2018北京西城区高三数 学(文)(二模)

西城区高三模拟测试试卷数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}42A x x =-<<，{}29B x x =≤，则A B ⋃=（ ）A. (]4,3- B. [)3,2-C. ()4,2- D. []3,3-【答案】A 【解析】【分析】先求B ，再求并集即可【详解】易得{}3|3B x x =-≤≤，故(]4,3A B ⋃=-故选：A2. 已知双曲线的焦点分别为1F ，2F ，124F F =，双曲线上一点P 满足122PF PF -=，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出a 和c 的值，进而可求离心率.【详解】因为1224F F c ==，所以2c =，又因为122PF PF -=，所以由双曲线的定义可知22a =，解得1a =，则双曲线的离心率2ce a==，故选：C .3. 已知{}n a 为等差数列，首项12a =，公差3d =，若228n n a a ++=，则n =（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；【详解】解：因为首项12a =，公差3d =，所以()1131n a a n d n =+-=-，因为228n n a a ++=，所以()()3132128n n -++-=，解得4n =故选：D4. 下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ln y x =C. sin y x =D. y x x=【答案】D 【解析】【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性.【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足.故选：D5. 已知直线2y kx =+与圆C ：222x y +=交于A ，B 两点，且2AB =，则k 的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k 值.【详解】由题设(0,0)C 且半径r =，弦长2AB =，所以C 到2y kx =+的距离1d ==，1=，可得k =.故选：B6. 已知e 是单位向量，向量a 满足112a e ≤⋅≤，则a r 的取值范围是（ ）A. ()0,∞+ B. (]0,1C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据向量数量积的定义即可求解.【详解】依题意，cos ,cos ,a e a e a e a a e ==，1cos ,12a a e ≤≤ ，cos ,0a e ∴> ，112cos ,cos ,a a e a e ≤≤ ，又∵0cos ,1a e <≤ ，12a ∴≥ ，故选：C.7. 已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，k Z ∈, ()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6π=ϕ时, ()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时, ()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.8. 已知()lg f x x a =-，记关于x 的方程()1f x =的所有实数根的乘积为()g a ，则()g a （ ）A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，也有最小值D. 既无最大值，也无最小值【答案】D 【解析】【分析】求出方程()1f x =的实数根，从而可得()g a ，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】解：由()1f x =，得lg 1x a -=，所以110a x +=或110a -，故()210ag a =，所以函数()g a 既无最大值，也无最小值.故选：D .9. 若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ）A. (]0,1 B. ()0,1C. ()1,4 D. ()2,4【答案】B 【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >，当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤，当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣，则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B10. 如图为某商铺A 、B 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元.图中点1A 、2A 、3A 的纵坐标分别表示A 商品2022年前3个月的销售量，点1B 、2B 、3B 的纵坐标分别表示B 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（ ）①2月A 、B 两种商品的总销售量最多；②3月A 、B 两种商品的总销售量最多；③1月A 、B 两种商品的总利润最多；④2月A 、B 两种商品的总利润最多.A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；对③④，根据A 利润是B 的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可【详解】对①②，根据统计图可得，3B ，3A 的纵坐标之和显然最大，故3月A 、B 两种商品的总销售量最多；故②正确；对③④，因为A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元，根据统计图，若用对应的点表示对应点的纵坐标，则易得131232210100201020A B B B A A +>+>+，故③正确综上②③正确故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 二项式()()*1nx n +∈N 的展开式中2x的系数为21，则n =__________.【答案】7【解析】【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有2C 21n =，即可求n 值.【详解】由题设，展开式通项为1C r rr n T x +=，而2x 的系数为21，所以2C 21n =，即(1)212n n -=且*N n ∈，可得7n =.故答案为：712. 已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()1,2-，则5z为__________.【解析】【分析】根据复数的定义以及运算规则即可求解.【详解】由题意，12i z =-+ ，则()512i 5512i 12i 5z --===---+ ，5z==；13. 已知抛物线24y x =的焦点为F，准线为l ，则焦点到准线的距离为___________；直线y =P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），过点P 作直线PQ 的垂线交准线l 于点H ，则PFPH=__________.【答案】 ①2②.【解析】【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作PP l '⊥交准线l 于点P '，易.得直线y =-过焦点，则PF PP PH PH'=从而可得出答案.