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晶体学基础 3

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晶体学基础第三章-晶体的定向和晶体学符号

晶体学基础第三章-晶体的定向和晶体学符号


晶体定向的几个基本概念：
（1）结晶轴：晶体坐标系中的坐标轴，需满足晶体对称性 特征。用x轴、y轴、z轴或X轴、Y轴、Z轴表示。 （2）轴角：两个结晶轴正向之夹角。用a，b，g 表示。
（3）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴位之连比。用a:b:c 表示。
（5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
第三章 晶体的定向和晶体学符号
➢ 晶体学坐标系 ➢ 各晶系的定向方法 ➢ 晶胞与原子坐标 ➢ 晶面指数 ➢ 晶向指数 ➢ 晶带指数
3.1 晶体学坐标系
晶体定向的目的：
建立坐标系，简单明确地描述晶体中晶面、晶列的 空间方位。为研究晶体的结构特性提供定量标记。
晶体的定向：
在晶体中设置符合晶体对称特征或与晶体点阵参数 一致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系进行安 置。
(完整版)1《材料科学基础》第一章晶体学基础

(完整版)1《材料科学基础》第一章晶体学基础

一、晶向指数 二、晶面指数 三、六方晶系的晶向指数和晶面指数 四、晶带 五、晶面间距
晶向、晶
钯的PDF卡片-----Pd 89－4897
crystal system,space
图 2 CdS纳米棒的TEM照片（左）和 HRTEM照片（右）
图2 选区电子衍射图
图1. La(Sr)3SrMnO7的低 温电子衍射图
晶向、晶面、晶面间距
晶向：空间点阵中行列的方向代表晶体中原子排 列的方向，称为晶向。
晶面：通过空间点阵中任意一组结点的平面代表 晶体中的原子平面，称为晶面。
L M
P点坐标?
(2,2,2)或222
N
一、晶向指数
1、晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数，由晶向上结点的 坐标值决定。
2、求法 1）建立坐标系。 以晶胞中待定晶向上的某一阵点O为原点，
联系：一般情况下，晶胞的几何形状、大小与对应的单胞是 一致的，可由同一组晶格常数来表示。
不区分 图示
晶 胞
空间点阵
单
胞
•NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子 •晶格常数a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°
大晶胞
大晶胞：是相对 于单位晶胞而言 的
例：六方原始格子形式的晶胞就是常见的大晶胞
① 所选取的平行六面体应能反映整个空间点阵的对称性； ② 在上述前提下，平行六面体棱与棱之间的直角应最多； ③ 在遵循上两个条件的前提下，平行六面体的体积应最小。
具有L44P的平面点阵
单胞表
3、单胞的表征
原点：单胞角上的某一阵点 坐标轴：单胞上过原点的三个棱边 x，y，z 点阵参数：a，b，c，α，β，γ
准晶
是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有长程定向有 序，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有 晶体所不允许的宏观对称性。
晶体学基础 3

晶体学基础 3


4
2
6
间
隙
• 从晶体原子排列的刚球模型可以看到，在原子球与原子球 之间存在着不同形貌的间隙。主要有两类间隙即：四面体 间隙和八面体间隙。 • 晶体结构中间隙的数量、位置和每个间隙的大小等也是晶 体的一个重要特征，对于了解金属的性能、合金相结构、 扩散、相变等问题很有用处。
面心立方
配位数
CN＝12
八面体间隙
体心立方
bcc 晶体的八面体间隙如图所示，其位置和形状不同于 fcc 晶胞的八面 体间隙。间隙的中心位于晶胞的面心和晶胞棱的中点（对 bcc 晶体，这
些都是等同点），一个晶胞中八面体间隙的数量是6（个），故八面体间 隙数与原子数之比为6∶2 = 3∶1。
间隙原子只和相距它为a/2的两个原子相切，既和体心原子相切。 而不和相距为 2 a 的四个原子（顶点原子）相切。
和
D2 是晶体学上的等
价方向，但其晶向指 数却分别是[100]和 [110]。
• 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法 由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的 各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带 来很大的不便。为了克服这一缺点，或者 说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具 有类似的指数，对六方晶体来说，就得放 弃三指数表示，而采用四指数表示。
• 填在四面体间隙的最大间隙原子是和4个顶 点的原子同时相切，故二者半径之和为：
密排六方间隙
八面体间隙
• hcp 晶体的八面体间隙如图所示。其形状与fcc 晶胞的八面体间隙完全相似，而间隙的位置不同 。从图看出，在一个hcp 晶胞内有6个八面体间隙 ，故八面体间隙数与原子数之比为6∶6 = 1∶1。
面心立方致密度
原子直径是a/2<110>的长度，即 面心立方结构的晶胞体积为a3，晶 胞内含4个原子，所以它的致密度η 为
《晶体学基础》课件

