下载文档原格式
内蒙古大学2012-2013学年第二学期高等数学B2 期末考试试卷（A 卷）（闭卷120分钟）姓名 学号 专业 年级 ____重修标记 □ 考场题号 一 二 三 四 五 合计 得分一、填空题（本题满分 30 分，每小题 3 分）1．()f x 在(0,0)点的某邻域内有定义，且22(,)(0,0)(,)lim1x y f x y ax byx y→+-=-+，,a b 为常数，则(0,0)(0,0)x y f f ''+= _________________.2.设(,)yf x y x =, 则2fx y∂∂∂=___________.3. 函数222l n ()u x y z =++在点(1,2,2)M -沿方向(1,0,1)l =-的方向导数为___________.4. ()f x 连续，1()()d ttyF t dy f x t =⎰⎰，则(2)F '=__________.5. 区域{(,)|11,01}D x y x y =-≤≤≤≤， 则二重积分2||d d Dy x x y -⎰⎰=_________________6. 级数12(1)n nn x n ∞=+-∑的收敛域为_________________.得分7. arctan x 的幂级数展开式为_________________.8. 23x z e xy -+=在点(1,2,0)出的切平面方程为_________________. 9. ||2,||2,||2,a b a b ==⨯=向量a 与b 的夹角为锐角，则a b =___________.10. 直线1231:101x y z L ---==-和212:211x y zL +-==，求过L 1且平行于L 2的平面方程_________________.二、选择题（本题满分 20分，每小题4 分）（1）二元函数(,)f x y 满足0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，则在点00(,)x y 处(,)f x y 有______(A) 必连续 (B) 全微分00(,)d (,)|0x y f x y = (C) 必取得极值 (D )可能取得极值（2）(,)z f x y =的全微分为d d d z x x y y =+，则点(0,0) ______ (A) 不是(,)f x y 的连续点 (B) 不是(,)f x y 的极值点 (C) 是(,)f x y 的极大值点 (D ) 是(,)f x y 的极小值点 （3）(,)f x y 连续，则222411d (,)d d (,)d y xyx f x y y y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰_______(A) 2411d (,)d xx f x y y -⎰⎰ (B) 241d (,)d xxx f x y y -⎰⎰(C)2411d (,)d yy f x y x -⎰⎰(D)221d (,)d yy f x y x ⎰⎰（4）10,(1,2,3,)n a n n≤<=，则下列级数中必收敛的是 ______ (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nnn a∞=-∑ (C)1n n a ∞=∑(D )21(1)nnn a∞=-∑（5）1n n a ∞=∑收敛，则正确的是_______得分(A)21n n a∞=∑收敛 (B) ,nn n a b →∞，则1n n b ∞=∑收敛(C) n →∞，必有1()n a o n = (D ) 若1n n b ∞=∑绝对收敛，则1n n n a b ∞=∑也绝对收敛三、计算题（本题满分 24 分，每小题12分）1.计算二重积分22|1|d d ,{(,)|01,01}Dx y x y D x y x y +-=≤≤≤≤⎰⎰得分2. ()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，22()z f x y =+满足22220z zx y∂∂+=∂∂，（1）求()()f u f u u'''+（2）若(1)0,(1)1f f '==，求()f u 的表达式求幂级数1(2)nn n n x∞=+∑的收敛域与和函数()S x求2(,)(4)f x y x y x y =--在区域D 上的最值，其中D 由直线6x y +=，x 轴和y 轴围成。
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II 卷)数 学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知集合M =｛x |(x-1)2 < 4,x ∈R ｝，N =｛-1,0,1,2,3｝，则M ∩N =(A)｛0,1,2｝ (B)｛-1,0,1,2｝ (C)｛-1,0,2,3｝ (D)｛0,1,2,3｝(2) 设复数z 满足(1-i )z =2i ，则z =( )(A)-1+i (B)-1-i (C)1+i(D)1-i (3) 等比数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，5a = 9，则1a = (A) 13 (B)13- (C)19 (D)19- (4) 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β. 直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则(A)α∥β且l ∥α (B)α⊥β且l ⊥β(C)α与β相交，且交线垂直于l(D)α与β相交，且交线平行于l (5) 已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则a =(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1(6) 执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S = (A)11112310++++ (B)11112!3!10!++++ (C)11112311++++ (D)11112!3!11!