导数的概念及其应用

导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。

本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。

一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。

对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。

导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。

二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。

如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。

2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。

函数在极值点处的导数为零或不存在。

3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。

三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。

例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。

通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。

2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。

例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。

这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。

3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。

例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。

这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。

4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。

生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。

导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。

5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。

导数知识点总结及应用导数是微积分中的基本概念，是描述函数变化率的工具。

它具有广泛的应用，不仅在数学中起着重要作用，也在其他学科中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。

本文将总结导数的基本知识点以及其应用。

一、导数的定义和性质导数可以通过极限的计算来定义，假设函数f(x)在点x_0处有定义。

那么f(x)在x_0处的导数可以定义为：f'(x_0)=lim(x→x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)导数的计算方法有很多，其中最基本的有以下几种：1.使用导数定义的极限计算法；2.利用导数的基本性质：线性性、乘法法则、链式法则等。

导数具有以下基本性质：1.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点连续；2.若函数f(x)在点x_0处可导，则f(x)在该点的函数值变化率为f'(x_0)。

二、导数的应用1.函数的极值与图像的凹凸性导数的一个重要应用是用于确定函数的最大值和最小值。

根据函数的图像和导数的符号，可以判断函数的增减性以及极值点。

具体来说，函数在极值点的导数为零，并且在极值点的导数变号。

另外，导数的符号还可以用来确定函数图像的凹凸性。

如果函数的导数在其中一区间上恒大于零，则函数在这一区间上是严格递增的，图像是凸的。

如果函数的导数在其中一区间上恒小于零，则函数在这一区间上是严格递减的，图像是凹的。

2.切线与法线函数的导数可以用来确定函数图像上任意一点处的切线和法线。

在其中一点x_0处，函数图像上的切线的斜率等于函数在该点处的导数值，即切线的斜率为f'(x_0)。

切线的方程可以通过点斜式来确定。

3.函数的近似计算函数的导数可以用来近似计算函数在其中一点处的函数值。

根据导数的定义，函数在该点的导数等于函数在该点的函数值变化率。

所以，如果已知其中一点的导数，可以通过导数乘以函数值变化的增量来估计函数值的增量。

4.曲线的弯曲程度导数还可以用来衡量曲线的弯曲程度。

导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。

在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。

一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。

二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。

2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。

3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。

4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。

5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。

三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。

2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。

3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。

导数的概念与应用导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在给定点处的变化率。

在数学和实际应用中，导数具有广泛的应用，涉及到诸多领域，如物理学、经济学、工程学等。

本文将介绍导数的概念，讨论其应用领域，并探讨导数在实际问题中的重要性。

一、导数的概念导数是函数微分学中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的变化率。

在数学上，导数可以通过函数的微分来定义。

对于一个函数f(x)，在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示当变量h无限接近于0时的极限值。