《晶体学基础》课件

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CONTENTS
目录
• 晶体学简介 • 晶体结构 • 晶体性质 • 晶体缺陷 • 晶体生长与制备 • 晶体应用
CHAPTER
01
晶体学简介
晶体学定义
晶体学是一门研究晶体材料、 晶体结构和晶体性能的科学。
晶体是由原子、分子或离子按 照一定的规律周期性排列而成 的固体。
晶体学的研究内容包括晶体的 几何结构、物理性质、化学性 质以及晶体生长、相变等。
观结构和应力分布有关。
疲劳强度
断裂韧性是衡量物质抵抗脆性断裂的能力的物理量。 不同晶体的断裂韧性不同，与晶体的缺陷类型和扩散 机制有关。
CHAPTER
04
晶体缺陷
点缺陷
01
晶体中一个或多个原子离开其平 衡位置，形成局部的、小的原子 排列异常。
02
点缺陷的形成与温度、压力、杂 质等因素有关。在晶体中，点缺 陷可以移动、聚集和消失，对晶 体的物理性质产生影响。
线缺陷
晶体中沿某一特定方向，原子排列出 现异常。
线缺陷通常表现为晶体的裂纹或位错 ，对晶体的力学性质有显著影响。位 错是晶体中常见的线缺陷，其运动和 相互作用会影响材料的加工和性能。
面缺陷
晶体中沿某一平面的原子排列出现异常。
面缺陷包括晶界、相界和表面等。晶界是晶体内部不同晶粒之间的界面，相界是 晶体中不同相之间的界面。这些面缺陷会影响晶体的光学、电学和热学性质。
19世纪，X射线和电子显微镜的发明 为晶体学的研究提供了新的手段，推 动了晶体学的发展。
17世纪，随着显微镜技术的发展，人 们开始对晶体进行更深入的研究，发 现了晶体的对称性和空间格子。
21世纪，随着计算机技术和材料科学 的快速发展，晶体学在理论和实验方 面都取得了重要进展，为新材料的研 发和应用提供了有力支持。
第3讲 晶体化学基础

第3讲 晶体化学基础


（1）聚片双晶（若干个单体按同一双晶律所组 成） 例：斜长石的钠长石律聚片双晶 （2）轮式双晶（环状双晶） 例：金红石的六连 晶、白铅矿的三连晶。
斜长石的聚片双晶：
双晶轴（010） （只针对长石）
斜长石聚片双晶
角闪石
正长石卡氏双晶
堇青石矿物的轮式双晶（六连晶）；4×（＋）
金绿宝石的轮式双晶
3.1 最紧密堆积原理 球体空隙：
第二层球排列堆积在第一层之上时，每球只有与第一层的三个 球同时接触才算是最稳定的。即位于三角形空隙的位置。
八面体空隙
四面体空隙
3.1 最紧密堆积原理
两层球作最紧密堆积，出现了两种不同的空隙：一是由六个球 围成的空隙，称为八面体空隙 。另一种是由四个球围成的空 隙，称为四面体空隙。 第三层球的排列（C）：
1 双晶面 ：
假想的平面，若双晶 中的一个单体经过它 的反映能够与另一个 单体重合或者平行
6.2 双晶要素 2 双晶轴：
若双晶中的单体围绕此轴旋转180°，可与 另外一个单晶平行或者重合；
一般来说双晶轴都是二次ห้องสมุดไป่ตู้.
3 双晶中心：
假想的点，双晶的单体通过它的反伸操作可 与另一个单体重合；（在实际的双晶分析中 很少用到）
位于配位多面体中心的阳离子充填于被分布在八面体顶角 上的六个阴离子围成的八面体空隙中，并且恰好与周围的六个阴 离子均紧密接触。取八面体中包含两个四次轴的平面。
3.2 配位数和配位多面体
图中直角三角形ABC可以算出： Rk∕Ra ＝ 2 －1＝0.414。此值是阳离子作为六次配位的下限值。
Rk∕Ra ＜0.414时，表明阳离子过小，不能同时与周围的六个阴离 子都紧密接触，离子可在其中移动，结构是不稳定的。
晶体学基础

晶体学基础


2020/3/3
3
1.1 晶体及其基本性质
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2020/3/3
4
空间点阵的四要素
1. 阵点: 空间点阵中的点； 2. 阵列: 结点在直线上的排列； 3. 阵面: 阵点在平面上的分布。
2020/3/3
5
空间点阵的四要素
4. 阵胞: 结点在三维空间形成的平行六面体。
原胞：最小的平行六面体，只考虑周期性，不考虑对称性； 晶胞：通常满足对称性的前提下，选取体积最小的平行六面体。
ur b/k
P
a/h A
v
a
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25
倒易点阵的应用
uur dhkl 1/ r *hkl
1、计算面间距
1
d2 hkl

r rhkl
r .rhkl

h
k
av*
l

r bcv**
av*
r b*
h
cv*
k

l
h
h
k
l

G
*
k
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3
c
28
倒易点阵的应用
2、计算晶面夹角
• 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示， 或用它们的倒易矢量的夹角来表示：
c((ohhs21kk12ll12)c)osrvrv(hh2rv1kk2h1l1l21k1l1 ,hhrv21hav2avk*2*l+2+)kk21bvbv*rvv*+h+1kl12ll11cvcv*vrv*h2k2l2
4. 若已知两个晶带面,则晶带轴；
5. 已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；
2-3晶体学基础

