切线长定理—知识讲解(提高)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数： 3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第13 讲 - 切线长定理与圆的相关计算授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 理解切线长定理，并能熟练应用；② 运用圆弧、圆心角计算公式，准确进行圆的相关计算。

授课日期及时段体系搭建知识梳理、知识概念一）切线长定理1、切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．3、注意：( Textbook -Based) 同步课堂切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．4、切线长定理包含着一些隐含结论①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．二）圆的相关计算1、正多边形与圆的关系把一个圆分成 n（n 是大于 2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3 、计算公式（ 1）圆周长公式： C=2πR ；弧长公式：（ 3 ）圆面积公式： S=πR（4）扇形面积公式：（ 5）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（6）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．A．∠ 1=∠2例 2、如图，直线 AB 、CD 、BC 分别与⊙ O 相切于 E 、F 、G ，且 AB ∥CD ，若OB=6cm ，OC=8cm ，则 BE+CG① AF=BG ； ② CG=CH ； ③ AB +CD=AD +BC ； ④ BG <CG ．A ． 1B ．2C ．3D ．4解析】∵⊙ O 是四边形 ABCD 的内切圆， ∴AF=AE ，BF=BG ，CG=CH ，DH=DE ，∴AB +CD=AF +BF+CH+DH=AE +BG+CG+DE=AD +BC ． ① AF=BG ；④ BG <CG 无法判断．的长等于（A ． 13B ．12C ．11D ．10解析】∵ AB ∥CD ，∴∠ ABC +∠ BCD=180 °，∵ CD 、BC ， AB 分别与⊙ O 相切于 G 、F 、E ， ∴∠ OBC=ABC ，∠OCB= ∠BCD ，BE=BF ，CG=CF ，∴∠ OBC +∠OCB=90 °，∴∠ BOC=90 °， ∴BC==10，∴ BE+CG=10（ cm ）．故选 D ．例 3、如图， PA 、PB 切⊙ O 于点 A 、B ，PA=8，CD 切⊙O 于点 E ，交 PA 、PB 于 C 、 D 两点，则△ PCD 的周长是（ ）A ． 8B ．18C ．16D ．14解析】△ PCD 的周长 =PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB +PD=PA +PB=16 ．故选： C ．考点二： 圆外切四边形例 1、 如图，一圆内切四边形 ABCD ，且 AB=16 ， CD=10 ，则四边形的周长为（ A ．50B ．52C ．54D ． 56【解析】四边形的周长 =2（16+10） =52．故选 B ．例 2、 如图，⊙ O 是四边形 ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：正确的有②③ ，故选 B ．考点三： 圆内接正多边形解析】 C ．例 3、若正三角形、 正方形、正六边形的周长相等， 它们的面积分别为 S 1，S 2，S 3，则下列关系成立的是 （ ）∴S 1<S 2< S 3．故选 C ．考点四： 弧长、阴影面积计算何？（例 2、如图， AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，∠ CDB=30 °， CD=2 ，则阴影部分的面积为（例 1、 已知正六边形的边长为 2，则它的内切圆的半径为（ A ．1 B ． C ．2 D ．2解析】 B ．例 2、 如果圆形纸片的直径是 8cm ，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ A ．2cmB ． 2 cmC ．4cmD ． 4 CmA ．S 1=S 2=S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1<S 2< S 3D ． S 2>S 3> S 1解析】设正三角形的边长为 a ，则正方形的边长为 ∵正三角形的边长为 a ，，正六边形的边长为 ∴其高为，∴S1= a×1； S 2=；）2；；∵正六边形的边长为 ∴把正六边形分成六个三角形，其高为 ， ∴S 3=6× × ×3××× ，=． =． 例 1、如图，有一圆 O 通过△ ABC 的三个顶点． 若∠ B=75°，∠ C=60°，且 的长度为 4π，则 BC 的长度为A ．8B ．8C ．16D ．16解析】连接 OB ， OC ，∵∠ B=75 °，∠ C=60°，∴∠ A=45 °，∴∠ BOC=90 °， ∵ 的长度为 4π，∴ =4π，∴ OB=8 ，∵，S 3=，故选B ．∴BC=A．2πB．πC．D．解析】∵∠ CDB=30 °，∴∠COB=60 °，又∵弦 CD ⊥AB ，CD=2 ，∴ OC=，故选D．例 3、如图，将正六边形 ABCDEF 放置在直角坐标系内， A （﹣ 2，0），点 B 在原点，把正六边形ABCDEF沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60°，经过2016 次翻转之后，点 C 的坐标是（A．