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计算机辅助几何设计含参数保形有理样条插值计算机辅助几何设计（Computer-Aided Geometric Design，简称 CAGD）是计算机科学、数学和工程的交叉学科，它的发展历程可以追溯到20世纪70年代。
CAGD主要是利用计算机帮助人们完成各种几何设计任务，如曲线拟合、曲面建模、数据可视化等等。
其中，参数保形有理样条插值是CAGD中的一种基本技术之一，下面我们将对其进行详细介绍。
一、CAGD简介计算机辅助几何设计是一种利用计算机技术进行几何建模、分析、验证和制造的方法。
CAGD的应用范围非常广泛，涵盖了工业设计、航空航天、汽车制造、医学医疗、艺术设计等领域。
通过CAGD的技术手段，可以在计算机上创建数学模型，并对其进行几何变换、仿真分析、优化求解等操作，从而提高设计效率和质量。
CAGD的发展历程可以追溯到20世纪70年代，当时计算机的性能和软件工具都比较有限，所以主要应用于科学计算和工程仿真领域。
随着计算机技术的飞速发展，CAGD的应用范围也越来越广泛，涌现出了许多优秀的方法和算法，如Bezier曲线、B样条曲线、NURBS曲面、三角网格模型等等。
二、参数保形有理样条插值有理样条曲线是一种常用的数学曲线，它可以用来表示各种形状的曲线和曲面。
和其他曲线表示方法相比，有理样条曲线具有重要的优点，如良好的几何性质、局部控制性能、优秀的逼近性能等等。
参数保形有理样条插值是有理样条曲线中的一种插值方法，它可以通过已知的插值点来构造一条参数保形的有理样条曲线。
插值问题是求解函数$f(x)$在一些已知点$x_i$处的函数值$f(x_i)$的问题。
对于一些简单的函数，这个问题可以直接求解。
但是对于复杂的函数，如曲线和曲面，这个问题并不容易解决。
在实际应用中，经常需要求解一条曲线通过已知点，并且曲线在每个插值点处具有特定的曲率、斜率等属性。
这个问题就可以通过参数保形有理样条插值方法来解决。
参数保形有理样条插值是一种基于控制点的插值方法。
第三讲 曲线曲面基本理论1概述(a) 飞机 (b) 船舶 (c) 汽车图 1-1 曲线曲面造型应用曲线曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和分析物体模型。
它在航空航天、船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用(如图1-1所示)。
由Coons 、Bezier 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础,经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理B 样条曲线曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲线曲面(Implicit Algebraic Surface)表示为主体的两类方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段为几何理论体系。
1.1曲线曲面表示曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。
显式表示：形如),(y x f z =的表达式。
对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为)(x f y =。
在平面曲线方程中，一个x 值与一个y 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。
隐式表示：形如0),,(=z y x f 的表达式。
如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为0),(=y x f 。
隐式表示的优点是易于判断函数),(y x f 是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。
参数表示：形如)(t f x =，)(t f y =，)(t f z =的表达式，其中t 为参数。
即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。
如平面曲线上任一点P 可表示为)](),([)(t y t x t P =，如图1-2(a)所示；空间曲线上任一三维点P 可表示为)](),(),([)(t z t y t x t P =，如图1-2(b)所示。
计算机辅助几何设计专业介绍计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,简写为CAGD）主要研究曲面造型的数学基础理论与方法。
1974年在美国的Utah大学举行了名为CAGD的学术会议，这次会议标志着CAGD作为计算数学的一个分支学科正式建立。
上世纪八十年代初，中国科学技术大学数学系的常庚哲教授和冯玉瑜教授分别在美国Utah大学、Brown大学和Wisconsin大学系统学习CAGD、样条函数和函数逼近论等最新进展。
随后两人相继回到中国科大，于1982年招收了第一批硕士研究生。
他们的归国与合作，标志着数学系CAGD研究小组的正式建立。
初期，CAGD研究小组在曲面的保形与逼近、三角域上的Bernstein-Bézier 曲面、样条函数等方面取得了一系列令国内外同行所关注的成果，曾获得中科院自然科技成果二等奖。
常庚哲教授于1984年到2000年一直担任国际刊物《Computer Aided Geometric Design》的编委，并于2007年在第三届全国几何设计与计算学术会议上获得由中国工业与应用数学学会几何设计与计算专业委员会颁发的首届“中国几何设计与计算贡献奖”。
研究小组与美国和欧洲等地的学者建立了广泛的国际联系。
近十年来，随着常庚哲教授和冯玉瑜教授相继退休，本研究小组队伍大大年轻化，形成了以陈发来、邓建松教授为主的年轻学术梯队，其中陈发来教授2002年获得国家杰出青年基金，并担任国际著名期刊《The Visual Computer》以及多个国内期刊的编委，多次担任国际会议的程序委员。
本小组继承了常庚哲、冯玉瑜教授开创的传统，在以计算代数几何为工具进行几何造型方面做了有特色的工作。
