1-1 3.1变化率与导数学案

导数的几何意义一、教材分析：1、地位和作用：《导数的几何意义》是一节新知概念课，内容选自于选修1－1中第§3．1．3节，是在学生学习了平均变化率，瞬时变化率，及用瞬时变化率定义导数基础上，进一步从几何意义的基础上认识导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。

《导数的几何意义》还是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用，是本章的关键内容，也是高考中的一个常见考点。

2、教学目标的拟定：【知识与技能】（1）概括曲线的切线定义，明确导数的几何意义及应用；（2）培养观察、分析、合作、归纳与应用（知识与思想方法）等方面的能力【过程与方法】（1）由问题引发认知冲突，引导学生经历割线“逼近”切线的过程，推广切线的定义；（2）利用几何画板直观展示知识发生的过程，帮助学生寻找导数的几何意义；【情感态度价值观】（1）通过对切线定义的探究，培养学生严谨的科学态度；（2）通过渗透无限“逼近”的思想，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系。

（3）利用“以直代曲”的近似替代的方法，培养学生分析问题解决问题的习惯，初步体会发现问题的乐趣3、教学重点、难点重点：导数的几何意义及应用难点：对导数几何意义的推导过程二、学情分析1、从认知上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但这些都是建立在“代数”的基础上的，学生也渴求寻找导数的另一种体现形式——图形。

学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的与认识．2、从能力上看，通过一年多的高中学习，学生积累了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．3、从学习心理上看，学生已经从“公共点个数”方面知道了圆锥曲线切线的含义，当然在思维方面，也形成了定势：“直线与曲线相切，直线与切线只有一个公共点”。

3.1.1变化率问题教学目标知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学过程： 情景导入：展示目标: 知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。

精讲精练：例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 有效训练练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率. 反思总结1.函数()f x 的平均变化率是T(月)39122.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 当堂检测1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy∆∆ 【板书设计】：略 【作业布置】：略3.1.2导数的概念教案【教学目标】：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。

选修（ 1-1）第三章导数及其应用课题：§3.1 变化率与导数学习目标： 1. 了解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念，理解、掌握导数的几何意义3.会利用定义求函数在某一点附近的平均变化率及导数；4.会利用定义求函数在某点处的切线方程.学习过程：一、变化率问题[ 开篇思考 ]：阅读开篇语，了解课程目标1.微积分的创立与自然科学中的哪些问题的处理直接相关？2.导数的研究对象是什么？[ 问题探究一 ]：气球膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。