2-3晶体学基础

• • • • 对照片中各对弧对进行编号、标注。 测量有效周长（半周长L）。 测量并计算各弧对的间距（S/2）。 S 90 1 计算 和 d。 d
2 L
2 sin i
• 指数标定，计算晶胞参数。
a d ( HKL ) H 2 K 2 L2

2 sin
Fhkl = fa e2i(h0+k0+l0) = fa [cos2(0)+isin2(0)] = fa
讨论点阵消光的时候，只考虑每个 点阵点对应一个原子的最简单情况。 讨论结构消光的时候，考虑到一个 点阵点对应多个原子的情况。
欧拉公式： e+ix = cos(x) +isin(x) e-ix = cos(x) -isin(x).
4
面心点阵
(相同)
cos2n+isin2n = 1
cos(2n+1)+isin(2n+1) =-1
结论：在面心点阵情况下，hkl 为全奇或全偶时，都 能产生衍射。奇偶混合时出现消光。
5
• 底心点阵
– 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为0,0,0 和1/2,1/2,0。 – 在底心点阵中，h + k 为奇数时出现消光。
H 2 K 2 L2
33
f. •
•
34
衍射角为 7.5
35
2. 聚焦法
利用发散度较大的入射 X 射线束，照射试样上较大区域，由多晶体试 样中某一组 (hkl) 晶面族所发生的衍射线束在照相底片上仍然聚焦到一 点 (或一条细线) 的衍射方法，称为聚焦法。该方法比德拜-谢乐法具有 更高的灵敏度。

不对称装片法计算 时，不需要相机半径 数据，可减少误差来源。
材料科学导论-第一章 晶体学基础3

材料科学导论-第一章 晶体学基础3


3、六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样， 其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三 个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以 下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i=- ( h + k )
立方晶系：
d hkl
a h k l
2 2 2
§ 1.6 晶面指数及晶面间距 范例:
m/l
c
a
m/k
b
m/h
画出晶面 （100），（110），（111），（201），（211），（321）
பைடு நூலகம்
c a
（100）
b
画出晶面 （100），（110），（111），（201），（211），（321）
d V [h b c sin k a c sin l a b sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2hkabc (cos cos cos )
2
2kla bc(cos cos cos )
2
2hlab c(cos cos cos )]
2
2 2 2
1
2
1 2
V abc(1 cos cos cos 2cos cos cos )
单斜晶系：d＝sinβ(h2/a2＋k2sin2β/b2＋l2/c2－2hlcosβ/ac)-1/2 正交晶系：d＝[h2/a2＋k2/b2＋l2/c2]-1/2 四方晶系：d＝[(h2＋k2)/a2＋l2/c2]-1/2 六方晶系：d＝[4(h2＋hk＋k2)/3a2＋l2/c2]-1/2
第三章_晶体学基础

第三章_晶体学基础

简单格子 底心格子 体心格子 面心格子
十四种空间格子（布拉菲格子）
综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格 子的基本类型共有十四种。
三斜晶系：三斜简单格子； 单斜晶系：单斜简单格子，单斜底心格子； 斜方晶系：斜方简单格子，斜方底心格子， (正交） 斜方体心格子，斜方面心格子； 四方晶系：四方简单格子，四方体心格子； 三方晶系：三方简单格子(三方菱面体格子)； 六方晶系：六方简单格子； 立方晶系：立方简单格子，立方体心格子， 立方面心格子。
简单P
立方I
立方F
立方晶系：a = b=c
α=β=γ=90°
四方P 四方晶系： a = b≠c
四方I α=β=γ=90°
正交P
正交C 正交晶系：a≠b ≠ c
正交I α=β=γ=90°
正交F
单斜P 单斜晶系：a≠b ≠ c
单斜C α=γ=90° β＞ 90°
六方H
三方R
三斜P
六方晶系： a = b≠c 三方晶系： a = b=c 三斜晶系：a≠b≠c
故确定的步骤为：
● 选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位；
● 平移晶向（棱）直线过原点；
● 在该直线上任取一结点M，将其投影至X、
。
Y、Z轴得截距OX、OY、OZ；
● 作OX/a：OY/b：OZ/c = u：v：w（最小
整数比）；
● 去掉比号，加中括号，[u v w]即为晶
向符号。
某一晶向指数代表一组在
结构基元：组成晶体的离 子、原子或分子。基元内 的原子数等于晶体中原子 的种类数。
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
材料科学基础I 第一章(晶体学基础)

