高一数学单元测试 三角函数与三角恒等变换2 新人教A版

第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。

章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．－cos 10°解析：选A .sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝－cos(40°＋50°)＝0. 2．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A .15B ．14C .13D .12解析：选D .由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝2sin 2θ＝4，得sin 2θ＝12，故选D .3．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C .sin α＝2sin α2cos α2＝－2425＜0，cos α＝2cos 2α2－1＝2×⎝⎛⎭⎫－352－1＝－725＜0.所以α为第三象限角．4．若函数f (x )＝()1＋3tan x cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C .3＋1D .3＋2解析：选B ．因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋3·sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以当x ＝π3时，f (x )取得最大值2.5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边与单位圆x 2＋y 2＝1交点的横坐标为14，则cos α2等于( )A .104 B ．－104C ．－64D .64解析：选A .由题意，得cos α＝14，又α为锐角，则cos α2＝1＋cos α2＝1＋142＝104. 6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A . 2 B ．2 C ．4D .22解析：选B ．PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)， 则|PQ →|＝（cos β－cos α）2＋（sin β－sin α）2＝2－2cos （α－β），故|PQ →|的最大值为2.7．已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝( )A .13 B ．913C .139D ．3解析：选D .由于α，β均为锐角，cos α＝35，则sin α＝45，tan α＝43.又tan(α－β)＝－13，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝43＋131－43×13＝3.故选D .8.cos 20°1－cos 40°cos 50°的值为( )A .12B ．22C . 2D ．2解析：选B ．依题意得cos 20°1－cos 40°cos 50°＝cos 20°2sin 220°cos 50°＝2sin 20°cos 20°cos 50°＝22sin 40°cos 50°＝22sin 40°sin 40°＝22.9．已知tan α＝2，则（sin α＋cos α）2cos 2α的值为( )A ．－3B ．3C ．－2D ．2解析：选A .因为tan α＝2，所以（sin α＋cos α）2cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α ＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝－3.10．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形解析：选B ．因为cos A ＝55，所以sin A ＝255. 同理sin B ＝1010. 因为cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－55×31010＋255×1010＝－210＜0，所以C 为钝角．11．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝( )A ．2425B ．－2425C ．－1225D ．1225解析：选B ．因为sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[ (α－β)－α]＝sin(－β)＝－sin β＝35，所以sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45，所以sin(2β＋7π)＝－sin 2β＝－2sin βcos β＝－2×⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425.12．如果α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)＝( ) A .225B ．－25C .25D ．－225解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α. 因为sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－35. 所以22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35，则sin 2x ＝________． 解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35，所以sin x ＋cos x ＝325，两边平方，得1＋sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝－725.答案：－72514．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________．解析：由cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，可知cos(x －y )＝13，则cos(2x －2y )＝2cos 2(x －y )－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 答案：－7915．已知tan θ＝－22，则2cos 2 θ2－sin θ－tan5π42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________．解析：因为tan θ＝－22，所以2cos 2 θ2－sin θ－tan5π42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2 θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋221－22＝3＋22.答案：3＋2 216．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，a ＝(sin B ＋cos B ，cos C )，b ＝(sin C ，sin B －cos B )．若a·b ＝0，则A ＝________．解析：由已知a·b ＝0，得(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝0. 化简，得sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝0，即sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.答案：3π4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4的值． 解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝35，所以sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝⎝⎛⎭⎫452＋2×45×353×⎝⎛⎭⎫352－1＝20. (2)因为tan α＝sin αcos α＝43，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2.(1)求f (x )的定义域；(2)若角α在第一象限，且cos α＝35，求f (α)．解：(1)由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2≠0，得x ＋π2≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π－π2，k ∈Z . (2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.从而f (α)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(cos α＋sin α)＝145.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ. 因为cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725. 20．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解：(1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210，sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x1＋sin 2x的值；(2)求函数F (x )＝f (x )f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调递增区间． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f (－x )＝cos x －sin x . 又因为f (x )＝2f (－x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )且cos x ≠0， 得tan x ＝13.所以cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x ＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝611.(2)由题知，F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时， F (x )max ＝2＋1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得函数F (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋34. (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，求函数f (x )的值域； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )的表达式及对称轴方程． 解：(1)f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋34 ＝sin x ⎝⎛⎭⎫cos x cos π3－sin x sin π3＋34 ＝12sin x cos x －32sin 2x ＋34 ＝14sin 2x －32×1－cos 2x 2＋34 ＝14sin 2x ＋34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由－π3≤x ≤π6，得－π3≤2x ＋π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，－34≤12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－34，12. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，得到y ＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，所以g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3，当4x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )时，g (x )取最值，所以x ＝k π4＋5π24(k ∈Z )，所以函数的对称轴方程是x ＝k π4＋5π24(k ∈Z )．。

