Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近

非Lipschitz渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近张树义;宋晓光;万美玲;李丹【摘要】在去掉{xn}有界的条件下，从而没有使用{T n xn}和{T n yn-yn}的有界性条件，在实Banach空间中建立了非一致Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的更一般的具混合误差的修改的Ishikawa迭代序列的强收敛定理，从而改进和推广了已有的相关结果。

%Under the lack of assumption that {xn} is bounded, the strong convergence theorem of modified Ishikawa iterative sequences with generalized mixed errors approximations problem of fixed point for asymptotically pseudocontractive mappings in real Banach space is studied without boundedness of {T nxn} and{T nyn-yn},which improves and extends some known results.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】7页(P581-587)【关键词】实Banach空间;渐近伪压缩型映象;渐近非扩张映象;不动点;具混合广义误差的修改的Ishikawa迭代序列【作者】张树义;宋晓光;万美玲;李丹【作者单位】渤海大学数理学院，辽宁锦州 121013;渤海大学数理学院，辽宁锦州 121013;渤海大学数理学院，辽宁锦州 121013;渤海大学数理学院，辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设E是实Banach空间，E*是E的对偶空间，正规对偶映象J：E→2E*定义为J(x)={f∈E*：〈x， f 〉=x2=f2}，其中〈·，·〉表示E和E*的广义对偶组.用D(T)和F(T)分别表示映象T的定义域和不动点集.定义1 设T：D(T)⊂E→E是一个映象.T称为渐近非扩张的，若存在实数列{kn}⊂使得∀x，y∈D(T)，有 Tnx-Tny≤knx-y；T称为渐近伪压缩的，若存在实数列{kn}⊂(0，∞)，且对∀x，y∈D(T)，存在j(x-y)∈J(x-y)，使得〈Tnx-Tny，j(x-y)〉≤knx-y2.定义2 设T：D(T)=D→D是一映象.如果Tnx-Tny-x-y)}≤0，则称T为依中间意义渐近非扩张的.定义3 设D是E的非空凸子集，T：D→D是一个映象，D+D⊂D，∀x0∈D，由下式定义的序列{xn}n≥0⊂D，{yn}n≥0⊂D：(1)其中：和为[0，1]中7个满足某些条件的实数列，{un}n≥0，{vn}n≥0，{wn}n≥0和{pn}n≥0为D中的有界序列，称{xn}n≥0为T的更一般的具混合误差的修改的Ishikawa迭代序列.特别地，当(∀n≥0)时，称由式(1)所定义的序列{xn}n≥0为带误差的修改的Ishikawa 迭代序列；当(∀n≥0)时，称由式(1)所定义的序列{xn}n≥0为修改的Ishikawa迭代序列.引理1[1] 设E是任意实Banach空间，J：E→2E*是正规对偶映象，则∀x，y∈E，有x+y2≤x2+2〈y， j(x+y)〉，∀j(x+y)∈J(x+y).引理2[2] 设{an}n≥0，{bn}n≥0，{cn}n≥0和{en}n≥0是4个非负实数列，满足条件：存在正整数n0，当n≥n0时，有an+1≤(1-tn)an+bnan+cn+en，其中0≤tn≤1，则an→0(n→∞).文献[1]在{xn}有界以及Tnxn-xn→0条件下，研究了非Lipschitz渐近伪压缩映象和渐近非扩张映象不动点的迭代逼近问题；文献[3]用βn→0(n→∞)取代文献[1]中的Tnxn-xn→0(n→∞)的条件，从而改进了文献[1]的结果；文献[4-6]用新的分析方法研究了几类非线性映象不动点的迭代逼近问题.本文的目的是从以下三方面对文献[1，3]中的结果加以推广和改进：ⅰ)去掉了{xn}有界条件，从而没有使用隐含条件{Tnxn}和{Tnyn-yn}的有界性；ⅱ)考虑了更一般的具混合误差的修改的Ishikawa迭代序列，特别地当βn，δn同时为零时得到的序列中极限可以不趋近零，甚至二者极限可以不存在；ⅲ)将误差推广到更一般的具混合误差型，即及显然本文也改进和推广了文献[7-10]中的相应结果.2 主要结果定理1 设E是Banach空间，D是E的一非空凸子集，T：D→D是依中间意义渐近非扩张的渐近伪压缩映象，具有序列{kn}⊂又设F(T)≠∅，q∈F(T)是一给定的点，和为[0，1]中7个实数列，且满足下列条件：ⅰ)αn+γn+μn≤1，ⅱ)αn→0，βn→0，δn→0(n→∞)；ⅲ∀x0∈D，{xn}n≥0是由式(1)所定义的更一般的具混合误差的修改的Ishikawa迭代序列.若存在严格增函数φ：[0，+∞)→[0，+∞)，φ(0)=0，使得sup{〈Tnxn+1-q， j(xn+1-q)〉-knxn+1-q2+φ(xn+1-q)}≤0，(2)其中，对每个n≥0， j(xn+1-q)∈J(xn+1-q)是按渐近伪压缩型映象定义中由xn+1和q所确定的元.则{xn}n≥0 强收敛于q.证明：因为γn=o(αn)，{un}n≥0，{vn}n≥0，{wn}n≥0和{pn}n≥0为D中的有界序列，所以存在λn≥0，λn→0(n→∞)，使γn=λnαn(n≥0)，并且wn+un+vn+pn}+q<∞.因T：D→D是依中间意义渐近非扩张的，即 Tnx-Tny-x-y)}≤0.因此，∃n1，∀n>n1，有Tnx-Tny-x-y)≤1，从而∀n>n1 有由式(1)，∀n>n1 有3+2M，令Q=5+4M，则∀n>n1有≤Q，(3)由式(2)，(3)中前两个不等式有++(4)由于 T：D→D是依中间意义渐近非扩张的，记Tnx-Tny-x-y)}，则易知dn→0(n→∞)，于是(5)其中ξn=dn+Q(βn+δn)+αn(2+Q)+Q(γn+μn)→0(n→∞).