++++(7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(1,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A)(B) (C) (D)(8) 设a =3log 6，b =5log 10，c =7log 14，则(A)c >b >a (B)b >c >a (C)a >c >b (D)a >b >c(9) 已知a >0，x ，y 满足约束条件13(3).x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，，若z =2x +y 的最小值为1，则a =(A) 14 (B) 12 (C)1 (D)2(10) 已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是(A)00()0x R f x ∃∈=，(B)函数y = f (x )的图像是中心对称图形(C)若0x 是f (x )的极小值点，则f (x )在区间0(,)x -∞单调递减 (D)若0x 是f (x )的极值点，则0'()0f x =(11) 设抛物线2:3(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为(A)24y x =或28y x =(B)22y x =或28y x = (C)24y x =或216y x = (D)22y x =或216y x =(12) 已知点A (-1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y =ax +b (a >0)将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是(A)(0,1) (B)1(1)22- ( C)1(1]23- (D)11[,)32C B DAE B 1C 1A 1 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012~2013学年第1 学期 考试科目：高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．已知向量a 与b 的夹角为23π，3,4==a b ，则()(2)-⋅+=a b a b ． 2．(,)limx y →= ．3．设10z e xy z -+-=，则(0,1)|zx∂=∂ ． 4．若级数n +∞=发散，则p 的取值范围是 ．5．设某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为12cos2sin 2y C x C x x =++，则该微分方程为 ．二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．函数(,)f x y 在00(,)x y 处可微是(,)f x y 在00(,)x y 处存在偏导数的（ ）A ．必要条件；B ．充分条件；C ．充分必要条件；D ．既不是充分条件也不是必要条件． 2．设函数(,)f x y 在由2y x =，0y =和1x =所围成的闭区域D 中连续，且(,)(,)Df x y xy f x y dxdy =+⎰⎰，则(,)f x y =（ ）A ．xy ；B ．18xy +； C ．1xy +； D ．2xy ．3．二次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可写成 （ ）A．1(,)dy f x y dx ⎰⎰； B．10(,)dy f x y dx ⎰； C ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰； D．100(,)dx f x y dy ⎰．4．级数11(1)n n +∞-=-∑ （ ）A ．绝对收敛；B ．条件收敛；C ．发散；D ．敛散性不确定． 5．差分方程132t t t y y t +-=⋅的特解形式为 （ ）A ．2t t y At =⋅；B ．()2t t y At B =+⋅；C ．2()2t t y At Bt =+⋅；D ．t y At B =+．三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求直线0320x y z x y z -+=⎧⎨++-=⎩与平面240x y z +-+=的交点与夹角．2.设函数ln z y =2zx y∂∂∂．3. 求函数()z yu x=在点(1,1,2)处的全微分．4．设()z xy xF u =+，其中y u x =，()F u 为可微函数，求z z x y x y∂∂+∂∂5．试将函数1()ln 1x f x x +=-展开成x 的幂级数，并求级数21011213n n n ∞+=⋅+∑的和．6．计算二重积分224DI x y dxdy =+-⎰⎰，其中22{(,),9}D x y x y =+≤．7．求微分方程2(1)21x y xy '''++=满足初始条件(0)0y =，(0)1y '=的特解．四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．设某工厂生产A 和B 两种产品，产量分别为x 和y （单位：千件），利润函数为22(,)46162L x y x y x y =--++-．已知生产这两种产品时，每千件产品均消耗某种原料2000kg ，现有该原料12000kg ，问如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？2．证明：若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n a ∞=∑收敛．3．设某产品在时刻t 的价格、总需求和总供给分别为t p 、t D 和t S ．已知21t t S p =+，145t t D p -=-+．求证：在供需平衡时价格t p 满足差分方程：122t t p p ++=；当0p 已知时，求上述方程的解．。