人教A 版新教材高一数学必修一三角函数恒等变换专项训练题时间：120分钟 满分：150分 命卷人： 审核人：一、选择题（每小题5分，共10小题50分） 1，且α为第二象限角，则 ）2、已知,αβ均为锐角，3 ）4，则cos2α=（ ）5、已知角θ的终边经过点 ）6、若tan α=则2cos 2sin2αα-=7、已知在ABC 中，，则sin2A =（ ）8、角α的终边与单位圆交于点则cos2α=（ ）9、已知，则（ ）A. B. C. D.10、已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．518 B ．518- C ．79 D ．79-二、填空题（每小题5分，共5小题25分）11、若4cos (0)5ααπ=<<，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．12、若()tan 4cos 22πθπθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 2πθ<，则tan2θ=__________．13、当02x π<<时，函数()21cos28sin sin2x xf x x ++=的最小值为__________10、若02tan tan420α=，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ __________．15、已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4sin 3cos 0αα+=，则2sin23cos αα+的值为____________.三、解答题（第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题13分，第22题14分，共6小题75分） 16、已知02παβπ<<<<，1tan22α=，()2cos 10βα-=．（1）求sin α的值； （2）求β的值．17、已知tan 2α=，1tan 3β=-，其中0,22ππαβπ<<<<．（1）求tan()αβ-；（2）求αβ+的值． 18、已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．19、已知02παβπ<<<<，1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ+=．（1）求sin2β的值；（2）求cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．20、已知πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=25π3π,,524x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求cos x 的值;(2)求πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.21、（1求sin cos αα-的值；（2）已知tan 3α=，求22sin 3sin cos 4cos αααα-+的值.22、（A ）已知()sin ,cos a x x ωω=，(cos b x ω=32a b ⋅-，且函数()f x 的最小正周期为π.（1（2()cos 22αβ-的值.（B ）已知()sin ,cos a x x ωω=，(cos b x ω=32a b ⋅-，且函数()f x 的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程，在[)0,π内有两个不同的解α，β，求证：参考答案1故选：D2、【答案】A【解析】A 点睛： 三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等 3、【答案】C()1cos25cos 6025sin25cos30cos85sin25cos3012cos25cos25cos252+++===，故选C 。

高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.(12分)（１）求的值．（２）若，,，求的值．【答案】（1）1（2）【解析】(1)原式……6分（2），①②①-②得，. ……12分【考点】本小题主要考查利用和差角公式、同角三角函数基本关系式等求三角函数值，考查学生的运算求解能力.点评：解决给值求值问题时，要尽量用已知角来表示未知角.2.设－3π<α<－，则化简的结果是()A．sin B．cosC．－cos D．－sin【答案】C【解析】∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，∴cos<0，∴原式＝＝|cos|＝－cos.3.已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于()A．－B．C．－a D．a【答案】C【解析】法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－a.4.若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.【答案】【解析】∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，∴tan＝＝＝.5.求sin42°－cos12°＋sin54°的值．【答案】【解析】sin42°－cos12°＋sin54°＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝＝＝＝＝.6.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.7.的值为()A．2＋B．C．2－D．【答案】C【解析】sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故选C.8.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.9.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是() A．－7B．7C．－D．【答案】B【解析】由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.10.若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则＋＋＝()A．－1B．1C．－D．【答案】B【解析】∵tan(20°＋100°)＝，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴＝1，∴＋＋＝1，选B.11.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.12.若π<α<，化简＋.【答案】－cos【解析】∵π<α<，∴<<，∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝＋＝－＋＝－cos.13. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.14.已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为() A．－1B．－1或－C．－D．±【答案】C【解析】∵0<α<， <β<π，∴<α＋β<π，∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－，故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.＝________.【答案】【解析】＝cos cos－sin sin＝cos cos＋sin sin＝cos＝cos＝.17.已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α为锐角，tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.18.函数y＝cos x＋cos的最大值是________．【答案】【解析】法一：y＝cos＋cos＝cos·cos＋sin sin＋cos＝cos＋sin＝＝cos＝cos≤.法二：y＝cos x＋cos x cos－sin x sin＝cos x－sin x＝＝cos，当cos＝1时，y＝.max19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。