导数表示了函数在给定点处的瞬时变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。

二、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的应用非常广泛，尤其在运动学中发挥着重要作用。

例如，我们可以通过对位移函数求导来计算物体的速度，进一步求二次导数可以得到加速度。

导数的概念和计算方法为运动学提供了数学工具，使我们能够更好地理解和分析物体的运动轨迹。

2. 经济学中的边际分析经济学中的许多问题都可以通过导数来进行边际分析。

例如，在微观经济学中，边际效用是指每额外消费一单位商品带来的额外满足程度。

通过对边际效用函数求导，我们可以获得边际效用的变化率，帮助经济学家进行决策分析。

3. 工程学中的优化问题导数在工程学中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。

例如，在机械设计中，导数可以用于确定某种结构的最佳参数配置，以实现最佳性能。

通过优化函数的导数，工程师可以找到最优解，提高设计效率和性能。

三、导数在实际问题中的重要性导数在实际问题中具有重要的意义和作用。

它不仅可以提供函数在某一点的变化率，还可以揭示函数曲线的重要特性和行为。

导数的概念及其应用使得我们能够更深入地理解各种现象，并为解决实际问题提供了有效的数学工具。

导数在科学和工程领域的应用非常广泛。

例如在物理学中，我们可以通过对位置函数取导数，求得速度的变化率；通过求速度函数的导数，可以得到加速度的变化率。

导数及其应用导数是高等数学的重要组成部分，本文通过一些典型例题展示导数在不同学科领域中的应用.使学习者对导数的应用有较全面的了解.1 导数的概念定义1[1](89)P 设()y f x =在0x 某邻域有定义，极限000()()limx x f x f x x x →--存在，则称函数在0x 点处可导，该极限称为()f x 在点0x 处的导数，记为0()f x '.有时也记作0x x y ='或x x dy dx=.令x x x ∆+=0，)()(00x f x x f y -∆+=∆，则有)()()(lim lim00000x f xx f x x f x yx x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆.若极限000()()limx x f x f x x x →--不存在，则f 在点0x 处不可导.定义2[1](90)P 若()f x 在区间I 上每一点可导，则称()f x 为I 上的可导函数，记作()f x '，()y x '或dydx，且有0lim )(→∆='x x f .,)()(I x x x f x x f ∈∆-∆+定理[1](89)P 若函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，则0()f x '存在的充要条件：0()f x +'与0()f x -'存在且0()f x +'=)(0x f -'.例1 确定,a b 值，使函数2,1(),1ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩处处可导. 解 要使()f x 在1x =处可导，须在1x =处连续，故有11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -+→→== 即 1a b +=，又()f x 在1x =处左右导数分别为(10)2,(10)f f a ''-=+=故必有2a =，从而1b =-，因此当2,1a b ==-时()f x 在1x =处可导，而当1x ≠时，()f x 是可导的，所以当2,1a b ==-时()f x 处处可导.例2[2](271)P 假设函数)(x h 为处处不可导的连续函数，以此为基础构造函数()f x ，使()f x 仅在两点可导，并说明理由.解 令()f x =)())((x h b x a x --，b a ≠. 易知()f x 连续又()()()()f x f a x b h x x a-=--，当x a →时，极限显然存在，故()f x 在a 点可导.同理可证()f x 在b x =点可导．对c x =，a c ≠且b c ≠，若()f x 在c x =可导，则)(x h 在c x =可导，与已知矛盾．故()f x 仅在a x =和b x =可导.2 导数的应用2.1 导数在研究函数性态上的应用导数是研究函数性态的重要工具，下面对函数的一些常见性态进行讨论. 2.1.1 利用导数研究函数单调性定理1[3](236)P 设函数()f x 在区间(a,b) 内可导，则函数在(a,b) 内单调增加（单调减少）的充要条件：对区间(a,b) 内任意x ，恒有()0(()0)f x f x ''≥≤.单调区间分界点可能是()0f x '=点也可能是()f x '不存在的点. 例1 讨论函数32()2912f x x x x =-+的单调性 解 函数()f x 的定义域为R2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--令()0,f x '=解为1和2.它们把R 分成三个区间，作表如下：（表1）既函数()f x 在(,1)-∞和(2,)+∞上单调增加，在(1,2)上单调减少.例2[3](239)P 讨论函数()f x sinx x =+单调性.解 函数()f x 的定义域为R()cos 1f x x '=+，令()cos 10f x x '=+= ，解得(21)x k π=+，k Z ∈.