离散系统的Z域分析

实验名：离散系统的Z 域分析

一、实验目的

1、掌握离散序列z 变换的计算方法。

2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。

3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。

二、实验原理与计算方法

1、z 变换

离散序列x (n )的z 变换定义为：∑∞

-∞

=-=

n n

z

n x Z X )()(。

在MA TLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。其命令格式为： syms n;

f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)

2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件

一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即

y (n )= x (n )* h (n )

对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )

则： )

()

()(z X z Y z H =

将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即

∑∞

-∞

=-=

=n n

z

n h n h Z z H )()]([)(

对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若

∞<∑∞

-∞

=n n h |)(|，则

系统稳定。由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。因为∑∞

-∞

=-=

n n

z

n h z H )()(，若z =1时H (z )收敛，即

∞<=

∑∞

-∞

==n z n h z H |)(||)(1，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。

因此因果稳定系统应满足的条件为：1,||<∞≤<ααz ，即系统函数H (z )的所有极点全部落在z 平面的单位圆之内。

3、MA TLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法

MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。其中A 为待求根多项式的系数构成的行向量，返回向量p 是包含该多项式所有根位置的列向量。

如：求多项式8

1

43)(2++=z z z A 的根的MA TLAB 命令为：

A=[1 3/4 1/8]; p=roots(A) 运行结果为： p=

-0.5000 -0.2500 也可以用[z,p,k]=tf2zp(B,A)函数求得。其中z 为由系统的零点构成的向量，p 为由系统的极点构成的向量，k 表示系统的增益；B 、A 分别为系统函数中分子分母多项式的系数向

量。

离散系统的系统函数可能有两种形式，一种是分子和分母多项式均按z 的正次幂降幂排

列，如1

2232)(2

343

1+++++=z z z z z

z z H ，另一种是分子分母多项式均按z 的负次幂升幂排列，如2

11

24

12111)(---+++=z z z z H ，在构造多项式系数向量时，分子和分母多项式系数向量

的维数一定要相同，缺项用0补齐。对于H 1(z )其分子多项式的系数向量应为：B=[0 1 0 2 0]；分母多项式的系数向量应为：A=[1 3 2 2 1]。对于H 2(z )其分子多项式的系数向量应为：B=[1 1 0]；分母多项式的系数向量应为：A=[1 1/2 1/4]。

绘制系统函数的零极点图可由MATLAB 中的zplane 函数实现。该函数的调用方法为：zplane(B,A)或者zplane(z,p,k)，其中B ，A ，z ，p ，k 的含义与tf2zp 函数相同。若调用zplane(B,A)绘图，则首先将系统函数中分子分母多项式变换成按z 的正次幂降幂排列的系数向量，再求零极点。

4、z 反变换的计算方法

z 反变换可由部分分式展开法求得。由于指数序列a n u (n )的z 变换为a

z z

-，因此求反变

换时，通常对z

z X )

(进行展开：

k

k z z A z z A z z A z z X -+-+-=

2211)( 其中)

,2,1()()(k i z z X z z A i z z i i =-==称为有理函数z

z X )

(的留数。 分两种情况进行讨论：

（1）X (z )的所有极点均为单实极点

此时k

k z z z A z z z

A z z z A z X -+-+-= 2211)(，则X (z )的z 反变换为：

∑=⋅+=k

i n i i z A A n x 1

0)()(

（2）X (z )有共轭极点

设X (z )有一对共轭极点βαj e p ±=2,1，则k k z z z A z z z

A p z z r p z z r z X -+-+--=

112211)(，

其中留数的计算方法与单极点相同，即θ

j p z e r z

z X p z r ||)()(1111=-==，r 2=r 1 *

因此，只要求出z

z X )

(部分分式展开的系数（留数），就可以直接求出X (z )的z 反变换

x (n )。在MA TLAB 中可利用函数residue()求解。令B 和A 分别是z

z X )

(的分子和分母多项

式构成的系数向量，则函数[r,p,k]=residue (B,A)将产生三个向量r 、p 、k ，其中r 为包含

z

z X )

(部分分式展开系数r i (i =1,2,…,N )的列向量，p 为包含z

z X )

(所有极点的行向量，k 为包含

z

z X )

(部分分式展开的多项式项的系数c j (j =1,2,…,M -N )的列向量，若M ≤N ，则k 为空阵。 用residue()函数求出z

z X )

(部分分式展开的系数后，便可根据其极点位置分布情况直接

求出X (z )的反变换x (n )。