（4032，0）B．（4032，2 ）C．（4031，D ．（4033，）解析】∵每次翻转60°，∴每 6 次翻转为一个循环组循环，∵ 2016÷6=336 ，∴经过2016次翻转为第 336循环，点 C 在开始时的位置，∵ A （﹣ 2， 0），∴AB=2 ，∴前进的距离 =2×2016=4032，如图，过点 C 作 CG⊥x 于 G，则∠CBG=60 °，∴AG=2 × =1，BG=2×=，∴ OG=4032 +1=4033，∴点 B 的坐标为（ 4033，）．故选 D．实战演练课堂狙击P(Practice-Oriented) ——实战演练1、如图， PA、PB分别切⊙ O 于A、B，PA=10cm，C 是劣弧 AB 上的点不与点 A、B重合），过点 C的切线分别交 PA、PB于点 E、F．则△ PEF的周长为（A ． 10cm B ．15cmC． 20cmD ． 25cm解析】C．2、如图，已知以直角梯形 ABCD 的腰 CD 为直径的半圆 O 与梯形上底 AD 、下底 BC以及腰 AB 均相切，切点分别是 D ，C ，E ．若半圆 O 的半径为 2，梯形的腰 AB 为 5，则该梯形的周长是 （ ）解析】 D ．在三角形 ADE 中由勾股定理得： （4﹣ x ）2+42=（4+x ）2，∴ x=1cm ，∴ CE=1cm ，∴ DE=4﹣1=3cm ，∴S △ADE =AD ?DE ÷2=3× 4÷2=6cm 2．故选 D ． 4、若正六边形的半径长为 4，则它的边长等于（设点 G 为 AB 与⊙O 的切点，连接 OG ，则 OG ⊥AB ，∴ OG=OA ?sin60°=2×6、正六边形的边心距为 ，则该正六边形的外接圆半径为（A ．9B ．10C ．12D ．143、如图，正方形 ABCD 边长为 4cm ，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过 A 作半圆 的切线，与半圆相切于 F 点，与 DC 相交于 E 点，则△ ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．6解析】∵ AE 与圆 O 切于点 F ，显然根据切线长定理有 AF=AB=4cm ， EF=EC ， 设 EF=EC=xcm ，则 DE= （ 4﹣ x ）cm ， AE= （4+x ）cm ， A ．4 B ．2C ．2D ．4解析】 A ．5、如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为 （ A ． C ．2B ． D ．解析】∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠ AOB=60 °，∴△ OAB 是等边三角形， OA=OB=AB=2 ，∴S 阴影=S △OAB ﹣S 扇形OMN = × 2× ﹣ = ﹣．故选 A ．A．B．2 C．3 D．2 解析】∵AB ∥ CD ，∴∠ EBF+∠GCF=180°，∴∠ OBF+∠OCF=90°，∴∠ BOC=90 °，∴△ OBC 是直角三角形；2）解：∵在 Rt△BOC 中， BO=6 ，CO=8 ，∴ BC= =10；3）解：∵ AB 、 BC 、 CD 分别与⊙ O 相切于 E、F、G，∴OF⊥BC，OF= =4.8．9、如图，矩形 ABCD 中，BC=2，DC=4，以 AB 为直径的半圆 O与 DC相切于点 E ，则阴影部分的面积为多少？（结果保留π）【解析】阴影部分的面积 =S△BCD﹣（ S正方形OBCE﹣ S扇形OBE）×2×4﹣（2×2﹣π×2×2） =π．课后反击1、如图， P为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙ O 于 A、B，CD 切⊙O 于点 E，分别交 PA、 PB于点C、D，若 PA=5 ，则△ PCD 的周长为（）A． 5 B．7 C．8 D．10【解析】 D ．2、如图，从⊙ O 外一点 P引圆的两条切线 PA、PB，切点分别是 A 、B，如果∠APB=60 °，线段 PA=10，那么弦 AB 的长是（）A． 1 0 B．12解析】 C．8、如图， AB 、BC、CD 分别与⊙ O 相切于 E、F、G，且 AB ∥CD，BO=6，CO=8．1）判断△ OBC 的形状，并证明你的结论；2）求 BC 的长；解析】（1）答：△ OBC 是直角三角形．证明：∵ AB 、BC 、CD 分别与⊙ O 相切于 E、F、G，∴∠ OBE= ∠OBF= EBF，∠ OCG= ∠ OCF= ∠GCF，解析】 A ．解析】 D ．5、正六边形的边心距与边长之比为（解析】∵ AB=25 ，BD=15 ，∴ AD=10 ，解析】A ．D．103、如图，⊙ O是△ ABC 的内切圆，点 D、E分别为边 AC、BC 上的点，且O 的切线，若△ ABC 的周长为 25， BC 的长是 9，则△ ADE 的周长是A．7 B．C．9 D．16A．1：2 B．： 2 ：2 解析】D ．6、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为120°，25cm，贴纸部分的宽BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（2 A ． 175πcm2B ． 350πcmAB 长为C ．πcm2 2D ． 150πcm∴ S 贴纸=2 ×() =2×175π=350πcm2，故选B ．7、如图，已知：射线 PO与⊙ O交于 A 、B两点， PC、PD分别切⊙于点 C、D．1）请写出两个不同类型的正确结论；2）若 CD=12，tan∠CPO= ，求 PO 的长．