由式(1)和引理1知，存在j(xn+1-q)∈J(xn+1-q)，使+2αn+2γn+2μn.(6)现在考虑式(6)右端各项.对右端第2项，由式(2)有2αn，(7)其中 fn={〈Tnxn+1-q， j(xn+1-q)〉-knxn+1-q2+φ(xn+1-q)}；对右端第3项，由式(5)有2αn∀n>n1；(8)对右端第4项，由式(3)有2γn∀n>n1；(9)对右端第5项，由式(3)有2μn∀n>n1.(10)将式(7)～(10)代入式(6)得xn+1-q)]+进而对∀n>n1有xn+1-q2≤ (1-αn)2xn-q2+2αnknxn+1-q2-2αnφ(xn+1-q)+2αnfn +注意到(1+xn-q)2≤2+2xn-q2，则对∀n>n1 有(11)令xn+1-q)/(1+xn+1-q)}=τ，则τ≥0.下面证τ=0.若τ>0，则∀n≥1，xn+1-q≥τ(1+xn+1-q)≥τ，得φ(xn+1-q)≥φ(τ)，∀n≥1.因为故存在N>n1，∀n≥N，有(1/(1-2αnkn))<2，xN-q≤max{x1-q，x2-q，…，xN-q}下面证明∀j≥1 有xN+j-q<2R.当j=1时，由式(11)有因此由归纳法可证∀j≥1，有从而xN+j-q<2R，即∀n≥1，xn-q≤2R.记r=(φ(τ)/(1+4R2+φ(τ)))，则r∈[0，1)，因(1/(1-2αnkn+2αnr))→1(n→∞)，所以∀n≥N，(1/(1-2αnkn+2αnr))<2，从而由式(11)，对∀n≥N有进一步xn+1-q2≤xn-q2+8Qαn(ξn+Mλn)+(12)取则于是对∀n≥n1，由式(12)有an+1≤(1-tn)an+bnan+cn+en，由引理2有an→0(n→∞)，即xn→q(n→∞)，从而τ=0，这与τ>0矛盾.因此τ=0，故必存在子列{xnj+1}⊂{xn+1}，使(xnj+1-q)/(1+xnj+1-q)→0(j→∞).(13)我们断定{xnj+1-q}有界.否则，若{xnj+1-q}无界，则必存在子列{xnjk+1-q}⊂{xnj+1-q}，使xnjk+1-q→+∞(k→∞)，因此(xnjk+1-q)/(1+xnjk+1-q)→1(k→∞).这与式(13)矛盾，故{xnj+1-q}有界，从而xnj+1-q=[(xnj+1-q)/(1+xnj+1-q)](1+xnj+1-q)→0(j→∞).又因故∀ε∈(0，1)，∃nj0>n1，使(14)令Cn=1/(1-2αnkn)，则∀n≥nj0有Cn<2.容易将式(11)右端第1项写成(15)下面证明∀ε∈(0，1)，∀m≥1 有xnj0+m-q2<2ε.当m=1时，则由xnj0+1-q<ε，得当m=2时，若xnj0+2-q<ε，则若xnj0+2-q≥ε，由φ的严格增加性有φ(xnj0+2-q)>φ(ε).由式(11)并使用式(14)与(15)有2αnj0+1Cnj0+1φ(xnj0+2-q[4Qαnj0+1(ξnj0+1+Mλnj0+1)+2αnj0+1fnj0+1+因此由归纳法可证∀m≥1，有由ε∈(0，1)的任意性可知xn→q(n→∞).证毕.在定理1中取∀n≥0，便得定理2：定理2 设E是Banach空间，D是E的一非空凸子集，T：D→D是依中间意义渐近非扩张的渐近伪压缩映象，具有序列{kn}⊂又设F(T)≠∅，q∈F(T)是一给定的点，{αn}n≥0，{γn}n≥0及{μn}n≥0是[0，1]中的3个实数列，且满足下列条件：ⅰ)αn+γn+μn≤1；ⅱ)αn→0(n→∞)；ⅲ对∀x0∈D，{xn}n≥0⊂D是由下式定义的更一般的具混合误差的修改的Mann迭代序列xn+1=(1-αn-γn-μn)xn+αnTnyn+γnun+μnwn，∀n≥0.若存在严格增函数φ：[0，+∞)→[0，+∞)，φ(0)=0，使得xn+1-q)}≤0，其中，对每个n≥0， j(xn+1-q)∈J(xn+1-q)是按渐近伪压缩型映象定义中由xn+1和q所确定的元.则{xn}n≥0 强收敛于q.【相关文献】[1] 曾六川.关于非Lipschitz的渐近伪压缩映象的迭代法的强收敛性[J].应用数学学报，2004，27(3)：430-439.[2] 倪仁兴.一类广义Lipschitz非线性算子的带误差的Ishikawa迭代程序[J].数学学报，2001，44(4)：701-712.[3] 王绍荣，熊明.Banach空间中非Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近问题[J].应用数学学报，2007，30(1)：69-75.[4] 张树义，宋晓光.有限族广义一致拟Lipschitz映象公共不动点的迭代逼近[J].北华大学学报：自然科学版，2013，14(1)：17-21.[5] 张树义，宋晓光.广义Lipschitz φ-半压缩算子的迭代收敛性[J].北华大学学报：自然科学版，2013，14(5)：521-525.[6] 张树义，宋晓光.Hilbert空间中φ-强伪压缩映象的一个注记[J].浙江师范大学学报：自然科学版，2013，36(1)：28-30.[7] Chang S S.Some Results for Asymptotically Pseudo-constructive Mappings and Asymptotically Nonexpansive Mappings[J].Proc Amer Math Soc，2001，129(3)：845-853.[8] Goebel K，KirK W.A Fixed Point Theorem for Asymptotically NonexpansiveMappings[J].Proc Amer Math Soc，1972，35(1)：171-174.[9] Kirk W A.A Fixed Point Theorem for Mappings which Do not Increase Distance[J].Amer Math Monthly，1965，72：1004-1006.[10] Schu J.Iterative Construction of Fixed Points of Asymptotically Nonexpansive Mappings[J].J Math Anal Appl，1991，158：407-413.。