2012-2013学年第二学期期末试卷-B 卷高等数学2A一、填空题（每小题2分，共16分）1．=-+-⎰-dx e xx ])2111(11442ππ______________. 2．极限=+⎰→4002)1ln(lim xdt t x x ______________. 3．微分方程02)('34'''=+-y y x y 的阶数为_________________________.4．交换积分次序：⎰⎰=102),(x x dy y x f dx ______________________________.5．设需求函数2113412p p Q +-=，当4,221==p p 时，需求的直接价格偏弹性为=11E _____.6. 函数ln(1)y x x =+在0x =处的麦克劳林级数为7. 设函数x y z =，则全微分=)1,1(dz __________________________. 8. 22121(1)n n n n ∞=+=+∑ 二、单项选择题（每小题2分，共12分）1．若∑∞=1n n u收敛,则下列说法成立的是( ) A.则||1∑∞=n n u必收敛. B. ∑∞=-1)1(n n n u 必收敛. C.11+∞=∑n n n u u 必收敛. D.∑∞=++112n n n u u 必收敛. 2．设)(),(x g x f 均有二阶连续导数, ,0)0()0(,0)0(,0)0(''==<>g f g f 则函数 )()(y g x f z =在(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）.A. ,0)0(,0)0(''''><g fB. ,0)0(,0)0(''''<<g fC. ,0)0(,0)0(''''>>g fD. ,0)0(,0)0(''''<>g f3．设函数y xy x y x f arcsin )1(),(-+=，则=)1,2(x f （ ）.A. 0B. 2πC. 1D. 2π-4．函数),(y x f 在点),(00y x 处的偏导数存在，则在该点处函数),(y x f （ ）.A. 必连续B. 两个偏导数必相等C. 必可微D. 以上结论都不对5．设平面区域D 由轴围成轴，以及y x yx 14=+，那么二重积分⎰⎰Dd σ的值为（）. A.0 B. 1 C. 2 D. 46. 微分方程0y y '+=满足初值条件0|3x y ==的特解为A ） 3x y e -=B ）3x y e =C ） 3x y e -=+ D) 3x y e =+三、计算题（每小题6分，共48分）1．求幂级数12112)1(-∞=∑--n n nx n 的收敛域及和函数.2．求定积分dx x x ⎰202cos sin π3．计算广义积分⎰+∞∞-+12x dx2012-2013学年第二学期期末试卷-B 卷4．设),(v u f 有二阶连续偏导数，),(22y x xy f z =，求x z ∂∂，yz ∂∂，dz .5．由方程1=++xz yz xy 确定了),(y x f z =，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z ∂∂∂2.6．计算二重积分2,sin I x y x y D dxdy x x D===⎰⎰和由直线围成..7．计算二重积分⎰⎰+=D dxdy y x 22I ，其中D 由圆0)(222==+-y a y a x 和直线围成.的第一象限区域.8．求微分方程dx x xy y dy x )(222+-=的通解.四、（本题10分）由曲线2x y =与直线x y =围成了平面区域D （1）求平面区域D 的面积（2）求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.2012-2013学年第二学期期末试卷-B 卷五、（本题10分）某公司在生产中使用甲乙两种原料,已知甲乙两种原料分别使用225103.302.2010),(Q Q ,y x y x xy y x y x --++=单位产品，且单位时，可生产,已知甲原材料单价为20元/单位,乙原材料单价为30元/单位,产品每单位售价为100元,产品固定成本为1000元, 问:( 1 )若没有成本约束，求使利润最大的产出组合及最大利润。
20 12 ―20 13 学年 二 学期《高等数学2》试卷（A 卷）考试形式: 闭卷，2小时，总分100分一、填空题：（共9小题，每小题3分，共27分）1.设()()2(,)11,1x f x y x y f '=+-=则________________.2. 设222230,x y z z ++-=求 dz =____ .3. 极限(,)ln sin lim y x yx e y →++= .4. 函数1()3f x x=-在区间3x <内关于x 的幂级数展开式为 . 5.求两平行平面1∏：052210=--+z y x 和2∏：x 5 01=--+z y 之间的距 离d = .6. 求曲线 32,,t z t y t x ===在点（1，1，1）处的切线方程为: .7. 计算2223(234)x y a x y d σ+≤++=⎰⎰.8. 化三重积分为三次积分(),,______________,f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ 其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.9. 设∑为球面1222=++z y x ，则()⎰⎰∑++dS z y x 222=_______________.二.选择题：（共5小题，每小题3分，共15分）学院： 专业班级： 姓名： 学号：装 订10 有关二元函数(),f x y 的下面四条性质：(1) (),f x y 在点()00,x y 可微分； (2) 0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在； (3) (),f x y 在点()00,x y 连续； (4) (,),(,)x y f x y f x y ''在点()00,x y 连续.若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是( )A ．(4)(1)(2)⇒⇒B ．(1)(4)(3)⇒⇒C ．(1)(2)(3)⇒⇒D ．(2)(1)(3)⇒⇒11．下列级数中，收敛的有（ ）A ． 11sin n n ∞=∑ B ．2111n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑C ． 11 (01)p n p n ∞=<<∑ D ． 1113n n -∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑12 I =210(,)xx dx f x y dy ⎰⎰，将I 化为先x 后y 的积分，则I =（ ）A ．