【详解】解：抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线l 为1x =-，，所以焦点到准线的距离为2，如图，作PP l '⊥交准线l 于点P '，因为直线y =F ，则PF PP '=，因为PP l '⊥，所以PP x '∥轴，又直线y =-的倾斜角为60︒，所以60FPP '∠=︒，所以30HPP '∠=︒，则cos30PF PP PHPH'==︒=.故答案为：214. 已知数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，{}n b 是公差为2的等差数列.若集合{}*n n A n N a b =∈>中恰有3个元素，则符合题意的1b 的一个取值为__________.【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】易得数列{}n a 逐项递减，可先确定集合{}*n n A n N a b =∈>中的3项再列式求1b 的范围即可【详解】易得数列{}n a 逐项递减，{}n b 逐项递增，故可考虑112233,,a b a b a b >>>，(),4,n n n N a b n +≥∈≤，此时只需3344a b a b >⎧⎨≤⎩即可，即21311164211662b b ⎧⎛⎫⨯>+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得140b -≤<，故符合题意的1b 的一个取值为1-（答案不唯一）故答案为：1-（答案不唯一）15. 已知四棱锥P ABCD -的高为1，PAB △和PCD的等边三角形，给出下列四个结论：①四棱锥P ABCD -可能为正四棱锥；②空间中一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点；③可能有平面PAD ⊥平面ABCD ；④四棱锥P ABCD -的体积的取值范围是12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】对①，分析当四棱锥P ABCD -为正四棱锥时是否满足条件即可；对②，设四棱锥P ABCD -的高为PO ，分析可得点O 满足；对③，假设平面PAD ⊥平面ABCD ，再推导得出矛盾即可判断；对④，设BOC θ∠=，得出四棱锥P ABCD -的体积表达式再求解即可【详解】根据题意，设PO ABCD ⊥，则1PO =，又因为PAB △和PCD的等边三角形，易得1OA OB OC OD ====，且2AOB COD π∠=∠=对①，当AB BC CD AD ====时，底面为正方形，且O 为底面中心，此时四棱锥P ABCD -可能为正四棱锥，故①正确；对②，1O A O B O C O D O P =====，故一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点O ，故②正确；对③，当平面PAD ⊥平面ABCD 时，因为PO ABCD ⊥，故PO ⊂平面PAD ，此时A O D π∠=，又因为2AOB COD π∠=∠=，此时,B C 重合，不满足题意，③错误；对④，设BOC θ∠=，则13P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅()()111111sin sin 1sin 322223OA OB OC OD OB OC OA OD θπθθ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅-=+ ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，故(]sin 0,1θ∈，所以()1121sin ,333P ABCD V θ-⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，故④正确故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，22sin cos 222B B B+=.（1）求B 的大小；)2a c b +=，证明：a c =.【答案】（1）2π3； （2）证明见解析.【解析】分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tan B 即可求出B ；(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．【小问1详解】【在ABC 中，∵22sin cos 222B B B+=∴1cos sin 2BB ++=sin 0B B +=，∴tanB =，∵()0,πB ∈，∴2π3B =；【小问2详解】∵2π3B =，∴1cos 2B =-．由余弦定理得222b a c ac =++①，)2a c b +=，∴)b a c =+②，将②代入①，得()2222324a ac c a c ac ++=++，整理得2()0a c -=，∴a c =．17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳概率；（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小.（结论不需要证明）【答案】（1）8105（2）0.32 （3）12μμ>【解析】【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；（3）根据平均数公式分别求出12,μμ，即可得解.【小问1详解】解：样本中男生的人数为110010%110⨯=人，样本中女生的人数为10005%50⨯=人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A ，则该学生选考乒乓球的概率()11050811001000105P A +==+；【小问2详解】解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ，从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ，由题意()()0.4,0.5P B P C ==，则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为()()12222C 0.410.40.5C 0.410.50.32⨯⨯-⨯+⨯⨯-=；【小问3详解】的解：11008407.5207311604μ⨯+⨯+⨯==，2608407.51078511011μ⨯+⨯+⨯==，所以12μμ>.18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的菱形，AB BC ==，点D 为棱AC 上动点（不与A ，C 重合），平面1B BD 与棱11A C 交于点E .（1）求证：1BB DE //；（2）若34AD AC =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值.条件①：平面ABC ⊥平面11AA C C ；条件②：160A AC ∠=︒；条件③：1A B =.【答案】（1）证明见解析 （2）913【解析】【分析】（1）由棱柱的性质可得11//AA BB ，即可得到1//BB 平面11ACC A ，再根据线面平行的性质证明即可；（2）选条件①②，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，即可得到1A O AC ⊥，根据面面垂直的性质得到1A O ⊥平面ABC ，即可得到1A O OB ⊥，再由BO AC ⊥，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；选条件②③，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，依题意可得1A O AC ⊥，再由勾股定理逆定理得到1A O OB ⊥，即可得到1A O ⊥平面ABC ，接下来同①②；选条件①③，取AC 中点O ，连接BO ，1AO ，即可得到BO AC ⊥，由面面垂直的性质得到BO ⊥平面11ACC A ，从而得到1BO OA ⊥，再由勾股定理逆定理得到1A O AO ⊥接下来同①②；【小问1详解】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，又1BB ⊄平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ，所以1//BB 平面11ACC A ，又因为平面1B BDE 平面11ACC A DE =，所以1//BB DE .