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山西师范大学本科毕业论文δ函数的物理性质分析姓名陈晓林院系物理与信息工程学院专业物理学班级0901学号0952010142指导教师杨虎答辩日期成绩δ函数的物理性质分析内容摘要研究δ函数在物理学中的作用是应用用数学方式处理问题的一个典型。
这个函数作为奇函数之中的一种，其所特有的优越性也在解决物理方面问题的同时显示了出来。
这篇文章在介绍δ函数的定义及其性质的同时，同样也分析了δ函数的物理意义，而且主要分析了δ函数在物理学中的作用。
并且也举例δ函数在物理的各个学科中的不同的应用，从而对δ函数有了特别全面的了解，同时能够对用数学的方法处理物理问题时有更高层次的理解和认识。
【关键词】δ函数安培环路定理δ势阱Analysis of physical properties of Dirac functionAbstractDelta function is a typical example solving physical problems by mathematical method. As a singular function, in solving physics problems it demonstrated unique advantages. This paper introduces the definition and properties of Delta function, based on analyzed the physical meaning of Delta function, focusing on the Delta function in the application of physical. It cited the application of different physical disciplines, and thus Delta function has a more comprehensive understanding to the mathematical treatment of physical problems have a higher level of understanding and awareness.【key words】: δfunction Ampere’s cycle law δPotential well目录引言 (1)一、δ函数的定义（definition of Delta Function）.. （1）1.1类似于初等函数形式的定义 (1)1.2普通函数序列极限形式的定义式 (2)1.3广义函数形式的定义 (3)1.4comb(x)—梳状函数 (4)二、δ函数的物理性质及其解释 (4)2.1δ函数的筛选性 (4)2.2δ函数的积分性 (5)2.3δ函数坐标的缩放性 (5)2.4δ函数的乘积性质 (6)2.5δ函数的傅里叶变换 (8)三、δ函数在物理学中的应用 (8)3.1δ函数在电磁学中两大定理证明中的应用 (8)3.2δ函数在力学中的应用 (11)3.3δ函数在光学中的应用 (11)3.4δ势在势阱中的穿透作用 (12)参考文献 (14)致谢 (15)δ函数的物理性质分析学生姓名：陈晓林指导教师：杨虎引言δ函数作为一个为了描述一些宽度极为窄小，而幅度趋于无穷大的物理量而被引入到物理中[1]，例如：质点、点电荷、点光源或者其他一些高度集中的物理量，所以δ函数又叫做脉冲函数。
第一章 序论一、内容提要本章主要讲述了数字信号的定义、特点和处理方法，并且简要地回顾了我们后面所涉及的一些常用的模拟信号知识。
1．数字信号定义、特点和方法信号可定义为传递信息的函数，或者信息的物理表现形式。
各种信号在数学上可表示为一个或者几个独立变量的函数。
如果我们以信号的时间为独立变量，则时间变量既可以是连续的，也可以是离散的，从而信号可以分为模拟信号（或称为连续时间信号）和离散信号（或称为离散时间信号）。
模拟信号除了是时间的连续函数外，它在一定的时刻都有理论上无限精确的数值（幅值），且此值在一定的范围内随时间连续变化，即模拟信号表现为时间连续，幅度连续。
而离散信号定义在离散时间上的信号，只在特定的时间上有精确的数值，在其他时间上数值为零或未知。
若离散信号的幅值是连续的，则取样数据信号；若将离散信号的幅度也进行离散化处理（量化），然后将离散幅度值编码为二进制数码序列，则为数字信号，其特点是时间和幅度都是离散的。