21(,)x x dy f x y dx ⎰⎰B ．10(,)xdy f x y dx ⎰⎰C ．100(,)y dy f x y dx ⎰⎰ D．10(,)y dy f x y dx ⎰；13. 设l 为圆周c o s ,s i n (02),x a t y a t t a π==≤≤>，则22()nlx y ds +=⎰ （ ）A 、212n a π+ B 、0 C 、22na π D 、21221n a n π++14. 过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程为（ ） ()A 032=--z y x ()B 023=--z y x ； ()C 032=--z y x ()D 023=--z y x三、计算题：（共6小题，每小题4分，共24分）15. 计算,⎰⎰Dxyd σ其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域.16. 求曲面222426x y z -+=在点（2，2，3）处的切平面及法线方程。
2012-2013学年第一学期期末试卷-A 卷高等数学1B课程号： 11020014B 课序号： 01—18 开课院系： 数学与数量经济学院一、单项选择题（本题10分，每小题2分，请将正确答案的字母填在括号里）1．设⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，⎩⎨⎧≤>-=0,10,1)(x x x g ，则=+)()(x g x f （ ）．（A ） 0 (B) 1 (C) 2 (D) ⎩⎨⎧=≠0,20,0x x2．点1=x 是函数11arctan)(-=x x f 的（ ）． （A ）连续点 （B ）跳跃间断点 （C ）可去间断点 （D ）无穷间断点3. 已知函数)(x f 在a x =点可导，则=--→a x x af a xf ax )()(lim（ ）.（A ）)(a f ' (B) )(a f a ' （C ）)()(a f a f a -' （D ）)()(a f a f a +'-4. 曲线32352353x x y -=的单调递减且是凹的区间为（ ）．（A ）)0,(-∞ (B) )1,0( (C) )1,(-∞ (D) ),1(∞+ 5．若点()00,y x 是曲线)(x f y =的一个拐点，则下列说法中，正确的是（ ）． (A)0)(0='x f (B) 0)(0=''x f(C))(x f 在0x 的左右两侧凹凸性相反 (D) )(x f 在0x 的左右两侧单调性相反二、填空题（本题10分，每小题2分，请将正确答案写在横线上）1．函数xx f ln 1)(=的连续区间为 . 2.若数列{}n y 满足不等式：122+<<+n n y nn n n ，则=∞→n n y lim .3．设xx y =，则='y ．4．曲线x x y 23-=在点1=x 处的切线方程为 ．5．微分()=x d 2arctanx d .三、计算题（本题21分，每小题7分，请写出主要计算过程）1．求极限()()xx x x exx arcsin 111lim220⋅-++⋅-→2．求极限 303sin sin 3lim xxx x -→３.求极限xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1cos 2sin lim2012-2013学年第一学期期末试卷-A 卷四、计算题（本题35分，每小题7分，请写出主要计算过程）1.设x x y arctan )1(2+=，求y '及y ''2. 已知函数)(x f 二阶可导，且2)0()0()0(=''='=f f f ，1)2()2()2(=''='=f f f .设[])(x f f y =，求x dydx=及022=x dx y d3. 已知由方程y e y x =++)4tan(π确定了y 是x 的函数，求0==y x dxdy4．求不定积分dx x x ⎰-354)2(5．求不定积分dx x )1ln(⎰+五、（本题8分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，求)(x f '的表达式，并讨论)(x f '在点0=x 处的连续性和可导性．2012-2013学年第一学期期末试卷-A 卷六、（本题8分）某厂商决定对其产品做广告宣传，若广告投入x （单位：万元）与收益R （单位：万元）的关系为xe x R 21520)(--=．求（1）在广告投入水平为10=x 时的边际收益；（2）在广告投入水平为10=x 时，若再增加%1，收益会增加或减少百分之几？（3）如果你是决策者，你会投入多少广告费？ （附： 72≈e ，4.330ln ≈，计算结果精确到0.1 ）七、证明题（本题8分）1．证明：当1≠x 时，ex e x>．2．设函数)(x f 在]2,0[上连续,在)2,0(内可导, 且0)2()1(,0)0(=+=f f f ．试证:至少存在一点)2,0(∈ξ,使得)()(ξξf f ='．。
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z =（ ） （A ）-1+i（B ）-1-i（C ）1+i（D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- （4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l（D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4（B ）-3（C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++（C ）11112311++++ （D ）11112!3!11!++++ （7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为(A) (B)(C)(D)（8）设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x（C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 11,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