Banach空间中一类序压缩映射的不动点定理
卜香娟
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2012(028)003
【摘要】在Banach空间中,利用迭代方法,研究了满足一定条件的序压缩算子的一些性质,获得了一类序压缩映射的不动点定理,证明了相应的结果,推广和改进了原有的结论,使其应用范围更加广泛.
【总页数】9页(P333-341)
【作者】卜香娟
【作者单位】西北大学数学系,陕西西安710127
【正文语种】中文
【中图分类】O177.9
【相关文献】
1.Hilbert空间中一类强伪压缩映射的不动点定理与路径收敛 [J], 周冬梅;何中全
2.Banach空间中一类序压缩算子的不动点定理 [J], 彭荣
3.锥度量空间中一类压缩映射不动点定理 [J], 江秉华
4.Banach空间中α-序压缩映射的不动点定理 [J], 唐宏伟;朱传喜
5.序Banach空间中一类算子的不动点定理 [J], 黄梅娟; 卫亚茹; 王海霞
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φ序lipschitz算子的不动点定理及其迭代逼近Lipschitz算子的不动点定理和迭代逼近是求解可微函数最小值问题的一种重要方法。

下面给出Lipschitz算子不动点定理及其迭代逼近机制的原理与应用：一、 Lipschitz算子的不动点定理以一阶Lipschitz算子为例，它是指无约束的可微的函数（例如f:R^n→R）的梯度函数||∇f(x)||，其梯度的L-Lipschitz常数满足关系为：||∇f(x)-∇f(y)|| ≤ L||x-y||如果f是满足L-Lipschitz条件的一阶可微函数，给定 L-Lipschitz常数L > 0，你就可以根据其梯度来定义一个具有不动点的收敛序列：x(k+1) = x(k) - 1/L∇f(x(k)）上式的证明就是经典的Lipschitz算子不动点定理。

该定理显示，在满足一定约束条件时，满足L–Lipschitz算子的可微函数的梯度函数将产生一种不动点的收敛序列；因此，可以使用极小化序列来找到最小值。

二、Lipschitz算子的迭代逼近Lipschitz算子的迭代逼近是指使用L-Lipschitz常数逐步近似最小值的逐渐进行函数极小化的方法。

这是由于：当f是Lipschitz算子连续且可微的，且存在极值点时，其偏导数需满足L-Lipschitz条件，满足此条件的f的梯度的norm满足L-Lipschitz，即：||∇f(x)-∇f(y)|| ≤ L||x-y||, L>0因此当x在空间（R^n）中满足L-Lipschitz关系，不动点序列可迭代至最小值。

它是一种计算最小值的标准迭代方法，通过一系列不动点逼近f（x）的最小值。

三、 Lipschitz算子的应用Lipschitz算子的最小值收敛序列在实际应用中有很多。

在优化学习模型中，Lipschitz算子可用于改进优化技术，如梯度下降，随机梯度下降和Adam算法。

同时，Lipschitz算子的最小值收敛序列也被用于机器学习，模式识别和计算机视觉等领域。

非线性算子的不动点的迭代逼近
本文研究了Banach空间中非线性算子的不动点的迭代逼近问题.它一直是非线性逼近理论中所研究的最重要的问题之一.多年以来,有许多作者用Mann和Ishikawa迭代法去逼近非线性算子的不动点.本文一方面继续讨论了Banach空间中非扩张非自映象、渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近.另一方面,我们继续研究了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近问题.所得结果推广、改进与发展了许多作者的相应结果.全文共分为四章.第一章前言介绍了Banach空间中非线性算子不动点问题的研究简况及本文作者的主要工作.第二章讨论了渐近伪压缩映象的迭代序列强收敛的充要条件.第三章讨论了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近.第四章讨论了Banach空间中非扩张非自映象不动点的粘滞迭代逼近.。

Banach空间中Lipschitzian映射序列的迭代逼近的开题报告一、研究意义Banach空间中Lipschitzian映射的迭代逼近问题是函数逼近和优化问题中的重要问题。

