高中数学选修2-3 离散型随机变量的期望与方差

2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。

庖丁巧解牛知识·巧学一、离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则称EX=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望.随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.知识拓展 上述问题推广到一般有：假设随机试验进行了ｎ次，根据X 的分布列，在ｎ次试验中，有p 1n 次出现了x 1，p 2n 次出现了x 2，…，p n n 次出现了x n ，在ｎ次试验中，X 出现的总次数为p 1nx 1＋p 2nx 2＋…＋p n nx n .因此ｎ次试验中，X 出现的平均值=nnx p nx p nx p nn i +++ 221=EX ，即EX=p 1x 1+p 2x 2+…+p n x n .辨析比较 随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值. 二、随机变量函数的数学期望对随机变量X ，若Y=ａX ＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y 是随机变量，且有E(aX+b)=aEX+b.对上述公式，特别地：(1)当a=0时，E （b ）=b ，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当a=1时，E （X ＋b ）=EX ＋b ，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期望与这个常数的和； (3)当b=0时，E(aX)=aEX ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.三、常见的离散型随机变量的均值1.两点分布：若X 服从两点分布，则EX=p.事实上，假设在一次试验中某事件发生的概率为p ，X 是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p ，则有P （X=0）=q ，P （X=1）=p ，可得: EX=0×q ＋1×p=p.2.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即X —B （n,p ），则EX=np.在一次试验中该事件平均发生ｐ次，我们可以猜想，在n 次独立重复试验中，该事件平均发生ｎｐ次，也就是若X —B(n,p)，则Eξ=np.这就是X 的二项分布的期望的特点. 四、离散型随机变量的方差设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则（x i -EX ）2描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度，而DX=∑=-ni iEX x12)(p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度.我们称DX 为随机变量X 的方差.其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差，记作σX.随机变量X 的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX 越小，稳定性越高，波动越小.显然DX≥0，校准差与随机变量本身有相同单位. 辨析比较 随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容易的增加，样本方差越来越接近于总体方差.联想发散 方差是随机变量另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的.由方差的定义DX=∑=-ni iEX x12)(p i 可知，计算方差DX 必须先求均值EX ，并且由此定义进一步可得到公式DX=EX 2-(EX)2. 随机变量函数的方差当a ，b 均为常数时，随机变量函数η=aξ+b 的方差D(η)=D(aξ+b)=a 2Dξ. 特别地：(1)当a=0时，D （b ）=0，即常数的方差等于0；(2)当a=1时，D(ξ+b)=Dξ，即随机变量与常数之积的方差等于这个随机变量的方差本身； (3)当b=0时，D(aξ)=a 2Dξ，即随机变量与常数之积的方差，等于这常数的平方与这个随机变量方差的乘积.五、两点分布及二项分布的方差1.两点分布：若X 服从两点分布，则DX=p(1-p).证明：由于X 服从两点分布，即P(X=0)=1-p,P(X=1)=p ， ∴EX=p,EX 2=0×(1-p)+1×p=p, ∴DX=EX 2-(EX)2=p-p 2=p(1-p).2.二项分布：若X —B(n,p),则DX=np(1-p).证明：由X —B(n,p)，令q=1-p,则P(x=i)=i n X p i q n-i，∴EX 2=∑=-ni in i qp i22=∑∑∑==--=-=+-ni ni in iin ini i i qip qp i i 0)1()1(+EX=n(n-1)p2)2()2(2222-+--=--∑n n i ni i n qpC+EX=n(n-1)p2∑-=-22n j i n Cp j q (n-2)-j +EX=n(n-1)p 2(p+q)n-2+EX=n(n-1)p 2+EX=n(n-1)p 2+np. ∴DX=EX 2-(EX)2=n(n-1)p 2+np-np 2=np-np 2=np(1-p). 故DX=np(1-p). 问题·探究问题1 如果X —B(n,p)，你能求出x 的均值吗？思路:如果X —B(n,p)，则有P(x=k)=k n C p k(1-p)n-k ，由均值定义有EX=∑=nk k kn p kC0(1-p)n-k ，又由组合数性质有k k n C =n 11--k n C .EX=∑=--nk k n npC111(1-p)n-1-(k-1)=k n k nk k n p p Cnp--=--∑111)1(=np.