材料科学基础I 第一章(晶体学基础)

立方正方斜方cba???90??????cba??????90???cba??????90???菱方六方单斜三斜cba??????90???cba?????90????120?cba?????????90cba??????90???7大晶系包含14种空间点阵布拉布拉菲abravais点阵3
第一章 晶体学基础
1、晶面指数 、
方法和步骤与三指数时相同， 方法和步骤与三指数时相同， 只是要找出晶面 在四个坐标 轴上的截距。 轴上的截距。 例如： 例如： a3 o a1 a2
(1010) (0110) (1100)
(1010)
2、晶向指数： 、晶向指数：
四坐标晶向指数的确定方法有行走法和解析法。 四坐标晶向指数的确定方法有行走法和解析法。由于行走法 确定的晶向指数不是唯一的，所以这里仅介绍解析法 解析法。 确定的晶向指数不是唯一的，所以这里仅介绍解析法。 步骤： 步骤： 1)求出待定晶向在 1,a2,c三个坐标轴下的指数：U, V, W 求出待定晶向在a 三个坐标轴下的指数： 求出待定晶向在 三个坐标轴下的指数 2)按以下公式算出在四坐标轴下的指数：u, v, t, w 按以下公式算出在四坐标轴下的指数： 按以下公式算出在四坐标轴下的指数
多数金属和非金属材料都是晶体。因此， 多数金属和非金属材料都是晶体。因此，首先 要掌握晶体的特征及其描述方法。 要掌握晶体的特征及其描述方法。 晶体——组成晶体的质点在三维空间作周期性地、 组成晶体的质点在三维空间作周期性地、 晶体 组成晶体的质点在三维空间作周期性地 规则地排列。 规则地排列。 晶体的特点： 晶体的特点： 质点排列具有规则性、 质点排列具有规则性、周期性 有固定熔点（结晶温度） 非晶体没有固定的熔点 非晶体没有固定的熔点] 有固定熔点（结晶温度）[非晶体没有固定的熔点 各向异性（包含多种性能） 各向异性（包含多种性能）
晶体学基础

晶体学基础

晶体学基础一、晶体学的定义和基本概念1.1 晶体学的定义晶体学是研究晶体结构、晶体形态和晶体性质的学科，是物理学、化学和材料科学的重要分支。

它研究的对象是晶体，即具有规则、周期性排列的原子、分子或离子结构的固体物质。

1.2 晶体学的基本概念晶体学有一些基本概念，包括晶体的晶系、晶胞、晶面和晶点等。

1.2.1 晶体的晶系晶体的晶系是指晶体中晶胞的对称性，常见的晶系有立方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、斜方晶系、三斜晶系和三角晶系。