这种方法已经被应用于各种文科和理工科领域，包括机器学习、信号处理、图像处理、控制理论等方面的问题。

因此，对于Banach空间中的Lipschitzian映射序列的迭代逼近问题进行深入的研究是有一定意义的。

二、研究内容本文将对Banach空间中Lipschitzian 映射序列的迭代逼近进行研究。

具体来说，我们将探讨以下三个问题：1. Lipschitzian 映射序列的存在性和唯一性我们将研究Lipschitzian映射序列的存在条件，并证明其唯一性。

通过这种方法，我们可以在求解迭代逼近问题时确保解的存在性和唯一性。

2. 收敛性分析我们将研究Lipschitzian映射序列的迭代逼近收敛到真实解的速度。

特别地，我们将研究这些序列的收敛速度，并给出相应的误差上界。

3. 应用我们将通过一些实例说明迭代逼近方法的应用，例如机器学习、数据处理等。

三、预期结果本文的预期结果是对Banach空间中Lipschitzian映射序列的迭代逼近问题进行深入的研究。

我们将对Lipschitzian映射序列的存在性和唯一性进行证明，并分析这些序列的收敛性。

我们的目标是提供一种可靠的方法，在实际应用中可用来求解这些问题。

四、研究方法本文的研究方法将主要包括分析方法和实例分析。

我们将使用分析方法研究Lipschitzian映射序列的存在条件及唯一性，以及其收敛性；我们将使用实例分析来说明迭代逼近方法的实际应用。

五、研究进度安排第一阶段（一个月）：完成文献阅读，学习基础理论知识。

第二阶段（两个月）：分析Lipschitzian映射序列的存在性和唯一性。

第三阶段（两个月）：分析Lipschitzian映射序列的收敛性，给出相应的误差上界。

第四阶段（一个月）：研究迭代逼近方法的实际应用，并完成文档整理工作。

ψ序Lipschitz算子的不动点定理及其迭代逼近
盛梅波;董祥南
【期刊名称】《华东交通大学学报》
【年(卷),期】1998(015)003
【摘要】定义了ψ序Lipschitz算子，利用构造迭代收敛序列的方法讨论这类算子的不动点存在性问题，得出几个不动点定理，并讨论了其迭代逼近。

【总页数】6页(P70-74,95)
【作者】盛梅波;董祥南
【作者单位】基础课部;江西现大数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.一类序Lipschitz算子的不动点定理 [J], 刘文军;孟京华
2.序Lipschitz算子的不动点定理及迭代收敛程序的构造 [J], 董祥南
3.任意Banach空间中的非线性Lipschitz强伪压缩算子不动点的迭代逼近 [J], 刘俊先;马建珍
4.序Banach 空间中二元算子的不动点的迭代逼近 [J], 唐玉华
5.实Banach空间中Lipschitzφ-半压缩算子的不动点的带误差项的迭代逼近 [J], 倪仁兴
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一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近？王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明【摘要】本文在任意实的Banach空间中研究了用具误差的修正的Ishikawa与Mann迭代程序来逼近一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的强收敛性问题。

在去掉有关文献的较强条件的情况下，证明了相关结果仍然成立。

所得结果不但改进和推广了一些文献的相关结果，而且也改进了定理的证明方法；也使定理的应用范围更为广泛。

【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(000)006【总页数】7页(P852-858)【关键词】一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象;Ishikawa迭代序列;不动点【作者】王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明【作者单位】大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言文中处处设E是一实的Banach空间，其对偶空间记为E∗,(·,·)表示E与E∗之间的配对，F(T)表示T的不动点集．映象是由下式定义的正规对偶映象定义1 设D是E的非空集．T:D−→D是一映象．1) T称为一致L-Lipschitz的，如果存在L>0，使得2) T称为渐近非扩张的，如果存在一数列使得3) T称为渐近伪压缩的，如果存在一数列使得对任意的x,y∈D，存在j(x−y)∈J(x−y)，有由定义不难看出：若T是具数列的渐近非扩张映象，则T是一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象，其中渐近非扩张映象必是渐近伪压缩映象；而渐近伪压缩映象不一定是渐近非扩张映象．定义2 设D是E的非空闭凸集，是一映象，是任一给定的点，是D中的有界序列；都是[0,1]中的数列，则：1) 由下式定义的序列{xn}称为T的具误差的修正的Ishikawa迭代序列特别地，当=0,∀n≥0．由(1)式定义的序列{xn}称为T的修正的Ishikawa迭代序列;2) 当=0,∀n≥0．由下式定义的序列{xn}称为T的具误差的修正的Mann迭代序列曾六川在文献[1]中，在任意实的Banach空间中研究了用具误差的修正的Ishikawa与Mann迭代程序来逼近一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象的不动点的强收敛性问题，其结果在许多方面改进和拓展了文献[2–6]中的相应结果．本文在去掉文献[1]中定理1.1至定理1.3中的条件(iii)：和条件(iv)：以及较强且较难验证的条件“T的值域D(T)有界”的情况下，得到了相同的结果．所得结果不但改进和推广了文献[1–6]的结果，而且也改进了定理的证明方法，使定理的证明更简洁和严谨．以下引理在本文主要结果的证明中起着重要的作用．引理1[7]设E是一实的Banach空间，则有其中是正规对偶映象．2 主要结果定理1 设D是E的非空闭凸集，T:D−→D是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足下列条件：(iii) 若存在一单调增加的函数ϕ:[0,+∞)−→[0,+∞),ϕ(0)=0，使得其中是按渐近伪压缩映象定义中，由xn+1和q所确定的元，则{xn}有界．证明已知都有界，设由(1)式及T的一致LLipschitz性有由于当时，故存在正整数n0，对任意的n ≥ n0，有从而，对任意的n ≥ n0，由(4)式有由(3)式有从而据ϕ的单调增加性有其中下面我们用数学归纳法证明，对任意的n≥n0，有事实上，n=n0时已经成立；假设对任意的有只需证对任意的n≥也成立．用反证法，设据ϕ的单调增加性有其中由(5)式，对任意的n≥n0，有由引理1及(1)式，有现在估计(9)式右边各项，由于设其中据(8)式，右边第四项对任意的n≥n0，应有其中右边第三项，由(3)式，有对于右边第二项，对任意的n≥n0，有而由(1)式及∥xn−q∥≤ 2ϕ−1(a0),∀ n ≥ n0，有将(13)代入(12)，对任意的n≥n0，有其中将(10),(11)及(14)式代入(9)式，则对任意的n≥n0，有由上式及可得，对任意的n≥n0，应有其中由于故不妨设由(7)式有从而由(15)式，对任意的n≥n0，有因为故存在使得于是，从(16)可得故从而有与条件相矛盾．故{xn−q}有界，从而{xn}有界．定理2[8]设D是E的非空闭凸集，是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足与定理1相同的条件(i)–(iii)，则{xn}强收敛于q．由定理2立即可得：定理3 设D是E的非空闭凸集，是具数列1的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足与定理1相同的条件(i)–(iii)，则{xn}强收敛于q．定理4 设D是E的非空闭凸集，是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(2)式定义的具误差的修正的Mann迭代序列，且满足下列条件：(iii) 存在一单调增加的函数ϕ:[0,+∞)−→[0,+∞),ϕ(0)=0，使得其中是按渐近伪压缩映象定义中由xn+1和q所确定的元，则{xn}强收敛于q．参考文献：[1]Chang S S.Iterative approximation problem of f i xed points for asymptotically non-expansive mappings in Banach spaces[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2001,24(2):236-241[2]Chang S S.Some results for asymptotically pseudo-contractive mappings and asymptotically non-expansive mappings[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2001,129(3):845-853[3]Zeng L C.On the strong convergence of iterative method for non-Lipschitzian asymptotically pseudocontractive mappings[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2004,27(3):230-239[4]Goebel K,Kirk W A.A f i xed point theorem for asymptotically non-expansive mappings[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1972,35(1):171-174[5]Kirk W A.A f i xed point theorem for mappings which do not increase distance[J].The American Mathematical Monthly,1965,72(5):1004-1006 [6]Schu J.Iterative construction of f i xed points of asymptotically non-expansive mappings[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1991,158(2):407-413[7]Chang S S.Some problems and results in the study of nonlinear analysis[J].Nonlinear Analysis-Theory,Methods&Applications,1997,30(7):4197-4208[8]王绍荣，等.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的Ishikawa迭代逼近问题[J].系统科学与数学，2010,30(9):1206-1213 Wang S R,et al.The Ishikawa iterative approximation problem of f i xed points for uniformly L-Lipschitz asymptotically pseudocontractive mappings[J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2010,30(9):1206-1213。

