信号与系统第七章离散系统的Z域分析

当 z > a 时，这是无穷递缩等比级数。
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
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3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
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第7章 离散时间信号与系统的z域分析
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M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
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第7章 离散时间信号与系统的z域分析
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因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
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(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2

§6.2
一.定义：
Z反变换
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,

R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
第六章
离散信号与系统的Z域分析
6.1 Z变换及其性质
6.2 逆Z变换
6.3 Z变换与拉普拉斯变换的关系 6.4 离散系统的Z域分析 6.5 离散系统的频率特性
§6.1 Z变换及其性质
一.Z变换： 1.序列的Z变换定义:
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x ( n) z

n
所求原序列为
2 1 1 n f (n) (n) 3 3 2 3
n
(n≥0)
3.留数法 令F(z)=X(z)zn-1， F(z)在围线c内的极点用zk表示，假设有
M个极点。根据留数定理下式成立:
1 x(n) X ( z ) z n 1dz 2j c 1 c F ( z )dz 2j Re s[ F ( z ), zk ]
由逆Z变换可知原序列是x(n)=0.9nu(n)，它的终值，即当 n→∞时的序列值确是0。
由该例可以推论, 如果因果序列的Z变换在单位圆上无极点
，则该序列的终值为0。
8.序列的卷积和(时域卷积定理)
如果y (n) x(n) h(n)
m
x(m)h(n m)

而且X ( z ) Z [ x(n)] , Rx z Rx ， H ( z ) Z [h(n)] , Rn z Rn ， 则有：Y ( z ) Z [ y (n)] X ( z ) H ( z ) max[ Rx , Rh ] z min[ Rx , Rh ]

全 z 平面不收敛，即序列 x(n) 的 Z 变换不存在。
第 7 章 离散信号与系统的z域分析
7.1.3 典型序列的Z变换
1．单位样值函数 (n)
由 Z 变换的定义，单位样值函数 (n) 的 Z 变换为
X (z) Z (n) (n)zn 1
(7.1-10)
n
可见，与连续系统单位冲激函数 (t) 的拉普拉斯变换相类似，单位样值函数 (n) 的 Z 变换
第 7 章 离散信号与系统的z域分析
第 7 章 离散信号与系统的Z域分析
7.1 Z变换 7.2 Z反变换 7.3 Z变换的基本性质 7.4 Z变换与拉普拉斯变换的关系 7.5 离散系统响应的z域分析 7.6 离散系统的时域特性 7.7 离散系统的频率响应 7.8 本章小结
第 7 章 离散信号与系统的z域分析
本节研究由 X (z) 的反 Z 变换，即由象函数 X (z) 求原序列 x(n) 的问题。通常，求 Z 反变换的方法有三种：幂级数展开法、部分分式展开法和围线积分法。
7.2.1 幂级数展开法（长除法）
由 Z 变换的定义
可得单边正弦序列 sin 0nu(n) 和余弦序列 cos0nu(n) 的 Z 变换为
Z cos0nu(n)
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
Z sin0nu(n)
z2
z sin0 2z cos0
1
(7.1-13) (7.1-14)
第 7 章 离散信号与系统的z域分析
7.2 Z 反变 换
(7.1-7)
X (z) Z x(n) x(n)zn n
(7.1-8)
第 7 章 离散信号与系统的z域分析
第 7 章 离散信号与系统的z域分析

第七章离散时间系统的Z域分析7.1 学习要求1.熟练掌握信号的Z域分析方法：Z变换的定义、收敛区及基本性质，能够应用长除法和部分分式分解法求Z反变换。

2.掌握序列的傅里叶变换的定义和基本性质，并了解Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。

3.掌握离散系统响应的Z变换分析方法：深刻理解离散系统的系统函数的概念，掌握离散时间系统的时域和Z域框图与流图描述形式。

7.2 学习重点1.z变换,z反变换定义、基本性质、计算方法。

2.离散时间系统的z域分析。

3.离散时间系统的频率响应特性。

7.3知识结构7.4内容摘要7.4.1 Z变换1.定义∑∞-∞=-=n nz n x z X )()( 表示为：)()]([z X n x Z =。

2. 收敛域 (1) 有限长序列12(),()0,x n n n n x n n ≤≤⎧=⎨⎩其他当0,021>>n n 时，收敛条件为0>z ；当0,021<<n n 时，收敛条件为∞<z ；当0,021><n n 时，收敛条件为∞<<z 0。

(2) 右边序列11(),()0,x n n n x n n n ≥⎧=⎨<⎩当01>n 时，收敛域为1x R z >，1x R 为最小收敛半径；当01<n 时，收敛域为∞<<z R x 1。

(3) 左边序列2(),()0,x n n n x n n ≤⎧=⎨⎩其他 当02<n ，收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径； 当02>n ，收敛域为20x R z <<。

(4) 双边序列双边序列指n 为任意值时,)(n x 皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。

其z 变换：∑∑∑∞=--∞=--∞-∞=-+==1)()()()(n n nnn nzn x zn x zn x z X双边序列的收敛域为一环形区域21x x R z R <<。