不同的晶系具有不同的对称性和晶胞形状。

1.2.2 晶体的晶胞晶体的晶胞是晶体中具有一定对称性的最小重复单元，它由一组原子、分子或离子构成。

晶胞的形状和大小决定了晶体的外形和晶系。

1.2.3 晶体的晶面晶体的晶面是晶胞的界面，它可以由晶胞的截面所确定。

晶体的晶面具有一定的对称性和形状，不同的晶面反映了晶体内部的原子、分子或离子的排列方式。

1.2.4 晶体的晶点晶体的晶点是晶体中原子、分子或离子的位置，它们通过相对位置的排列而形成晶体的结构。

晶点的排列方式决定了晶体的周期性。

二、晶体学的研究方法2.1 X射线衍射方法X射线衍射是研究晶体结构的重要方法之一。

通过将X射线照射到晶体上，通过对衍射光的观察和分析，可以确定晶体的晶胞参数、原子位置和晶体结构。

2.2 电子显微镜方法电子显微镜是一种利用电子束来观察物体的显微镜。

通过电子显微镜，可以对晶体进行高分辨率的成像，揭示晶体的微观结构和原子排列方式。

2.3 光学显微镜方法光学显微镜是利用光学原理观察物体的显微镜。

通过光学显微镜，可以对晶体的形态、结构和颜色进行观察和分析，从而了解晶体的基本特征。

2.4 计算方法晶体学还利用计算方法对晶体结构进行模拟和计算。

通过计算方法，可以预测晶体的结构、性质和响应等，对晶体学研究起到重要的辅助作用。

三、晶体学的应用领域3.1 材料科学晶体学在材料科学领域有着广泛的应用。

通过研究晶体的结构和性质，可以设计和合成新材料，提高材料的性能和功能。

晶体结构与晶体化学-晶体几何学理论基础3

1.5.1 螺旋旋转
螺旋旋转由两个基本操作——旋转和平移构成。该旋转轴称为螺旋轴。在 点阵中，螺旋轴被限制在旋转轴允许的位置上。为了与点阵相容，平移分 量的量值必须是平行于轴的单位平移的约数。
1.5.2 滑移反映
包含有平移及反映的复合对称操作称为滑移反映。反映面称滑移面，限制 在与镜面相同的位置上。滑移的平移分量必须与在平面中的单位平移t平 行，且其量值为t/2。如果平行于晶胞的棱，称之为轴滑移。如果指向 晶胞的中心或晶胞的任一面的中心，称之为对角线滑移。金刚石型滑移的 值是对角线滑移量的一半，且只限于有心的晶胞。
1.1.2 空间点阵
在图3.1的单位平移中，有两个最短的矢量，如图3.2所示。原点的选择是任意 的，任何图案的平移对称都可从图形的一点开始描述。如将图案抽象成一个点， 通过上述的一套平移对称操作即可得到一套平面上点的集合，称为网格或二维 点阵（图3.3）。在空间三维情况下，称作空间格子或空间点阵，点阵中的每个 点称为结点或点阵点。
3、空间格子（点阵）
晶体结构的基本特征是其中的质点在三维空间作有规律的重复排列；表示这种 晶体结构基本规律性的集合图形，就是空间格子。
二维空间中平移等效点的集合产生了一个“网格”，而在三维空间中其基本平 移矢量终点的集合组成一个空间格子，常称为“晶格”或“点阵”
C：面心 三维情况的晶胞： P：无心（原始的或素的） I：体心 F：面心 A、B、C：底心。即（b,c）、（c,a）及（a,b）上带心或称A面心、B面心、C面心。 R：菱面体按六方定向时的带心情况 三斜晶系中不存在带心点阵。 单斜晶系中，A面心和C面心是相同的（a轴和c轴可以互换）。B面心可以选为P。I、 F点阵也可以选成A及C。因此，在标准定向中，单斜晶系只有P、C两种。 正交晶系中，原始的P、C面心（A及B面心可用换轴的方法选为C），体心I及面心F 都有。 四方晶系，点阵类型只有P及I两种（C可选成P，F可改选成I）。 三方、六方晶系有P及R两种点阵。 立方晶系有P、I、F点阵。

晶体学基础3

晶体学基础31．5．2倒格子的性质倒格子具有以下基本性质：（1）以倒格子基矢b 1,b 2,b 3为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为v *。

()31232*()cv v π=⋅⨯=b b b …………………（1-5-3）（2）倒格矢112233h h h h =++G b b b 和正格子空间中面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交，即G h 沿晶面族的法线方向。

我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面ABC 在123,,a a a 上的截距分别为312123,,a a a h h h ，如图1-18所示，易写出矢量CA 和CB ：31133223h h h h =-=-=-=-a a CA OA OC a a CB OB OC ………………………………………………………（1-5-4）矢量CA 和CB 都在ABC 面上，因此，只要证明00h h ⋅=⎧⎨⋅=⎩G CA G CB ，则就能说明112233h h h h =++G b b b 与面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交。

实际上，利用关系式（1-5-2），有31112233133211223323()()0,()()0.h h h h h h h h h h h h ⋅=++⋅-=⋅=++⋅-=a a G CA b b b a a G CB b b b …………………………………………（1-5-5）（3）晶面族（h 1h 2h 3）的面间距d h 与倒格矢G h 的模成反比，关系为2h hd π=G 。

图1-18中ABC 面就是晶面族（h 1h 2h 3）中距原点最近的晶面，所以这族晶面的面间距d h 就等于原点到面ABC 的距离，而之族晶面的法线方向即为G h 的方向，其面间距为1112233111112233()2h h h hh h h d h h h h h π⋅++=⋅==++G a b b b a G b b b G 。

晶体学基础


0.25A-1 020 120 220
b (110)
010 110 210
(100) b* H110
H 210
(210)
100
c
a
c* 000
a*
200
晶体点阵
倒易点阵
立方晶系晶体及其倒易点阵
第三章 X射线衍射方向
自伦琴发出X射线后，许多物理学家都在积极地研究和探索，1905年 和1909年，巴克拉曾先后发现X射线的偏振现象，但对X射线究竟是一 种电磁波还是微粒辐射，仍不清楚。1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶体时产生衍射现象，证明了X射线的波动性和晶体内部结 构的周期性，发表了《X射线的干涉现象》一文。
cosa0 H cos0 K
衍射线
1' X
1
显然，当X射线照射二 维原子网时，X、Y晶轴 方向上的那些同轴的圆 锥面上的衍射线要能够 加强，只有同时满足劳 厄第一和第二方程，才 能发生衍射。
衍射线只能出现在沿X晶轴方向及Y晶轴方向的两系列 圆锥簇的交线上。如果照相的底片平行于原子网，圆 锥在底片上的迹线为双曲线。每对双曲线的交点即为 衍射斑点，也相当于圆锥的交线在底片上的投影。不 同的H，K值，可得到不同的斑点。
劳厄的文章发表不久，就引起英国布拉格父子的关注，他们都是X射 线微粒论者，年轻的小布拉格经过反复研究，成功地解释了劳厄的实 验事实。他以更简结的方式，清楚地解释了X射线晶体衍射的形成， 并提出著名的布拉格公式：nX=2dsino这一结果不仅证明了小布拉格的 解释的正确性，更重要的是证明了能够用X射线来获取关于晶体结构 的信息。老布拉格则于1913年元月设计出第一台X射线分光计，并利 用这台仪器，发现了特征X射线。小布拉格在用特征X射线与其父亲合 作，成功地测定出了金刚石的晶体结构，并用劳厄法进行了验证。金 刚石结构的测定完美地说明了化学家长期以来认为的碳原子的四个键 按正四面体形状排列的结论。这对尚处于新生阶段的X射线晶体学来 说用于分析晶体结构的有效性，使其开始为物理学家和化学家普遍接 受。