广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的迭代逼近张树义;李丹【摘要】在一致光滑Banach空间中研究用带混合型误差的修改的Ishikawa迭代序列,逼近广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的不动点问题.在去掉D有界之下,使用新的分析方法,建立了强收敛定理,从而推广和改进了已知的结果.【期刊名称】《渤海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(036)004【总页数】5页(P294-297,304)【关键词】一致光滑Banach空间;广义一致Lipschitz;渐近伪压缩型映象;混合误差【作者】张树义;李丹【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】O177.91设E是实Banach空间，E*为E的对偶空间，〈·，·〉表示E与E*之间的广义对偶对.正规对偶映象J:E→2E*定义为J(x)={f∈E*:〈x，f〉=‖x‖2=‖f‖2}.定义1 设D是E的非空凸子集，T:D→D是一个映象. (i)T称为渐近伪压缩的，若存在实数列{kn}⊂，且对∀x,y∈D，存在j(x-y)∈J(x-y)，使〈Tn-Tny,j(x-y)〉≤kn‖x-y‖2. (ii)T称为渐近伪压缩型的，若存在实数列{kn}⊂，且∀x∈D ，存在非负序列{rn(x)}，使∀y∈D，及某个j(x-y)∈J(x-y)，有〈Tnx-Tny,j(x-y)〉≤kn‖称为一致L-Lipschitz的，其中L≥1，若∀x,y∈D,∀n≥1，有‖Tn-Tny‖≤L‖x-y‖.(iv)T称为广义一致L-Lipschitz的，其中L≥1，若∀x,y∈D,∀n≥1,有‖Tnx-Tny‖≤L(1+‖x-y‖).显然若T:D→D是一致L-Lipschitz的或∀x∈D,{Tnx}n≥1，有界，则T是广义一致L-Lipschitz的，但反之一般不成立,反例见文献〔5〕.关于几类非线性映象不动点的迭代逼近问题，已被许多学者做过广泛研究,如文献〔1-6〕. 本文的目的是进一步研究渐近伪压缩型映象不动点的迭代逼近问题,在去掉E有界之下，把文献〔1〕中的定理2.1推广到广义一致L-Lipschitz渐近伪压缩型映象带混合型误差的修改的Ishikawa迭代程序的情形.由于没有使用D有界条件，以及将一致L-Lipschitz条件减弱为广义一致L-Lipschitz条件，因此本文结果改进与推广了文献〔1〕中的定理，并且本文充分性证明的方法也不同于文献〔1〕中的方法.定义2 设T：D→D是一个映象，∀x0∈D，由下式定义的序列{xn}n≥0⊂D，其中{αn}n≥0，{βn}n≥0，{γn}n≥0，{μn}n≥0和{δn}n≥0为[0，1]中五个满足某些条件的实数列，{un}n≥0 ，{vn}n≥0和{wn}n≥0为D中的有界序列，则称{xn}n≥0为T的带混合型误差的修改的 Ishikawa迭代序列.引理1〔7〕设E是实一致光滑Banach空间, 则存在一个非减连续函数b:[0,+∞)→[0,+∞),b(0)=0,满足b(ct)≤cb(t),∀c≥1且‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,jx〉+max{‖x‖,1}‖y‖b(‖y‖),其中∀x,y∈E,∀jx∈Jx.引理2〔8〕设{an}n≥0和{bn}n≥0是两个非负实数列，满足条件，存在正整数n0，当n≥n0时，有an+1≤(1-tn)an+bn，其中,则an→0(n→∞).定理1 设E是一致光滑Banach空间，D是E的一非空闭凸子集，D+D⊂D，T：D→D是广义一致L-Lipschitz的渐近伪压缩型映象,具有实数列{kn}⊂，且∀x∈D，存在非负序列{rn(x)}n≥0使得,(x)=0，又设F(T)≠φ，{αn}n≥0，{βn}n≥0，{γn}n≥0,及{μn}n≥0是[0，1]中的五个实数列，满足条件(i)αn+γn+μn≤1，δn+βn≤1;(ii)αn→0,βn→0,δn→0(n→∞)；(iii),设x0∈D是给定一点，{xn}n≥0，{yn}n≥0是由(1)所定义的带混合型误差的修改的Ishikawa 迭代序列，则有下列结论1)若{xn}n≥0强收敛到T在D中的不动点q，则存在不减函数，φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0使得‖yn-q‖2+φ(‖yn-q‖)}≤02)反之，若存在严格增加函数，φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,满足条件(2)，则{xn}n≥0强收敛于q∈F(T).证明先证充分性. 因D是E的一非空闭凸子集，且D+D⊂D，所以{xn}n≥0⊂D，{yn}n≥0⊂D，又因为μn=o(αn),{un}n≥0,{vn}n≥0和{wn}n≥0为D中的有界序列，所以存在εn≥0，εn→0(n→∞),使μn=εnαn(n≥0),并且{‖wn‖+‖un‖+‖vn‖}+‖q‖<∞.由于T:D→D是广义一致L-Lipschitz的，因此存在L≥1，使∀x,y ∈D，‖Tnx-Tny‖≤L(1+‖x-y‖).于是因E是一致光滑Banach空间，正规对偶映象J:E→2E*是单值的，利用J(·)在E的有界子集上一致连续性有en=‖‖→0(n→∞).