多元作业--因子分析

多元数据处理---因子分析方法多元数据处理主要包括多元随机变量，协方差分析，趋势面分析，聚类分析，判别分析，主成分分析，因子分析，典型相关分析，回归分析以及各个分析方法的相互结合等等。

本文主要针对其中的因子分析方法展开了论述，并举了一个因子分析法在我国房地产市场绩效评价中的应用实例。

第一章因子分析方法概述1.1因子分析的涵义为了更全面和准确的测量和评估对象的特征，在实际的应用中，我们往往尽可能多的选用特征指标进行系统评估，选取的指标越多，就越能全面、客观的反映评价对象的特征。

选取众多指标的同时也带来了统计分析的困难：一、不同的指标，不同重要程度需要赋予不同的权重，而靠主观的评价避免不了一些失误与错误。

二、收集到的指标之间可能存在较大的相关性，大量收集指标带来了人力、物力和财力的浪费。

而因子分析方法则较好的解决了上述问题。

因子分析[1]是一种多元统计方法，该方法起源于20世纪初Karl Pearson 和Charles Spearman 等人关于心理测试的统计分析，它的核心是用最少的相互独立的因子反映原有变量的绝大部分信息。

[2]通过分析事物内部的因果关系来找出其主要矛盾，找出事物内在的基本规律。

因子分析的基本思想是通过变量的相关系数矩阵内部结构的研究，找出能控制所有变量的少数几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系，但是，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。

然后根据相关性的大小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高，使不同组内的变量相关性较低[3]。

对于所研究的问题就可试图用最少个数的所谓因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一变量[4]。

因子变量的特点：第一，因子变量的数量远小于原指标的数量，对因子变量的分析能够减少分析的工作量；第二，因子变量不是原有变量的简单取舍，而是对原有变量的重新组构，他们能够反映原有变量的绝大部分信息，不会产生丢失；第三，因子变量之间线性相关性较低；第四，因子变量具有命名解释性[5]。

（2）累计贡献率：前 k个主成分的累计贡献率指按照方差 贡献率从大到小排列，前 k 个主成分累计提取了多少的原 始信息，即前面 k 个主成分累计提取了x1，x2，…，xp多少 的信息。 一般来说，如果前 k 个主成分的累计贡献率达到 85%，表明前 k 个主成分包含了全部测量指标所具有的主 要信息，这样既减少了变量的个数，又便于对实际问题的 分析和研究。
KMO检验是依据变量间的简单相关与偏相关的比较。
其计算公式为所有原变量简单相关系数的平方和除以简单 相关系数平方和加偏相关系数平方和。即：
（0≤KMO≤1）
r 其中，ij2 是变量i和j的简单相关系数，
偏相关系数。
是变p量i2j i和变量j的
如果KMO值越接近1，则越适合于做因子分析，如果 KMO越小，则越不适合于做因子分析，其判断标准如下： 0.9<KMO：非常适合 0.8<KMO<0.9 :适合 0.7<KMO<0.8：一般 0.6<KMO<0.7：不太适合 KMO＜0.5：不合适
3.因子分析的目的
因子分析的目的，通俗来讲就是简化变量维数。即要使 因素结构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子）， 能对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子越少越好， 但抽取的因子的累积解释的变异量越大越好。
例： 在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个
由24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的 优劣。但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、 商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变 量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个 潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可 以表示为：
方法二：巴特利特（Bartlett ）球形检验

第八章 因子分析§8.1 什么是因子分析及基本思想1904年Charles Spearman 发表一篇著名论文《对智力测验得分进行统计分析》视为因子分析的起点。

因子分析的形成和发展有相当长的历史，最早用以研究解决心理学和教育学方面的问题，由于计算量大，又缺少高速计算的设备使因子分析的应用和发展受到很大的限制，甚至停滞了很长时间。

后来由于电子计算机的出现，才使因子分析的理论研究和计算问题，有了很大的进展。

目前这一方法的应用范围已十分广泛，在经济学、社会学、考古学、生物学、医学、地质学以及体育科学等各个领域都取得了显著的成绩。

1 什么是因子分析因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。

例如，某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测试，出了50道题的试卷，其内容包括的面较广，但总的来讲可归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面称为因子，显然这里所说的因子不同于回归分析中因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者有着极为明确的实际意义，如人口密度、工业总产值、产量等。

假设100人测试的分数{}100,,1, =i X i 可以用上述六个因子表示成线性函数：,1001,i 662211 =++++=i i i i i F a F a F a X ε其中61,,F F 表示六个因子，它对所有X i 是共有的因子，通常称为公共因子，它们的系数61,i i a a 称为因子载荷，它表示第i 个应试人员在六个因子方面的能力。

i ε是第i 个应试人的能力和知识不能被前六个因子包括的部分，称为特殊因子，通常假定),0(~2i i N σε，仔细观察这个模型与回归模型在形式上有些相似，实质很不同。

因子分析+聚类分析：一．对数据进行因子分析，实验步骤：1在SPSS窗口中选择：分析-降维-因子分析，在因子分析主界面将变量X1 移入变量框2点击“描述”，在对话框中，统计量选择：原始分析结果，相关矩阵选择：系数，以描述相关系数，点击继续3点击“抽取”，在对话框中，方法为主成份，分析选择：相关性矩阵，输出选择：未旋转的因子解和碎石图，抽取中选择基于特征值（特征值大于1）或者因子的固定数量（要提取的因子为2），点击继续4点击“旋转”，在对话框中，方法为最大方差法，在输出中选择旋转解和载荷图（当因子数=2时），点击继续5点击“得分”，在对话框中，选中“保存为变量”和“显示因子得分系数矩阵”，在方法中选择“回归”，点击继续6点击确定实验结果分析：1.特征根和累计贡献率解释的总方差成份初始特征值提取平方和载入旋转平方和载入合计方差的 % 累积 % 合计方差的 % 累积 % 合计方差的 % 累积 %1 2.731 45.520 45.520 2.731 45.520 45.520 2.688 44.802 44.8022 2.218 36.969 82.488 2.218 36.969 82.488 2.261 37.687 82.4883 .442 7.360 89.8484 .341 5.688 95.5365 .183 3.044 98.5806 .085 1.420 100.000提取方法：主成份分析。

由表中可以看出，因为成份1和2的特征值>1，被提取出来，而且由于第三个特征根相比下降比较快，我们也只选取两个公共因子，对1和2旋转后其累计贡献率为82.488%。

由碎石图，我们也可以看出1和2的特征值大于1，可以被提取出来，其余变量特征值过小，不予提取。

成份矩阵a成份1 2v1 .928 .253v2 -.301 .795v3 .936 .131v4 -.342 .789v5 -.869 -.351v6 -.177 .871由旋转前的成分矩阵可以写出每个原始变量关于各个成份的表达式。