它们将R 分成无限个区间：((21),(21)),.k k k Z ππ-+∈,()0,x R f x '∀∈≥而使()0f x '=的点(21)x k π=+，k Z ∈都是R 的孤立点.因此，()f x 在R 上单调增加．作表如下：（表2）即()f x 在((21),(21)),k k k Z ππ-+∈上单调递增.2.1.2 利用导数求函数的极值极值是函数性态的重要特征之一，在解决实际问题中被广泛应用. 定理2[3](241)P 设函数()f x 在0()U x 可导，且0()f x '0=，0δ∃>，如果当00(,)x x x δ∈-时，0()f x '0>0(()0)f x '<，当00(,)x x x δ∈+时，0()0f x '<0(()0)f x '>，则()f x 在点0x 处取得极大值0()f x (极小值0()f x ).定理3[4](61)P 设函数()f x 在点0x 处二阶可导，且0()f x '0=.如果00()0(()0)f x f x ''''<>，则0()f x 为()f x 的极大值(极小值).使0()0f x '=的点称为()f x 的稳定点.可导函数的极值点一定是稳定点，反之不一定成立. 例3 求5233()(25)f x x x =-的极值点与极值.解 ()f x 在(,)-∞+∞上连续，当x 0≠时有()f x '211333101010(1)333x x x x --=-=- 由()0f x '=得1x =是()f x 的稳定点，而0x =是不可导点.这两点是不是极值点的讨论如下表：（表3）可见，点0x =是()f x 的极大值点，极大值为(0)0f =；1x =是()f x 的极小值点，极小值是(1)3f =-.例4 求函数()f x 2xxe e -=+的极值.解 ()f x '2xxe e -=-令()0f x '=得到稳定点0x ln 22=-，又()f x ''2xx e e-=+，则()f x ''0x x ==0>.故0x 为()f x 的极小值点，极小值为ln 2()2f -=2.1.3 利用导数求函数的最值我们生活中会遇到“最好”、“最省”、“最大”等问题，可以归纳为数学中的最值问题. 若函数f 在区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一定有最大或最小值.如果f 的最大（最小）值点0x (,)a b ∈，则0x 一定是f 的极大（极小）值点.所以，比较f 的所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值.[1](145)P例5 求函数()f x 2x e-=2sin x 在区间[0,]2π上的最值.解 求出()f x 在区间内的稳定点与端点处的值，作比较可得区间上函数最值.()f x '22222sin 2cos x x xe x xe x --=-+令()0f x '=，得稳定点120,x x ==3(x =不在区间内，舍去)，于是得(0)0f =，422f e π-= 再求出端点值224()sin.24f eπππ-=比较可得：最小值(0)0f =，最大值422f π-=. 例6 设工厂A 到铁路线的垂直距离为20千米，垂足为B .铁路线上距离B 100千米处有一个原料供应站C ，现要在BC 之间修建一个原料中转车站D ，需要从D 修一条到工厂的公路.已知每千米的铁路运费与每千米的公路运费之比为3:5，那么，D 点应选在何处，才能使原料从C 运到工厂A 所需运费最少？解 设BD 间的距离为x 千米，则AD =100CD x =-.如果公路运费为a 元/千米，那么铁路运费为35a 元/千米.故从原料供应站C 途径中转站D 到工厂A 所需运费为3(100)5y a x =-+(0100)x ≤≤. 35y a '=-+=0y '=，即得22259(400).x x =+ 解之，得1215,15x x ==-（舍去）.且115x =是函数y 在定义域内唯一的稳定点，所以115x =是函数y 的极小值点，也是函数y 的最小值点.由此知，车站D 建在BC 之间距离B 15千米处时，运费最少.2.1.4 利用导数求函数的凹凸性由函数()f x 2x =和()fx =可知它们都是严格增加的函数.但它们增加的方式却是不同的，()f x 2x =上任意两点的连线总在两点间弧线的上方，我们称之为凸函数；而()fx =相反，称之为凹函数. （1） 凹凸的判定 定理4[3](253)P 设函数()f x 在开区间(,)a b 上可导，函数()f x 在(,)a b 凸（或凹）⇔12,x x ∀∈(,)a b ，当12x x <时有12()()f x f x ''≤（或12()()f x f x ''≥）.定理5[1](150)P 设函数()f x 在区间I 上二阶可导，则在I 上f 为凸（凹）函数的充要条件是：()0(()0)f x f x ''''≥≤，x I ∈.（2） 拐点定义及其判定 定义[1](152)P 设曲线()y f x =在00(,())x f x 有过穿曲线的切线，在切点的近旁，曲线在切线两侧分别是严格凸和严格凹的，则称00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点．即曲线凸的部分与凹的部分D B C100km的分界点为拐点.定理6[1](153)P 设f 在0x 可导，在某邻域0()o U x 内二阶可导，若在0()o U x +和0()oU x -上()f x ''的符号相反，则00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.应该注意的是，拐点可能是()0f x ''=的点也可能是()f x ''不存在的点. 例7 讨论函数32()233625f x x x x =---的凸凹性，并求其拐点. 