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数学期望⽬录数学期望定义离散型随机变量ξ有分布列x1x2⋯x k⋯p1p2⋯p k⋯如果级数 ∑k x k p k绝对收敛，则记Eξ=∑k x k p k称为ξ的数学期望.定义连续型随机变量ξ有密度函数p(x) ，若∫+∞−∞|x|p(x)dx<∞ ，则称Eξ=∫+∞−∞xp(x)dx为ξ的数学期望.定义随机变量ξ有分布函数F(x) ，若∫+∞−∞|x|dF(x)<∞ ，则称Eξ=∫+∞−∞xdF(x)为ξ的数学期望.设ξ为随机变量，η=f(ξ) ，则Eη=∫+∞−∞f(y)dFξ(y)当ξ连续时有密度函数p(x) ，则Eη=∫+∞−∞f(y)p(y)dy随机变量ξ,η独⽴同分布当且仅当对任意有界连续函数f有Ef(ξ)=Ef(η) .条件期望定义设ξ=x时，η的条件分布函数为Fη|ξ(y|x) ，则条件期望为E(η|ξ=x)=∫+∞−∞ydFη|ξ(y|x)若有条件分布列pη|ξ(y j|x) ，则E(η|ξ=x)=∑j y j pη|ξ(y j|x)若有条件密度函数pη|ξ(y|x) ，则E(η|ξ=x)=∫+∞−∞ypη|ξ(y|x)dy显然，若ξ,η相互独⽴，则E(η|ξ=x)=Eη .定理条件期望E(η|ξ=x) 可看作是x的函数，记为m(x) ，则m(ξ) 是随机变量，称m(ξ) 为已知ξ时η的条件期望，记为E(η|ξ) ，从⽽条件期望的数学期望有E[E(η|ξ)]=EηProof.利⽤期望定义m(x)=E(η|ξ=x)=∫+∞−∞ypη|ξ(y|x)dy=∫+∞−∞y p(x,y) pξ(x)dy则有E[E(η|ξ)]=E(m(ξ))=∫+∞−∞m(x)pξ(x)dx代⼊即证；直观上，E(η|ξ) 为在给定的ξ下的η的期望，它是ξ的函数，再求期望时，实际上是对所有的ξ求η的期望.全期望公式当ξ为离散型随机变量，记p i=P(ξ=x i) ，则Eη=∑i p i E(η|ξ=x i)[] Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js它是上⾯等式的直接推导.性质加法性质：Eξ1,⋯,Eξn存在，则∀c1,⋯,c n及b，有En∑i=1c iξi+b=n∑i=1c i Eξi+b乘法性质：若ξ1,⋯,ξn相互独⽴，Eξ1,⋯,Eξn存在，则E(ξ1⋯ξn)=Eξ1⋯Eξn有界收敛定理：设∀ω∈Ω有lim，且\forall n\ge 1,\ |\xi_n|\le M，则\lim_{n\to\infty}E\xi_n = E\xiE(h(\xi)\eta|\xi) = h(\xi)E(\eta|\xi) .柯西-施⽡茨不等式：|E(XY|Z)|\le \sqrt{E(X^2|Z)}\cdot \sqrt{E(Y^2|Z)} .⽅差定义称\xi-E\xi为\xi关于均值E\xi的离差，若E(\xi-E\xi)^2存在有限，则称其为\xi的⽅差，记作Var\xi或D\xiVar\xi = E(\xi-E\xi)^2 = E\xi^2 - (E\xi)^2为了统⼀量纲，有时使⽤标准差\sqrt{Var\xi} .切⽐雪夫不等式若⽅差存在，则\forall \epsilon>0，有P(|\xi-E\xi|\ge\epsilon)\le\dfrac{Var\xi}{\epsilon^2}Proof.⾮常巧妙的放缩法\begin{aligned} P(|\xi-E\xi|\ge\epsilon) &= \int_{|x-E\xi|\ge\epsilon}dF(x)\\ &\le \int_{|x-E\xi|\ge\epsilon}\dfrac{(x-E\xi)^2}{\epsilon^2}dF(x)\\ &\le \int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{(x-E\xi)^2}{\epsilon^2}dF(x)\\ &= \dfrac{1}{\epsilon^2}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E\xi)^2dF(x)\\ &= \dfrac{Var\xi}{\epsilon^2} \end{aligned}切⽐雪夫不等式说明\xi离均值E\xi的距离，被⽅差所控制，即\xi落在(E\xi-\epsilon,E\xi+\epsilon)的概率⼤于1-\frac{Var\xi}{\epsilon^2} .性质Var\xi = 0 \Leftrightarrow P(\xi=c)=1；切⽐雪夫不等式的直接推论.Var(c\xi+b) = c^2Var\xi .Var\xi \le E(\xi-c)^2 .加法性质：Var\left(\sum_{i=1}^n\xi_i\right) = \sum_{i=1}^nVar\xi_i + 2 \sum_{1\le i<j\le n} Cov(\xi_i,\xi_j)若\xi_1,\cdots,\xi_n两两独⽴，则Var\left(\sum_{i=1}^n\xi_i\right) = \sum_{i=1}^nVar\xi_i此时Cov(\xi_i,\xi_j) = 0 .协⽅差定义设\xi_i,\xi_j有联合分布F_{ij}(x,y)，若E|(\xi_i-E\xi_i)(\xi_j-E\xi_j)|<\infty，称E(\xi_i-E\xi_i)(\xi_j-E\xi_j) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E\xi_i)(y-E\xi_j)dF_{ij}(x,y)为\xi_i,\xi_j的协⽅差，记作Cov(\xi_i,\xi_j) .