然成立. 最后,当 ,由第一种情形类似可证.因此,T:C→C是k-严格伪非扩展映象且Fix(T)={1}.定理1 设C为Hilbert空间H的非空闭凸子集,T:C→C为k-严格伪非扩展映象且Fix(T)≠∅,则Fix(T)=VI(C,I-T).证明记A=I-T,取p∈Fix(T),即p=Tp(Ap=0),则即p∈VI(C,A),进一步得Fix(T)⊆VI(C,I-T).另一方面,设u*∈VI(C,A),即〈( I-T)u*,v-u*〉≥0,∀v∈C，且整理得即u*∈Fix(T),进一步得VI(C,I-T)⊆Fix(T) . 因此,Fix(T)=VI(C,I-T).注1 定理1建立了k-严格伪非扩展映象的不动点和变分不等问题解的等价关系,利用该等价关系和求解变分不等式问题的投影技巧、预解算子技巧和松弛迭代等方法,可进一步研究逼近k-严格伪非扩展映象不动点的数值算法和收敛分析等问题.[1] IEMOTO S,TAKAHASHI W. Approximating Commom Fixed Points of Nonexpansive Mappings and Nonspreading Mappings in a Hilbert Space[J]. Nonlinear Anal,2009(71): 2080-2089[2] MARINO G,XU H K. Weak and Strong Convergence Theorems for StrictPseudo-contractions in Hilbert Spaces[J]. J Math Anal Appl,2007(329): 336-346[3] 谷峰.有限个平衡问题与非扩张映象不动点问题的复合迭代方法[J]. 系统科学与数学,2011,31(7): 859-871[4] VERMA R U. General Convergence Analysis for Two-step Projection Methods and Applications to Variational Problems[J]. Appl MathLett,2005(18): 1286-1292[5] 闻道君,龚黔芬.有限个广义渐近非扩张映射的公共不动点逼近[J].重庆工商大学学报:自然科学版,2010,27(1):11-14[6] 闻道君,陈义安.广义非凸变分不等式解的存在性与投影算法[J].数学杂志,2012,32(3):475-480[7] OSILIKE M O,ISIOGUGU F O. Weak and Strong Convergence Theorems for Nonspreading-type Mappings in Hilbert Spaces[J]. NonlinearAnal,2011(74): 1814-1822[8] CENG L C,Al-HOMIDAN S,ANSARI Q H,et al. An Iterative Scheme for Equilibrium Problems and Fixed Point Problems of Strict Pseudo-contraction Mappings[J]. J Comput Appl Math,2009(223): 967-974[9] BLUM E,OETTLI W. From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems[J]. Math Student,1994(63): 123-145[10] 闻道君,万波.一类新的广义非凸变分不等式问题的近似解[J].云南大学学报:自然科学版,2014,36(1):1-5[11] WEN D J,CHEN Y A. Strong Convergence of Modified General Iterative Method for Generalized Equilibrium Problems and Fixed Point Problems of k-strict Pseudo-contractions[J]. Fixed Point Theory andAppl,2012(2012): 125[12] KUROKAWA Y,TAKAHASHI W. Weak and Strong Convergence Theorems for Nonspreading Mappings in Hilbert Spaces[J]. Nonlinear Anal,2010(73): 1562-1568[13] KANGTUNYAKARN A. The Methods for Variational Inequality Problems and Fixed Point ofk-strictly Pseudononspreading Mapping[J]. Fixed Point Theory and Appl,2013(2013): 171-175Key words： nonspreading mapping; k-strictly pseudononspreading mapping; fixed point; variational inequality; Hilbert space。