解 函数的定义域是R2()6636,()126f x x x f x x '''=--=-令()1260f x x ''=-=，解为1x =，它将定义域分成两部分.如下表：（表4）所以，函数()f x 在1(,)2-∞严格凹，在1(,)2+∞严格凸，拐点为113(,)22. 2.2 导数在不等式证明中的应用数学问题的解决关键在于所采用的方法，选用适当的方法，可以收到事半功倍的效果.不等式的证明是数学中的重点内容之一，在学习了导数之后，我们就可以利用函数单调性、极值、拉格朗日中值定理来证明不等式.2.2.1 利用函数单调性证明不等式一些不等式与函数相关，我们可以将它整理后构造函数，再用单调性性质去证明. 例1 当1x >时，证明2(1)ln 1x x x ->+ 证明 令()(1)ln 2(1)f x x x x =+-- (1)x >则11()ln 2ln 1x f x x x x x+'=+-=+- 要证明 1ln 10x x +->，只须证明1()ln 1g x x x=+>即可22111()(1)0g x x x x x'=-+=-> (1)x >得()g x 在1x >时严格单调增加，又(1)1g =，故()1g x >，则1()ln 10f x x x'=+->，所以()f x在1x >时严格单调增加．又(1)0f =，故1x >时()(1)0f x f >=，即(1)ln 2(1)0x x x +-->，或2(1)ln 1x x x ->+. 2.2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式定理[1](120)P （拉格朗日中值定理） 若函数()f x 满足条件：()f x 在闭区间[,]a b 上连续; ()f x 在开区间(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-.例2 用拉格朗日中值定理证明不等式ln b a b b ab a a--<<，其中0a b << 证明 设()ln ,[,]f x x x a b =∈，则1(),(,)f x x a b x'=∈，函数满足定理条件，所以存在,a b ξξ<<，使lnln ln b b a b a a ξ-=-=，因b a b a b a b a ξ---<<故 ln b a b b a b a a--<<. 2.3 导数在几何中的应用主要讨论利用导数求曲线的切线、法线方程，以及求曲线曲率等常见问题.⑴曲线()f x 在点0x x =的切线斜率为()f x 在0x 的导数，即0()k f x '=.也即00()()limx x f x f x k x x →-=-，所以曲线()y f x =在点00(,)x y 的切线方程是000()()y y f x x x '-=-.法线方程为0001()()y y x x f x -=--'. 例1 在曲线211y x =+上求一点，使通过此点的切线平行于直线6y =. 解 平行线的斜率相等，而6y =的斜率为0，故所求切线的斜率0k =，即2220(1)xy x '=-=+ 解得0x =，代入曲线方程得1y =，因此，所求曲线的切点为(0,1).例2 设曲线(),()x x t y y t ==，由方程组2tt yx tee e e⎧=⎪⎨+=⎪⎩确定，试求该曲线在1t =处的曲率.k 解 由曲线方程知，当1t =时，,1,x e y ==由tx te =得(1)t dxt e dt=+ 对隐式方程2tye e e +=求导得0,t ydy e e dt +=则有,t y dy e e dt-=- 可得11,(1)(1)(2)1;2t y t t t dy e e dx t e t e e dy dx e-==-=++-=- 则有22322122()2(2),(1)(2)1.8t t t t d dy d y e t e dt dx dx dx t e e e dt d y dx e=-+==+-=-于是该曲线在1t =处的曲率333222222212211[1()][1()](14).82t d y dy k e e dx dxe e---=--=+=+=+ 2.4 导数在物理中的应用利用导数可以求质点运动时的瞬时速度和加速度，加热液体时温度的变化率等等. 我们把速度()v t 在t 时刻的导数()dv t dt定义为加速度. 例1 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹射入沙土的最大深度.解 (1)子弹射入沙土后，受力为,kv -由牛顿定律 ,dv kv mdt -= ,k dvdt m v -= 00t v k dv dt m v -=⎰⎰ 所以0;ktmv v e-=(2) 求最大深度x ()()dv dv dx dv kv mm mv dt dx dt dx -===，所以,mdx dv k =- max00x v m dx dv k=-⎰⎰所以 0max.mv x k=例2 在距离船的高度为h 的岸边，一个人以恒定的速率0v 收绳（绳子一端系在船头），求当船头与岸的水平距离为x 时，船的速度与加速度.解 建坐标系(如图)，设r 为人与船之间的绳长，则运动方程为222x r h =-对它两边求导，得22dx dr x r dt dt= 船速为 ,dx rdr v dt xdt ==因为0drv dt=-(负号表示绳长随时间缩短)所以船速0v =(负号表示速度与x 轴正向反向)将上式对时间求导可得船的加速度2203h v dva dt x==-(负号表示速度与x 轴正向反向). 2.5 导数在经济中的应用考虑经济问题时，成本、价格、利润、收入等经济量是首要应该考虑的因素．一个企业最关心的问题是如何把握好生产量和销售量，以使成本最小，收入最大，利润最高，价格最合理．