（答案要注明各个要点的评分标准）一、 填空题：（每小题3分，共15分）1. (5,1,3)-；2. 2ln xy x ；3.3202(cos ,sin )d f d ππθρθρθρρ-⎰⎰ ；4. 2π；5. [1,1]- . 二、选择题：（每小题3分，共15分）1) B. 2) A. 3) B. 4) C. 5) D. 三、计算题（共21分）1、解：122zf f x∂''=+∂ ---------------------------------------------3分 2z x y ∂=∂∂2111222232zf f f x y∂''''''=+-∂∂ ------------------------------------- 7分 2 、解：曲线2y x =与y x =的交点为（0,0）、（1,1） -------------------------------------1分 所以2()Dx y dxdy +⎰⎰2120()xxdx x y dy =+⎰⎰， -------------------------------------------4分 2134037().2260x x x dx =+-=⎰ -------------------------------------------------7分 3、解 22,,2P xy Q yx R ===,记∑所围成区域为Ω,则由Gauss 公式知 ：22222()()P Q Rxy dydz yx dzdx dxdy dv x y zx y dv∑ΩΩ∂∂∂++=++∂∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ------------------------------3分221120d d dz πρθρρρ=⋅⎰⎰⎰ ------------------------------------5分13502().6d ππρρρ=-=⎰ -------------------------------------7分四、计算题（共24分）1、解 取1:0,33L x y =-≤≤,方向从点(0,3)B 到点(0,3)A -222,62P xy y Q x x y =+=++ -------------------------------------2分记L 与1L 所围成区域为D ,则由Green 公式知:12()9(2622)(22)(62)44182L L DD Dx Q P d x yy y dx x x y dy x x d d σπσσπ+∂∂=-∂∂=+--=⋅++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ -------------------------5分1233(22)(62181821)8.L xy y dx x x y dyydy πππ-++=+=+--=⎰⎰原式 ----------------------------8分2、解：∑的方程为z =，xy D ：2240x x y -+≤或22(2)4x y -+≤于是该曲面的面积为：xyD A = ----------------4分其中x y z z === ----------------6分4.xyD A π∴===⎰⎰ ----------------8分3、解 ：由22(,,)2u x y z x xy y z =-++（1）(0,1,1) (0,1,1)(2,2,2)|(1,2,2)grad u x y x y =--+=- ---------3分 （2）令(1,2,2)l AB ==，则其方向余弦为122cos ,cos ,cos 333αβγ===， ------6分 从而有(0,1,1)7|c o s 2c o s 2c o s .3ul αβγ∂=-++=∂ -----------------------8分五、计算题（共16分）1、解：3lim12n n R n →∞+==+，即幂级数的收敛半径为1 ---------2分而级数1(2)n n ∞=+∑，11(2)(1)n n n ∞-=+-∑都发散，所以幂级数的收敛域为(1,1)---------------3分设幂级数在区间(1,1)-内的和函数为()s x ，则111111()2()21()21n n nnn n n n n n s x nxxx x x x∞∞∞∞--====∞='=+=+'=+-∑∑∑∑∑ ----------------6分2232().11(1)x x x x x -'=+=--- ----------------8分2．解: 设22(,,)24F x y z x y z =+- ---------------------1分则4,8,1F F Fx y x y z∂∂∂===-∂∂∂ --------------------4分 则曲面在点1,1,6)A （处切平面法向量为(4,8,1)n =- ------------------6分 故切平面方程为：4(1)8(1)(6)0x y z -+---=整理得 4860x y z +--= ------------------7分法线方程为116481x y z ---==- ------------------8分六、证明题（共9分）1、证明：记n u ==，则1lim2n →∞=， -----------2分因为1n ∞=1n ∞=∑也发散。
（答案要注明各个要点的评分标准）一、 填空题：（每小题3分，共15分） 1. (5,1,3)-； 2.cos 1zxe+； 3. 110(,)dy f x y dx ⎰ ； 4. 2π； 5. 0二、选择题：（每小题3分，共15分） B A B A D 三、计算题（共21分）1.解：22221y z y x x x y y x -∂-==∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭…………………………………2分 22211z x x y x y y x ∂==∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭…………………………………4分 2zx y ∂=∂∂ ()()22222222222()2x y y y x x y x y -++-=++ …………………………………7分 2.解：600cos cos x Dxx dxdy dx dy x x π=⎰⎰⎰⎰ …………………………………3分6c o s xx d x xπ=⋅⎰…………………………………5分 12=…………………………………7分 3.