1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos(π－x )＝－45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－2472．(2023·保定模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，则sin 2θ的值为( )A.79 B ．－79 C.29 D ．－293．(2023·枣庄模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－4π3等于( ) A ．－59 B.59 C ．－13 D.134．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若4m 2＋n ＝16，则m n 2cos 227°－1的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．85．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．sin 15°sin 30°sin 75°＝18C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－12D ．2sin 18°cos 36°＝126. (2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC 中，BC AC ＝5－12，根据这些信息，可得sin 54°等于( )A.25－14B.5＋14C.5＋48D.5＋387．(2023·淄博模拟)sin 12°(2cos 212°－1)3－tan 12°＝________. 8．(2023·青岛模拟)若α∈(0，π)，cos 2α＝sin 2α2－cos 2α2，则α＝________. 9．化简并求值．(1)3－4sin 20°＋8sin 320°2sin 20°sin 480°； (2)⎝⎛⎭⎫1cos 280°－3cos 210°·1cos 20°.10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝13，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3； (2)已知cos 2θ＝－45，π4<θ<π2，求sin 4θ，cos 4θ. (3)已知sin(α－2β)＝437，cos(2α－β)＝－1114，且0<β<π4<α<π2，求α＋β的值．11．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A ．α＋β＝π2 B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2 12. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cos 27°π16－π2的值为( ) A ．－18 B ．－8 C ．8 D.1813．(多选)(2023·长沙模拟)若sin α2＝33，α∈(0，π)，则( ) A ．cos α＝13B ．sin α＝23C ．sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4＝6＋236D ．sin ⎝⎛⎭⎫α2－π4＝23－6614．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝513，则sin(α＋β)＝________，cos(2α－β)＝________.15．(2023·武汉模拟)f (x )满足：∀x 1，x 2∈(0,1)且x 1≠x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2<0.a ＝sin 7°sin 83°，b ＝tan 8°1＋tan 28°，c ＝cos 25π24－12，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小顺序为( ) A.f (a )a <f (b )b <f (c )cB.f (a )a <f (c )c <f (b )bC.f (b )b <f (c )c <f (a )aD.f (c )c <f (a )a <f (b )b16．设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tan αcos βx ＋sin β＝1，则x ＝________.。

高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，化简+=A．-2cos B．2cos C．-2sin D．2sin【答案】C【解析】因为，所以，，从而===--（）=-2sin，故选C。

【考点】本题主要考查二倍角的正弦公式。

点评：此类问题是高考考查的重点内容之一。

本题中注意“1”的代换，讨论角的范围，确定得到是化简的关键。

2.已知sin=，cos=－，则角是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】因为sin=，cos=－<0，所以是第二象限角，且，所以，角是第四象限角，选D。

【考点】本题主要考查任意角的三角函数、象限角。

点评：的终边所在位置与的终边所在位置，存在一定结论，根据函数值进一步缩小角的范围，是解题的关键。

3.若是方程的两个根,则之间的关系是( )A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由题意可知：所以选B。

【考点】本题主要考查两角和的正切公式。

点评：首先利用韦达定理将表示出来,再由两角差的正切公式对其进行化简，从而得出结论。

4.求【答案】【解析】。

【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。

点评：要注意公式的变形使用和逆向使用，注意“1”的代换，配凑公式。

5.求【答案】【解析】由两角和的正切公式可得，，所以=。

【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。

点评：要注意公式的变形使用和逆向使用，注意公式的灵活运用。

6.已知，求证：【答案】【解析】１．解：，在区间内正切值为的角只有１个即，所以【考点】本题主要考查两角和的正切公式。

点评：应用两角和的正切公式先求，结合角的范围及正切函数单调性进一步求角。

此类问题，要特别注意角的范围。

7.若，则_________；＝___________.【答案】3，【解析】因为，所以，，所以3【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用点评：解题过程中，注意观察已知与所求的差异，灵活选用公式，通过变名、变角、变式，达到解题目的。