探究:均值这一概率是建立在分布列的基础之上的，分布列中随机变量X 的一切可能值x i 与对应的概率P （ξ=x i ）的乘积的和就是随机变量X 的均值.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同，分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 问题2 移动公司在某地区共有客户3 000人，若该地区的办事处准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问该办事处能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备多少份礼品？思路:可能来多少人，是一个随机变量，由于每人是否去领奖，相互间是独立的，因而随机变量服从二项分布，用数学期望来反映平均领奖人数，即能说明是否可行.探究:如问题2，我们可以设来领奖的人数为一个随机变量ξ=k(k=0,1,2,…,3 000)，所以P(ξ=k )=kC 3000(0.04)k (1-0.04)3 000-k ，则可以得出ξ—(3 000,0.04)，那么Eξ=3 000×0.04=120（人）＞100（人）.所以办事处不能向每一位客户都发出领奖邀请.若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备120份礼品. 典题·热题例1某份英语竞赛试题共有100道选择题，每题有4个选项，只有一个答案正确.选对得1分，否则得0分.学生甲会其中的20题，学生乙会其中的80题，不会的均随机选择.求甲、乙在这次竞赛中得分的期望.思路分析： 数学期望反映了随机变量取值的平均水平，要求数学期望首先要得到分布列，由题意可知，本题为二项分布问题.解：设甲和乙不会的题的得分分别为随机变量X 和Y ，由题意知X —B(80,0.25)，Y —B(20,0.25)，∴EX=80×0.25=20,EY=20×0.25=5.故甲、乙在这次竞赛中得分的期望分别为40分和85分. 拓展延伸设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为（ ）A.15B.10C.20D.5 思路分析：次品率为P=151150001000 ，且该题服从二项分布，由公式，得EX=nP=150×151=10.故选B. 答案：B方法归纳 通常情况下，在ｎ次独立重复试验中事件发生的次数X 服从二项分布，直接代入公式即可求得期望.例2（2005湖南高考）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （1）求ξ的分布及数学期望；（2）记“函数f(x)=x 2-3ξx ＋1在区间［2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 思路分析： （1）写出ξ的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出P （ξ=k ）（ｋ=1,3），写出ξ的分布列，求出Eξ.（2）利用二次函数的单调性求解. 解：（1）分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”.为事件A 1，A 2，A 3.由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+P （321A A A ∙∙）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （1A ）P （2A ）P （3A ）=2×0.4×0.5×0.6=0.24， P （ξ=1）=1-0.24=0.76. 所以ξ的分布列为Ξ 1 3 P0.76 0.24Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48. （2）解法一：因为f(x)=(x-23ξ)2+1-49ξ2, 所以函数f(x)=x 2-3ξx+1在区间［23ξ,+∞）上单调递增，要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，当且仅当23ξ≤2,即ξ≤34.从而P(A)=P(ξ≤34)=P(ξ=1)=0.76.解法二：ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数f(x)=x 2-3x+1在区间［2,+∞)上单调递增， 当ξ=3时，函数f(x)=x 2-9x+1在区间［2,+∞)上不单调递增. 所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.深化升华 本题主要考查离散型随机变量分布列、数学期望和事件的概率等问题.一般解法是先由题意求出分布列，再由随机变量的数学期望公式代入求解即可.这一知识点应是未来高考中的一个热点.例3（2005全国高考）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01）思路分析： 首先要求出单个坑不需要补种的概率，然后三个坑认为是三次独立重复试验，然后利用公式求解.解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=81， 所以甲坑不需要补种的概率为1-8781=. 3个坑都不需要补种的概率3003)87()81(⨯⨯C =0.670;恰有1个坑需要补种的概率为213)87(81⨯⨯C =0.287;恰有2个坑需要补种的概率为87)81(223⨯⨯C 8=0.041;3个坑都需要补种的概率为0333)87()81(⨯⨯C =0.002.补种费用ξ的分布列为Ξ 0 10 20 30 P 0.670 0.287 0.041 0.002ξ的数学期望为Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.方法归纳 本题主要考查计算随机事件发生概率的能力，包括互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查随机变量、数学期望等知识以及利用概率知识解决实际问题的能力.本题解决的关键有两点：一是单坑是否需要补种的概率；二是独立重复试验.