【小问2详解】解：选条件①②.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，所以1A AC 为等边三角形.又因为O 为AC 中点，所以1A O AC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，所以1A O ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，所以1A O OB ⊥.又因为AB BC =，所以BO AC ⊥.以O 为原点，以OB 、OC 、1OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,2,0)A -，1A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)D .所以(3,1,0)BD =-u u u r，1=(0,2,DE AA =.设平面1B BDE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则00n BD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以11113020x y y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =13y =，11x =，故(1,3,n =.又因为(3,2,0)AB =u u u r，设直线AB 与平面1B BDE 所成角为θ，所以9sin cos ,13AB n AB n AB n θ⋅=〈〉==u u u r r u u u r r u uu r r .所以直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值为913.选条件②③.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，所以1A AC 为等边三角形.又O 为AC 中点，故1A O AC ⊥，且1AO =.又因为3OB =，1A B =.所以22211AO OB A B +=，所以1A O OB ⊥.又因为AC OB O = ，所以1A O ⊥平面ABC .以下同选①②.选条件①③取AC 中点O ，连接BO ，1AO .在ABC 中，因为BA BC =，所以BO AC ⊥，且2AO =，3OB =.又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，所以BO ⊥平面11ACC A .因为1OA Ì平面11ACC A ，所以1BO OA ⊥.在1Rt BOA △中，1OA =又因为2OA =，14AA =，所以22211OA OA AA +=，所以1A O AO ⊥.以下同选①②.19. 已知函数ln ()1x af x x +=+.（1）若()114f '=，求a 的值；（2）当2a >时，①求证：()f x 有唯一的极值点1x ；②记()f x 的零点为0x ，是否存在a 使得21x x ≤e ？说明理由.【答案】（1） 1.a =（2）①证明见解析，②不存在，详细见解析.【解析】【分析】（1）求得导函数，由()114f '=，代入计算即可.(2) ①求得211ln (),(1)x a x f x x +--'=+设1()1ln g x x a x =+--, 由函数性质可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.进而由(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，可得()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，进而利用导数可判断()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，可得0e ,ax -=假设存在a ，使21x x ≤e ，进而可知21e e ,a ax --<≤由()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )0a g ->，则2(e )0a g -≤，求得2a ≤，与已知矛盾，则假设错误.【小问1详解】因为ln (),01x af x x x +=>+，所以211ln (),(1)x a x f x x +--'=+因为21(1)44a f -'==，所以 1.a =【小问2详解】①()f x 的定义域是(0,)+∞，211ln (),(1)x a x f x x +--'=+令()0,f x '=，则11ln 0x a x+--=.设1()1ln g x x a x=+--,因为1,ln y y x x ==-在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减.因为(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一的零点，|所以()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，不妨设为11,(e ,1)ax x -∈.()'f x 与()f x 的情况如下,x 1(0,)x 1x 1(,)x +∞()'f x +0-()f x 增极大值减所以()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，0ln x a =-，则0e ,ax -=若存在a ，使21x x ≤e ，则21e 1a x -≤<，所以21e e ,a a x --<≤因()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )1e 0a a g -=+>，则需22(e )e 10a a g --=-≤，即2a ≤，与已知矛盾.所以，不存在2a >,使得21x x ≤e .20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，圆O ：221x y +=经过椭圆C 的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程和焦距；（2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 不在坐标轴上），且直线PQ 与x 轴平行，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点M ，圆O 在点Q 处的切线与y 轴交于点N .求线段MN 长度的最小值.【答案】（1）2214x y +=，（2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,a b ，写出椭圆C 的方程并计算焦距作答.（2）设出点P ，Q 坐标，求线段AP 中垂线方程得点M ，求圆O 在点Q 处的切线方程得点为N ，再借助均值不等式求解作答.