高中数学期望

一、基本知识概要：1、期望的定义：则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x n P n+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。

它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。

E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=n P2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(x n-Eξ)2·P n+…称为随机变量ξ的方差。

Dξ的算术平方根ξD=δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。

若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。

考点一期望与方差例1：设随机变量ξ具有分布P(ξ＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(ξ＋2)2，(21)Dξ-，(1)σξ-．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。

已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。

某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。

（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。

记随机变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).2、某同学参加3门课程的考试。

高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。

本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。

通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。

2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。

这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。

二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。

通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。

2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。

这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。

三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。

数学期望常用公式总结高中
数学期望是统计学中一个重要的概念，它用来衡量一组数据的平均值。

它有助于研究者分析数据，从而得出有效的结论。

在高中数学中，我们常用的数学期望公式有以下几种：（1）
期望的基本公式：期望就是数据的平均值。

其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示期望，∑x表示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。

（2）期望的期望公式：期望的期望公式表示期望可以用
来计算另一个期望。

其公式为：E(E(X)) = ∑E(X)P(X)，其中
E(E(X))表示期望的期望，∑E(X)表示每个可能的观测值的期望值的总和，P(X)表示每个观测值的概率。

（3）期望的条件期望公式：期望的条件期望公式表示期
望可以用来计算另一个条件期望。

其公式为：E(E(X|Y)) =
∑E(X|Y)P(Y)，其中E(E(X|Y))表示条件期望的期望，∑E(X|Y)
表示每个可能的观测值的条件期望的总和，P(Y)表示每个条件的概率。

（4）期望的离散概率分布公式：期望的离散概率分布公
式表示期望可以用来计算离散概率分布的期望值。

其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示离散概率分布的期望值，∑x表
示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。

以上就是高中数学中常用的数学期望公式。

它们可以帮助我们更准确地分析数据，从而得出有效的结论。

期望的计算方法及其性质期望是数学中一种重要的概念，表示事物发生的平均值。

在概率论、统计学、经济学、物理学等众多领域中都有着广泛的应用。

在计算期望时，需要根据不同的情况选择合适的方法，以达到正确计算的目的。

本文将对期望的计算方法及其性质进行探讨，希望能够为读者提供一些有价值的参考。

一、期望的定义在概率论中，期望是事件发生的平均值。

设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则X的期望E(X)定义如下：E(X)=∫xf(x)dx其中f(x)是X的概率密度函数。

当X是离散型随机变量时，其期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x其中p(x)是X取到值为x的概率。

当X是连续型随机变量时，其期望可以表示为积分的形式。

二、期望的基本性质1. 线性性设X和Y是两个随机变量，a和b是常数，则有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)这种关系称为期望的线性性。

当a=b=1时，此式表述了期望的可加性。

这一性质十分重要，其意义在于，期望可以将事件的发生情况抽象成一个实数，使其具有线性的演算。

例如，在经济学中，我们可以将利润或收益看做一种随机变量，通过期望的线性性质，便可以对其进行计算和统计。

2. 单调性若X≤Y，则有：E(X)≤E(Y)这是期望的单调性质。

从定义上来看，当X≤Y时，X的取值总是小于等于Y的，因此X的期望值也应该小于等于Y的期望值。

这一性质告诉我们，期望可以衡量事件发生的趋势，可以用来进行决策和分析。

3. 平移性设Z=X+c，则有：E(Z)=E(X+c)=E(X)+c这是期望的平移性质。

从定义上来看，当Z=X+c时，Z的期望值应该等于X的期望值加上c。

这一性质告诉我们，期望可以平移，可以用来分析事物发生的变化趋势。

三、常见的计算方法1. 直接求期望直接求期望是一种最简单的计算方法。

对于离散型随机变量，我们可以直接按照期望的定义进行求解。

例如，设X是一个随机变量，其概率分布如下：X 1 2 3 4P(X) 0.1 0.2 0.3 0.4则X的期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x=0.1×1+0.2×2+0.3×3+0.4×4=2.8对于连续型随机变量，我们可以采用积分的方式进行求解。

高考数学冲刺数学期望考点突破高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。

在高考数学中，数学期望这一考点常常让同学们感到困惑和棘手。

在最后的冲刺阶段，突破这一考点，对于提升数学成绩至关重要。

数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，它反映了随机变量取值的平均水平。

简单来说，就是对随机变量所有可能取值按照其概率加权后的平均值。

理解数学期望的定义是突破这一考点的基础。

我们可以通过一些简单的例子来帮助理解。

比如，掷骰子的游戏，骰子有六个面，分别标有 1 到 6 的数字。

每个数字出现的概率都是 1/6。

那么掷一次骰子的数学期望就是（1×1/6 ＋ 2×1/6 ＋ 3×1/6 ＋ 4×1/6 ＋ 5×1/6 ＋ 6×1/6）＝ 35。

这意味着，如果我们多次掷骰子，平均每次得到的点数大约是 35 。

在高考中，数学期望的题型多种多样。

常见的有离散型随机变量的数学期望和连续型随机变量的数学期望。

离散型随机变量的数学期望相对来说较为常见，比如抽奖问题、产品检验中的次品数等。

以抽奖为例，假设一个抽奖活动，一等奖奖金 1000 元，中奖概率为 01；二等奖奖金 500 元，中奖概率为 02；三等奖奖金 100 元，中奖概率为 03。

那么参与抽奖的数学期望就是 1000×01 ＋ 500×02 ＋100×03 ＝ 230 元。

这就告诉我们，从平均意义上讲，每次参与抽奖能获得的预期收益是 230 元。

对于连续型随机变量的数学期望，可能会涉及到概率密度函数的计算。

这需要我们掌握好积分的知识。

例如，某个连续型随机变量的概率密度函数为 f(x)，那么它的数学期望就是 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间根据具体问题确定）。

在解决数学期望的问题时，我们要注意以下几点：首先，要认真审题，明确题目中给出的是离散型还是连续型随机变量。

数学期望的六个公式数学期望是一个概念，用于描述概率实验或随机变量的预期值，被广泛应用于统计学，信息论，投机策略和把数字概念应用于实际问题的其他领域。

数学期望有六个公式，它们是总和期望，乘积期望，定义期望，方差公式，协方差公式和零期望公式。

首先，总和期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相加的结果，即E(X+Y) = E（X）+ E（Y）。

这意味着，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的总和期望就为7。

其次，乘积期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相乘的结果，即E（XY）=E（X）×E（Y）。

乘积期望不仅用于双重期望，而且还用于多重期望。

同样，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的乘积期望就为12。

接下来是定义期望，即定义期望公式，它定义为分布的期望的加权平均值，其中每个可能的值X在函数f（x）上有不同的权重。

这个公式可以用来求解可能的联合分布的任何期望。

下一个是方差公式，即方差公式，它定义为一个随机变量与其期望之间的偏离度量，并且可以用来衡量概率分布的扩散程度。

方差公式可以表达为Var（X）= E（X-E（X）），记作σ2。

然后是协方差公式，也称为协方差矩阵，它定义为两个随机变量之间的度量，它表示两个随机变量之间的关系。

它可以用来衡量两个变量之间正负相关性，并且可以用来检测金融数据中的关联性。

协方差公式可以表达为Cov（X，Y）= E（XY）-E（X）E（Y），记作σxy。

最后，是零期望公式，它定义为任意离散变量的期望是0，即E （X）= 0。

它常用于信号处理，表示非零值时没有偏移。

以上就是数学期望的六个基本公式。

数学期望在统计学，信息论，投机策略和其他应用概率的领域都有广泛的应用，有助于我们对概率分布的理解和分析。