首先，一个坑内的3粒种子是否发芽是独立重复试验，据此可得到单坑需要补种的概率；然后，3个坑是否需要补种也是独立重复试验，据此可得需要补种的坑的数目的分布列.例4交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有完全相同的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖人获利的数学期望.思路分析： 抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中每一个ξ取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得的，本题的目标是求参加摸奖的人获利η的数学期望.由ξ与η的关系η=ξ-5，利用公式Eη=Eξ-5可得.解：设ξ为抽到的2个球上的钱数之和，则ξ的取值如下： ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元,1个5元），ξ=10（抽到2个5元）.所以，由题意：P(ξ=2)=452821028=C C ，P(ξ=6)=45162101218=C C C , P(ξ=10)=45121022=C C ，Eξ=2×4516245110451664528=⨯+⨯+，又设η为抽奖者获利可能值，则η=ξ-5. 所以抽奖者获利的期望为：Eη=Eξ-5=57545162-=-=-1.4. 误区警示 要分清是谁获利，不能忽视了条件是先交5元钱才能参加这一抽奖.因此，不能只计算Eξ，最终Eη的结果出现负值，说明摸奖者若重复这种抽奖，平均每摸一次要亏1.4元.例5甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下：Ξ 0 1 2P106101 103η 012P105 103 102 试对这两名工人的技术水平进行比较.思路分析：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差的大小.解：工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为： Eξ=0×106+1×101+2×103=0.7，Dξ=(0-0.7)2×106+(1-0.7)2×101+(2-0.7)2×103=0.81； 工人乙生产出次品数ξ的期望和方差分别为：Eξ=0×105+1×103+2×102=0.7; Dξ=(0-0.7)2×105+(1-0.7)2×103+(2-0.7)2×102=0.61.由Eξ=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定.深化升华 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中与稳定.即不要误认为均值相等时，水平就一样好，还要看一下相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定.例6设一次试验的成功率为ｐ，进行100次独立重复试验，求当ｐ为何值时，成功次数的标准差的值最大，并求最大值.思路分析： 解决本题的关键就是根据题目所给出的条件，找出几个变量之间的关系. 解：设成功次数为随机变量ξ，由题意可知ξ—B(100,p). 那么σξ=)1(100p p D -=ξ, 即Dξ=100p(1-p)=100p-100p 2.把上式看作一个以ｐ为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，Dξ有最大值为25.所以最大ξD 值为5. 故当21时，成功次数的标准差的最大值为5. 方法归纳 对求离散型随机变量的均值与方差的综合问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布是一些熟知的类型（如两点分布、二项分布等）时，应全面地分析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量相应的概率.本例中正是利用二项分布快速地得到方差，从而建立了关于ｐ的目标函数，进而求其最值. 此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。

数学期望与方差及正态分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解离散型变量的数学期望与方差的概念.2.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的公式.3.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的性质.4.能利用数学期望与方差解决简单的实际问题.5.理解概率密度曲线和正态分布的概念.1.离散型随机变量X 的数学期望一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称______________________为离散型随机变量X 的数学期望，记为______，其中0i p ≥，i =1，2，…，n ，12p p + 1.n p ++=L2.离散型随机变量X 的方差一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称____________________________________为离散型随机变量X 的方差，记为_________，即2;σi p ≥0，i =1，2，…，n ，121,n p p p +++=L ()E X μ=3.离散型随机变量X 的标准差随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ=_____________4.必备公式(1)离散型随机变量：X 的数学期望（均值）公式、方差公式、标准差公式 E(X)=____________________________；V (X )=_____________________________________________； σ=______________.