【小问1详解】依题意，2,1a b ==，由c ==2c =所以椭圆C 的方程为：2214x y +=，焦距为【小问2详解】设00(,)P x y 00(0)x y ≠，则220014x y +=，依题意，设101(,)(0)Q x y x ≠，且22101x y +=，因()2,0A -，则线段AP 的中点为002(,)22x y -，直线AP 的斜率002AP y k x =+，则线段AP 的中垂线方程为：000022(22y x x y x y +--=--， 令0x =得点M 的纵坐标220000000(2)(2)4222M y x x x y y y y +-+-=+=，而220044x y -=-，则032M y y =-，即03(0,)2M y -，直线OQ 的斜率01OQ y k x =，因此，圆O 在点Q 处的切线斜率为10x y -，切线方程为1010()x y y x x y -=--，令0x =得点N 的纵坐标22210100001N x y x y y y y y +=+==，即01(0,)N y ，则有00001313||||||||2||2N M MN y y y y y y =-=+=+≥=0013||||2y y =，即0y ==”，所以线段MN.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.21. 已知数列A ：1a ，2a ，…，2m a ，其中m 是给定的正整数，且2m ≥.令{}212min ,i i i b a a -=，1,,i m =⋅⋅⋅，{}12()ma ,x ,,m X b b A b = ，{}212max ,i i i c a a -=，1,,i m =⋅⋅⋅，{}12()min ,,,m Y A c c c = .这里，{}max 表示括号中各数的最大值，{}min 表示括号中各数的最小值.（1）若数列A ：2，0，2，1，-4，2，求()X A ，()Y A 的值；（2）若数列A 是首项为1，公比为q 等比数列，且()()X A Y A =，求q 的值；（3）若数列A 是公差1d =的等差数列，数列B 是数列A 中所有项的一个排列，求()()X B Y B -的所有可能值（用m 表示）.【答案】（1）()1X A =，()2Y A =； （2）1q =；（3）所有可能值为1,1,2,...,23m --.【解析】【分析】（1）根据函数定义写出()X A ，()Y A 即可.（2）讨论数列A 的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设,i i b c 定义判断1212{,,...,}{,,...,}m m b b b c c c ⋂=∅，当存在相等项，由等比数列通项公式求q ，进而确定q 的值；（3）利用数列A 的单调性结合（2）的结论求()()X B Y B -的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证()()X B Y B -对应所有可能值均可取到，即可得结果.【小问1详解】由题设，10b =，21b =，34b =-，则()max{0,1,4}1X A =-=，12c =，22c =，32c =，则()min{2,2,2}2Y A ==，所以()1X A =，()2Y A =.【小问2详解】若数列A 任意两项均不相等，的当1,...,i m =时i i b c ≠；当,{1,...,}i j m ∈且i j ≠时，212212{,}{,}i i j j a a a a --⋂=∅，又212212min{,}{,}i i i i i b a a a a --=∈，212212max{,}{,}j j j j j c a a a a --=∈，此时i i b c ≠；综上，1212{,,...,}{,,...,}m m b b b c c c ⋂=∅，故()()X A Y A ≠，不合要求；要使()()X A Y A =，即存在i j ≠且,{1,...,2}i j m ∈使i j a a =，即11i j q q --=，又0q ≠，则1q =±，当1q =-，则()1,()1X A Y A =-=，不合要求；当1q =，则()()1X A Y A ==，满足题设；综上，1q =.【小问3详解】由题设数列A 单调递增且121211......21m a a a a a m <=+<<=+-，由（2）知：()()X B Y B ≠，根据题设定义，存在i j ≠且,{1,...,2}i j m ∈，(),()i j X B a Y B a ==，则()()i j X B Y B a a i j -=-=-，由()X B 比数列A 中1m -个项大，()m X B a ≥，同理1()m Y B a +≤，所以1()()1m m X B Y B a a +-≥-=-；又()X B 至少比数列A 中一项小，21()m X B a -≤，同理2()Y B a ≥，所以212()()23m X B Y B a a m --≤-=-；综上，()(){1,1,2,...,23}X B Y B m -∈--.令数列122:,,...,m B x x x ，下证1,1,2,...,23m --各值均可取到，ⅰ、当212,,1,2,...,i i i m i x a x a i m -+===，而数列A 递增，212min{,}min{,}i i i i m i i b x x a a a -+===，212max{,}max{,}i i i i m i m i c x x a a a -++===且1,...,i m =，此时，11()max{,...,}max{,...,}m m m X B b b a a a ===，1121()min{,...,}min{,...,}m m m m Y B c c a a a ++===，则()()1X B Y B -=-；ⅱ、当1,2,...,1k m =-时，2122122,,,k k k m m m k m m x a x a x a x a --+====，则2,,,k k k m m m k m m b a c a b a c a +====，当1,...,i m =且,i k m ≠时，令212,i i i m i x a x a -+==，则11,i i m i m i m b a a c a a -++=≤=≥，所以111()max{,...,}max{,...,,}m m m k m k X B b b a a a a -++===，11112()min{,...,}min{,...,,,,...,}m m m k m m k m m Y B c c a a a a a a ++-++===，此时()(){1,2,...,1}m k m X B Y B a a k m +-=-=∈-；ⅲ、给定{1,2,...,2}t m ∈-，令2121,i i i i x a x a -+==(1,...,i t =)且212122,i i i i x a x a --==(1,...,i t m =+)，则212min{,}i i i i b x x a -==(1,...,i t =)，21221min{,}i i i i b x x a --==(1,...,i t m =+)，又数列A 递增，121()max{,...,}m m X A b b a -==，212max{,}i i i t i c x x a -+==(1,...,i t =)，2122max{,}i i i i c x x a -==(1,...,i t m =+)，所以11()min{,...,}m t Y A c c a +==，此时211()()22m t X B Y B a a m t -+-=-=--且{1,2,...,2}t m ∈-，故()()X B Y B -∈{,1,...,23}m m m +-，综上，()(){1,1,2,...,23}X B Y B k m -=∈--.【点睛】关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求()()X B Y B -的取值范围，再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.。