近几年来在以下几方面做了较为系统的研究：（1）分片代数曲面造型：通过系统学习计算代数几何的理论，提出了各种应用计算代数几何理论构造分片代数曲面的算法框架。
最近又基于优化的理论，提出了隐式曲面重构的新型算法，解决了以往方法中剖分难以构造等困难。
一本计算机辅助几何造型技术的新书
佚名
【期刊名称】《食品科学技术学报》
【年(卷),期】1991(000)001
【摘要】十年来,我国在以经济建设为中心的改革开放政策的指引下,高科技产业得到迅猛地发展.电子计算机的日益普及和广泛应用,使许多生产设计部门的面貌得以改观.尤其是几何造型技术的推广将在提高产品外观质量,加速产品的更新换代,增强企业和设计部门的经济效益等方面起积极的作用.在此技术背景下,我们翻译了[美]1985年出版的M.E.MORTENSON教授著"GtOME-TRIC MODELING"一书,这是最新、最系统地介绍计算机辅助几何造型的专著,它是从航空、造船、汽车工业中描述自由型曲面理论,以及在近二十多年的CAD/CAM基础上发展的新学科.【总页数】1页(P104-104)
【正文语种】中文
【中图分类】TS
【相关文献】
1.计算机辅助几何造型技术——计算机辅助设计讲座(四) [J], 霍瑜如
2.国内第一本全面介绍玻璃熔窑全氧燃烧技术的图书——《玻璃熔窑全氧燃烧技术问答》新书预告 [J], 修岩;
3.一本新书一本好书─—评张积家主编《心理学》 [J], 王荣纲;曹洪顺
4.一本全面介绍中小学信息技术教学理论的专著——评学科教育新书《信息技术教学论》 [J], 南国农;杨改学
5.介绍一本先进制造技术与传统工艺相融合的新书——《日用玻璃制造技术》 [J], 卢琪
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深圳大学硕士研究生课程教学大纲课程名称与编号计算机辅助几何设计（Computer-AidedGeometric Design）适用专业应用数学先修课程应用数学本科课程教学方式面授一、课程设置的指导思想(包括课程性质\类别\总的教学目的和要求)使应用数学系硕士生系统掌握计算几何中的几种主要的数学方法，为其提供从事计算机辅助设计、计算机图形学研究之需要。
二、教学的基本要求本课程拟在学习计算几何的基本知识，重点学习工业产品形状描述的数学方法，主要内容有：曲线曲面的基本理论、参数样条曲线曲面、Bézier曲线曲面、几何连续性、B样条曲线曲面、NURBS曲线曲面、COONS曲面等内容。
三、教学内容(可以提出各章节的教学目的或要求)第1章曲线和曲面的基本理论§1.1 概述§1.2 曲线曲面的参数表示§1.3 曲线论§1.4 曲面论§1.5 曲线曲面表示的几何不变性第2章参数多项式插值与逼近§2.1 基本概念§2.2 多项式插值曲线§2.3 张量积曲面§2.4 曲面的参数化第3章参数样条曲线曲面§3.1参数连续性§3.2 参数样条曲线§3.3 参数样条曲线的光顺性§3.4 参数双三次样条曲面第4章Bézier曲线曲面§4.1 Bézier曲线及其性质§4.2 Bézier曲面第5章几何连续性§5.1参数曲线的几何连续性§5.2 参数曲面的几何连续性第6章B样条曲线§6.1 B样条与B样条曲线的基本概念§6.2 均匀B样条§6.3 非均匀B样条第7章B样条曲面§7.1 B样条曲面的概念§7.2 B样条曲面的性质第8章有理B样条曲线§8.1 NURBS方法的提出及优缺点§8.2 NURBS曲线的性质第9章有理B样条曲面§9.1 NURBS曲面的概念§9.2 NURBS曲面的性质四、课时分配五、主要教材和参考文献1．An Introduction to the Curves and Surfaces of Computer-Aided Design, Robert C. Beach V AN NOSTRAND REINHOLD, New York.2．《计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条》施法中著北京航空航天大学出版社1994，10。
曲面造型(Surface Modeling)曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。
它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。
如今经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline S urface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(I nterpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。
1. 对曲面造型的简要回顾形状信息的核心问题是计算机表示，即要解决既适合计算机处理，且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。
1963年美国波音飞机公司的Ferguson首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线。
从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。
1964年美国麻省理工学院的Coons发表一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面。
但这种方法存在形状控制与连接问题。
1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。
这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。
但Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题。
到1972年，de-Boor总结、给出了关于B样条的一套标准算法，1974年Gordon和Riesenfeld又把B样条理论应用于形状描述，最终提出了B样条方法。
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文摘要正交投影在几何建模、计算机图形学以及计算机视觉等领域受到广泛的关注。