8.已知为第四象限角，求的值.【答案】（1）当为第二象限角时，，，（2）当为第四象限角时，，，.【解析】由为第四象限角，得为第二或第四象限角.（1）当为第二象限角时，（2）当为第四象限角时，，，.【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用点评：牢记公式是灵活地将进行三角恒等变形的基础。

第2课时 三角恒等变换的应用题型一 三角恒等变换与三角函数性质的综合 【典例1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．[思路导引] 先降幂，再用辅助角公式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，从而研究三角函数的性质．[解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k π＋5π12，k ∈Z .(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．[针对训练]1．已知函数f (x )＝23sin(x －3π)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos2x 0的值．[解] f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)f (x )的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6. 又∵f (x 0)＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，cos2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 题型二三角恒等变换在实际生活中的应用【典例2】 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？[思路导引] 在△AOB 中利用∠AOB 表示OA ，AB 的长，然后表示出矩形面积：2OA ·OB ，从而得到面积与角间的函数关系，再通过求函数的最值得到面积的最值．[解] 画出图象如右图所示，设∠AOB ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，即S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时，A ，D 距离O 点都为22a .解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．[针对训练]2.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．[解] 连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos(2θ－45°)－12. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S max ＝2－12(m 2)． ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2. 课堂归纳小结1．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：(1)φ与点(a ，b )同象限；(2)tan φ＝b a(或sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2)．2．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握，例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等.1．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数[解析] ∵f (x )＝1－cos2x 2－12＝－12cos2x∴最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数．[答案] D2．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 [解析] y ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12，故选C.[答案] C3．函数f (x )＝sin x (cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π4 B.π2C ．π D．2π[解析] 由f (x )＝sin x (cos x －sin x )＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin2x －1－cos2x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12，可得函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故选C.[答案] C4．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为______．[解析] ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， ∴f (x )的最小值为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1[答案] －1课后作业(五十三)复习巩固一、选择题1．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1B ．2 C.32D ．3[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.即f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值为32. 故选C. [答案] C2．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3[解析] f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x 是奇函数．[答案] D3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0[解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π.∵x ∈[－π，0]，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0，故选D. [答案] D4．设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.则ω的值为( )A ．1 B.12 C.13 D.14[解析] f (x )＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ，依题意得2ω·π6＋π3＝π2，解之得ω＝12.[答案] B5．已知函数f (x )＝cos2x －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤π3，则( )A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值[解析] 因为f (x )＝cos2x －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos2x －1sin2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ，0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D.[答案] D 二、填空题6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．[解析] f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，所以T ＝2π2＝π.[答案] π7．在△ABC 中，若3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A tan B ＝________.[解析] 因为3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，所以32cos(A －B )－52cos(A ＋B )＝0，所以32cos A cos B ＋32sin A sin B －52cos A cos B ＋52sin A sin B ＝0， 即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A tan B ＝14.[答案] 148．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋32π－3cos x 的最小值为________． [解析] f (x )＝－cos2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋342－18∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝1时，f (x )min ＝－4. [答案] －4 三、解答题9．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．[解] (1)∵f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)∵f (α)＝22，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.∴4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.10．已知f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(x ∈R )．(1)求f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )的对称轴、对称中心．[解] f (x )＝52sin2x －53×1＋cos2x 2＋532＝52sin2x －532cos2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )．(2)对称轴方程是：x ＝12k π＋512π，(k ∈Z )；对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋π6，0(k ∈Z )．综合运用11．函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[解析] y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝12sin2x ，是奇函数．故选A. [答案] A12．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形[解析] 由已知得，sin A sin B ＝1＋cos C2，又∵cos C ＝－cos(A ＋B )，∴2sin A sin B ＋cos(A ＋B )＝1，∴cos(A －B )＝1，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴△ABC 是等腰三角形，故选B.[答案] B13.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．[解析] 题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，所以两条直角边的长分别为3,4.则cos θ＝45，cos2θ＝2cos 2θ－1＝725. [答案] 725 14．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是______，最小值是________． [解析] ∵A ＋B ＝2π3， ∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos2A ＋1＋cos2B ) ＝1＋12(cos2A ＋cos2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )， ∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32； 当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. [答案] 32 1215.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD ，已知草坪长AB ＝100米，宽BC ＝503米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE ，HF 和EF ，并要求H 是CD 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EHF 为直角，如图所示．(1)设∠CHE ＝x (弧度)，试将三条路的全长(即△HEF 的周长)L 表示成x 的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．[解] (1)∵在Rt △CHE 中，CH ＝50，∠C ＝90°，∠CHE ＝x ，∴HE ＝50cos x. 在Rt △HDF 中，HD ＝50，∠D ＝90°，∠DFH ＝x ，∴HF ＝50sin x. 又∠EHF ＝90°，∴EF ＝50sin x cos x， ∴三条路的全长(即△HEF 的周长)L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x. 当点F 在A 点时，这时角x 最小，求得此时x ＝π6； 当点E 在B 点时，这时角x 最大，求得此时x ＝π3.故此函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3. (2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF 的周长L 的最小值即可．由(1)得L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， 设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝t 2－12，∴L ＝50(t ＋1)t 2－12＝100t －1. 由t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，得3＋12≤t ≤2， 从而2＋1≤1t －1≤3＋1， 当x ＝π4，即CE ＝50时，L min ＝100(2＋1)， ∴当CE ＝DF ＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．。