解析】（1）不同类型的正确结论有：2① PC=PD，② ∠CPO=∠DP，③ ACD ⊥BA，④ ∠ CEP=90 °，⑤PC2=PA?PB；2)连接 OC∵PC、PD 分别切⊙ O于点 C、D∴PC=PD，∠ CPO=∠DPA∴CD ⊥AB ，∵ CD=12，∴ DE=CE= CD=6．∵ tan∠ CPO= ，4、已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（A．1：2：B．2：3：4 C． 1：：D．1：2：A B D ） A C cm 2A ，B 直击中考 CDEF 的顶点C 是 1、【2016?深圳】如图，在扇形 AOB 中∠AOB=90 °，正方形的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为C ．2π﹣8 A ． 2 π﹣ 4 B ． 4π﹣ 8D ．4π﹣ 4 ∴阴影部分的面积 =扇形 BOC 的面积﹣三角形 ODC 的面积 2、【2008?深圳】如图，边长为 1的菱形 ABCD 绕点 A 旋转，当 B 、C 两点恰解析】 C ．3、【2009?深圳】如图，已知点 C ，D 均在已知圆上， AD ∥ BC ，AC 平分 的周长为 10cm ．图中阴影部分的面积为（ ∠BCD ，ABCD 平分∠ BCD ，∠ ADC=120 °，所以∠ ACD= ∠DAC=30 °， ∵AD ∥ BC ，AC ∴ = ，∴∠ ∴四边形 ABCD 解析】∵在扇形 AOB 中∠ AOB=90 °，正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点， 在 Rt △OPC 中，∵ tan ∠ CPO= ，∴ ∴在 Rt △EPC 中， PE=12，∴由勾股定理得 CP=6 ，∴ OC=3 ，∴OP= cm 2 解析】∵ AC 平分∠ BCD ，∴ = ， = =15 ． ∴ OC= =4， 的长度等于（ ）C ．2 时，则阴影部分的面积为（ ）的周长 =AB +BC +CD +AD= BC ×3+BC=10，解得 BC=4cm ，BAC=90 °∠B=60°，∴ BC=2AB ， COD=45 °，好落在扇形 AEF 的弧 EF 上时，弧 BC ∵PC 切⊙O 于点 C ，∴∠ OCP=90° π﹣ D ． cm 2×π×42 ×（ 2 ） 2=2 π﹣4．故选： A ． cm 2 B ．（ ∠ ADC=120 °，四边形∴圆的半径 = × 4=2cm ，∴S 阴影=S 半圆﹣S △ACE =12.5π﹣21×4×2 ∴阴影部分的面积 =（ π× 2 2×2× π﹣ cm 2．故选： B ．4、【 2016?资阳】在 Rt △ABC 中，∠ ACB=90 °，AC=2 ，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交 AB 于 点 D ，若点 D 为 AB 的中点， 则阴影部分的面积是（B ． 4 ﹣C ．2 ﹣D ．解析】∵ D 为 AB 的中点，∴ BC=BD= AB ，∴∠ A=30 °，∠ B=60 °．∵AC=2 ，∴ BC=AC ?tan30°=2 =2，∴S 阴影=S △ABC ﹣ S 扇形 CBD = ×2 × 2﹣ =2 ﹣ π．故选 A ．5、【 2011?深圳】如图 1，已知在⊙ O 中，点 C 为劣弧 AB 上的中点，连接 AC 并延长至 D ，使 CD=CA ，连 接 DB 并延长 DB 交⊙ O 于点 E ，连接 AE ．1）求证： AE 是⊙O 的直径；2）如图 2，连接 EC ，⊙ O 半径为 5，AC 的长为 4，求阴影部分的面积之和． （结果保留 π与根号）解析】（1）证明：连接 CB ，AB ，CE ，∵点 C 为劣弧 AB 上的中点，∴ CB=CA ，又∵ CD=CA ，∴ AC=CD=BC ，∴∠ ABC= ∠BAC ，∠ DBC= ∠ D ，∵ Rt △斜边上的中线等于斜边的一半，∴∠ ABD=90 °，∴∠ ABE=90 °，即弧 AE 的度数是 180°，∴ AE 是⊙O 的直径；2)解：∵ AE 是⊙O 的直径，∴∠ ACE=90 °，∵ AE=10 ，AC=4 ，∴根据勾股定理得： CE=2 ， =12.5π﹣ 4 ．S(Summary -Embedded)——归纳总结重点回顾1、切线长定理中三处垂直关系、三对全等关系、两对弧相等关系；2、圆与正多边形的关系；3、弧长、不规则阴影面积的计算。

切线长定理—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫作圆的外切三角形.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ． （1）求证：EF是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC=60°，求AD 的长．【答案与解析】 证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO=CO ， ∴OF∥AB，∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE⊥AE， ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE，∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC=FE，OE=OC ，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE， ∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°， ∴∠0EC+∠FEC=90°， 即：∠FEO=90°， ∴FE 为⊙O 的切线；（2）如图2，∵⊙O 的半径为3， ∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE ， ∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD 中，∠COD=60°，OC=3， ∴CD=，∵在Rt△ACD 中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=图（2）∴∴OA=∴x=AD= 23.