记An+1=(1-αn-γn-μn)xn+αnTnyn+μnwn,应用引理1并化简得‖‖注意到式(2)，存在n0，当∀n>n0时，式(5)可写成其中σ(yn,q)=((φ(‖yn-q‖)/(1+‖yn-q‖2+φ(‖yn-q)‖))∈[0,1).因T是渐近伪压缩型映象，故对q∈F(T)及∀xn∈D有〈Tnxn-q,j(xn-q)〉≤kn‖xn-q‖2+rn(q),∀n≥0,从而由(1)，引理1和广义Lipschitz条件并整理可得将式(7)代入式(6)整理化简可得‖An+1-q‖2≤(1-αn)2‖‖xn-q‖2+‖xn-q‖)2注意到(1+‖xn-q‖)2≤2+2‖xn-q‖2, 由式(8), 当∀n>n0时，有‖xn+1-q‖其中:.令下面考虑两种可能的情形:(I)若r>0,则可取，且∃n1∈N，n1>n0,∀n≥ n1，有σ(yn,q)>τ,下面证,假设,因λn→0, fn→0,gn→0(n→∞)故∃n2≥n1,∀n≥n2,有‖xn-q‖≥(1+‖xn-q‖)‖xn-q‖,‖.由式(9)∀n≥ n2有‖xn-1-q‖‖xn-q‖+Mγn令‖xn-q‖和bn=Mγn,则，于是∀n≥n2，由式(10)有an+1≤(1-tn)an+bn.由引理2有xn→q(n→∞)这与δ>0矛盾，故δ=0.于是存在子列{xnj}⊂{xn}，使xnj→q(j→∞),即∀ε>0,∃n3∈N,∀nj>n3,有‖xnj-q‖.下面证明m≥1,有‖xnj-q‖<2ε.当m=1时，(i)若‖xnj+1-q‖<ε,则结论成立；(ii)若‖xnj+1-q‖≥ε,由αn→0,γn→0,μn→(n→∞) 及式(3)易知‖xnj-q‖.因λn→0, fn→0,gn→0(n→∞),故∃n4≥n3,∀n≥n4,有,从而∀nj≥n4,由式(9)有‖xnj+1-q‖因此由归纳法可证m≥1，有‖xnj+m-q‖，即xn→q(n→∞).(II)若r=0, 则存在子列{ynj}⊂{yn}强收敛于q(j→∞). 注意到我们断定{xnj-q}有界，若无界，则必存在子列{xnjk-q}⊂{xnjk-q},使‖‖→+∞(k→∞). 因此((‖xnjk-q‖)/(1+‖xnjk-q‖))→1，这与式(11)矛盾,故{xnj-q}有界，从而‖xnj-q‖‖xnj-q‖)→0(j→∞),于是∀ε>0,∃n5∈N,∀nj>n5,有‖xnj-q‖<ε及‖ynj-q‖<ε.下面证明m≥1,有‖xnj+m-q‖<2ε.当m=1时, 若‖xnj+1-q‖<ε，则结论成立;若‖xnj+1-q‖≥ε，则由式(4)有‖ynj-q‖,‖xnj-q‖,由φ的严格增加性有,其中，则(0，1).因λn→0,fn→0,gn→0(n→∞),故∃n6≥n5,∀n≥n6,有.从而∀nj≥n6,由式(9)有‖xnj-q‖ε.因此由归纳法可证m≥1，有‖xnj+m-q‖ε.再证必要性. 设{xn}n≥0强收敛于q∈F(T).由T是广义Lipschitz条件及αn→0,βn→0,δn→0(n→∞)有‖yn-q‖≤(1-βn-δn)‖xn-q‖+βnL(1+‖xn-q‖)+δn‖vn-q‖→0(n→∞).令{‖yn-q‖}<∞，余下证明与文〔1〕相同，故省略.定理1证毕.〔1〕曾六川. 关于渐近伪压缩型映象的不动点的迭代构造〔J〕. 系统科学与数学，2004， 24(2)： 261-270.〔2〕张树义, 宋晓光, 有限族广义一致拟Lipschitz映象公共不动点的迭代逼近〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2013, 14(1): 17-21.〔3〕张树义, 宋晓光. 广义Lipschitz-φ半压缩算子的迭代收敛性〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2013, 14(5): 520-525.〔4〕张树义, 宋晓光, 万美玲. 非Lipschitz渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2014, 15(5): 581-587.〔5〕张树义, 万美玲, 李丹. 渐近伪压缩型映象迭代序列的强收敛定理〔J〕. 江南大学学报: 自然科学版, 2014, 13(6): 726-730〔6〕张树义, 赵美娜, 李丹. 渐近半压缩映象具混合型误差的迭代收敛性〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2015, 16(3): 165-169.〔7〕Reich S. An iterative procedure for constructing zeros of accretivesets in Banach spaces〔J〕. Nonlinear Anal., 1978, 2(1): 85-92.〔8〕Liu L S. Ishikawa and Mann iterative process with errors for nonlinear strongly accretive mappings in Banach space〔J〕. J. Math. Anal. Appl.，1995，194(1)： 114-125.〔9〕张树义. 多值φ-伪压缩映象带混合型误差的Ishikawa和Mann迭代程序的收敛性问题〔J〕. 渤海大学学报: 自然科学版, 2005,26(1):45-48.〔10〕张树义, 刘平. Φ-强增生算子方程的迭代解〔J〕. 渤海大学学报: 自然科学版, 2008,29(3)：228-233.。