性质Cov(\xi,\eta) = Cov(\eta,\xi) = E\xi\eta-E\xi E\eta\begin{aligned} E(\xi-E\xi)(\eta-E\eta) &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E\xi)(y-E\eta)dF(x,y)\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(xy-xE\eta-yE\xi+E\xi E\eta)dF(x,y)\\ &= E\xi\eta - 2E\xi E\eta + E\xi E\eta = E\xi\eta - E\xi E\eta \end{aligned}加法性质：Cov\left(\sum_{i=1}^n\xi_i,\eta\right) = \sum_{i=1}^nCov(\xi_i,\eta)Cov(a\xi+c,b\xi+d) = abCov(\xi,\eta) .Cov(\xi,\eta) \le \sqrt{Var\xi}\sqrt{Var\eta} .Cov(a\xi+b\eta,c\xi+d\eta) = acCov(\xi,\xi) + (ad+bc)Cov(\xi,\eta) + bdCov(\eta,\eta) .协⽅差矩阵协⽅差矩阵的元素是随机向量各分量两两之间的协⽅差B = E(\xi-E\xi)(\xi-E\xi)^T = \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}\\ \end{matrix} \right),\quad b_{ij} = Cov(\xi_i,\xi_j)容易看出B对称半正定.若有变换\eta = C\xi，则有EC(\xi-E\xi)(C(\xi-E\xi))^T = CBC^T为\eta的协⽅差矩阵.⼆维随机向量的协⽅差矩阵C = \left( \begin{matrix} Var\xi & E\xi\eta - E\xi E\eta\\ E\xi\eta - E\xi E\eta & Var\eta \end{matrix} \right)相关系数的计算r_{\xi,\eta} = \dfrac{Cov(\xi,\eta)}{\sqrt{Var\xi Var\eta}}相关系数为0则不相关.相关系数定义令\xi^* = (\xi-E\xi)/\sqrt{Var\xi},\ \eta^* = (\eta-E\eta)/\sqrt{Var\eta}，称r_{\xi\eta} = Cov(\xi^*,\eta^*) = E\xi^*E\eta^*为\xi,\eta的相关系数.柯西-施⽡茨不等式()任意随机变量\xi,\eta有|E\xi\eta|^2\le E\xi^2E\eta^2等式成⽴当且仅当\exists t_0,\ \mathrm{s.t.}\ P(\eta=t_0\xi) = 1 .Proof.考虑u(t) = E(\eta-t\xi)^2 = t^2E\xi^2-2tE\xi\eta+E\eta^2\ge 0，分析判别式即可.性质|r_{\xi\eta}| \le 1，并且当|r_{\xi\eta}| = 1，称\xi,\eta以概率1线性相关；若|r_{\xi\eta}| = 0，称\xi,\eta不相关.若⽅差有限，则有等价条件Cov(\xi,\eta) = 0\xi,\eta不相关E\xi\eta = E\xi E\etaVar(\xi+\eta) = Var\xi + Var\eta若\xi,\eta独⽴，且它们⽅差有限，则\xi,\eta不相关.对⼆元正态随机向量，两个分量不相关与独⽴等价.矩⽅差、协⽅差本质上都是对随机变量分布分离程度的度量，可以⽤矩的概念进⾏推⼴.原点矩：m_k=E\xi^k，称为k阶原点矩中⼼距：c_k = E(\xi-E\xi)^k，称为k阶中⼼矩绝对矩：M_{\alpha} = E|\xi|^{\alpha},\ \alpha\in\mathbb{R}，称为\alpha阶绝对矩。
数学期望计算
解析：
在概率论和统计学中，数学期望（简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
数学期望计算公式：
1.离散型
2.连续型：
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律表明，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
数学期望性质数学期望性质_________________________数学期望，也称为期望值，是统计学中一种基本概念。
它用来反映一系列随机变量的可能取值的可能性，并用来衡量它们的结果，也就是说，它指的是一个离散或连续随机变量的预期平均值。
数学期望是一个重要的概念，它在很多领域都有用武之地，例如经济学、金融学、保险学、管理学、社会学、心理学和数理统计学等。
它也可以用于预测和分析复杂的模式，例如蒙特卡洛方法、随机行为、决策理论和数学经济学。
一般来说，数学期望是一种性质，它可以用于度量随机变量的表现，以及评估不同事件发生的可能性。
其中，根据不同的概念，数学期望的定义也有所不同，但其基本性质是一致的。