而在这些经济问题的研究中，导数作为一个很好的工具被广泛应用.2.5.1 “边际”概念及其经济含义[5](220222)P -“平均”和“边际”是经济分析中通常用到的两个概念．“边际”即“边缘上”，表示当变量x 发生微小变化时，另一相关联变量y 的变化情况，即y 对x 的导数．因此，导函数()f x '就称作边际函数，而在点0x 处的导数值0()f x '便是()f x 在0x 处的边际函数值．以下分别讨论导数在边际成本、边际收益、边际利润和边际需求等函数中的应用． ⑴ 边际成本函数.设Q 为产量，1C 为固定成本，2()C Q 为可变成本，()C Q 为总成本，12()()C Q C C Q =+，则()C Q '为边际成本函数.表示当产量为Q 个单位时，每增加或减少一个单位产量所增加或减少的成本，从而边际成本()C Q '的大小表明了增产潜力的大小.例1 一种产品生产x 单位的总成本2()1200,1500x C x =+求生产1500个单位的边际成本. 解 边际成本函数2(),1500750x xC x '==生产1500个单位时的边际成本 (1500)2C '=（元）， 即产量为1500时，再多生产（少生产）一个单位的产品，须增加（或减少）成本2元.（2）边际收益函数设Q 为销售量（需求量），P 为商品价格，()R Q 为总收益函数，则()R Q PQ =．边际收益函数为总收益函数()R Q 对Q 的导数，即()R Q '.它的经济含义：假定已经销售Q 个单位产品，再多销售一个产品，总收入增加的数额．例2 产品价格P 与需求量Q 的关系为15,8QP =-求需求量为40时，边际收益()R Q '． 解 ()R Q PQ =2158Q Q =-()R Q '154Q =-当需求量为40时，5)40(='R ．表示需求量为40个单位时，再多生产一个单位，总投入将增加5个单位.（3）边际利润函数设()L Q 为总利润，则()L Q ()().R Q C Q =-()L Q 对产量Q 的导数即边际利润，即()()().L Q R Q C Q '''=-所以，当边际收益大于边际成本时，再生产一个单位产品，总利润将增加；当边际收益小于或等于边际成本时，再生产一个单位产品，总利润将减少或不变．例 3 生产某产品的总利润()L Q 与月产量Q 吨的关系为：()L Q =22505.Q Q -试求每月生产20吨，25吨，30吨时的边际利润，并说明含义．解 边际利润()25010,L Q Q '=-则 (20)25020050,(25)0,(30)25030050.L L L '''=-===-=-以上结果表明：当每月产量为20吨时，再增产一吨，利润增加50元；当每月产量为25吨时，再增产一吨，利润不变；当每月产量为30吨时，再增产一吨，利润将减少50元． （4）边际需求函数设()Q P φ=是需求函数，其中P 为价格，则Q 对P 的导数就是边际需求函数． 由()Q P φ=可得函数1()P Q φ-=为价格函数，则P 对Q 的导数1[()]dPQ dQφ-'=即为边际价格函数，且有()P φ'11[()]Q φ-='.例4 某商品的需求函数3()6023P Q P P =-+，求3P =时的边际需求，并说明经济意义. 解 边际需求函数为2()2Q P P '=-+，则当3P =时，3()7P Q P ='=-.意义：当价格是3个单位时，价格上涨(下降)1个单位，需求将减少(增加)7个单位.2.5.2 应用导数求解经济现象中的最值问题在生产生活中经常会提到最大收益、最大利润和最小成本的问题，以下应用导数分别进行讨论. ⑴ 最大利润求解最大利润时，应该先求出成本函数)(Q C 与收益函数()R Q .其中成本函数为固定成本与可变成本之和，收益函数为价格函数与需求(销售)函数的乘积.例5 某产品每次售10000件时，每件单价50元，若每次多售2000件，则每件相应降价2元，又知需求量Q 是价格P 的线性函数，成本函数()6000020C Q Q =+.试求产量为多少时，利润最大，并求出最大利润.解 设需求函数()Q P a bP =+，由题得1000050a b =+①，1200048a b =+②得60000,1000a b ==-，故()600001000Q P P =-，得收益函数2()600001000R P PQ P P ==-可得利润函数 ()()()L Q R Q C Q =-28000010001260000P P =--令()0L Q '=得40P =此时，(40)600004000020000Q =-=2(20000)80000401000401260000340000L =⨯-⨯-=（元）所以，当产量为20000件后时取得最大利润340000元.（2）最大收益求P 等于多少有最大收益的问题，可将已知代入到收益函数()R Q 或()R P 中，求出0R '=时的解，即所求.例6 设价格函数为P 315,Qe -=求收益最大时的产量、价格和收益.解 收益函数()R Q 315QPQ Q e-==，令()0R Q '=即35(3)0Q e Q --=，得 3.Q = 故15.P e =此时，45,R PQ e==所以，收益最大时的产量、价格和收益分别为3，15e ，45.e（3）最小成本 求解最小成本问题与最小值的方法步骤相似，但首先应该将成本函数()C Q 化成()().C Q C Q Q= 例7 已知生产x 件产品的成本为2()50000040050x C x x =++，求要使平均成本最小，应该生产多少件产品？解 ()()C x C x x =1150000040050x x =++ 令()0C x '=即21500000050x --=得125000,5000x x ==-（舍） 又5000()0x C x =''>，故5000x =时()C x 取极小值，也是最小值.所以，当生产5000件时，平均成本最小.。