一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x 等于（ ） A ．512π B ．4π C ．3π D ．6π3．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2αα=-（ ） A ．2425-B ．725-C ．7-D ．17-4．已知3sin 5α=-，则cos2=α（ ） A ．15-B ．15C ．725-D ．7255．已知函数()()2sin ,0,2f x x x x π=∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 图象的一条对称轴是（ ） A ．6x π=B ．56x π=C ．512x π=D ．712x π=7．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 8．sin15cos15+=（ ） A ．12B ．22C ．32D ．629．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1B ．2C ．2.5D ．410．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()12sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()12sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭11．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-12．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 二、填空题13．已知()0,απ∈且tan 3α=，则cos α=______. 14．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______.15．已知α、β均为锐角，且sin 10α=，()cos 5αβ+=，则cos 2β=_______________16．下列函数中，以π2为周期且在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是______.①()cos2f x x =；②()sin 2f x x =；③()cos f x x =；④()sin f x x = 17．若函数()|2cos |f x a x =+的最小正周期为π，则实数a 的值为____.18．方程21sin cos 2x x x =在[0,]4π上的解为___________19．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________． 20．若0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________. 三、解答题21．已知函数()()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和ϕ的值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的最大值和最小值. 22．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3()f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求方程3()4f x =-在区间[,]-ππ上的解.23．已知 3sin 5α=，12cos 13，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求sin()αβ+，cos()αβ-，tan2α的值. 24．已知函数25()23sin cos()2cos (0)32f x wx wx wx w π=+-+>的图像上相邻的两个最低点的距离为π. （1）求w 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间.25．在①函数()()sin 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()()12cos sin 062f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.26．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．A解析：A 【分析】由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得()026x k k Z ππ+=∈，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得0x 的值. 【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，22T πω∴==，()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026x k k Z ππ+=∈，解得()0212k x k Z ππ=-∈， 由于00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02x k k Z πωϕπ⇔+=+∈；（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.3．D解析：D 【分析】利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-， 代入22sin cos 1αα+=得()22sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5α，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭cos 211sin 2717252425αα-==--⎛⎫- ⎪⎭-⎝， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.4．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】 因为3sin 5α=-， 所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.5．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以 ()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤， 所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A.6．D解析：D 【分析】利用三角函数的性质，2()sin()033f A ππϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解 【详解】根据题意得，2()sin()033f A ππϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2πϕ<，进而求得，3πϕ=，所以，()sin(2)3f x A x π=+，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，所以，2,32x k k z πππ+=+∈，解得,k x k z 122ππ=+∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712x π= 故选D 【点睛】关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，进而求解，属于中档题7．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】 因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈， 所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-， 所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下： （1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.8．