（2016•东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A．9 B．10 C．3D．2【思路点拨】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD 为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x ﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，即CB=CE=，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．【答案与解析】解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，∴CB=CE=，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．【总结升华】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了勾股定理．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．。

第26课切线长定理目标导航课程标准1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.知识精讲知识点01 切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.知识点02 切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.知识点02 三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即1Pr2S (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).考法01 切线长定理【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O 交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O 的切线.【答案与解析】如图，连结OD 、，则．∴． ∵ ，∴． ∴是的中点． ∵是的中点， ∴． ∵于F ． ∴．∴是⊙O 的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，AD=AB+DC ，AD 是⊙O 的直径．求证：BC 和⊙O 相切．ABC 6AC BC ==8AB =BC AB D AC G DF AC ⊥F CB E EFDFGCO B E ACD 90BDC ∠=︒CD AB ⊥AC BC =AD BD =D AB O BC DO AC ∥EF AC ⊥EF DO ⊥EF 能力拓展【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD ，∴∠1=∠2．∵ AD ∥OC ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4．又∵ OB=OD ，OC=OC ，∴ △OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°， ∴ DC 是⊙O 的切线．【总结升华】因为AB 是直径，BC 切⊙O 于B ，所以BC ⊥AB ．要证明DC 是⊙O 的切线，而DC 和⊙O 有公共点D ，所以可连接OD ，只要证明DC ⊥OD ．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC ≌△OBC ．这是不难证明的．【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，并连接OB ，则OB ⊥AB ；在△AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， 所以AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2.x xx（2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵∠A=30°∴OA=∴x=AD=2考法02 三角形的内切圆【典例3】已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点． （Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．考法03 与相切有关的计算与证明【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练1．下列说法中，不正确的是( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【答案】C【分析】根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果．