北京市西城区高三一致测试数学（文科）2019.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设会合A { x |1 x 3}， B { x | x 0 或 x 2}，则AI B=（ A ）{ x | x 0 或 2 x 3}（B） { x | 2 x 3}（ C）{ x | x 0 或 x 1} （D） { x | 0 x 1或2 x 3}2．若复数zi (ai)知足| z | 2，则实数 a（A）3 （B）1（ C） 3 或 3 （D）1或13．以点A(1,2) 为圆心，且与直线x y0 相切的圆的方程是（ A ）( x 1)2 ( y 2)2 （ B ）( x 1)2 ( y 2)2 122)21 2（ C）( x 1) ( y2 9（ D ）( x 1) 2 ( y 2)29 2 24.履行如下图的程序框图，则输出的S 值等于(A) 1 1 1 (1)2 3 8(B) 1 1 1 (1)2 3 7(C) 1 1 1 1 (1)2 3 8(D) 1 1 1 1 (1)2 3 75. 设向量a，b 知足 | a | 2 ， | b | 1 ， < a, b 60 ，则 | a + 2b |（A）2 2 （B）23（C）10 （D） 126.设函数 f (x) 的定义域为 R ，则“函数 y | f ( x) | 的图象对于y轴对称”是“函数 f (x) 为奇函数”的（ A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（ C）充要条件（D）既不充足也不用要条件7.若实数x，y，z互不相等，且知足2x3y log 4 z ，则(A) z x y (B) z y x(C) x y, x z (D) z x, z y8. 已知正四周体 ABCD 的棱长为 1，平面与该正四周体订交. 对于实数d(0 d 1) ，记正四面体 ABCD 的四个极点中到平面的距离等于 d 的点的个数为 m，那么以下结论中正确的是（A）m不行能等于 2B m不行能等于3（）C m不行能等于 4 （D）以上三个答案都不正确（）第Ⅱ卷 （非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分．x y 1 09．设 x ， y 知足拘束条件x2y 1 0 则 z x 3y 的最大值为 ．x 2 010．以椭圆 C : x 2y 2 1 在 x 轴上的极点和焦点分别为焦点和极点的双曲线方程为；该双曲线的渐54近线方程为_.11. 某三棱锥的三视图如下图，则该三棱锥中最长棱的长度为 ．22 1正 (主 )视图侧(左) 视图1俯视图12．若函数 f (x)sin(x ) ( 0) 在区间 (0,) 上单一递减，则 的最小值为 ．313．能说明 “设数列 { a } 的前 n 项和为 S ，对于随意的 n N * ，若 an 1 a n ，则 Sn 1S ”nnn为假命题的一个等差数列是．（写出数列的通项公式）14．因市场战略贮备的需要，某企业从 1 月 1 日起每个月 1 日购置了同样金额的某种物质，连续购置了 4 次 . 因为市场变化， 5 月 1 日该企业不得不将此物质所有卖出. 已知该物质的 购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该企业在买卖的过程中没有赔本，那么下面三个折线图中反应了这类物质每份价钱（单位：万元）的可能变化状况的是 .（写出所有正确的图表序号）万元/份万元/份万元/份...1.251.25.1.25.... . .1.00 1.00.0.75..0.75.1.000.75.0.500.500.500.250.250.251月1日 2月1日 3月1日 4月1日 5月1日1月1日 2月1日 3月1日4月1日 5月1日1月1日2月1日3月1日 4 月1日5月1日日期○日期○日期图 ○3图 1图 2三、解答题：本大题共 6小题，共80分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）在△ABC 中，已知a2b,b2c（Ⅰ）求 cos A 的值；（Ⅱ）若 b 2 ，求△ABC的面积．16．（本小题满分 13 分）p 23 n，此中n N* .已知等比数列a n 的前 n项和S n（Ⅰ）求 p 的值及数列{ a n}的通项公式；（Ⅱ）判断数列a n2 和 na n 能否为等比数列？证明你的结论 .17．（本小题满分 13 分）10 月1 日，某品牌的两款最生手机（记为W 型号， T 型号）同时投放市场 . 手机厂商为认识这两款手机的销售状况，在10 月 1 日当日， 随机检查了 5 个手机店中这两款手机的销量（单位：部），获得下表 .手机店A B C D EW 型号手机销量6 6 13 8 11T 型号手机销量1291364（Ⅰ） 已知在 10 月 1 日当日， 这两款最生手机的全国销售量约为 10 万部，试依据表中数 据预计 W 型号手机 10 月 1 日当日的全国销量；（Ⅱ）该手机厂商计划从这 5 个手机店中任选 2 个对 W 型号手机进行大规模宣传，求恰好选中 B 手机店的概率；（Ⅲ）经测算， W 型号手机的销售成本（百元）与销量 （部）知足关系3 4.若表中 W 型号手机销量的方差 s 2m (m 0) ，试给出表中 5 个手机店的 W 型号手机销售成本的方差 s 2 的值 .（用 m 表示，结论不要求证明）注： s21[( x 1 x)2 ( x 2 x)2 ... (x n x) 2 ] 此中 x 为数据 x 1 , x 2 ,..., x n 的均匀数n如图 1，在平行四边形ABCD中，O为AD的中点，BO AD ．将三角形 ABO 沿 BO 折起到 A1 BO 地点，如图 2．（Ⅰ）求证： BO A1 D ；（Ⅱ）若 M 为A1B的中点，求证： MO // 平面A1CD；（Ⅲ）判断平面 A1OD 可否垂直于平面 A1CD ？证明你的结论．已知椭圆 C : x2 y2 1的右极点为A，左焦点为 F .斜率为k的直线 l 与椭圆 C 相切于2点 B ，且点 B在第一象限.（Ⅰ）若 k 1，求直线 l 的方程；（Ⅱ）直线 AB交y轴于点 P，过点A且平行于 l 的直线与y轴交于点Q，证明：△PQF为等腰三角形．20．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x) x(ln x 1) ．（Ⅰ）求函数 f (x) 的单一区间；（Ⅱ）求证：曲线y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线不经过原点；（Ⅲ）设整数 k 使得 f ( x) k (x 1) 对 x (0, ) 恒建立，求整数k 的最大值．2。

