广东省东莞市2014届高三数学(理)小综合专题：三角与向量

2014届高三理科数学小综合专题练习-------三角与向量

一、选择题

1.若角α的终边经过点)2,1(-P ，则α2tan 的值是

A.

34 B. 32 C. 21 D. 3

4- 2. 函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3

x 2sin(3y π

-=的图象

A.向右平移个6π单位

B.向左平移个6π

单位

C.向左平移个3π单位

D.向右平移个3

π

单位

3.已知下列命题：①若向量a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；a ＞b ；③若0=⋅b a ，则=或=；

④在△ABC 中，若0<⋅,则△ABC 是钝角三角形；⑤)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅其中正确命题的个数是

A. 3

B.2

C. 1

D. 0 4. 在ABC ∆中，三内角C B A ,,分别对三边c b a ,,,3

4

tan =

C ，8=c ，则ABC ∆外接圆半径

R

为

A ．10

B ．8

C ．6

D ．5

5. 已知M 是ABC ∆内的一点，且32=⋅AC AB ， 30=∠BAC ，若MBC ∆，MCA ∆ 和

MAB ∆的面积分别为y x ,,21

，则y

x 41+的最小值是

A ．9

B ．16

C ．18

D ．20

二、填空题

6.若向量)1,1(),2,1(-==，则+2与-的夹角等于__________.

7. 已知2

0π

βα≤

<<，且54)cos(=

-βα，5

4

)cos(-=+βα，则=β2__________.

8.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，若2=+量在向量方向上的投影为_________.

9.ABC ∆中，三内角C B A ,,分别对三边c b a ,,,已知1=a ，当时2

cos 2cos C

B A ++取最大值时，AB

C ∆面积的最大值是_________.

10. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5a =，325=b ，4

π

=A ，则=B cos .

三、解答题

11．已知等比数列{}n a 的公比3=q ，前3项和3

13

3=S ． (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)若函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 在6

x π

=处取得最大值3a ，且其

图象相邻两条对称轴之间的距离为2π

，

求函数)(x f 的解析式．

12．已知向量)21,sin (--=→

θa m ，)cos ,2

1

(θ=→n ．

(1)当2

2

=a ，且→

→⊥n m 时，求θ2sin 的值；

(2)当0=a ，且→m ∥→

n 时，求θtan 的值．

13．已知c b a ,,分别为ABC ∆三内角C B A ,,的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (1)求A ；

(2)若2=a ，ABC ∆的面积等于3，求c b ,．

14．已知向量)23sin ,23(cos

x x =，)2

sin ,2(cos x x b =，且]2,0[π

∈x .

(1)求b a ⋅

(2)

若x f -⋅=)(2

3

-，求实数λ的值.

15．一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题： (1)求棒长L 关于θ的函数关系式)(θL ； (2)求能通过直角走廊的铁棒长度的最大值．

16．设函数x x x x x f 22cos sin cos sin 32)(+-=. (1)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； (2)若m x f x g -=)()(在]2

,

0[π

∈x 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围；

（3）求由曲线)(x f 和x x h 2cos 4)(=及直线0=x 和直线4

π

=

x 围成图形的面积.

2014届高三理科数学小综合专题练习-------三角与向量

参考答案

一、选择题 ABDDC

二、填空题

6．

4

π

7. π 8.

2

3

9. 43 10. 322

三、解答题

A

11.解：（1）由313,33==S q ，得31331)31(31=--a 解得 3

1

1=a ，

所以21

333

1--=⋅=

n n n a . （2）由（1）知33=a ，所以3=A ，由题意知ππ

=⨯

=2

2T ，所以22==

π

π

ω，

因为当6

π

=

x 时)(x f 取得最大值，所以1)6

2sin(=+⋅

ϕπ

，又πϕ<<0，

故6

π

ϕ=

，

所以函数)(x f 的解析式为)6

2sin(3)(π

+

=x x f .

12.解：（1）当22=a 时，)2

1

,sin 22(--=→θm ，

→

→

⊥n m ， ∴由0=⋅→

→n m ， 得2

2

cos sin =

+θθ， 上式两边平方得212sin 1=

+θ，所以2

1

2sin -=θ． （2）当0=a 时，)1,sin (--=→

θm ，由→

m ∥→

n ，得41cos sin =

θθ，即2

1

2sin =θ，

2

1

tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 2

22=+=+=

θθθθθθθ ， 解得32tan +=θ或 32-．

13.解: （1）0sin 3cos =--+c b C a C a ，由正弦定理得：

C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+

又)sin(sin C A B +=，

C C A C A C A C A sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin ++=+∴，

即)cos 1(sin sin sin 3A C C A +=，

0sin ≠C ，1cos sin 3=-∴A A ，2

1

)6sin(=-∴πA

从而6

6

π

π

=

-

A ， 3

π

=

∴A .