解：补曲面1∑：0,z =(,)x y ∈222:x y R +≤D ，取下侧.则∑和1∑围成封闭空间闭区域Ω.由高斯公式得1xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑++⎰⎰=332dv R πΩ=⎰⎰⎰ …………………………………4分10xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰ ………………………5分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰=1xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑++⎰⎰1xdydz ydzdx zdxdy ∑-++⎰⎰32R π= …………………………………7分四、计算题（共24分）1.解：补上BA :0,y x =从2到-2。
设L 与BA 所围成的区域为 D.由格林公式，得()()2DL B Ax y d x x y d y d x d y +-++=-⎰⎰⎰ 4π=- …………………………………4分 而()()0BAx y dx x y dy -++=⎰ …………………………………6分所以()()Lx y d x x y d y-++⎰ ()()L x y dx x y dy +=-++⎰()()BAx y dx x y dy --++⎰4π=- ………8分2、解： 面积 ⎰⎰∑=dS S --------------------------------------2分曲面在xoy 面的投影域D:1)1(22≤+-y x --------------------------4分⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++++==∑DDdxdy dxdy y x y y x x dS S 21222222 -----------7分π2= --------------------------8分3.解：222u u uu i j k y zi xyzj xy k x y z∂∂∂∇=++=++∂∂∂ 函数在点P 处的梯度为24Pu i j k ∇=-+ --------------------------4分函数在点P 处沿24P n u i j k =∇=-+处的方向导数为2421PPu ui j k n∂=∇=-+=∂ --------------------------8分五、计算题（共16分）1．解：11lim11111n n R n →∞+==++，即幂级数的收敛半径为1 ---------2分 而级数11(1)n n ∞=+∑，11(1)(1)n n n ∞=+-∑都发散，所以幂级数的收敛域为(1,1)- ---------4分设幂级数在区间(1,1)-内的和函数为()s x ，则1011110011()1()111x n n n n n n x x n n xs x x x x dxnx x x dxx dx x x x∞∞∞-===∞-==+=+-=+=+---∑∑∑⎰∑⎰⎰ ----------------6分=ln(1)1xx x--- ----------------8分 2、解：曲平面的法向量为：)1,2,1()1,,82(--=---=x y x ，--------------------------4分切平面方程为0)1()3(2)2(=-++---z y x ，整理得 052=+-+z y x ---------------------------6分 法线方程为112312-=-+=--z y x -----------------------8分 六、证明题（共9分） 1.证：（1）原级数为交错级数()21nn n u ∞=-∑，()021n u n n =>≥-，0n n lim u →∞= ………2分设 ())2f x x =≥，因()()102x f x x -+'=<≥所以()f x 在2x ≥单调递减。
答案与提示 第十章 微分方程一、选择题 1. B 2. A 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D 10. B 二、填空题1. 05|2='=+⎧⎨=⎩x y y y 2. 2221+=x y 3. d cot d y x u u u x x ==， 4. 12e e x x y x C x C =+++ 5. p ；p '；0xp p '+= 6. p ；d d p py ；2d 20d pyp p y+= 7. 220'''-+=y y y 三、综合题 1. ⑴ 213ln ||1=++-y x x x ⑵ 21(arctan )2=y x ⑶ 21arctan 2=++y x x C 2. ⑴ 45=+x Cy x⑵ 2(1)e y x y -=+ 3. 22e e x x --4. ⑴ 5712e e x x y C C =+ ⑵ 2e xy x -= ⑶ 212e (cos sin )xy C x C x =+5. 12()e euuf u C C -=+ 6. 22123e e (3)e 2x x x y C C x x ---=++-第六章 空间解析几何与向量代数一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. B 8. D 二、填空题1. (,,)---a b c2. 13. ⑴ 120==D D ⑵ 120==B B 且12,D D 不全为0 ⑶ 12120====C C D D4. 5++=x y z5. 6. {}22(,)2+≤x y x y 7. 22450-=z y 8. 22=+z x y 三、综合题1. | r | = 6，错误！未找到引用源。