2024届北京市西城区高三二模语文试题（答案在最后）2024.5本试卷共10页，共150分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、本大题共5小题，共18分。

阅读下面材料，完成小题。

材料一2023年是人工智能领域爆炸式发展的一年，OpenAI公司推出的ChatGPT便是其中的代表。

一年多的时间里，ChatGPT的版本从3.5升级到4.0，进步明显：专门训练它的硬件设备升级，其中央处理器（CPU）内核和专用图形处理器（GPU）分别增加到28万个和1万个；它有1万亿个参数，知识的获取从检索固定的数据库发展到可以自行上网寻找资料；它不但可以解读用户发送的图片，还可以根据文字描述生成图像……人工智能产品研发领域的竞争非常激烈。

ChatGPT展示出人工智能应用的巨大价值，OpenAI公司的估值因此一飞冲天，最大的外部投资者微软公司更因此获利巨大。

其他几家科技巨头不可能对此视而不见，尤其是谷歌公司，多年来一直被认为在人工智能研究领域处于世界领先位置，如今被OpenAI抢了先机，谷歌只能寻机后发制人。

果然，谷歌在2023年底推出了“双子座”（Gemini）。

这款多模态大模型人工智能产品在32项功能的评测中有30项的表现超过了ChatGPT。

除了在文字方面的输出看上去与ChatGPT不相上下，它还对图片和视频有着超强的理解和推理能力，同时可以针对提问给出混合文字和图像的多模态输出——这是ChatGPT 尚不具备的。

2024年初，谷歌的聊天机器人Bard已融合了Gemini的能力，升级版Bard的表现完全不逊于ChatGPT。

而与此同时，OpenAI又发布了文生视频大模型Sora，它能根据提示词生成60秒的连贯视频，这预示着一个新的视觉叙事时代的到来。

差不多同时，DeepMind公司和斯坦福大学的研究人员合作开发的Mobile ALOHA机器人问世。

它是一对可以使用锅碗瓢盆、操作家用电器乃至洗衣叠被的机器臂，精细程度不输人类。

西城区高三模拟测试语文2018.5 本试卷共10页，150分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、本大题共8小题，共24分。

阅读下面的材料，完成1—8题。

材料一港珠澳大桥位于中国南海珠江出海口伶仃．洋海域，东接香港特别行政区，西接广东省珠海市和澳门特别行政区，是“一国两制”框架下粤港澳三地首次合作共建的跨海交通工程。