导数定义及其在中学数学中的应用毕业论文一、导数的定义导数是微积分中最基本的概念之一，它是指函数在某一点处的变化率。

更具体地说，设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，当x在x0处取近似于x0的值时对应的函数值之差Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与x0处的自变量增量Δx之比，即Δy/Δx的极限为：lim Δx→0 Ε0Δy/Δx=dy/dx=f'(x0)如果这个极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)。

其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，也可以用dy/dx、 y' 或者 df/dx 表示。

二、导数在中学数学中的应用1. 切线与法线导数的最重要的应用之一是用于求函数在某一点处的切线与法线，这也是导数最基本的应用之一。

在求解中，我们首先求出函数在该点处的导数，然后求出该点处的坐标，进而求解出函数在该点处的切线和法线。

例如，对函数y=x^2，求该函数在点(x0, y0)处的切线和法线，其中x0表示点的横坐标，y0表示点的纵坐标。

解法：首先求出函数y=x^2在点(x0, y0)处的导数：f'(x0)=2x0然后代入点(x0, y0)得：y-y0=f'(x0)(x-x0)化简后得：y-y0=2x0(x-x0)这个公式就是函数y=x^2在点(x0, y0)处的切线的方程式。

同样的，可以通过求解出函数在该点处的导数，进而求解出函数在该点处的法线的方程式。

理论上说，导数是极限，但在实际的计算中，我们一般采用微小的增量等量的方法来近似于导数，而这个近似值就可以被用于实际计算中。

2. 最值的求解另一个导数在中学数学中常见的应用就是求解函数的最大值和最小值。

具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，且函数在区间内的某点x0处的导数f'(x0)=0或不存在，则f(x)在点x0处取得了最大值或最小值。

