第24章 圆复习(2)

九年级数学上册第二十四章圆高频考点知识梳理单选题1、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．75°C．80°D．85°答案：C分析：直接利用圆周角定理求解．⌢，解：∵∠AOB和∠ACB都对AB∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2、已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2√5cm B．4√3cm C．2√5cm或4√5cm D．2√3cm或4√3cm答案：C分析：先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；连接AC，AO，∵圆O 的直径CD =10cm ，AB ⊥CD ，AB =8cm ，∴AM =12AB =12×8=4cm ，OD =OC =5cm ， 当C 点位置如图1所示时，∵OA =5cm ，AM =4cm ，CD ⊥AB ，∴OM =√OA 2−AM 2=√52−42=3cm ，∴CM =OC +OM =5+3=8cm ，∴AC =√AM 2+CM 2=√42+82=4√5cm ；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM =3cm ，∵OC =5cm ，∴MC =5−3=2cm ，在Rt △AMC 中，AC =√AM 2+CM 2=√42+22=2√5cm ．故选C ．小提示：本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．3、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）A．2B．πC．√32πD．√22π答案：D分析：由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因为∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可．解：如图，∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，在△ADE和△CDF中，{AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE=∠DCF，∵∠AED=∠CEG，∴∠ADE=∠CGE=90°，∴A、C、G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD，∵AB=4，AB=√2AC，∴AC=2√2，∴OA=OC=√2，∵DA=DC，OA=OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴点G的运动轨迹的长为90π×√2180=√2π2故选：D．小提示：本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G的轨迹，属于中考常考题型．4、阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ,m)称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．(60°,8)B．(45°,8)C．(60°,4√2)D．(45°,2√2)答案：A分析：设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=4，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×4=8，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°,8)．故选A．小提示：本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．12πB．15πC．20πD．24π答案：C分析：先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5，×2π×4×5以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=12=20π．故选：C．小提示：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．6、如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（）A．70°B．60°C．50°D．40°答案：C分析：由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．7、下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心答案：A分析：根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.故选A.小提示：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．8、如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12答案：D分析：连接AC,OD,OF，先根据圆内接正多边形的性质可得点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，从而可得∠CAD=12∠BAD=45°,∠CAF=12∠EAF=30°，再根据角的和差可得∠DAF=15°，然后根据圆周角定理可得∠DOF=2∠DAF=30°，最后根据正多边形的性质即可得．解：如图，连接AC,OD,OF，∵四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，∴点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，∠BAD=90°,∠EAF=60°，∴∠CAD=12∠BAD=45°,∠CAF=12∠EAF=30°，∴∠DAF=∠CAD−∠CAF=15°，∴∠DOF=2∠DAF=30°，∵DF恰好是圆O的一个内接正n边形的一边，∴n=360°∠DOF =360°30°=12，故选：D．小提示：本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．9、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=12AC=2√2∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的长是解题的关键．10、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢． 故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．填空题11、如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =90∘，点P 是弧AB 上任意一点（不与点A ，B 重合）OC ⊥AP ，OD ⊥BP ，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为________．答案：√22分析：连接AB ，如图，先计算出AB =√2，再根据垂径定理得到AC =PC ，BD =PD ，则可判断CD 为△PAB 的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．解：连接AB ，如图，∵OA =OB =1，∠AOB =90°，∴AB =√2OA =√2，∵OC ⊥AP ，OD ⊥BP ，∴AC =PC ，BD =PD ，∴CD 为△PAB 的中位线，∴CD =12AB =√22． 所以答案是：√22．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．12、如图，边长为4的正方形ABCD 的对角线交于点O ，以OC 为半径的扇形的圆心角∠FOH =90°．则图中阴影部分面积是_____．答案：2π−4分析：证明△OCG ≌△OBE ，经过观察易得出结论：阴影部分面积=扇形面积-正方形面积的14．∵四边形ABCD 为正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，∵扇形的圆心角∠FOH=90°，∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，在△OCG和△OBE中，∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG，OB=OC∴△OCG≌△OBE，∵正方形边长为4，∴AC=√42+42=4√2，∴OC=2√2∵S扇形=π(2√2)2×90360=2π，S阴影=S扇形−(SΔOEC+SΔOCG)=S扇形−(SΔOEC+SΔOOE)=S扇形−14S正方形ABCD=2π−4所以答案是：2π−4小提示：本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等以及扇形面积的计算；掌握正方形的性质，熟练地进行三角形全等的判定，将不规则图形的面积转化为常见图形的面积是解题的关键．13、如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C=___________°．答案：35分析：连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，首先根据圆周角定理可得∠E+∠BAE=90°，再根据AD为⊙O的切线，可得∠BAE+∠BAD=90°，可得∠E=∠BAD=35°，再根据圆周角定理即可求得．解：如图，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE．∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴∠E+∠BAE=90°，∵AD为⊙O的切线，∴∠DAE=90°，∴∠BAE+∠BAD=90°，∴∠E=∠BAD=35°，∴∠C=∠E=35°．所以答案是：35．小提示：本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．