Banach空间中非扩张映射的不动点逼近的Ishikawa迭代程序吴莉【摘要】设X为实一致凸Banach空间,其共轭空间X·具有KK性质,C为X的非空有界闭凸子集.若T为C到自身的非扩张映射,则对任给的x0∈C,Ishikawa迭代程序xn+1=tnT(snTxn+(1-sn)xn)+(1-tn)xn,n=0,1,2,…,定义的序列{xn}弱收敛到T 的某个不动点,其中{tn},{sn}满足一定的条件.【期刊名称】《江苏科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2007(021)006【总页数】4页(P91-94)【关键词】非扩张映射;Ishikawa迭代;不动点;一致凸Banach空间;KK性质【作者】吴莉【作者单位】南京工程学院,基础部,江苏,南京,210036【正文语种】中文【中图分类】O152.70 引言设C为Banach空间X的非空子集，T为C到自身的映射，如果对任何的x,y∈C,有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖成立，那么称T是非扩张的。

若X是一致凸Banach空间，则其每个有界闭凸子集C的非扩张自映射T都有不动点。

1974年，Ishikawa[1]首先在实Hilbert空间中对拟非扩张紧映射引入了迭代程序xn+1=tnT(snTxn+(1-sn)xn)+(1-tn)xn, n=0,1,2,…(1)并证明了{xn}逼近T的不动点，其中{tn},{sn}为[0,1]中满足某些限制条件的序列。

文献[2]证明了下面的定理。

定理1 设X为具Opial条件或具Frechet可微范数的一致凸Banach空间，C为X非空有界闭凸子集，T为C到自身的非扩张映射。

则对任何的x0∈C,由(1)定义的Ishikawa迭代程序{xn}弱收敛到T的不动点，其中{tn},{sn}为[0,1]中的序列且满足对的任何子列本文主要受文献[2]的启发，在共轭空间X*具有KK性质的一致凸Banach空间中证明了类似的收敛性定理。