(2)二项分布的数学期望、方差的计算公式 当X ～B (n ，p )时，E (X )=np ；V (X )=np(1-p). 5.离散型随机变量方差的性质设ξ是离散型随机变量，则其方差具有如下性质： (1)V (k )=_____(k 为常数)； (2)()_________;V k ξ= (3)()V k ξ+=___________;(4)()___________(,).V a b a b ξ+=∈R6.概率密度曲线(1)若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线.(2)正态密度曲线的函数表达式为22()2()e,,0,x P x x μσσμ--=∈>∈R R7.正态分布(1)若X 是一个随机变量，对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积；我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为X ～N (2,μσ).(2)我们将正态分布N (0，1)称为标准正态分布，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率.8.正态密度曲线图象的特征(1)当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸以____为渐近线. (2)正态曲线关于直线x =μ对称；(3)σ越大，正态曲线越________；σ越小，正态曲线越________. (4)在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为_____.类型一.离散型随机变量X 的数学期望则E (X )等于( ) A.0B.-1C.13-D.12-练习1：某学校要从5名男生和2名女生中选出2人做上海世博会志愿者,若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E ξ______.(结果用最简分数表示) 类型二.离散型随机变量的方差、标准差例2：已知随机变量X 的分布表为：求V (X ).练习1：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布表如下： 射手甲：射手乙：类型三.二项分布的数学期望与方差例3：已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 2.4, 1.44,E V ξξ==则n ，p 的值为( ) A.8，0.3B.6，0.4C.2，0.2D.5，0.6练习3：设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______. 类型四.离散型随机变量方差的性质例4：一次测试有25道选择题，每题选对得4分，选错或不选得0分，满分为100分，某生选对每道题的概率为0.8，则这名考生在这次考试中成绩的数学期望与标准差为( )A.80，8B.80，64C.70，4D.70，3练习4：已知ξ的分布列如下表,设23,ηξ=+则E η=()A .3B .4C .-1D .1类型五.数学期望与方差的计算与应用例5：一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件互相独立，并且概率都是1.3假定他只在遇到红灯或到达上班地点时才停止前进.(1)设ξ为这个人的首次停止前经过的路口数.求ξ的分布表；(2)设η为这个人的途中遇到红灯的次数，求η的期望和方差；(3)求这个人首次停止前已经过两个交通岗的概率.练习5：有一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数的数学期望.类型六.正态密度曲线的特征例6：下面给出了关于正态曲线的四个叙述：①曲线在x 轴上方且与x 轴不相交；②当x >μ时，曲线下降；当x <μ时，曲线上升；③当μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中；④曲线关于直线x =μ对称，且当x =μ时，位于最高点.其中正确的是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个练习6：若2(1)2(),x f x x R --=∈,则下列判断正确的是( )A .f (x )有最大值,也有最小值B .f (x )有最大值,无最小值C .f (x )无最大值,有最小值D .f (x )无最大值,也无最小值 类型七.正态分布例7：已知正态总体的数据落在区间(-3，-1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________.练习7：设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1),已知( 1.96)0.025Φ-=,那么(|| 1.96)P ξ<=( )A .0.025B .0.050C .0.950D .0.9751.若某篮球运动员投篮命中率P =0.6,则其两次投篮命中次数η的数学期望为( ) A .0.6B .1.2C .1.3D .0.82.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述1次试验的成功次数,则(0)P ξ==( )A .0B.12C.13D.233.已知连续型随机变量ξ的概率密度函数f (x )=()()01,1(14),504,x x x <-⎧⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪>⎩则P (ξ=3)的值为( )A.15B .0C .3D .不确定4.如果随机变量ξ服从(,0)N μ,而且()P C ξ≤=()P C ξ>=P ,那么P 等于( ) A .0 B .0.5 C .1 D .不确定5.若从1,2,4,6,9这5个数字之中任取2个,则这2个数之积的数学期望是( ) A .8 B .17.3 C .9 D .9.56.两封信随机投入A ,B ,C 三个空邮箱,则A 邮箱的信件数ξ的教学期望E ξ=______.7.某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.8.