D解析：D 【分析】由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==. 故选：D.9．B解析：B【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．10．A解析：A 【分析】根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫⎪⎝⎭求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴212T πω==，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，26k πϕπ=+，∵||2ϕπ<，∴6π=ϕ，1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移2π个单位长度得 11()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A 11．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出.【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误； 对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误； 对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误； 对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 二、填空题13．【分析】本题考查同角三角函数及其关系借助公式求解即可求解时需要判定符号的正负【详解】解：法一：由可得代入解得因为所以所以法二：由且可取终边上的一点坐标为根据三角函数终边定义公式故答案为：【点睛】方法解析：10【分析】本题考查同角三角函数及其关系，借助公式sin tan cos ααα=，22sin +cos =1αα求解即可，求解时需要判定符号的正负. 【详解】解：法一：由sin tan =3cos ααα=可得sin =3cos αα，代入22sin +cos =1αα解得cos α= 因为()0,tan 30απα∈=>，，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=. 法二：由()0,απ∈且tan 3α=可取α终边上的一点坐标为(1,3)，根据三角函数终边定义公式cos 10α===.【点睛】方法点睛：同角三角函数基本关系的3个应用技巧： （1）弦切互化利用公式sin tan ()cos 2k απααπα=≠+实现角α的弦切互化； （2）和(差)积转换利用2(sin cos )=1sin 2ααα±±进行变形、转化；（3）巧用“1”的变换22222211sin+cos =cos (tan 1)sin (1)tan αααααα=+=+. 14．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为： 解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解； 【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-.故答案为：3320-15．【分析】先由题意得到求出根据由两角差的余弦公式求出再由二倍角公式即可求出结果【详解】因为均为锐角所以又所以所以则故答案为：解析：45【分析】先由题意得到，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ+∈，求出sin 10α=，()cos 5αβ+=，根据()cos cos βαβα=+-，由两角差的余弦公式，求出cos β，再由二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为α、β均为锐角，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ+∈，又sin 10α=，()cos 5αβ+=，所以cos 10α==，()sin 5αβ+==， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++==， 则294cos 22cos 1155ββ=-=-=. 故答案为：45. 16．①【分析】利用与的关系确定①②的周期在给定区间上去掉绝对值符号后确定单调性化简和后可得其性质从而判断③④【详解】周期是时是增函数①满足题意；周期是时是减函数②不满足题意；周期是③不满足题意；不是周期解析：① 【分析】利用()f x 与()f x 的关系确定①②的周期，在给定区间上去掉绝对值符号后确定单调性，化简cos x 和sin x 后可得其性质，从而判断③④【详解】()cos2f x x =周期是2π，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos2cos2f x x x ==-是增函数，①满足题意；()sin 2f x x =周期是2π，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 2sin 2f x x x ==是减函数，②不满足题意；()cos cos f x x x ==，周期是2π，③不满足题意； sin ,0()sin sin ,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩不是周期函数，④不满足题意．故答案为：①． 【点睛】结论点睛：本题考查三角函数的周期性与单调性，解题时可利用如下结论：①()sin()f x A x ωϕ=+（或cos()A x ωϕ+，函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数．17．【分析】利用来求解【详解】因为函数的最小正周期为所以都有成立故则故答案为： 解析：0【分析】利用()()f x f x π=+来求解. 【详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，所以x R ∀∈，都有()()f x f x π=+成立， 故()2cos 2cos 2cos a x a x a x π+=++=-，则0a =. 故答案为：0.18．【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论【详解】由得得∴又∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为的形式然后解析：12π 【分析】 由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论． 【详解】由21sin cos 2x x x =得1cos 21222x x -+=，得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴26x k ππ-=，,212k x k Z ππ=+∈，又0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12x π=． 故答案为：12π．【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程，解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为sin()x k ωϕ+=的形式，然后由正弦函数的定义得出结论．（2）用换元法，如设sin x t =，先求得方程()0f t =的解0t ，然后再解方程0sin x t =．19．（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为再根据三角函数的性质分析即可【详解】因为的值域为故若满足则必有的值分别为故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得此时为的半个周期即故答案为解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.20．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：解析：)+∞【分析】根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 42x π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，所以只需m ≥故答案为：)+∞.