§5.9 三角高程测量
三角高程测量的基本思想是根据由测站向照准点所观测的垂直角（或天顶距）和它们之间的水平距离，计算测站点与照准点之间的高差。这种方法简便灵活，受地形条件的限制较少，故适用于测定三角点的高程。三角点的高程主要是作为各种比例尺测图的高程控制的一部分。一般都是在一定密度的水准网控制下，用三角高程测量的方法测定三角点的高程。
5.9.1 三角高程测量的基本公式
1.基本公式
关于三角高程测量的基本原理和计算高差的基本公式，在测量学中已有过讨论，但公式的推导是以水平面作为依据的。在控制测量中，由于距离较长，所以必须以椭球面为依据来推导三角高程测量的基本公式。
如图5-35所示。设0s 为B A 、两点间的实测水平距离。仪器置于A 点，仪器高度为1i 。B 为照准点，砚标高度为2v ，R 为参考椭球面上B A ''的曲率半径。AF PE 、分别为过P 点和A 点的水准面。PC 是PE 在P 点的切线，PN 为光程曲线。当位于P 点的望远镜
指向与PN 相切的PM 方向时，由于大气折光的影响，由N 点出射的光线正好落在望远镜的横丝上。这就是说，仪器置于A 点测得M P 、间的垂直角为2,1a 。 由图5-35可明显地看出，B A 、 两地面点间的高差为
NB MN EF CE MC BF h --++==2,1 （5-54）
式中，EF 为仪器高NB i ;1为照准点的觇标高度2v ；而CE 和MN 分别为地球曲率和折光影响。由
2
021s R CE =
2021s R MN '
=
式中R '为光程曲线PN 在N 点的曲率半径。设
,K R R
='
则 2
0202.21S R
K S R R R MN ='=
K 称为大气垂直折光系数。
图5-35
由于B A 、两点之间的水平距离0s 与曲率半径R 之比值很小（当km s 100=时,0s 所对的圆心角仅5'多一点），故可认为PC 近似垂直于OM ，即认为 90≈PCM ,这样PCM ∆可视为直角三角形。则（5-54）式中的MC 为
2,10tan αs MC =
将各项代入（5-54）式，则B A 、两地面点的高差为
2
12
02,1022
01202,102,121tan 221tan v i s R
K s v s R K i s R s h -+-+=--++
=αα 令式中
C C R
K
,21=-一般称为球气差系数，则上式可写成 212
02,102.1tan v i Cs s h -++=α （5-55）
（5-55）式就是单向观测计算高差的基本公式。式中垂直
角a ,仪器高i 和砚标高v ,均可由外业观测得到。0s 为实测的水平距离，一般要化为高斯平面上的长度d 。 2.距离的归算
在图5-36中，B A H H 、分别为B A 、两点的高程（此处已忽略了参考椭球面与大地水准面之间的差距，，其平均高程为mM H H H B A m ),(2
1
+=
为平均高程水准面。由于实测距离0s －般不大（工程测量中一般在l0km 以内），所以可以将0s 视为在平均高程水准面上的距离。 由图5-36有下列关系
)
1(100R
H s s R
H R H R s s m
m m +=+=+= （5-56）
这就是表达实测距离0s 与参考椭球面上的距离s 之间的关系式。
参考椭球面上的距离s 和投影在高斯投影平面上的距离d 之间有下列关系
)21(22R
y d s m
-= （5-57）
式中m y 为B A 、两点在高斯投影平面上投影点的横坐标的平均值。关系式（5-57）的推
导将在第八章中讨论。
将（5-57）式代入（5-56）式中，并略去微小项后得
)21(2
2
0R y R H d s m
m -+=
（5-58） 图5-36
3.用椭球面上的边长计算单向观测高差的公式 将（5-56）式代入（5-55）式，得
2122,12,1)1(tan v i Cs R
H s h m
-+++
=α （5-59） 式中2Cs 项的数值很小，故未顾及0s 与s 之间的差异。 4.用高斯平面上的边长计算单向观测高差的公式 将（5-57）式代入（5-59）式，舍去微小项后得
)
2(tan )
2(tan tan 22
2122,12
2
2,1212
2,12.1R
y
R H h v i Cd d R y R H d v i Cd d h m m m
m -'+-++=-+-++=ααα （5-60） 式中2,1tan αd h ='。
令 h h '=∆2,1)2(2
2
R y R H m
m -
（5-61） 则（5-60）式为
2,12122,12,1tan h v i Cd d h ∆+-++=α （5-62）
（5-61）式中的m H 与R 相比较是一个微小的数值，只有在高山地区当m H 甚大而高差也较大时，才有必要顾及
R H m 这一项。例如当m h m H m 100,1000='=时,R
H
m 带这一项对高差的影响还不到0.02m ，一般情况下，这一项可以略去。此外，当
时m h km y m 100,300='=,2
2
2R
y m
这－项对高差的影响约为0.llm 。如果要求高差计算正确到0.lm ，则只有h R
y m
'222项小于0.04m 时才可略去不计，因此，（5-62）式中最后一项2
,1h ∆只有当h H m ',或m y 较大时才有必要顾及。
5.对向观测计算高差的公式
一般要求三角高程测量进行对向观测，也就是在测站A 上向B 点观测垂直角2,1α，而在测站B 上也向A 点观测垂直角1,2α，按（5-62）式有下列两个计算高差的式子。 由测站A 观测B 点
2,122,1212,12,1tan h d C v i d h ∆++-+=α
则测站B 观测A 点
1,22121,21,21,2tan h d C v i d h ∆++-+=α