2. ⑴121012--+==x y z ⑵ 112132-+-==-x y z3. 7510-+-=x y z4. 30+=x y 或30-=x y5. 354250+-+=x y z6. 2230-=x y第七章 多元函数微分学一、选择题 1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. D 8. B二、填空题1. {}(,)10x y x y x y +>-+≠且 2. 2 3. 2cos 2cos +y x x y 4. 1112250221---++-===x y z x y z5. 6. 3，1 7. 9813 三、综合题1. 22. cos()2∂=+∂z y xy xy x ，2cos()∂=+∂z x xy x y ，2cos()sin()2∂=-+∂∂z xy xy xy x x y2 3. 1d d ln d ln d yz yz yz u yzxx zx x y yx x z -=++ 4.e ,x zf f y x u v∂∂∂=+∂∂∂ ∂∂=∂∂z fxy u5.22d 1)d z y x x y =-+ 6. cos()1cos()11cos()1cos()z yz xyz z xz xyz x xy xyz y xy xyz ∂-∂-==∂-∂-， 第八章 二重积分一、选择题 1. B 2. B 3. D 4. D 5. B 6. C 7. C 8. D 9. B 10. A二、填空题 1. (,)d d Df x y x y ⎰⎰ 2. 连续 3. >；< 4. 41+xy 5. 4π 6. 1 7. 33πa8.422d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 9.2221d (,)d y yy f x y x +-⎰⎰ 10. d d x y ；d d r r θ三、计算题 1. ⑴ 1111d (,)d x f x y y --⎰⎰ 或1111d (,)d y f x y x --⎰⎰ ⑵11d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 或1d (,)d yy f x y x ⎰⎰⑶ eln 10d (,)d xx f x y y ⎰⎰或1ee d (,)d y yf x y x ⎰⎰⑷122001d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰或1201d (,)d yy f x y x -⎰⎰或242222d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+⎰⎰⎰⎰或40d (,)d y f x y x ⎰2. 64153. 26π-4. 136. e 2-7.763 8. 2(1e )R π-- 9. 9210. 6π内蒙古农业大学2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》（B2）试卷 A一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 点()231,,--在第（ ）卦限2.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 (3)(2)a b →→⋅-= ( ). 3.点)1,1,2(到平面22100x y z ++-=的距离( )4. 1(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域为( )5.(,)f x y =35(,)f =( )6. 设z xy =， 则 =dz ( ).7. 已知22dz x dx y dy =+，则2zx y∂=∂∂( ).8. 若 D={(y x ,)︱0201,x y ≤≤≤≤}, Dd σ=⎰⎰( ).9. 一阶线性微分方程sin 1xy y x x '+=的通解是( ).10. 特征方程2320r r +-=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题（每小题2分，共20分）1．过点(2,3,1)且垂直z 轴的平面方程为( )A 1z = B. 3y = C. 2x = D. 230x y z ++= 2． 03sin limx y xyx →→=（ ） A 4 B. ２ C. ３ D. 1 3. 22limx y x yx y →→=+（）.A. 0B. 不存在C. ２D. 14. 已知32(,)f x y x y =， 则 (1,1)x f =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 35.22{(,)9}D x y x y =+≤则Dd σ⎰⎰=（ ）A. 18πB. 14πC. 16πD. 12π6．已知平面2433x y z ++=与平面29x ky z +-=垂直，则k =（ ）A. 0B. 2C. 1D. 37. 设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=，那么a b →→⨯= ( ).A. b a →→⨯ B. b c →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯8. 就二元函数而言,下列说法正确的是 ( )．A. 可导一定连续B. 连续一定可导C. 可导、连续互为充要条件D. 可导、连续彼此无关 9. 微分方程ydx xdy =通解是（ ）.A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 下列方程是三阶微分方程的是（ ）A. 2y y x '-= B. 32()y y x '''-= C. 23()30y y '+= D. 22y y x '''=+4 三、判断题（每小题2分，共20分）1. 空间任意两个向量（自由向量）一定是共面的 （ ）2. 此式子()a b c →→→⨯⋅表示一个数 （ ） 3. (2,1,3),(1,1,2),a b →→==则 a b →→⨯9= （ ） 4.r i j k →→→→=++是单位向量. （ ）5. 2222lim x y x y x y→→-=-2 . （ ）6. 已知z x y =+，则 dz dx dy =+. （ ）7. 已知2229x y z ++=，则z xx z∂=-∂ （ ） 8.(,)Df x y d σ=⎰⎰(,)Df x y dxdy ⎰⎰. （ ）9.()10,y dy f x y dx ⎰⎰=()1,xdx f x y dy ⎰⎰． （ ）10.微分方程1y ''=的通解是y =12c x c +． （ ） 四、计算题（每小题8分，共40分）1. 求平行于y 轴且过点1P (1,5,1)-及2322(,,)P -的平面方程2.已知22z u v =+，,u xy v x y ==-， 求 dz 3. 