因此，我们可以通过求出函数的导数，并找到导数等于0的点或导数不存在的点，就可以求解出函数的极大值和极小值。

导数的概念导数公式与应用导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。

导数的概念在不同领域都有广泛应用，例如物理学、经济学和工程学等。

本文将介绍导数的概念、导数公式以及导数在实际应用中的一些例子。

导数的概念可以理解为函数在其中一点处的变化率。

具体来说，如果函数在其中一点处具有导数，那么导数等于函数在该点处的斜率。

直观地说，如果一个函数在其中一点的导数为正，意味着函数在该点附近的值在增加；如果导数为负，意味着函数在该点附近的值在减小。

如果导数等于零，在该点附近的值则没有变化。

导数的计算可以使用导数公式来简化。

对于一些常见的函数，我们可以使用已知的导数公式来得到它们的导数。

例如，对于多项式函数，如果f(x) = ax^n ，其中a和n为常数，那么它的导数为f'(x) = nax^(n-1)。

而对于指数函数f(x) = e^x ，它的导数等于它自身，即f'(x) = e^x。

通过使用这些已知的导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。

导数在实际应用中有着广泛的应用。

一个常见的应用是在物理学中，用于描述物体的运动。

例如，我们可以通过计算一个物体的位移函数的导数来得到它的速度函数。

同样地，计算速度函数的导数可以得到加速度函数。

通过这样的导数计算，我们可以更好地理解物体的运动规律。

另一个应用是在经济学中，用于描述供需关系。

导数可以提供给我们有关价格和数量之间关系的更多信息。

如果一个函数表示价格对其中一变量的依赖关系，那么它的导数可以告诉我们，当这个变量改变一个单位时，价格将会如何改变。

这种信息对于制定合理的价格策略和优化资源配置非常重要。

除了物理学和经济学，导数在工程学和计算机科学中也有许多应用。

在工程学中，导数可以用于解决建筑结构的优化问题，确保建筑物的稳定性。

在计算机科学中，导数可以用于图像处理和机器学习等领域，提供对图像和数据的更深入的理解。

总结起来，导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。

导数的计算方法及其应用一、导数的定义与概念在微积分学中，导数是描述函数在任意一点斜率的概念，它是函数的一种变化率。

导数也可以被理解为：函数在某一点处的瞬时变化量，换句话说，它表示函数曲线在该点处的推移趋势。

导数的定义是：$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$在这里，如果这个极限存在，那么它就是函数$f(x)$的导数，通常用$f^{\prime}(x)$或$\frac{dy}{dx}$来表示。

导数的概念对于数学及其他应用领域的许多问题都是至关重要的。

导数在物理学、经济学、金融学等学科中都有广泛的应用。

二、导数的计算方法虽然导数的定义很简明，在实践中却很难直接计算。

而且，无论是手工还是机器方式，都需要找到一个规律来完成这项任务。

以下是几种常见的计算导数的方法：1. 基本公式法导数的计算方法中最常见的方式是使用基本公式法。

这种方法利用已知的一组基本导数表，来计算一个函数的导数。

根据基本公式法，对于函数$f(x)$，一些常见的导数结果集是：$$\begin{aligned} (x)^{n} & \rightarrow n x^{n-1} \\ \exp(x) &\rightarrow \exp(x) \\ (\ln x) & \rightarrow \frac{1}{x} \\ (a^{x}) & \rightarrow a^{x}(\ln a) \\ (\sin x) & \rightarrow \cos x \\ (\cos x) & \rightarrow -\sin x \\ (\tan x) & \rightarrow \sec^{2} x \end{aligned}$$如果函数可以表示为上述函数中任意两个函数的运算结果，则基本公式法可以使用“求和规则”和“乘积规则”来计算导数。

导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的定义导数的定义是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。