14、如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____．答案：3π解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于2π×2×3=3π，4所以答案是：3π．15、如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD⌢所对的圆周角，则∠APD的度数是______．答案：30°##30度∠AOD=30°．分析：根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=12∵OC⊥AB，OD为直径，∴BD⌢=AD⌢，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∠AOD=30°，∴∠APD=12所以答案是：30°．小提示：本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．解答题16、问题提出（1）如图①，⊙O的半径为8，弦AB=8√3，则点O到AB的距离是__________．问题探究（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB=8，求△ABC面积的最大值．问题解决（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为80m，等腰直角三角形ABP的边AB是⊙O的弦，直角顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD、AD、BC．现准备在△ABP和△CDP 区域内种植草坪，在△ADP和△BCP区域内种植花卉．记△ABP和△CDP的面积和为S1，△ADP和△BCP的面积和为S2．①求种植草坪的区域面积S1．②求种植花卉的区域面积S2的最大值．答案：（1）8；（2）32；（3）①S1=1600m2，②1600m2．分析：（1）作OC⊥AB交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；（2）作CD⊥AB交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候△ABC面积最大，由垂径定理和勾股定理可求出CD=OC+OD=8，进一步可求出△ABC的面积；（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出S1=12(AP2+CP2)=12AD2；②表示出S2=AP⋅DP，利用完全平方公式求出S2=xy≤x2+y22，当AP=DP时，S2有最大值为1600m2．解：作OC⊥AB交AB于点C，连接OA，∵AB=8√3，由垂径定理可知：AC=BC=4√3，∵OA=8，∴OC=√OA2−AC2=4；（2）作CD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵AB=8，若使△ABC面积最大，则CD应最大，∴当CD经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理可知：AD=BD=4，∵OA=5=OC，∴OD=3，∴CD=OC+OD=8，∴S△ABC=1×8×8=32，2（3）①连接OD，OA，则OD=OA=40m，∵△ABP是等腰直角三角形，∴∠ABP=45°，∴∠AOD=90°，即△AOD是等腰直角三角形，∴AD=√OA2+OD2=40√2m，∵∠DCP=∠ABP=45°，∠APB=∠CPD=90°，∴△CDP是等腰直角三角形，∵S△ABP=12AP2，S△CDP=12DP2，∴S1=12(AP2+DP2)=12AD2=1600m2，②由①可知：S2=12⋅AP⋅DP+12⋅BP⋅CP=AP⋅DP，设AP=x，DP=y，故S2=xy，∵(x−y)2=x2+y2−2xy≥0，∴xy≤x2+y22，当x=y时，等号成立，∴S2=xy≤x2+y22，当AP=DP时，S2有最大值为1600m2．小提示：本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，（3）小问较难，解题的关键是表示出S1=12(AP2+CP2)=12AD2，求出AD，利用完全平方公式求出S2=xy≤x2+y22．17、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．答案：(1)见解析(2)2√3分析：（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．（1）解：如图，切线AD即为所求；（2）如图：连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∵∠DAB＝75°，∴∠OAB＝15°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝15°，∴∠BOA＝150°，∠AOB＝75°，∴∠BCA＝12∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝∠CBO＝30°，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝OC•cos30°＝√3，∴BC＝2√3．小提示：本题主要考查了作圆的、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18、如图，已知ΔABC是锐角三角形(AC<AB)．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线l ，使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等；设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，作一个圆，使得圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BM =53，BC =2，则⊙O 的半径为________． 答案：（1）见解析；（2）r =12分析：（1）由题意知直线l 为线段BC 的垂直平分线，若圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切，则再作出∠ABC 的角平分线，与MN 的交点即为圆心O ；（2）过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，根据S △BMN =S △BNO +S △BMO 即可求解．解：（1）①先作BC 的垂直平分线：分别以B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l ，分别交AB 、BC 于M 、N ；②再作∠ABC 的角平分线：以点B 为圆心，任意长为半径作圆弧，与∠ABC 的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B ，即为∠ABC 的角平分线，这条角平分线与线段MN 的交点即为O ；③以O 为圆心，ON 为半径画圆，圆O 即为所求；（2）过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，设ON =OE =r∵BM =53，BC =2，∴BN =1，∴MN =43 根据面积法，∴S △BMN =S △BNO +S △BMO∴12×1×43=12×1⋅r +12×53⋅r ，解得r =12，所以答案是：r =12．小提示：本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．。

24章圆知识点一：圆的定义1、圆可以看作是的集合。

2、圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

知识点二：圆的相关概念1. 叫做弦，2. 叫做直径。

3. 的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

的弧（用三个点表示）叫优弧；的弧叫做劣弧．注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。

半圆既不是优弧，也不是劣弧。

3、等圆：叫做等圆周。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

知识点三：圆的对称性圆是轴对称图形，都是圆的对称轴。

知识点四：垂径定理及推论（重点）1、垂径定理：。

注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。

（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。

2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分弦所对的.知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）1、圆心角定理：在同圆或等圆中，所对的弦相等，所对的弧也相等。

2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等所对的相等。

知识点六：圆周角定理及其推论1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于的一半。

2、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的相等。

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 . 知识点七：圆内接多边形圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角 .知识点八：三角形的外接圆1.经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

2.三角形外接圆的圆心是三角形三条边的的交点，叫做这个三角形的外心，（1）三角形的外心到三角形的距离相等，等于外接圆的半径。

（2）一个三角形有且只有个外接圆，而一个圆却有个内接三角形。

（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形；钝角三角形的外心在三角形；直角三角形的外心是。