求23223(,)f x y x x y y =++-的极值.4. 计算Dxy d σ⎰⎰, 其中D 是由直线0,y x y ==和1x =所围成的闭区域.5. 求微分方程320y y y '''-+=满足初始条件00,1x x yy =='==的特解内蒙古农业大学 2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》（B2）试卷 A 评分参考一、填空题（每小题2分，共20分）1.（六）2. ( 6).3. ( 1 ) 4. ( 1x y +-＞02,x y +≠ )5. ( 4 )6. ( ydx xdy + )7. ( 0 ).8. ( 2 ) .9. (1(cos )x c x-+ ). 10. ( 320y y y '''+-= ).二、选择填空题（每小题2分，共20分）1． A 2． C. 3. B. 4. D. 5. A. 6． C. 7. B. 8. D 9. B. 10. D. 三、判断题（每小题2分，共20分）1. √2. √3. ×4.×5. ×6. √7. √8. √9. × 10. × 四、计算题（每小题8分，共40分）1. 解 平行于y 轴的平面方程为 0Ax Cz D ++= 此平面过1P (1,5,1)-和2322(,,)P -得 0320,A C D A C D ++=-+= 解得 3255,A D C D =-=- 带入 3250x z +-= 2. 解22z z u z vuy v x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂，22z z u z v ux v y u y v y ∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂ 2222()()z zdz dx dy uy v dx ux v dy x y∂∂=+=++-∂∂ 3. 解22236,f f x y y x y ∂∂=+=-∂∂ 令00,f fx y ∂∂==∂∂ 得 12121102,x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 222222066,,f f fy x x y y∂∂∂===-∂∂∂∂ （1）1110x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===--=-＜0, 1110x y =-⎧⎨=⎩ 不是极值点.（2）2212x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===-=＞0,A ＞0，∴(,)f x y 在12(,)-取得极小值125(,)f -=-4. 解112000120x Dx xy d dx xydy xy σ==⎰⎰⎰⎰⎰1301128x dx ==⎰5. 解 2320r r -+=， 解得 1212,r r ==， 通解为 212x x y c e c e =+ 2122x xy c e c e '=+ ， 由 00,1x x yy =='== 得 1212021,c c c c +=+=解得 1211,c c =-=， 特解为 2x xy e e =-+内蒙古农业大学2013—2014学年第二学期经济类《高等数学》（B2）试卷 A一、填空题（每小题2分，共20分）1.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 a b →→⨯= ( ). 2. 过点(3,2,1)且垂直y 轴的平面方程为( )63. 22123limx y x y x y →→+=+( )4. (,)arccos x f x y y=，则12(,)f =( )5. 1(,)f x y x y =-间断点为（ ）6. 已知2(,)f x y xy =， 则 (1,1)y f =（ ）7.设33z x y =+， 则 =dz ( ). 8.交换积分顺序()10,y dy f x y dx ⎰⎰=( )9.微分方程1y ''=的通解是( )．10. 特征方程2330r r -+=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题（每小题2分，共20分）1.设(1,1,2),(2,1,2),a b →→=-=-则 (2)(3)a b →→⋅-= ( ).A 18 B. 19 C. 20 D. 21 2．点312(,,)-到平面2230x y z -+-=的距离( )A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3． 103lim(1)xx y xy →→+=（ ）A 2e B. e C. 1 D. 3e4. 已知dz ydx xdy =+，则2zx y∂=∂∂( ). A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 5.22{(,)9,0}D x y x y x =+≤≥则Dd σ⎰⎰=（ ）A. 12πB. 10πC. 11πD. 9π6．已知平面2433x y z ++=与直线12312x y z k ---==-平行，则k =（ ）A. 0B. 2C. 1D. 37.已知()u f xy =， 则uy∂=∂（ ） A. ()f xy ' B. ()xf xy ' C. ()yf xy ' D. ()xyf xy ' 8.设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=，那么a b →→⨯= ( ).A. b c →→⨯ B. b a →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯9. 微分方程xdx ydy =通解是（ ）.A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 可分离变量的微分方程的是（ ）A. 32()y y x ''-= B. 22y x y '= C. 23()30y y '+= D. 2y y x '-= 三、判断题（每小题2分，共20分）1. 空间任意三个向量（自由向量）一定是共面的. （ ）2. 2433,,πππαβγ===是某一向量的方向角. （ ） 3. 2sin lim 2x y xy y →→=。