大桥全长55 公里，于2009 年底正式开工，建成后将成为世界最长的跨海大桥，也拥有世界最长、埋深最大的海底沉管隧道。

港珠澳大桥建成后，将缩短香港与珠江口西岸陆路交通时间，形成1小时经济圈，对珠江西岸旅游业、产业转移、物流等多方面产生积极影响。

一、________________________港珠澳大桥横跨的全世界最繁忙的伶仃洋航道，是全球重要的贸易航线。

要尽可能减少对通航的影响，同时保证施工的质量、安全和进度，是港珠澳大桥工程面临的重要难题。

复杂的海况、多变的水文和气象条件是又一个“先天难关”。

与此同时，香港机场限高、横跨中华白海豚保护区、海水腐蚀等客观环境制约因素，给工程带来了一个又一个巨大的难题。

二、刷新纪录的“中国标准”港珠澳大桥提出了“120 年”设计使用寿命的要求。

作为世界最长的跨海钢桥，仅主体工程的主梁钢板用量就达42 万吨，更可抗16级强台风、8 级强地震。

龙段钢箱梁的吊装精度要求是，它与两端钢箱梁之间的缝隙不得超过20 毫米，而普通大桥对这一指标的要求是不超过30 毫米。

为了保障工程的“耐久性”，一系列新材料、新技术、新装备也应．运而生，诸多施工工艺及标准均达国际领先水平，“港珠澳大桥标准”正在成为走向世界的“中国标准”。

三、________________________在120 年设计使用寿命的要求下，工程管理理念也必随之做出突破。

港珠澳大桥项目开创性地提出了四大理念：全寿命周期规划，需求引导设计；大型化，标准化，工厂化，装配化；立足自主创新，整合全球优势资源；绿色环保，可持续发展。

北京市海淀区2018届高三二模英语试卷作文第一节（15分）你班英语课上以“I Have A Dream”为题进行“说”的练习，请你写一份讲稿，内容包括：1．你的梦想是什么；2．你为何有此梦想；3．你如何实现梦想。

注意：1．词数不少于50；2．开头和结尾已给出，不计入总词数。

Hello, everybody! ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thank you.第二节（20分）假设你是红星中学高三学生李华，请根据以下四幅图的先后顺序，用英语写一篇日记。

记述上周末你和你的英国朋友Jim用微信支付购物的过程。

注意：词数不少于60。

提示词：二维码QR code; 糖葫芦candy-coated haws(tanghulu)北京市海淀区2018届高三二模英语试卷参考作文第一节（15 分）One Possible VersionHello, everybody! I’m very glad to share my dream with you.I have a dream that one day I could be a pianist. I dream of playing a sweet tune for those who need music, bringing happiness to sorrowful souls and enthusiasm to weary spirits.I love music, and I love the feeling of playing music in front of the audience. Of all theins truments, the delicate yet powerful sound a piano makes impresses me most.It’s clear that I have a long way to go before I realize my dream. Therefore, I will practice every day as long as time permits and learn as many songs as I can. I will put my heart into my pursuit of music and never give up.I am confident that one day my dream will come true. Thank you.第二节（20分）One Possible VersionIt seems that everything in China is new to my British friend, Jim.Last weekend, when Jim and I were wand ering on the streets, enjoying the beautiful scenery and fresh air of spring, a candy-coated haws stand caught his attention. Having never tasted a candy-coated haw, he immediately went up to buy one.However, the vendor shook her head when seeing the 100-yuan note Jim handed over to her. She had no change! How disappointed Jim was! He was about to quit when I took out my cellphone, scanned the QR code on the stand and paid the vendor 5 yuan.Jim was surprised at what I had done. Then I explained to him that nowadays in China QR codes were everywhere, and we could pay with a cellphone for almost everything. “Wow!” Jim sai d, “The candy-coated haw tastes great, and the payment method seems even greater!”北京市西城区2018届高三二模英语试卷作文第一节(15分)假设你是红星中学校学生会主席李华。