晶体学基础知识点小节知识讲解

第一章晶体与非晶体★相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。

）★空间格子的要素：结点、行列、面网★晶体的基本性质：自限性: 晶体能够自发地生长成规则的几何多面体形态。

均一性:同一晶体的不同部分物理化学性质完全相同。

晶体是绝对均一性，非晶体是统计的、平均近似均一性。

异向性：同一晶体不同方向具有不同的物理性质。

例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。

对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。

最小内能性：晶体与同种物质的非晶体相比，内能最小。

稳定性：晶体比非晶体稳定。

■本章重点总结：本章包括3组重要的基本概念:1) 晶体、格子构造、空间格子、相当点；它们之间的关系。

2) 结点、行列、面网、平行六面体; 结点间距、面网间距与面网密度的关系.3) 晶体的基本性质：自限性、均一性、异向性、对称性、最小内能、稳定性，并解释为什么。

第二章晶体生长简介2.1 晶体形成的方式★液-固结晶过程:⑴溶液结晶: ①降温法②蒸发溶剂法③沉淀反应法⑵熔融结晶: ①熔融提拉②干锅沉降③激光熔铸④区域熔融★固-固结晶过程:①同质多相转变②晶界迁移结晶③固相反应结晶④重结晶⑤脱玻化2.2 晶核的形成●思考：怎么理解在晶核很小时表面能大于体自由能，而当晶核长大后表面能小于体自由能？因为成核过程有一个势垒：能越过这个势垒的就可以进行晶体生长了，否则不行。

★均匀成核：在体系内任何部位成核率是相等的。

★非均匀成核：在体系的某些部位（杂质、容器壁）的成核率高于另一些部位。

●思考：为什么在杂质、容器壁上容易成核？为什么人工合成晶体要放籽晶？2.3 晶体生长★层生长理论模型（科塞尔理论模型）层生长理论的中心思想是：晶体生长过程是晶面层层外推的过程。

★螺旋生长理论模型（BCF理论模型）●思考：这两个模型有什么联系与区别？联系：都是层层外推生长；区别：生长新的一层的成核机理不同。

●思考：有什么现象可证明这两个生长模型？环状构造、砂钟构造、晶面的层状阶梯、螺旋纹2.4 晶面发育规律★★布拉维法则(law of Bravais)：晶体上的实际晶面往往平行于面网密度大的面网。

