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集 A 的隶属函数 A(x) 可解释为 [a, b] 上的有界函数。
于是，可以仿照欧氏空间或者函数空间中距离的定义来定义模糊集之间的距离。
定义 1 设 X = {x1, x2, …, xn} 或 X = [a, b]，A, B∈F (X)，p 为正实数。则称
1
∑ d p ( A, B)
=
⎜⎛ ⎝
1 n
n
|
i =1
A(xi ) − B(xi ) |p
⎟⎞ p ⎠
1
∫ d
p
(
A,
B)
=
⎜⎛ ⎝
b
1 −
a
b
|
A( x)
−
B(x)
|p
dx ⎟⎞ p
a
⎠
为 A, B 之间的闵可夫斯基(Minkowski)距离。
特别地，当 p = 1 时称 d1(A, B) 为模糊集 A 与 B 之间的海明(Hamming)距离，即
b w( x) | A( x) − B(x) |2
a
dx ⎟⎠⎞2
例 1 欲将在 A 地生长良好的某种树木移植到 B 地或 C 地，考察 B、C 两地哪里最适宜？
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数学系 • 张运杰 • 模糊数学课程教案
第 3 章 • 模糊集合的度量
气温、湿度、土壤是树木生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域 X = {x1(气温), x2(湿 度), x3(土壤)}上的模糊集，经测定，得三个模糊集为
定义 2 设 X = {x1, x2, …, xn} 或 X = [a, b]，A, B∈F (X)，p 为正实数。若
∑ ∫ n w( xi ) = 1 或者
i =1
b
w(x)dx = 1
a
则称
1
∑ d wp
(
A,
B)
=
⎜⎛ ⎝
n i =1
w(
xi
)
|
A(
xi
)
−
B(
xi
)
|p
⎟⎞ ⎠
p
1
∫ dwp ( A, B) = ⎜⎝⎛
[0, 1] 上取值的函数，于是它们的 Hamming 距离为
∫ d (A, B) = 1
b
| A(x) − B(x) | dx
b−a a
即两个隶属函数间的面积，如图 2(a) 所示。而 [a, b] 上两个函数间的最大 Hamming 距离为 d(∅, X) = b − a，
如图 2(b) 所示。于是有
3.1 模糊集之间的距离
由第二章可知，论域 X 上的所有模糊集构成 X 的模糊幂集 F (X)。
当 X 为含有 n 个元素的有限论域时，F (X) 是一个超立方体，即 n 维调和向量的集合，因此 F (X) 是
n 维欧氏空间的子集。
当 X 为无穷论域时，F (X) 是所有 X → [0, 1] 的映射构成的集合。特别地，当 X = [a, b] 时，X 上模糊
B(xi ) |2
⎟⎞ 2 ⎠
1
∫ d
2
(
A,
B)
=
⎜⎛ ⎝
b
1 −
a
b
|
A(x)
−
B(x)
|2
dx ⎟⎞ 2
a
⎠
两个模糊集之间的 Minkowski、Hamming 和 Euclid 距离，实际上是度量空间中相应距离概念的推广。
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数学系 • 张运杰 • 模糊数学课程教案
第 3 章 • 模糊集合的度量
n
∑ d ( A, B) = | A(xi ) − B(xi ) |2 i =1
而正方形 I 中两点间的距离最大为 d (∅, X ) = 2 ，于是有
1
∑ d2 ( A, B)
=
d ( A, B) d (∅, X )
=
⎜⎛ ⎝
1 n
n i =1
|
A(xi ) −
B(xi ) |2
⎟⎞ 2 ⎠
图 1 正方形中两点间的 Euclid 距离
数学系 • 张运杰 • 模糊数学课程教案
第 3 章 模糊集合的度量
第 3 章 • 模糊集合的度量
我们知道，模糊概念是通过模糊集合来刻画的，隶属函数则是对模糊概念模糊性的定量描述。 在理论研究和实际应用中，常常要对两个模糊概念之间的差异或相近程度进行比较，也常常要对一个 模糊集自身的模糊性进行评价。为此，需要对模糊集之间的相似性和模糊集自身的模糊性进行度量。 本章主要就是对这两项内容进行讨论。
设 X = [a, b]，则 F (X) 是 L1 空间的子集。于是上述模糊集之间的距离恰好是欧氏空间中的相对距离， 即
dp
( A,
B)
=
d ( A, d (∅,
B) X)
，∀
A,
B∈F
(X)
例如，设 X = [a, b]，则 F (X) 是 [a, b] 上有界函数的集合。∀ A, B∈F (X)，A 与 B 是 [a, b] 上两个在
对于有限论域或实数论域的情形，可以用几何观点予以解释：
设 X = {x1, x2, …, xn}，则 F (X) 是一个 n 维超立方体。于是上述模糊集之间的距离恰好是欧氏空间中 的相对距离，即
d
p ( A,
B)
=
d ( A, d (∅,
B) X)
，∀
A,
B∈F
(X)
例如，设 X = {x1, x2}，则 F (X) 是一个正方形 I。∀ A, B∈F (X)，A 与 B 是 I 中的两个点，它们之间的 Euclid 距离为
∑ d1(A, B)
=
1 n
n i =1
|
A(xi )
−
B(xi )
|
∫ d1
(
A,
B)
=
b
1 −
a
b
| A(x) − B(x) | dx
a
而当 p = 2 时称 d2(A, B) 为模糊集 A 与 B 之间的欧几里得(Euclid)距离，即
1
∑ d2 ( A, B)
=
⎜⎛ ⎝
1 n
n i =1
|
A(xi ) −
b
∫ dw1( A, B) =
w(x) | A( x) − B(x) | dx
a
而当 p = 2 时称 dw2(A, B) 为模糊集 A 与 B 之间的加权欧几里得(Euclid)距离，即
1
∑ d w 2
(
A,
B)
=
⎜⎛ ⎝
n i =1
w(
xi
)
|
A(
xi
)
−
B(
xi
)
|2
⎟⎞ 2 ⎠
1
∫ dw2 ( A, B) = ⎜⎝⎛
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∫ d1( A,
B)
=
d ( A, d (∅,
B) X)
=
b
1 −
a
b
a | A(xi ) − B(xi ) | dx
第 3 章 • 模糊集合的度量
图 2(a) 两个有界函数之间的 Hamming 距离
图 2(b) 两个有界函数之间的最大 Hamming 距离
b w(x) | A(x) − B( x) |p
a
dx ⎟⎠⎞ p
为 A, B 之间的加权闵可夫斯基(Minkowski)距离。 特别地，当 p = 1 时称 dw1(A, B) 为模糊集 A 与 B 之间的加权海明(Hamming)距离，即
n
∑ dw1( A, B) = w(xi ) | A(xi ) − B(xi ) | i =1