数学期望性质是指一个随机变量取值的平均值，这个平均值取决于每个可能的取值所对应的概率。
数学期望也可以定义为求和项中每个条件概率乘以它们对应的取值之和。
这就意味着，如果一个随机变量x的数学期望为E(x)，那么E(x)就是x的每一个取值的概率加权平均值。
数学期望也具有加法性质，即如果两个随机变量x和y都具有数学期望E(x)和E(y)，则E(x+y)=E(x)+E(y)。
这就意味着，对于任意两个随机变量，它们的数学期望之和就是它们各自的数学期望之和。
此外，数学期望也具有乘法性质，即如果一个随机变量x具有数学期望E(x)，则E(cx)=cE(x)，其中c是一个常数。
这意味着，当我们将一个随机变量乘以一个常数时，它的数学期望也会随之变化。
此外，数学期望还具有其他特性，例如对数特性、平方根特性、多元特性等。
其中，对数特性表明如果一个随机变量x具有数学期望E(x)，则E(log x)=log E(x)；平方根特性表明如果一个随机变量x具有数学期望E(x)，则E(sqrt x)=sqrt E(x)；多元特性表明如果一个随机变量x具有数学期望E(x)，则E(f(x))=f(E(x))。
通过对数学期望性质的认识，我们就能够更好地理解随机变量的表现。
数学期望值的概念和意义数学期望值是概率论中的一个重要概念，它是每个可能结果的概率与其对应的值的乘积的总和。
数学期望值可以用来描述一个随机变量所具有的平均水平，它反映了随机变量的中心位置。
在统计学和概率论中，数学期望值有着重要的意义和应用。
首先，数学期望值可以用来描述一个随机事件的平均结果。
在离散型随机变量的情况下，数学期望值是每个可能取值乘以其概率的总和。
例如，掷骰子的随机变量X的取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6，那么X的数学期望值为(1×1/6)+(2×1/6)+(3×1/6)+(4×1/6)+(5×1/6)+(6×1/6)=3.5。
这表示在长期实验中，掷骰子的平均结果将接近于3.5，即我们可以预期掷出的点数在平均意义下接近于3.5。
其次，数学期望值还是一个随机变量的重要性质之一。
在随机变量的分布中，数学期望值属于一个固定的值，它是随机变量所在分布的特征之一。
通过计算随机变量的数学期望值，我们可以获得关于随机变量的重要信息，比如该随机变量的平均值、期望值等。
例如，对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，那么X的数学期望值可以通过积分计算得到，即E(X)=∫xf(x)dx。
数学期望值能够提供关于随机变量的重要特征，帮助我们更好地理解和分析随机变量。
此外，数学期望值还可以用来评估不同概率分布下的随机变量性质。
对于给定的随机变量X，其数学期望值与方差密切相关。
方差是随机变量与其期望之间的离散程度的度量，方差越大表示随机变量的值离期望值越远。
因此，数学期望值可以通过方差来衡量随机变量的离散程度。
如果随机变量的方差较大，那么数学期望值可能不能很好地反映其平均水平。
通过比较不同概率分布下随机变量的数学期望值和方差，我们可以评估其分布特征的不同，选择适合的概率分布模型来描述随机变量的性质。
此外，数学期望值还在实际问题中具有广泛的应用。
数学期望的计算性质
数学期望的计算性质：
1、设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）。
2、设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）。
3、设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。
4、设C为常数，则E（C）=C。
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律表明，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
全数学期望公式
数学期望是概率论中重要的概念，它可以用来衡量随机变量的平均值及概率分布关于平均值的方差。
全数学期望（有时也被称为绝对数学期望）是求解数学期望的一种方法，它用来定量研究随机变量X 的数学期望值E(X)。
定义：设X有p（x）的概率分布，其期望值定义为：
E(X)=∑xp（x）
其中x是X的取值，p（x）是x的概率。
它的统计意义是表征随机变量的平均值的概率分布，其期望值可以表示随机变量的期望值。
计算全数学期望的方法有两种：
一种是积分法，即：
E(X)=∫xf(x)dx
其中f（x）是概率密度函数。
另一种是求和法，即：
E(X)=∑xp（x）
其中x是X的可能取值，p（x）是x取值的概率分布。
全数学期望的实际应用
全数学期望在经济、财务和金融等领域有重要的应用。
在财务学中，投资者根据投资目标和投资风险特征，确定一个可以获得期望收益的投资组合，首先要计算投资组合的期望收益，即投资组合的数学期望。
在基金管理中，全数学期望也有重要作用，它可以用来衡量基金组合的期望收益，同时可以分析基金组合中各种资产的投资比重，以及基金组合的投资风险水平。
同时，全数学期望还可以用来帮助金融机构估计投资风险，金融风险模型和投资资产价格变动的机会成本，以及通过定价投资资产的方法。
总结
全数学期望是概率论中重要的概念，它可以用来衡量随机变量的平均值及概率分布关于平均值的方差。
它还可以用于研究统计学中概率分布和期望值的关系，并可以在财务、金融等领域应用于投资组合的构建，风险评估和投资决策等方面。