具体地说，如果函数f(x)在x=a处的导数存在，那么导数f'(a)表示了当自变量x在a处发生一个小的变化Δx时，函数值f(x)将相应地发生多大的变化Δf，这种变化率可以用导数来描述。

导数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它在实际生活中也有着广泛的应用价值。

导数的定义让我们能够更好地理解和描述各种现象中的变化规律，帮助我们预测未来的发展趋势。

掌握导数的概念可以帮助我们更好地解决各种实际问题，提高工作和生活的效率。

了解导数的定义及其在实际生活中的重要性对于我们每个人都是有益的。

在接下来的内容中，我们将探讨导数在不同领域的具体应用，展示导数在实际生活中的广泛应用。

1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性可以说是不可忽视的。

导数是微积分中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。

通过导数，我们可以描述物体在某一时刻的变化率，帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。

在经济学中，导数被广泛运用于描述市场需求和供给的变化趋势，分析价格弹性和收益最大化等问题。

导数的概念也被应用于金融领域，帮助投资者和分析师预测股价的波动和变化趋势。

在物理学中，导数被用来描述物体的运动状态，例如速度和加速度的变化。

通过导数，我们可以计算出物体在不同时间点的位置和速度，帮助我们更好地理解自然界中的各种物理现象。

在生物学中，导数可以用来描述生物体的生长和变化过程，帮助研究人员更好地理解生物体的发育和演化规律。

导数也被用来分析生物体在不同环境条件下的适应性和响应能力。

在工程学和医学领域，导数被广泛应用于设计和优化各种系统和流程。

通过导数，工程师和医生可以分析和改进各种工艺和治疗方案，提高效率和准确性，保障工程项目和医疗保健的质量和安全性。

导数及其应用导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率xyx ∆∆→∆lim 0＝lim 0→∆x f x 0＋Δx －f x 0Δx❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim→∆x ΔyΔx＝lim→∆xf x 0＋Δx －f x 0Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f x 在点P x 0，y 0处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f x 0的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim→∆xf x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝f x gx －f x gx[g x 2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)；(2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ；(3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫b c f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ；(3)⎣⎡⎦⎤1f x ′＝－f x [f x2(f (x )≠0)；(4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|b a (n ≠－1)；(3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b a e x d x ＝e x |ba . 考点一 导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2 D ．－2 考点二 导数的几何意义及其应用 考法(一) 求切线方程1.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x 考法(二) 求切点坐标1.已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)1 .(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. 考法(四) 两曲线的公切线问题1.已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．考点三 定积分的运算及应用 1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为(a，b)上为减函数．增函数．f′(x)≤0⇔f x在❶2．函数的极值(1)函数的极小值：；函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f a＝0❷，f(a)而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f x的极小值点❸叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极f′(x值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． (3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．导数与函数的单调性 考点一 求函数的单调区间1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( )A ．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________． 考点三 根据函数的单调性求参数(1)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，则a 的取值范围为________．2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________．3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________．4．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8] D ．[－2,4]5．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．6．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．7．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)． (1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值1.已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．2．(2019·唐山联考)若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________．考点二 利用导数研究函数的最值 1.已知函数f (x )＝ln xx －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ＞0，求函数f (x )在区间[m,2m ]上的最大值．利用导数解不等式1.定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f ′(x )＜12，则不等式f (lg x )＞lg x ＋12的解集为__________．2.已知f (x )为R 上的可导函数，且∀x ∈R ，均有f (x )＞f ′(x )，则有( ) A ．e 2 019f (－2 019)＜f (0)，f (2 019)＞e 2 019f (0) B ．e 2 019f (－2 019)＜f (0)，f (2 019)＜e 2 019f (0) C ．e 2 019f (－2 019)＞f (0)，f (2 019)＞e 2 019f (0) D ．e 2 019f (－2 019)＞f (0)，f (2 019)＜e 2 019f (0)3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋2f ′(x )＞0恒成立，且f (2)＝1e (e 为自然对数的底数)，则不等式e xf (x )－e 2x ＞0的解集为________．利用导数解决综合问题1.设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R.讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．2.已知函数f (x )＝ln xx －k 有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2.。