所以说数字信号是离散信号的特例，是离散信号最重要的子集。
数字信号处理是研究如何用数字或符号序列来表示信号以及如何对这些序列进行处理的一门学科。
信号处理是对信号进行某种变换（处理），包括滤波、变换、分析、估计、检测、压缩、识别等，从而更容易获得人们所需要的信息。
信号处理系统按所处理信号的种类分为：模拟系统、时域离散系统、数字系统。
与模拟信号处理相比，数字信号处理具有精度高、可靠性高、灵活性强、便于大规模集成化、易于加密、易于处理低频信号等显著特点。
数字信号处理实际上就是进行各种数学函数运算，许多数字信号处理算法都是在时域和频域两个域中进行，实现的方法有软件、硬件和软硬结合。
2．傅立叶变换的定义傅立叶变换的表达式为：()()1()()2j t j t H h t e dth t H e d π∞-Ω-∞∞Ω-∞Ω==ΩΩ⎰⎰傅立叶变换是信号处理中最重要的工具之一，它主要用于分析信号的频谱。
辅助函数 delta函数
δ函数，也称为狄拉克δ函数，是数学中的一种特殊函数。
它在物理学、工程学和数学分析中都有重要的应用。
δ函数的定义和性质使它成为处理信号、线性系统和微分方程等领域中的有用工具。
在数学上，δ函数通常被定义为满足以下性质的广义函数：
1. δ函数在实数轴上的积分为1，即∫δ(x)dx = 1。
2. δ函数在原点以外的任何点x处都等于0，即δ(x) = 0 (x ≠ 0)。
3. 在积分的意义下，δ函数的性质可以被表示为，
∫f(x)δ(x)dx = f(0)，其中f(x)是一个连续函数，且积分区间包含原点。
在物理学中，δ函数经常用于描述质点的位置、电荷分布和线性系统的冲激响应。
在信号处理中，δ函数可以用来表示单位冲激信号，它在系统分析和频域处理中起着重要作用。
在微分方程中，
δ函数可以用来表示微分方程的初值条件或者外部激励。
需要注意的是，δ函数并不是一个严格意义上的函数，而是一个广义函数或者分布。
它的定义和性质需要通过广义函数理论来进行严格的描述和推导。
总之，δ函数在数学、物理学和工程学中都具有重要的地位，它的特殊性质使得它成为处理信号、系统和微分方程等问题时不可或缺的工具。
希望这个回答能够从多个角度全面地解释δ函数的性质和应用。
信息光学
大纲号：1135501学分：3 学时：64 执笔人：沈中华审订人：李振华
课程性质：学科选修课
一、课程的地位与作用
信息光学是近40年来发展起来的，以全息术、光学传递函数和激光为基础的，从传统的、经典的波动光学中脱颖而出的一门新兴学科。
信息光学是应用光学、计算机和信息科学相结合而发展起来的一门新的光学学科，是信息科学的一个重要组成部分，也是现代光学的核心。
该课程的设置为应用物理专业学生掌握现代光学的这一重要分支－信息光学的基础理论知识，进一步学习光学信息处理技术打下基础。
二、课程的教学目标与基本要求
1. 教学目标
通过本课程的课堂教学，辅导答疑，批改作业等教学环节的实施，使学生理解信息光学中的基本概念、原理，重点理解和掌握标量衍射理论、光学成像系统的传递函数、全息基础理论和空间滤波，并了解信息光学各主要前沿领域的发展。
2. 基本要求
本课程大纲内容要求在48学时内实施完成，应在第5学期开始实施。
要求学生认真听课并独立完成一定的作业，参加期终考试。
通过本课程的学习，应掌握信息光学的基础理论知识，了解信息光学各主要前沿领域的发展。
δ函数一、δ函数的概念1．δ函数概念的物理模型在物理学中，常常要研究某一物理量在空间或随时间的分布密度。
例如质量密度（简称密度），电荷密度，每单位时间传递的动量（即力）等等。
但是，物理学中又常常运用质点，点电荷，瞬时力等抽象模型，它们不是连续布于空间或时间中，而是集中在空间的某一点或时间的某一瞬时，这时它们的密度又如何描写呢？下面以质点的线密度分布为例来引入δ函数的概念。
设 有质量为ｍ均匀分布在长为L 的线段〔－L ∕2，L ∕2〕上，则其线密度为()x l ρ可以表示为()⎩⎨⎧≤>=220l x lm l x x l ρ，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛=l x rect l m x l ρ ①将()x l ρ对x 积分，则得到总质量()⎰⎰-∞+∞-==22l l l mdx l mdx x ρ如果让上述线段的长度0→l ，我们将得到位于坐标原点，质量为m 的质点，而线密度函数就成为质点的线密度函数，将它记为()x l ρ，则()()m ．dx x dx x l l ==⎰⎰∞∞-∞∞-→ρρ0lim若不求积分而先的极限，则有()()⎩⎨⎧=∞≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→000limlim 0x x l x rect l m x x l l l ρρ ②由此可见质点的线密度分布函数的直观图象，它在x=0处为∞，在x ≠0处为零，它的积分为m 。