三、解答题21．（1）2ω=，6πϕ=-；（2）max ()f x =min ()2f x =-. 【分析】（1）由图象上相邻两个最高点的距离为π得()f x 的最小正周期T π=，故2ω=，由函数图象关于直线3x π=对称得232k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，再结合范围得6πϕ=-；（2）由（1）得()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而得52666x πππ-≤-≤，再结合正弦函数的性质即可得答案. 【详解】（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，又22ππϕ-≤<，所以2236ππϕπ=-=-. 综上，2ω=，6πϕ=-.（2）由（1）知()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可知52666x πππ-≤-≤.故当226x ππ-=，即3x π=时，max ()f x =当266x ππ-=-，即0x =时，min ()f x =. 【点睛】本题解题的关键在于先根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52666x πππ-≤-≤，进而结合正弦函数的性质，采用整体思想求解，考查运算求解能力，是中档题.22．（1）[-；（2）75,1212x ππ=±±. 【分析】（1）将()f x 化为()cos(2)6f x x π=+，然后可得答案； （2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案. 【详解】（1）2()sin cos 2sin 2222a f x x a x x x x =--=-当1a =，1()cos 2sin 2cos(2)226f x x x x π=-=+由7[0,],2[,],cos(2)[1,266662x x x πππππ∈∴+∈∴+∈-所以()f x 的值域为[-（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立2sin 22sin 222a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴=所以由3()24f x x ==-得cos 22x =-又752[2,2],,1212x x ππππ∈-∴=±± 23．1665-；3365；247- 【分析】由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出cos α，sin β，以及tan α的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解.【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α===-，因为3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12cos 13，所以5sin13β===-，所以3124516 sin()sin cos cos sin51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4123533cos()cos cos sin sin51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为sin3tancos4ααα==-，所以22322tan244tan21tan7314ααα⎛⎫⨯-⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上所述：16sin()65αβ+=-，33cos()65αβ-=，24tan27α=-.24．（1）1；（2）()36k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【分析】本题考查三角函数的图像和性质、三角恒等变换，根据三角恒等变换公式()f x化简函数解析式，根据图像和性质求单调递增区间.【详解】（1）5()(cos cos sin sin)(1cos2)332f x wx wx wx wxππ=--++23sin23sin cos222wx wx wx=--+1cos2323cos222wxwx wx-=-⨯-+12cos22wx wx=+sin(2)6wxπ=+又因为()f x图象上相邻的两个最低点间的距离为π，0w>，所以22w，解得1w=.（2）据（1）求解知，()sin(2)6f x xπ=+令222()262k x k k Zπππππ-+≤+≤+∈，所以()36k x k k Zππππ-+≤≤+∈，所以所求的单调递增区间是()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【点睛】思路点睛：三角恒等变换综合应用的解题思路：（1）利用降幂、升幂公式将()f x 化为sin cos a x b x 的形式；（2）构造())f x x x +；（3）和差公式逆用，得())f x x ϕ=+ (其中ϕ为辅助角，tan b aϕ=)；（4）利用())f x x ϕ=+研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 25．（1）,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（1）由[]0,x α∈，得到2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，即可求解； （2）根据函数正弦函数的形式，求得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，进而得出函数的单调递增区间. 【详解】 方案一：选条件①由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，解得1ω=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x， 又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤； 当2k =时，可得51336x ππ≤≤， 所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方案二：选条件②： 由()12cos sin 62f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12cos sin cos cos sin 662x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211cos cos 2cos 2222x x x x x ωωωωω=+-=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，所以1ω=， 可得()()sin 2f x x ϕ=+， 又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x， 又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤； 当2k =时，可得51336x ππ≤≤， 所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为()sin()f x A wx ϕ=+或()cos()f x A wx ϕ=+的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.26．（1）2+（千米）；（2）. 【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 22AQ PA PAB =∠=⨯= 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ， 300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan 2ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．。