设篮球队A 与B 进行比赛,每场比赛均有一球队获胜,若一球队胜4场,则比赛结束,假定A ,B 两队在每场比赛中获胜的概率都是12,试求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.如果两名士兵在一次射击比赛中,士兵甲得1分,2分,3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;士兵乙得1分,2分,3分的概率分别为0.1,0.6,0.3,那么两名士兵得胜希望较大的是( )A .甲B .乙C .甲与乙相同D .无法确定2.同时抛掷2枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上的,ξ=0表示结果中没有正面向上的,则E ξ=( )A .0.6B .0.75C .0.85D .0.953.如果ξ是离散型随机变量,32,ηξ=+那么( ) A.32,9E E D D ηξηξ=+= B.3,32E E D D ηξηξ==+ C.32,94E E D E ηξηξ=+=+D.34,32E E D D ηξηξ=+=+4.某地有A ,B ,C ,D 四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A 到过疫区,B 肯定是受A 感染的,对于C ,因为难以断定他是受A 还是受B 感染,于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12,同样也假定D 受A ,B 和C 感染的概率都是13,在这种假定之下,B ,C ,D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量,X 的均值(即数学期望)=( )A.125 B.116 C.87D.23 5.设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______.6.在某次测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,2σ)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为______.7.(2014浙江卷)随机变量X 的取值为0，1，2.若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝________．8.(2015东城二模)某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．(1)求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；(2)用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．能力提升1.如果~(5,0.1)B ξ,那么P (ξ≤2)=( )A .0.0729B .0.00856C .0.91854D .0.991442.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4003.1盒产品中有9件正品和3件废品,若每次取1件产品,取出后不再放回,则在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望E ξ=______.4.某射击选手每次射击击中目标的概率为0.8,现在他连续向一个目标射击,直到第一次击中目标为止,则射击次数ξ这一随机变量的数学期望为______.5.从分别标有数字1,2,3,…,n 的n 张卡片中任取一张,若卡片上数字ξ是随机变量,则ξ的数学期望为______.6.(2014湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．7.(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.8.(2014天津)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.。

2019-2020年高中数学离散型随机变量的期望与方差知识点归纳北师大版选修2-3知识点归纳1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称……为ξ的数学期望，简称期望．2 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4 期望的一个性质:5方差的计算方法（1）对于一组数据x1，x2，…，x n，s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（x n－）2］叫做这组数据的方差，而s叫做标准差（2）方差公式: s2=［（x12+x22+…+x n2）－n2］（3）当一组数据x1，x2，…，x n中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，x n′=x n－a则s2=［（x1′2+x2′2+…+x n′2）－n］6 方差:＝＋＋…＋＋…．衡量数据波动大小的量方差越大数据波动越大7 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．8方差的性质：；9二项分布的期望：二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．ξ 0 1 … k … n P……E ξ=np, np (1-p )10几何分布的期望和方差：几何分布： g (k ，p )= ，其中k ＝0,1,2,…， ．ξ 1 2 3 … k … P……2112(1)3(1)(1)k E p p p p p kp p ξ-=⋅+-+-++-+令 11(1)(1)(1)(1)n n p p n p p np p --++--+-1(1)(1)(1)(1)n n n n S p S p p p p p np p ---=+-++---，如：某射击手击中目标的概率为p 求从射击开始到击中目标所需次数的期望、方差就是 ，.。