一致L - Lipschitzian非自映象不动点的迭代逼近
王兵
【期刊名称】《攀枝花学院学报》
【年(卷),期】2012(029)001
【摘要】本文在实Banach空间中,研究迭代序列 xn+1=P[(1-
αn)xn+αn1/n+1(n+1∑j=1)T(PT)j-1yn],yn=P[(1-
βn)xn+βn1/n+1(n+1∑j=1)T(PT)(j-1)xn]在对参数适当限制条件下逼近一致 L - Lipschitzian非自映象的不动点问题.
【总页数】5页(P102-105,116)
【作者】王兵
【作者单位】重庆大学城市科技学院基础教学部,重庆永川402167
【正文语种】中文
【相关文献】
1.Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近 [J], 孙庭;曾六川
2.一致拟Lipschitzian映象的迭代逼近 [J], 黄小平;李雪松
3.一致L-Lipschitzian非自映象不动点的迭代逼近 [J], 王兵
4.一致凸Banach空间中渐近非扩张型映象不动点的具误差的迭代逼近 [J], 傅丽
5.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩非自映象不动点的迭代逼近 [J], 张芳;向长合因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间中φ-伪压缩映象的迭代逼近
金茂明
【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》
【年(卷),期】2002(026)004
【摘要】在任意实Banach空间中讨论φ-伪压缩映象带误差的Ishikawa迭代程序的收敛性问题.我们的结果改进和推广了Chang和Tan,Chidume,Osilike,Li和Liu,Zeng,Gu的相关结果.
【总页数】5页(P323-327)
【作者】金茂明
【作者单位】涪陵师范学院数学系,重庆,408003
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中广义Φ-伪压缩映象的迭代逼近 [J], 胡洪萍
2.迭代逼近Banach空间中强伪压缩映象的不动点 [J], 张云艳
3.Banach空间中非线性Φ-伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 王绍荣;杨泽恒;熊明
4.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩映象不动点的带随机混合型误差的迭代逼近 [J], 张树义
5.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 吴先兵
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间中的逼近问题常青【期刊名称】《重庆三峡学院学报》【年(卷),期】2012(028)003【摘要】Let E be a real Banach space, C is a nonempty closed convex subset of E and be a retract of E.A mapping P from E to C is a retraction.This paper, based on the [2] reference in the literature, removes the error of iterative sequences change and proves that the sequence {xn } converges stronglywith a common fixed point of T1, T2,……, Tu , if and only if lim inf d （x, F） = 0. Finally it presents two inferences on the basis of the corollary.%设E为实Banach空间,C为E上的非空闭凸子集且为E上的收缩核,P：E→C的保核收缩映象,文章在文献[2]的基础上,对带误差的迭代序列进行了修改,并证明了序列{xn}收敛于T1,T2,…,TN的公共不动点的充分必要条件为：limn→∞inf d（xn,F）=0,最后给出了在此基础上的两个推论.【总页数】5页(P24-28)【作者】常青【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆400047【正文语种】中文【中图分类】O177.91【相关文献】1.Banach空间中一类非线性变分包含问题解的存在性和逼近问题 [J], 谷峰2.Banach空间中增生算子的粘滞逼近问题 [J], 马乐荣;高兴慧;周海云3.Banach空间中一类新的κ-次增生型变分包含问题解的迭代逼近 [J], 谷峰4.Banach空间中一类伪压缩型变分包含问题解的迭代逼近 [J], 虞懿;曾六川5.自反Banach空间内一类新的广义混合平衡问题组的辅助原理和逼近可解性 [J], 丁协平因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间中渐近非扩张映射的不动点迭代胡长松【期刊名称】《应用数学》【年(卷),期】2004(17)4【摘要】设D是一致凸Banach空间X的非空闭凸子集,T∶D→D是渐近非扩张映射且kn ≥ 1 ,∑ ∞n =1(kn- 1 ) <∞ .设T的不动点集F(T) ≠ ,T是全连续的 (X满足Opial条件 ) ,{xn},{yn},{zn}由定义 2给出 ,如果∑∞n =1cn <∞ ,∑ ∞n =1c′n <∞ ,∑ ∞n =1c″n <∞ ,且下列条件之一满足:(i)b″n ∈ [a ,b] ( 0 ,1 ) ;b′n ∈[0 ,β];bn ∈[0 ,α],αβ+ β <1 ;(ii)b′n ∈ [a ,b] ( 0 ,1 ) ;b″n ∈ [a ,1 ];bn ∈[0 ,b];(iii)bn ∈[a ,b] ( 0 ,1 ) ;b′n ∈ [a ,1 ],则 {xn},{yn},{zn}强收敛于T的不动点 .( {xn}弱收敛于T的不动点 ) .【总页数】7页(P568-574)【关键词】三步迭代;不动点;渐近非扩张映射;一致凸的Banach空间【作者】胡长松【作者单位】湖北师范学院数学系【正文语种】中文【中图分类】O177.91【相关文献】1.Banach空间中渐近非扩张映射的迭代序列的强收敛性 [J], 胡长松2.Banach空间中带误差的渐进准非扩张映射迭代序列的不动点问题 [J], 佟慧;王小英3.一致凸Banach空间中渐近非扩张映射不动点的粘性逼近 [J], 彭春;嵇伟民4.一致凸Banach空间中渐近非扩张映射的迭代不动点定理 [J], 邹文明5.一致凸Banach空间中渐近非扩张映射迭代序列的收敛定理 [J], 胡长松因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

关于Banach空间中增生和伪压缩映象的迭代逼近问题
张石生
【期刊名称】《信阳师范学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】2000(13)4
【摘要】在 Banach空间的框架下 ,建立某些新的和更为一般的关于增生和伪压缩映象迭代程序的收敛性结果 ,改进、发展和统一了 CHIDU ME,OSIL IKE,L
IU,CHANG,DENG- DING,TAN-XU,XU ,XU - ROACH及 ZHOU中的相应的结果 .【总页数】7页(P373-379)
【关键词】增生映象;伪压缩映象;Ishikawa(Mann)迭代序列;BanaCh空间;迭代逼近
【作者】张石生
【作者单位】四川大学数学系!四川成都610064
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中广义Φ-伪压缩映象的迭代逼近 [J], 胡洪萍
2.迭代逼近Banach空间中有限个强伪压缩映象的公共不动点 [J], 张云艳
3.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒
4.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问
题 [J], 吴先兵
5.关于Banach空间中增生和伪压缩型映象迭代序列的收敛性问题 [J], 张石生因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间中m-增生算子方程解的迭代逼近
谷峰;秦玉霞
【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2000(016)005
【摘要】研究了Banach空间中n-增生算子方程解的Mann和Ishikawa迭代逼近问题.所得结果改进和推广了一些文献中的最新成果.%The purpose of the paper is to study the Man and Ishikawa iterative opproximation of solutions for m-accretive operator equations in Banach spaces. The results presented in this paper extend and improve some authors' recent results.【总页数】4页(P8-11)
【作者】谷峰;秦玉霞
【作者单位】齐齐哈尔大学;齐齐哈尔林业学校
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.一致光滑Banach空间中m-增生算子零点的粘滞迭代逼近算法 [J], 张瑜龙;张芳
2.m-增生算子方程解的Mann迭代逼近 [J], 王定龙
3.自反Banach空间中m-增生算子零点的迭代逼近 [J], 杨丽
4.关于m-增生算子方程解的迭代逼近 [J], 金茂明;陈波涛
5.一致光滑Banach空间中m-增生算子零点的迭代逼近 [J], 杨丽
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