正交投影在曲面曲线的设计、曲面与曲线的拟合方面有着重要的应用；同时，它也是形体匹配的ICP算法中的一个关键。
由于正交投影与距离投影具有紧密的联系，因此正交投影在计算不同几何体之间的最小距离等方面也具有重要的应用。
国内外学者在这方面均作了大量的研究工作，并取得了很多成果。
论文在前人工作的基础上，提出了点到隐式曲线以及点到隐式曲面的正交投影算法。
根据隐式曲线定义形式的不同，分别提出了点到平面（2D）隐式曲线和点到空间（3D）隐式曲线的正交投影算法。
点到隐式曲面的正交投影算法是点到隐式曲线的正交投影算法的进一步推广。
算法主要包括三个部分：投影点的追踪、追踪步长的控制、误差的分析与矫正。
其中，投影点的追踪主要是解决以什么样的方式来追踪目标投影点的位置，论文分别就曲线和曲面构造了不同的追踪方式。
本文对上述算法作了大量的仿真实验，数据表明上述算法具有良好的收敛性，算法对初始值的依赖性很低，同时算法可以满足任意的精度要求。
本文进一步将上述算法应用到距离投影方面以及隐式曲面上的曲线的生成方面，并取得了满意的结果。
上述算法也可以进一步应用到隐式曲线、隐式曲面的拟合等方面。
关键词：正交投影，隐式曲线，隐式曲面，曲率圆，法截线，法截面华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文AbstractOrthogonal projection has attracted much interest in geometric modeling, computer graphics and computer vision. Projecting a point onto a curve or surface in order to find the closest point (footpoint) is important in application of generating a curve on a surface and fitting a curve or surface and it is also a key issues in the ICP (iterative closest point) algorithm for shape registration. Because of the tight relation between orthogonal projection and distance projection, it has been given much recognition in computing the least distance between different geometric bodies. Both the domestic and overseas scholars have done many researches in this aspect and gained pleasing effect.This paper presents algorithms for both projecting a given point onto an implicit curve or an implicit surface based on the aforementioned research work. According to the different forms of definition of planar curve and space curve, we give algorithms of projecting a point onto a two-dimensional implicit curve and a three-dimensional curve respectively. The algorithm of projecting a given point onto an implicit surface is generalized from the algorithm of projecting a given point onto an implicit curve. It mainly involves three parts: tracing the projection point, controlling the tracing step, analyzing and rectifying the error. The part of tracing the projection point is mainly to solve the problem of how to tracing the aimed orthogonal projection point and we construct different manners to trace the projection point for both curves and surfaces respectively.Massive simulation examples are given and experimental results show that the presented algorithms have favorable convergence speed and the sensitivity of it to the initial values is low and it can satisfy arbitrary degree of accuracy. We also apply the algorithms to the areas of distance projection and generation of curve on surface and have gained much approving fruits. And it can also be applied to fitting curves and surfaces.Key Words: orthogonal projection, implicit curve, implicit surface, curvature circle, normal transversal, normal section独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