【原题回放】2018年西城区二模古人教子曰：业精于勤，荒于嬉。

现代教育家说：研究“玩儿”这一丰富的源泉，是我们的任务。

以《中国古代漆器》《明代家具珍赏》《蟋蟀谱集成》《北京鸽哨》等“世纪绝学”享誉中外的文物鉴赏家王世襄，总结自己一生时说：“我这辈子没干别的，净玩儿了。

”也有人说：玩物丧志，靠玩儿难以成就大事。

请以“说玩儿”为题，写一篇议论文。

要求：观点明确，论据充分，论证合理。

【范文】说玩儿当“玩儿”不陷于低俗时，它便是人生的奢侈品，是文化的摇篮床。

玩儿是一份热爱。

春回大地，万物复苏，人同冬眠的走兽一样，总想出去玩儿，把春日的阳光接到身上。

孔子乐在暮春“浴乎沂，风乎舞雩”，甚至要唱唱歌“咏而归”。

春游之乐跨越千年。

清代《满井游记》的作者在早春郊游，赏玩的是林间走兽、对弈游人、驴上红装。

郊外先迎来春天，这里比城中热闹、有生机，作者欣喜于春光，笔下字间溢满的是对生活的热爱。

对于现今碌碌于城市中的人们，那份热爱常不得以被工作，被柴米油盐淹没，成了奢侈品，成了远方，似乎只有去丽江去九寨的度假才是“玩儿”。

但这奢侈品其实就在手边。

或一盆花或一卷书，集邮集烟盒集报纸。

汪曾祺说：“人总要爱着点什么。

”爱点，玩点，人生的美好在于这种“奢侈”。

玩儿是一份传承。

不低俗的玩若再雅再专些便是文化的摇篮床。

中国文人玩的最普遍的大概是诗词。

从屈原身披木兰饮食朝露，到王羲之修禊日曲水流觞，更有宋人凡井水处能歌柳词。

诗词发于心，本是自己写给自己或解忧或叙乐的。

诗的功利性比起文章还是弱太多，更多人是在吟安一字，捻断千茎的推敲中“玩儿”着。

独乐乐不如众乐乐，对和时常比独吟有趣。

或同游或通信，作诗的人多了，诗便成了中国的文化名片。

一些老戏迷“玩儿”着听戏唱戏，若少了他们文化中可能要失传了牡丹亭下的生命觉醒，夜奔梁山的无奈怨愤，四面楚歌中的深爱无悔。

文物鉴赏家王世襄著多部“世纪绝学”成书，总结自己一辈子“净玩儿了”。

他玩儿的事物中蕴含着文化，别说他著书研究了，光是多他一个来玩来爱便是一份传承。

北京市西城区2014年高三二模试卷数 学（文科） 2014.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（ ）（A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（ ） （A ）5 （B（C（D ）133．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ） （A（B ）2（C（D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）2 （B ）43（C ）4 （D ）5正(主)视图俯视图侧(左)视图6． 设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）78. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个 （B ）6个（C ）10个（D ）14个5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）（A ）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x （C ）()cos =f x x （D ）()cos 2=f x xBADC. P第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知函数3, 0,()1, 0,1≤+⎧⎪=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．13．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________.14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，则(1)=f ____； 函数()f x 的值域为_________.A D C P三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求a 的值. 16．（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率； （Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n nN 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ； （Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ?若存在，求出SPPC的值；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分）已知函数()ln af x x x=-，其中a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y W a b a b+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆W 的方程.（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2014.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．25-10．4 2=-x 11．1- 3 12．25613． (3,5) 14．1 4[,4]5注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， ……………… 4分又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 cos 3=B ，(0,π)∈B ，所以 sin B ==， ………………8分由正弦定理 sin sin =a bA B， ………………11分得 sin 3sin ==b Aa B. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . ……………… 3分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . ……………… 4分由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个， 所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A . …………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=. (10)分所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为10． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形，所以 //AB CD ， ……………… 1分又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以 //AB 平面SCD . ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SAAD A ⊥⊥=，所以 ⊥AB 平面SAD ， ……………… 5分又因为 SN ⊂平面SAD ，所以 AB SN ⊥. ……………… 6分因为 SA SD =，且N 为AD 中点， 所以 SN AD ⊥. 又因为 ABAD A =，所以 SN ⊥平面ABCD . ……………… 8分（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PB ，PD .因为 SN ⊥平面ABCD ，所以 FP ⊥平面ABCD . (11)又因为 FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . …………… 12在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ， 所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时12SP PC =. ……… 14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由2()ln f x x x=-，得212()f x x x '=+， (2)分所以 (1)3f '=， 又因为 (1)2f =-，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. ……………… 4分（Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2ax x x->-+， 即 2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分设函数2()ln 2g x x x x x =+-，则 ()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分因为(1,)x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， ……………… 10分故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立.所以1a -≤. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分 所以直线MF 的斜率为0101-==--MF b k ， 解得 1b =， ……………… 3分由 222a b c =+，得22a =，所以椭圆W 的方程为2212x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*）由韦达定理，得122412km x x k -+=+, 21222212m x x k -=+. (8)分所以||AB == (9)分因为原点O 到直线y kx m =+的距离d =， (10)分所以 1||2AOB S AB d ∆=⋅= ……………… 11分当1k =时，因为AOB S ∆=所以当232m =时，AOB S ∆的最大值12S =， 验证知（*）成立； ……………… 12分当2k =时，因为AOB S ∆=所以当292m =时，AOB S ∆的最大值22S =； 验证知（*）成立.所以 12S S =. ……………… 14分注：本题中对于任意给定的k ，AOB ∆的面积的最大值都是2.20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：12，14，18. ……………… 2分（Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，所以 210d b b =-<. ……………… 4分因为 514b b d =+，151,0b b >≤， 所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-. 所以104d -<<. ……………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++. 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. ……………… 8分设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.当1K =时，因为 112q L =≤， 所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++ 2345111111()()()()22222+++++≤， 所以 1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为 556151==⨯K c c q a L是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 5*()a K M M =⨯∈N ，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++543223*********()M K K L K L K L KL L=+++++. 因为 2L ≥，*,K M ∈N ，所以 234512345611111631()()()()2222232c c c c c c ++++++++++=≤. 综上， 1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 13分。

2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。