第3章 晶体学基础 - 晶体结构、晶向、晶面


（3） 晶面指数是截距系数的倒数，因此，截距系数越大， 则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距 系数为∞，对应的指数为1/∞＝0.
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（100）与 ［100］有何关系？
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（4)立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和 晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。如： [111] ⊥（111）、[110] ⊥（110）、[100] ⊥（100）。 该规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直， 则(hkl)与[hkl]不垂直。
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1.动画--晶面指数的确定方法
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2.晶面指数特点与规律：
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（1)与原点位置无关；每一晶面符号对应一组相互平行的晶面。 晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的 晶面，而不是某一晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为 对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（110）互 相平行。
（3）如果是非立方晶系，改变晶向指数的顺序所表 示的晶向可能不等同。如正交晶系[100]、[010]、 [001] 19
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<U V W>晶向族：等价晶向 e.g., <100>=[100]+[010]+[001] +[100]+[010]+[001] (立方晶体)
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3.3.2 晶面指数的标定
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立方晶系： {111}=?
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Total:? 立方晶系：
{112} (112) ( 1 12) (1 1 2) (112) (121) ( 1 21) (121) (12 1 ) (211) ( 211) (2 1 1) (21 1 )
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η=nv/V
n：晶胞原子数 v：每个原子所占的体积 V：晶胞的体积
一个晶胞内的原子数n
• 这可从晶胞图中直观看出。但要注意，位于晶胞顶点的原子 是相邻的8个晶胞共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/8。 位于晶胞的棱上原子是相邻的4个晶胞共有的，故属于一个 晶胞的原子数是1/4。位于晶胞外表面上的原子是两个晶胞 共有的，故属于一个晶胞的原子数是1/2。
• 填在四面体间隙的最大间隙原子是和4个顶 点的原子同时相切，故二者半径之和为：
密排六方间隙
八面体间隙
• hcp 晶体的八面体间隙如图所示。其形状与fcc 晶胞的八面体间隙完全相似，而间隙的位置不同 。从图看出，在一个hcp 晶胞内有6个八面体间隙 ，故八面体间隙数与原子数之比为6∶6 = 1∶1。
和
D2 是晶体学上的等
价方向，但其晶向指 数却分别是[100]和 [110]。
• 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法 由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的 各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带 来很大的不便。为了克服这一缺点，或者 说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具 有类似的指数，对六方晶体来说，就得放 弃三指数表示，而采用四指数表示。
共3个等价面(Ⅱ型棱柱面)。 •而{0001}只包括(0001) 一个晶面，称为基面。六 方晶体中比较重要的晶面 族还有 ，请读者写 出其全部等价面。
四指数表示晶向指数
• 用四个轴分量来表示一个空间矢量的方法有无穷多种，现在 行走法的方法的困难来自共面的三个轴。 • 看OA矢量，两轴的唯一表示是[-2,-1]。但三轴则有无限多种 • [-1,0,1]，[0,1,2]，[-2,-1,0]，[1,2,3]等。 • 看OB矢量，两轴的唯 • 一表示是[-4,-3]，但三 • 轴则有[-1,0,3]，[-4,-3,0] • 一定要附加一个约束 • 条件，才能是指数唯 • 一。因 • a1 + a2 + a3 = 0 • 所以约束条件是： • u+ v + t = 0 • 这样，正确的指数是 • OA是 [1 0－1] ， • OB是[－5－2 7]
• 4)fcc 和 hcp 中的八面体间隙远大于 bcc 中的八面体或 四面体间隙，因而间隙原子在 fcc 和 hcp 中的溶解度往 往比在 bcc 中大得多。 • (5) fcc 和 hcp 晶体中的八面体间隙大小彼此相等，四 面体间隙大小也相等，其原因在于这两种晶体的原子堆垛 方式非常相像。
• 在原子半径相同的条件下，hcp 晶体的八面体间隙大小与fcc 晶胞的八面体间隙大小相同。
四面体间隙
• hcp 晶体的四面体间隙位置如图所示。其形状与 fcc 晶胞的四 面体间隙完全相似，而间隙的位置不同，位于c 轴上有两个四面 体间隙。由于平行于c 轴的6条棱上的原子排列情况是和 c 轴完 全相同的，故在每条棱上与c 轴上间隙对应的位置也有两个四面 体间隙。
面心立方致密度
原子直径是a/2<110>的长度，即 面心立方结构的晶胞体积为a3，晶 胞内含4个原子，所以它的致密度η 为
a 2
体心立方
配位数
CN＝8
体心立方致密度
• 原子直径是a/2<111>的 长，即 面心立 方结构的晶胞体积为a3 ，晶胞内含2个原子，所 以它的致密度η为