【详解】由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确；由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确；由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D 正确．故选C．【点睛】本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键．2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（）A．12（a＋b＋c）r B．2（a＋b＋c）C．13（a＋b＋c）r D．（a＋b＋c）r【答案】A【分析】首先根据题意画出图，观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算．【详解】如图，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12ABr+12BCr+12ACr=12（AB+BC+AC）r =12（a+b+c）r ，故选A.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心．解决本题的关键是将求△ABC转化为求S△AOB、S△BOC、S△AOC．3．如图，点P在△O外，PA、PB分别与△O相切于A、B两点，△P=50°，则△AOB等于（）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°【答案】B 【详解】试题分析：根据切线的性质可得：△OAP=△OBP=90°，根据四边形的内角和定理可得：△AOB+△P+△OAP+△OBP=360°，则△AOB=360°－90°－90°－50°=130°． 考点：切线的性质、四边形的内角和4．如图所示，△O 的外切梯形ABCD 中，如果AD△BC ，那么△DOC 的度数为( )A ．70°B ．90°C ．60°D ．45°【答案】B 【分析】由于AD 、DC 、CB 都是△O 的切线，根据切线长定理知：△ADO=△CDO ，△DCO=△BCO ；而AD△BC ，则2△ODC 和2△OCD 互补，由此可求得△DOC 的度数． 【详解】△DA 、CD 、CB 都与△O 相切， △△ADO=△ODC ，△OCD=△OCB ； △AD△BC ，△△ADC+△BCD=180°；△△ODC+△OCD=90°，即△DOC=90°； 故选B ． 【点睛】此题主要考查的是切线长定理及平行线的性质，准确的确定角的关系是解题关键．5．如图，PA 是O ⊙的切线，切点为A ，，则O ⊙的半径为A ．1B.3C.2D.4 【答案】C【解析】解：连接AO ，则△OAP=90°，又因为△APO=30°，所以AO=1/2PO ，设AO=x ，则PO=2X ，根据勾股定理，(2X)² -X² =(23）² 解得x=2，即半径为2，故选C 。

知识点一切线长定义及切线长定理1. _____________________________________________________ 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和____________________________________________ 之间的线段长叫作这点到圆的切线长注意切线长和切线的区别和联系：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。

2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论:(1) △ PAB是等腰三角形；(2) OP 平分△ APB，即△ APO A BPO ；(3) 弧AM=弧BM ;(4)在Rt OAP和Rt OBP中，由AB OP，可通过相似得相关结论;如：OA2 OB2 OE OP, AP2 BP2 PE PO, AE2 BE2 OE EP(5)图中全等的三角形有对，分别是：题型一切线长定理的直接应用【例1】如图所示，AO的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,经过点P的两条切线与AO切于点E、F,求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，FA、PB、DE分别切A0于A、B、C, A O的半径长为6 cm, PO= 10 cm,求APDE的周长.切线长定理及其应用【例3】如图所示，△ ABC中，/ C=90 , AC=3 , AB=5 , D为BC边的中点，以AD上一点0为圆心的O0和AB、BC均相切，则O 0的半径为 ______________ .£4【过关练习】1•如图所示，PA、PB是AO的切线，A、B为切点，△ OAB=30°.( 1)求厶APB的度数.(2)当0A=3时,求AP的长•2•如图所示，已知PA、PB、DE分别切e 0于A、B、C三点，AO的半径为5cm, △ PED的周长为24cm , △ APB=50°求：(1) P0 的长；(2) △ EOD 的度数•3•如图，在直角梯形 ABCD 中,AB // CD,AB 丄BC,以BC 为直径的 △ 与AD 相切，点E 为AD 的中点，下列结论 正确的个数是( )B1 2知识点二圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和 __________________ .（如图，即AB+CD=AD+BC ）题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与AO 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。

切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。