从数学的角度如何描述这种现象 ? 阅读教材 P72并思考：（ 1）问题中涉及到的两个变量分别是、，这两个变量间的函数关系是；（2）“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“”，从数学角度进行描述就是“”，即气球的平均膨胀率就是.（ 3）运用上述数学解释计算一些具体的值当空气容量从0 增加到 1 L时，气球半径r 增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从 1 L增加到 2 L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从 2 L增加到 2.5 L时，气球半径r 增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从 2.5 L增加到 4 L时，气球半径r 增加了，气球的平均膨胀率为；可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐.（ 4）思考：当空气容量从V1增加到 V2时，气球的平均膨胀率是[问题探究二 ]：高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米 )与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t) 4.9t 2 6.5t10如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？阅读教材 P73并思考：h若用运动员在某段时间t1 , t 2内的平均速度v 描述其运动状态，那么：（ 1）v =；（ 2）算一算：在0t0.5 这段时间内， v =ot 在1t2这段时间内， v =t1 t2在0t65这段时间内， v =49[新知 ]：设 y f (x) ， x1是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点 x2， x1与 x2的差记为x，即x =或者 x2 =， x 就表示从x1到 x2的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y ，即 y =；如果它们的比值y ，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率 .x平均变化率： _______________ = ______反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值 .[ 试一试 ]：[探究 ]：计算[问题探究二]运动员在0 t 65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：例：已知函数 f ( x)2f ( x) 在下列区间上的平均变化率：49 x ，分别计算（1）1，1.1（2）1，2（ 1）运动员在这段时间内使静止的吗？（ 3）1，1x（ 2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：[知识回顾 ]：什么是函数y f ( x) 的平均变化率？如何求平均变化率？[ 思考 ] ：当x越来越小时，函数 f ( x) 在区间1 ， 1x 上的平均变化率有怎样的变化趋势？[想一想 ]：既然用平均速度不能精确描述运动员的运动状态，那该如何求运动员在某一时刻的速度呢？y =回答下列问题：[ 变式 ] ：已知函数 f (x)x2x 的图象上一点 1 ， 2 及邻近一点 1 x ， 2y，则1．什么是瞬时速度？x2. 当t 趋近于 0 时,平均速度v有什么样的变化趋势？3. 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？[ 学习小结 ]：[认识与理解 ]：求瞬时速度1.函数 f ( x) 的平均变化率是一物体的运动方程是 s 3t 2，则在t 2 时刻的瞬时速度是2.求函数 f ( x) 的平均变化率的步骤：（ 1）求函数值的增量；（ 2）计算平均变化率.[ 作业 ] ：形成练习 P41-42练习 21 函数的平均变化率[新知 ]：[再思考 ]：计算[问题探究二]中运动员在0 t 651. 函数y f ( x) 的瞬时变化率怎样表示？这段时间里的平均速度，思考以下问题：49（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？二、导数的概念 2. 什么是函数y f ( x) 在 x x0处的导数？如何表示？其本质是什么？[试一试 ]：例 1．（ 1）用定义求函数y 3x2在x 1 处的导数.（ 2）求函数f(x)=x 2x 在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例 2．阅读教材P75例 1, 计算第3h时和第5h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.[ 学习小结 ]：1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．函数y f (x) 在 x x0处的导数及其本质[ 作业 ] ：形成练习P43-44练习 22 导数的概念三、导数的几何意义（阅读教材P74-75）[思考与探究一]：曲线的切线及切线的斜率如图 3.1-2，当P(x, f (x))( n 1,2,3,4)沿着曲线f (x)趋近于点 P( x, f (x)) 时，割线 PP n的n n n00变化趋势是什么？图3.1-2当点 P n沿着曲线无限接近点P 即x→0 时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的.[想一想 ]：（1）割线PP n的斜率k n与切线 PT 的斜率k有什么关系？（2）切线 PT 的斜率k为多少？（3）此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？[新知 1]：导数的几何意义：1.函数 y f ( x) 在 x x0处的导数等于即 f (x0 )limf ( x0x) f ( x0 )0xkx2.函数 y f ( x) 在 x x0处的切线方程是.3.求曲线在某点 P 处的切线方程的基本步骤:①求出点的坐标 P( x0 , f ( x0 )) ；② 求出函数在点x x0处的变化率 f (x0 ) lim0f ( x0x) f ( x0 )k ，x x得到曲线在点P( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.[新知 2]：导函数：1.什么是函数 y f ( x) 的导函数？2. 函数f ( x)在点x0处的导数 f (x0 ) 、导函数 f ( x) 、导数之间的区别与联系？[ 试一试 ]：例 1:（1）求曲线y f ( x) x 2 1 在点 P(1,2) 处的切线方程.例 2：在曲线y x2上过哪一点的切线平行于直线y 4 x 5？例 3：（1）试描述函数 f ( x) 在x5, 4, 2,0,1附近的的变化情况.（ 2）已知函数 f (x) 的图象 ,试画出其导函数 f (x) 图象的大致形状.[练一练 ]：（ 1）求函数 f (x) 3x 2在点x 1 处的切线方程.（ 2）设曲线 f ( x) x2在点 P0处的切线斜率是3，则点P0的坐标是[学习小结 ]：1.导数的几何意义是什么？2.函数 f ( x) 在点 x0处的导数 f ( x0 ) 、导函数 f (x) 、导数之间的区别与联系？3.求曲线在某点 P 处的切线方程的基本步骤:[ 作业 ]：1. 形成练习 P44-45练习 23 导数的几何意义； 2.学探诊测试十一[课后思考 ]： 1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？ 2.你还有哪些困惑？快快去解决 .课题：§3.2导数的计算学习目标： 1．会利用导数的定义推导函数y c 、 y x 、 y x 2 、 y1 的导数公式；x2．掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，会求简单函数的导数.学习过程：一、几个常用函数的导数[开篇语 ]：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y f ( x) ，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限， 这在运算上很麻烦， 有时甚至很困难， 为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先来求几个常用的函数的导数．[思考与探究 ]：阅读教材 P 81-82，利用导数的定义，尝试自己推导函数y c 、 yx 、 yx 2 、y1的导数x[练一练 1]：利用导数的定义函数 y x 3的导数二、基本初等函数的导数公式及导数运算法则[记一记 1]：基本初等函数的导数公式1. ( c) _________2. ( x )________（为有理数）( 1)_________x3. ( e x )_________(a x )_________( a 0, a 1 )4. (ln x) __________(log a x) ________( a 0, a 1 ) 5. (sin x)_________(cos x)_________[练一练 2]例 1：求下列函数的导数（ 1） y x 3（ 2） y x x（3 ） y 1x 2（ 4） y 2 sin x cosx（ 5） y1 22x例 2：（ 1）求 y1 在点 ( 2, 1) 处的切线方程x 2（ 2）求 y ln x 在 xe 2 处的切线方程（ 3）求 ysin x 在点 A( , 1) 处的切线方程6 2（ 4）设曲线 f ( x) 2x 2在点 P 0 处的切线斜率是 3，则点 P 0 的坐标是（ 5）在曲线 yx 2 上过哪一点的切线平行于直线y 4 x 5？（ 6）求过点 P2, 8 所作的 yx 3 的切线方程 ___________.[记一记 2]：导数运算法则：设函数 f ( x), g (x) 是可导函数，1.( f ( x)g( x))_________________.2.( f ( x)g( x))_________________.cf (x)_____________.3.( f ( x) )_________________.g( x)[练一练 3]：练 1. 求下列函数的导数：（ 1）y1log 3 x ；（ 2） y2e x；x（ 3） y 2x53x2 5 x 4 ；（4）y3cos x 4sin x .练 2. 求下列函数的导数：3（ 1） y x3log 2 x ；（ 2） y x n e x；（ 3） y x 1sin x练 3.（ 1）设曲线y x 1在点(3, 2)处的切线与直线ax y 1 0垂直，则a的值. x1（ 2）（2013 年江西）若曲线y x 1( α∈ R)在点 (1,2)处的切线经过坐标原点,则α的值 .[提高篇 ]1.（朝阳一模）已知函数 f x x 2 a 2 x a ln x ，其中a R ，求曲线y f x在点2, f 2处的切线的斜率为1，求a的值 .（如改为已知切线方程）2. （ 2012 北京）已知函数f xax 2 1 a0 ， g x x 3bx .若曲线 y f x 与曲线 y g x在它们的交点 1, c 处具有公共切线，求a,b 的值.[学习小结 ]：1．对于简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。