密排六方
配位数 •• • • • • •• • •• • • • ••
2
体心立方四面体间隙
bcc 晶体的四面体间隙如图所示，它是位于由两个相邻晶胞的体心 原子以及它们的公共棱上的两个原子所构成的四面体的中间，图 中的红色三角形表示间隙的中心位置。显然，每个表面（{100}面） 上都有 4 个和中心点等同的点，故一个晶胞中的四面体间隙数为 6×4×1/2 （个），四面体间隙数与原子数之比为12∶2 = 6∶1。
• 四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2， a3 和 c 轴，如图所示，其中，a1，a2 和 c 轴就是原胞的 a，b 和c 轴，而 a3 = -(a1+a2)。下面就分别讨论用四指 数表示的晶面及晶向指数。
四指数表示晶面指数
• 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，步 骤如下： • （1）先找出该面在四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵 常数 a,c 为单位长）； （2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指数这样得到的 晶面指数称为 Miller-Bravais 指数。 从图所示的4个轴的几何关系 不难看出，只要晶面在a1和a2 轴上的截距一定，它在a3上的 截距也就随之而定。可见， h,k和i三个指数不是独立的。 事实上，可以证明
3
面心立方间隙
八面体间隙
fcc 晶胞的八面体间隙位于6个面心
原子组成的正八面体中间，间隙的
中心就是晶胞的体心位置，如图所 示。由于 fcc 晶胞的每条棱的中点
和晶胞体心是等同的位置，故它们
都是八面体间隙的中心。显然一个 晶胞中八面体间隙的数量为 12× ¼+1=4 （个），故八面体间隙数与原子数 之比为1∶1。
•• •• • •• • • • • • •• •• • ••
•
• •
• •
• • •• CN＝12
• • ••
密排六方致密度
c 2 2 3 a ( ) a 2 3 2
2 2
c 8 1.633 a 3 4 a 12 3 2 0.74 1 3 2 8 6 a a 2 2 3
i＝－（h＋k）。
• 六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图 。从图看出，采用四指数后，同族晶面（即晶体学上等价 的晶面）就具有类似的指数。例如：
1010 1010 1100 0110
• 共3个等价面(Ⅰ型棱柱面)。
1120 1120 1210 2110
• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，
即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。这一点可以从 图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿面）是晶体学上
等价的晶面，但其密勒指数（Miller Indices）却分别是
(100)。 •图中夹角为 60°的 两个密排方向 D1 和
• 相邻的原子相互接触，原子中心就是八面体的各个角顶。
根据几何学关系可以求出间隙能够容纳的最大圆球半径。 假设原子半径为 r，间隙中能容纳的最大圆球半径为 rx ，
则可以算出八面体间隙相对大小rx / r。
四面体间隙
fcc 晶胞的四面体间隙位于 4 个 原子组成的正四面体的中间，如 图 所示。如果用(200)，(020)和
单质晶它是每个原子的最近邻数目，晶体中最大的配位数为12 ，但在一些非单质的晶体中CN可以大于12 。因为金属结构一 般有高的对称性，单质金属的CN没有11、10、9等数值 。 CN 顺序分别为12、8、6、4、2、1。金属结构大部分是密堆的，它 们的CN大多是12或8。
致密度
• 致密度又称堆垛密度或空间填充的效率η，它表示原子排 列的密集程度。它定义为晶体结构中单位体积中原子所占 的体积。假如把金属晶体中的原子看成是有一定直径的刚 球，则紧密系数可以用刚球所占空间的体积百分数来表示 。若以一个晶胞来计算，致密度就等于晶胞中原子所占体 积与晶胞体积之比，即： • 致密度 ＝晶胞中原子所占体积之和/晶胞的体积。
0.127nm，按上式求得γ-Fe的四面体和八面体间隙的球半径
分别为0.028nm和0.052nm。由于碳原子半径为0.077nm，氮 原子半径为0.070nm，虽稍大于 -Fe的八面体间隙的球半径， 但只要将铁原子稍微挤开使间隙扩大一点，碳、氮原子即可 进入八面体间隙之中，因此，γ-Fe中能溶入碳、氮原子形成 间隙固溶体。
(002)三个平面将 fcc 晶胞分为8
个相同的小立方体，则每个小立 方体的中心就是四面体间隙的中
心，显然一个晶胞内有 8 个四面
体间隙，故四面体间隙数与原子 数之比为 2∶1。
• 根据图可算出四面体间隙相对于点阵原子 的大小：rx/r:
OD = (3/4)例进行分析：γ-Fe的原子半径为
此外，以晶胞中部三个原子中的每一个为顶点
，以其上方（顶层）和下方（底层）的三个原
子构成的三角形为底，分别可作一四面体，其 中心就是四面体间隙的中心。这样，一个六方 晶胞内的四面体间隙总数应是 c 轴上的间隙数 、6 条平行于 c 轴的棱上的间隙数以及通过晶 胞中部的三个原子而平行于c 轴的三条竖直线 上的间隙数之和。其值为2＋6×2×1/3＋2×3
四轴坐标系中，晶向指数的 确定，首先要求出三轴坐标 系的晶向指数[U V W]，然 后利用上述关系，换算成四 轴坐标系中的晶向指数 [u v t w]。
常见晶体结构
一、常见晶体结构在金属晶体中，金属键使原子的排列趋于尽 可能地紧密，构成高度对称性的简单的晶体结构。最常见的金 属晶体结构有以下三类。 面心立方:Al，γ-Fe，Ni，贵金属以及奥氏体不锈钢等。 体心立方：碱金属、难熔金属（V，Nb，Ta，Cr，Mo，W） 、α-Fe 等等。 密排六方 ：α-Be， α-Ti， α-Zr等
4
2
6
间
隙
• 从晶体原子排列的刚球模型可以看到，在原子球与原子球 之间存在着不同形貌的间隙。主要有两类间隙即：四面体 间隙和八面体间隙。 • 晶体结构中间隙的数量、位置和每个间隙的大小等也是晶 体的一个重要特征，对于了解金属的性能、合金相结构、 扩散、相变等问题很有用处。
面心立方
配位数
CN＝12
八面体间隙
体心立方
bcc 晶体的八面体间隙如图所示，其位置和形状不同于 fcc 晶胞的八面 体间隙。间隙的中心位于晶胞的面心和晶胞棱的中点（对 bcc 晶体，这
些都是等同点），一个晶胞中八面体间隙的数量是6（个），故八面体间 隙数与原子数之比为6∶2 = 3∶1。