在物理学中，对于质点，点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的某一瞬的抽象模型，引入了δ函数以便描述它们的密度。
2．δ函数的定义δ函数定义为()⎩⎨⎧=∞≠=000x x x δ()()()⎩⎨⎧<<><=⎰b a b a b a dx x ba01000、或、δ 显然这样的函数未免有悖常规。
其后，数学上引入了广义函数的概念，在严密的基础上证明了δ函数的一些重要性质。
按照广义函数理论，δ函数的确切定义应在积分运算下来理解。
这一点务必清楚地理解。
辅助函数delta函数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：δ函数（delta function）是一种特殊的数学函数，其定义是在自变量为0处取无穷大值，而其他地方取值为0。
这种函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，在处理信号处理、微分方程、概率论等方面起到重要的作用。
δ函数最早由德国物理学家泡利（Pauli）在20世纪20年代引入，并由英国数学家施瓦茨（Schwartz）在20世纪50年代进行完善和推广。
δ函数的定义形式如下：\delta(x) = \left\{\begin{aligned}& +\infty, && x=0 \\& 0, && x \neq 0\end{aligned}\right.上面的定义只是一种形式上的定义，并不是数学上严格的定义。
在数学上，可以通过一系列趋近于δ函数的函数序列来严格定义δ函数。
可以取一个由函数序列{f_n(x)}构成的函数族，使得当n \rightarrow\infty时，f_n(x)逐渐趋近于δ(x)。
δ函数虽然在自变量为0时取值无穷大，但其积分却是有限的，即\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx = 1。
δ函数是一种质量集中在x=0处的分布函数，可以表示某种单位质量或概率质量。
在物理学和工程学中，δ函数被用来描述冲击、脉冲等瞬时现象，比如在电路中描述瞬间输入的电流或电压信号。
在信号处理中，δ函数也被广泛应用。
卷积运算是一种信号处理中常见的操作，而δ函数在卷积运算中起着重要的作用。
在微分方程求解中，δ函数常常作为绿函数（Green's function）的一部分，用来表示特定的微分方程解。
在泛函分析中，δ函数是一种广义函数（generalized function）的代表，用来描述一些奇异函数、分布函数等。
除了以上的应用之外，δ函数还在概率论和统计学中有着重要的作用。
狄拉克梳状函数（图）
上一回说到，单位冲激函数有诸多妙用。
在数字信息技术时代，由单位冲激函数派生出的狄拉克梳状函数用途更广。
本文专门介绍如下：
狄拉克梳状函数的定义式为
（1）其时域波形是周期为T的单位冲激串，所以也称为理想抽样函数，如下图所示：
图1 狄拉克梳状函数的时域波形
我们当然可以按周期函数的傅立叶级数方法求其频谱。
其傅立叶系数为
（2）所以其傅立叶级数展开式为
（3）可见其频率成分只分布在ω＝nω1 （n=0，±1，±2，…）的离散频点，各频率分量幅度值均为1/T 。
其双边频谱图如下：
图2 狄拉克梳状函数的傅立叶系数
其频谱为离散频谱，谱线高度为1/T，频率间隔为ω1＝2π/T 。
其实引进了冲激函数的概念之后，对一般周期函数也可以求其傅里叶变换为
（4）其中C n为周期函数的傅立叶系数。
所以根据式（4）和（2），可以用傅里叶变换直接对狄拉克梳状函数式（1）求其频谱函数
（5）其频谱图如下：
图3 狄拉克梳状函数的傅里叶变换
可见狄拉克梳状函数的傅里叶变换仍然是频域的狄拉克梳状函数，频谱冲激串的周期是基频ω1 ，并且冲激强度也均为ω1 。
用狄拉克梳状函数表示离散信号和离散频谱，将给信号分析和处理带来极大的方便。
详情且听下回分解。