3.1 变化快慢与变化率学习目标 1.理解函数平均变化率和瞬时变化率概念.2.会求物体运动平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数平均变化率 观察图形，答复以下问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率大小与曲线在区间上陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度“数量化〞，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化〞.(2)平均变化率绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭〞，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量增量、函数值增量？答案 (1)自变量增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1“增加量〞. (2)函数值增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1“增加量〞.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值增量还可以是0，比方常数函数，其函数值增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值改变量与自变量改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢.(4)几何意义：P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上两点，那么平均变化率ΔyΔx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体平均速度能否准确反映物体运动状态？答案 不能.如高台跳水运发动从起跳高度到最高点然后回到起跳高度过程中，平均速度为0，而运发动一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻运动状态？答案 可以使用瞬时速度准确描述物体在某一时刻运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内平均速度Δs Δt ＝s t 0＋Δt －st 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻瞬时速度.类型一 函数平均变化率 命题角度1 求函数平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近平均变化率最大？解 在x ＝1附近平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率主要步骤 (1)先计算函数值改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)函数f (x )＝x 2＋2x －5图像上一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，那么ΔyΔx＝ .(2)如下图是函数y ＝f (x )图像，那么函数f (x )在区间[－1，1]上平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上两点P (1，0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线割线，割线PQ 斜率为2，求Δx 值.解 割线PQ 斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2平均变化率实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1. 跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 关系如下图，那么在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人平均速度v 甲，v 乙关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，那么当Δx . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上平均变化率v 乙＝k BC . 因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝,1－2.5)＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛物体，t 秒时高度s 与t 函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度步骤①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时Δy Δx值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，假设质点M 在t ＝2 s 时瞬时速度为8 m/s ，求常数a 值. 解 质点M 在t ＝2时瞬时速度即为函数在t ＝2处瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值增量与相应自变量增量之比是函数( ) x 0处变化率B.在区间[x 0，x 1]上平均变化率x 1处变化率答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率定义可知，应选B.s ＝3＋2t ，那么在[2，2.1]这段时间内平均速度是( )A.0.4 C.0.3答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.s 与时间t 函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻瞬时速度为零，那么相应时刻为( ) A.t ＝1 B.t ＝2 C.t ＝3 D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球半径从1增加到2时，球体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比拟k 1，k 2，k 3大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化快慢.2.可以使用逼近思想理解瞬时变化率，同时结合变化率实际意义.40分钟课时作业一、选择题y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.s ＝5－3t 2，假设该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应平均速度为－3Δt －6，那么该质点在t＝1时瞬时速度是( )A.－3B.3C.6D.－6 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水排放量W 与时间t 关系如下图，那么治污效果较好是( )A.甲 C.一样 答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在一样时间Δt 内，甲厂比乙厂平均治污率小. 所以乙厂治污效果较好.f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间平均变化率为k 2，那么k 1，k 2大小关系是( )A.k 1<k 2B.k 1>k 2C.k 1＝k 2 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上平均变化率为3，那么( )A.a ＝－3B.a ＝3C.a ＝2D.a 值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f 2－f 12－1＝a ＝3.s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时瞬时速度为3，那么a 等于( )A.－1 C.1答案 A 解析 Δs Δt＝s 1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题s 和时间t 之间函数图像如下图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上平均速度分别为v1，v 2，v 3，那么三者大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .f (x )＝1x2＋2在x ＝1处瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.f (x )＝－x 2＋x 图像上一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，那么Δy Δx＝ .答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上平均变化率为2，那么t ＝ .答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上平均变化率是2时，t 值是5. 三、解答题f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上平均变化率不大于－1，求Δx 取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上平均变化率为 Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 取值范围是(0，＋∞).13.假设一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内平均速度； (2)物体初速度v 0； (3)物体在t ＝1时瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内平均速度为Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体初速度v 0即求物体在t ＝0时瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处瞬时变化率为－18， 即物体初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt ＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－12，∴物体在t ＝1处瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时瞬时速度为－12 m/s.。